Демонстрационный вариант, 27 вопросов.

(Ответы в конце теста)

А1. В каком веке Россия стала великой морской державой?

1) XVI в.
2) XVII в.
3) XVIII в.
4) XIX в.

А2. Князь Иван Данилович Калита вошел в историю как

А3. Как назывались исторические хроники, существовавшие в России в XI–XVII вв.?

1) былины
2) жития
3) летописи
4) сказания

А4. Что из названного относится к результатам политики Петра I в области образования?

1) появление светских учебных заведений
2) введение всеобщего начального образования
3) учреждение женских школ и училищ
4) создание сети университетов в крупных городах

А5. Прочтите отрывок из сочинения историка Н.М. Карамзина и укажите имя князя, о котором идет речь в приведенном отрывке.
«...Ибо никто из потомков Ярослава Великого, кроме Мономаха и Александра Невского, не был столь любим народом и боярами, как он, за его великодушие, любовь ко славе отечества, справедливость, добросердечие. Воспитанный среди опасностей и шума воинского, он не имел знаний, почерпанных в книгах, но знал Россию и науку правления; силою одного разума и характера заслужил от современников имя орла высокопарного в делах государственных; словами и примером вливал мужество в сердца воинов... Современники особенно удивлялись его смирению в счастии. Какая победа в древние и новые времена была славнее победы над Мамаем, где каждый россиянин сражался за отечество и ближних?»

1) Иван Третий
2) Дмитрий Донской
3) Дмитрий Пожарский
4) Юрий Долгорукий

А6. Что из названного относится к XIX в.?

1) упразднение патриаршества
2) учреждение коллегий
3) провозглашение России империей
4) отмена крепостного права

А7. «Мы были дети 1812 года» - так говорили о себе

А8. Как назывался учрежденный в 1810 г. законосовещательный орган государственной власти?

1) Государственный Совет
2) Государственная Дума
3) Высочайший Сенат
4) Святейший Синод

А9. Начавшийся в России в 30-е гг. XIX в. промышленный переворот способствовал

1) появлению первых мануфактур
2) появлению первых общероссийских ярмарок
3) уменьшению численности городского населения
4) формированию фабричных центров

А10. Прочтите отрывок из воспоминаний публициста Ю.Ф.Самарина и укажите имя императора, о начале царствования которого идет речь.

«Прошлое царствование началось с того, что в один морозный день, на Дворцовой площади, облетел лучший цвет целого поколения. В развитии нашей общественности последовал насильственный перерыв».

1) Павел Петрович
2) Александр Павлович
3) Константин Павлович
4) Николай Павлович

А11. Какое из названных событий произошло в России в период с февраля по октябрь 1917 г.?

1) созыв Учредительного собрания
2) ликвидация помещичьего землевладения
3) провозглашение республики
4) заключение Брестского мира

А12 . Какие из названных лиц были представителями русской культуры «серебряного века»?

1) А.А.Блок, А.А.Ахматова
2) И.С.Тургенев, А.П.Чехов
3) Ф.И.Тютчев, А.А.Фет
4) В.Г.Перов, И.И.Шишкин

А13. Как называлась проводимая Советским государством в годы гражданской войны (1918–1921 гг.) социально-экономическая политика?

1) НЭП
2) «военный коммунизм»
3) коллективизация
4) индустриализация

А14. Что из названного относится к последствиям Февральской революции 1917 г.?

1) установление двоевластия
2) переход власти к Государственной Думе
3) переход власти к Петроградскому совету
4) установление власти большевиков

А15. Прочтите отрывок из воспоминаний и укажите, о каком событии Великой Отечественной войны идет речь.
«23 августа 1943 года... завершилось это крупнейшее сражение Великой Отечественной войны... Пятьдесят дней продолжалась величайшая битва наших войск с немецко-фашистскими войсками. Она закончилась победой Красной Армии, разбившей 30 отборных немецких дивизий, в том числе 7 танковых... Такие потери фашистское руководство уже не могло восполнить никакими тотальными мерами. Попытка Гитлера вырвать стратегическую инициативу из рук советского командования кончилась полным провалом, и с тех пор до конца войны немецкие войска вынуждены были вести только оборонительные сражения».

1) Висло-Одерская операция
2) освобождение Белоруссии
3) битва на Курской дуге
4) Сталинградская битва

А16. В 1936 г., 1977 г., 1993 г.

1) происходила смена политического курса
2) имело место преодоление внешнеполитических кризисов
3) принимались новые Конституции
4) заключались важнейшие международные договоры

А17. Кто из названных ученых, конструкторов руководил созданием первых советских космических ракет?

1) И.В. Курчатов, Л.Д. Ландау
2) С.П. Королев, В.Н. Челомей
3) С.И. Вавилов, Н.Н. Семенов
4) А.С. Яковлев, А.Н.Туполев

А18. Во второй половине 80-х гг. во внешней политике СССР утвердилась доктрина

1) мирного сосуществования стран с различным общественно-политическим строем
2) разрядки международной напряженности
3) ядерного сдерживания
4) приоритета общечеловеческих ценностей

А19. Какая из названных мер относится к радикальной экономической реформе 1992 г.?

1) принятие курса на ускорение социально-экономического развития
2) освобождение цен от государственного контроля
3) создание советов народного хозяйства
4) выдача кредитов государственным предприятиям

А20. Что является одной из важных внешнеполитических задач РФ в начале XXI в.?

1) усиление интеграционных процессов в СНГ
2) вхождение в «большую семерку» ведущих стран мира
3) вступление в НАТО
4) вывод войск из стран Восточной и Центральной Европы

Задания В1-В7 требуют ответа в виде одного-двух слов, последовательности букв или цифр, которые следует записать в текст экзаменационной работы. Имена российских государей следует писать только буквами (например: Николай Второй). Если ответ предполагает указание даты (века), он записывается буквами (например: восемнадцатый).

В1. Расположите в хронологическом порядке следующие события. Укажите ответ в виде последовательности буквенных обозначений выбранных элементов.

А) стояние на реке Угре
Б) Куликовская битва
В) Ледовое побоище
Г) Полтавская битва

В2. Установите соответствие между именами князей и событиями, связанными с их деятельностью. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго и внесите в строку ответов выбранные цифры под соответствующими буквами.

В3. Какие два из перечисленных ниже имен связаны с Отечественной войной 1812 г.? Обведите цифры, соответствующие верным ответам, и запишите их в указанном месте без дополнительных символов.

1) М.Скобелев
2) П.Нахимов
3) П.Багратион
4) Д.Давыдов
5) А.Горчаков

В4. Прочтите отрывок из «Очерков истории русской культуры» и напишите, как называли художников, входивших в указанное товарищество.
«Устав нового объединения был утвержден 2 ноября 1870 г. «Товарищество имеет целью – значилось в нем – устройство, с надлежащего разрешения, во всех городах империи художественных выставок в видах: а) доставления возможностей желающим знакомиться с русским искусством и следить за его успехами, б) развития любви к искусству в обществе, в) облегчения для художников сбыта их произведений.» Первая художественная выставка открылась 29 ноября 1871 г. в Петербурге. Вслед за первой выставкой в конце 1872 г. открылась вторая, и так на протяжении почти полувека. За это время выставки побывали в большинстве крупных городов России».

В5. Что из названного относилось к новой экономической политике, проводимой в СССР в 1920-х гг.? Укажите два верных положения из пяти предложенных. Обведите цифры, соответствующие верным ответам, и запишите их в указанном месте без дополнительных символов.

1) введение натурального налога
2) запрещение свободы торговли
3) продразверстка в деревне
4) передача в частные руки мелких и средних предприятий
5) создание колхозов

В6. Прочтите отрывок из воспоминаний и напишите фамилию автора.
«Через несколько минут могучий космический корабль унесет меня в далекие просторы Вселенной. Что можно сказать вам в эти последние минуты перед стартом? Вся моя жизнь кажется мне сейчас одним прекрасным мгновением. Все, что прожито, что сделано, было прожито и сделано ради этой минуты... Быть первым в космосе - можно ли мечтать о большем?

В7. Установите соответствие между событиями XX в. и годами, в которые происходили эти события. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго и внесите в строку ответов выбранные цифры под соответствующими буквами.

ЧАСТЬ 3
Прочтите отрывок из книги современных историков и выполните задания C1, C2, СЗ, С4. Используйте в ответах информацию источника, а также знания из курса истории.


«Вполне определенно начиналось формирование образа нового противника (взамен нацизма, поверженного и признавшего свое поражение). В марте этот процесс получил мощный импульс. Сначала образ былой жестокости на пропагандистском уровне продемонстрировал Черчилль в Фултоне, а затем Сталин в ответах иностранным корреспондентам. Первый говорил о железном занавесе, контроле Москвы, о политическом режиме в СССР и ряде других стран, где не соблюдаются принципы демократии. Второй, не стесняясь в выражениях, приравнивал недавнего союзника к поджигателям войны, говорил, что он призывает к нападению на СССР».

С1. Когда (в какие годы) происходили описанные события?

С2. Какие посты занимали названные в отрывке государственные деятели?

С3. Почему началось «формирование образа врага» в странах, участвовавших в совместной борьбе против нацизма? Назовите не менее двух причин.

С4. Какое название получил период международных отношений, начало которому было положено в описанное время?

Выполните задания С5-С6, относящиеся к истории внешней политики России второй половины XVIII века.

С5. Назовите не менее трех итогов внешней политики России во второй половине XVIII в.

С6. Приведите не менее двух примеров военных побед России в этот период времени.

Ответы.

ЧАСТЬ 1:

№ задания

Ответ

№ задания

Ответ

ЧАСТЬ 2:

№ задания

Ответ

№ задания

Ответ

передвижники

ЧАСТЬ 3:

№ задания

Ответ

Во второй половине 40-х гг. XX в.

− И.В.Сталин – руководитель советского правительства и Коммунистической партии Советского Союза;
− У.Черчилль – лидер консервативной партии Великобритании; в годы Второй мировой войны - глава правительства Великобритании

Могут быть названы следующие причины «формирования образа врага» в СССР и странах Запада:
− рост симпатий в мире по отношению к СССР, как к стране-победительнице; внесшей наибольший вклад в разгром нацизма
− недовольство руководства стран Запада усилением роли СССР в международных отношениях;
− обеспокоенность СССР ядерной монополией США;
− расхождение интересов бывших союзников по антигитлеровской.

«холодная война»

Могут быть названы следующие итоги:
− получение Россией выхода к Черному морю;
− вхождение в состав России Северного Причерноморья;
− вхождение в состав России Крыма;
− вхождение в состав России Правобережной Украины, Белоруссии.

Могут быть приведены следующие примеры военных триумфов России:
− Чесменский морской бой;
− взятие крепости Очаков;
− сражение на реке Рымник;
− падение крепости Измаил.

Дети 1812 года. Был ли наместник Кавказа Алексей Ермолов связан с тайными обществами?

Любая яркая личность обрастает легендами, которые так или иначе делают эту личность привлекательной. Одна из таких легенд - о тесной связи тайных политических обществ и Ермолова. Был ли Ермолов против самодержавия?

Ермолов и декабристы были, что называется, из одного гнезда, детьми одного времени - «дней Александровых прекрасного начала»: верили в могущество разума, увлекались идеями французской просветительской философии - и сомневались в справедливости самодержавного строя, пробовали свои силы в науке, искусстве, были истинными патриотами.

Война 1812 года изменила представления просвещенной элиты российского общества, воевавшей бок о бок со «своими» крестьянами, о русском народе, а заграничные походы 1813-1814 гг. дали пищу для размышлений: с одной стороны, гордость за Отечество, освободители Европы от власти Наполеона, с другой - боль за свой геройский народ, униженный крепостным правом. «Я из-за границы возвратился на родину уже с другими, новыми понятиями, - вспоминал декабрист В. Раевский. - Сотни тысяч русских своею смертью искупили свободу целой Европы. Армия, избалованная победами и славою, вместо обещанных наград подчинилась неслыханному угнетению».

Отечественная война наложила свой отпечаток и на Ермолова. Как скажет М. Муравьев-Апостол, «мы были дети 1812 года». И это не красивая фраза. В Отечественной войне 1812 г. участвовало более сотни будущих декабристов. Все они были очень молоды: Владимиру Раевскому - 17 лет, Артамону Муравьеву - 18, Сергею Муравьеву-Апостолу - 16, Павлу Пестелю и Ивану Якушкину - по 19, Льву Перовскому, Александру Бриггену и Василию Давыдову - по 20, Михаилу Орлову, Сергею Волконскому и Михаилу Фонвизину - по 24 года, Михаилу Лунину - 25 лет.

Пролистнем некоторые героические страницы, определившие жизнь и судьбу этих молодых людей. Так, Бородинское сражение стало первым испытанием для прапорщика гвардейского Литовского полка Павла Пестеля. В его служебном формуляре записано: «…1812 года в пределах России против французских войск находился во фронте в лейб-гвардии Литовском полку и с оным везде был до 26 августа, в который день в главном сражении при Бородине, действуя со стрелками, был ранен пулею в левое берцо, с раздроблением костей и повреждением сухих жил. За отличную храбрость, оказанную в том сражении, пожалована ему золотая шпага с надписью: «За храбрость».

В октябре 1813 г. Пестель участвовал в знаменитом Лейпцигском сражении. За храбрость и отвагу получил орден Владимира 4-й степени. За участие в февральских боях 1814 г. - орден Анны 2-й степени. Вместе с русской армией победоносно вошел в Париж.

Ко времени сражения под Бородином брату Матвея Ивановича Сергею Муравьеву-Апостолу не исполнилось и 17 лет. За кампанию 1812 г. произведен в поручики и награжден орденом св. Анны 4-го класса…»

М. Ф. Орлов «… находился в сражении при г. Смоленске… при селе Бородине». Впоследствии, командуя авангардом в партизанском отряде, геройски проявил себя, за что был награжден орденом Георгия 4-й степени. Его выдающиеся способности отмечали М. И. Кутузов, М. Б. Барклай-де-Толли.

Начав войну 24-летним поручиком, М. Ф. Орлов блестяще завершил ее генерал-майором, начальником штаба корпуса. Не случайно высокая миссия подписания акта о капитуляции Парижа была возложена именно на него - бесстрашного воина и способного дипломата.

Наконец, М. Фонвизин, ставший впоследствии видным декабристом, был адъютантом А. П. Ермолова. Вместе они прошли Отечественную, в том числе Бородино.

Вместе. Будущие декабристы и Ермолов.

А потом в жизни юных героев появились тайные общества, которые должны были изменить Россию, а в жизни Ермолова - Кавказ. При этом в Отдельном Кавказском корпусе, возглавляемом Ермоловым, значительное число «нижних чинов» - сосланные за участие в крестьянских и солдатских волнениях, высока доля политически неблагонадежных офицеров, специально переведенных на Кавказ, - в Петербурге хорошо знали о непрерывных боевых действиях, которые там велись, и степени вероятности получить пулю. Николай I требует от Ермолова ежемесячно доносить ему о поведении сосланных. Алексей Петрович неизменно сообщает, что они «ведут себя хорошо и службу исполняют с усердием».

Личное обаяние и огромный авторитет Ермолова сплотили вокруг него передовых людей своего времени, связанных между собой не только узами военного братства, но и критическим отношением к действительности. Более того, некоторые из его ближайших помощников и адъютантов были в разное время действительно членами тайных обществ - П. Х. Граббе, Н. П. Воейков, И. Д. Талызин, Н. В. Шимановский и др. И он знал об этом!

Именно Ермолов спас состоявшего при нем А. Грибоедова от серьезных последствий, предупредив его о предстоящем аресте и предоставив возможность с помощью адъютантов уничтожить компрометирующие документы. Более того, он не побоялся направить председателю Следственной комиссии военному министру А. Н. Татищеву положительную характеристику на Грибоедова. А узнав, что Александр I получил донос о существовании «Союза благоденствия», «проконсул» Кавказа посчитал необходимым предупредить об этом его участников.

Не случайно Рылеев и другие «северяне» говорили: «Ермолов наш». В Южном обществе многие считали его своим покровителем, исполненным «ума и свободных мыслей». А в целом его видели в качестве кандидата в состав Временного революционного правительства. Но мог ли Ермолов поддержать декабристов на Сенатской площади? Вопрос, конечно, гипотетический. И все же можно попытаться на него ответить.

Судя по сохранившимся документам того времени, реальной основы для «восстания Ермолова» не было. И как бы мы ни хотели оромантизировать нашего земляка, наделив его революционными идеями, Ермолов не мог быть в числе восставших как минимум по двум причинам. Во-первых, он в силу своего воспитания, характера, взглядов никогда не пошел бы на развязывание смуты, гражданской войны. К тому времени в России уже полвека, со времен восстания Пугачева, не проливали кровь сограждан. Показателен в этом смысле эпизод с Суворовым, к которому в свое время обращался за помощью предшественник декабристов родной брат А. П. Ермолова - Александр Каховский. На просьбу последнего возглавить войска, повести их в столицу и свергнуть Павла I, «…Суворов, сотворив крестное знамение рукою, сказал: «Что ты говоришь, как можно проливать кровь родную!» Думается, Ермолов был той же породы. Во всяком случае, когда насильственное введение военных поселений на юге страны вызвало восстание и подавлять его поручили А. Аракчееву, Ермолов в одном из писем признался: «Незавидное положение графа Аракчеева усмирять оружием сограждан. Я подобное дело почел бы величайшим для себя наказанием».

Во-вторых, Ермолов физически не мог привести войска в столицу. Как известно, новости доходили до Кавказа с большим опозданием, и оперативно разобраться в том, что происходит за тысячи верст, было просто невозможно. К тому же Кавказский корпус был рассредоточен на огромной территории и никогда не собирался воедино. Против горцев действовали сводные отряды, составленные из рот и батальонов различных полков, так что даже один полк в полном составе никогда не воевал. Передислокация же войск не могла бы остаться незамеченной, и Николай I успел бы принять ответные меры. Так что любая попытка Ермолова начать военные действия против императора была обречена на провал, и он это прекрасно понимал как опытный военачальник…

Впрочем, Ермолов все равно показал свой характер. Получив Манифест о восшествии на престол Николая I, он протянул с принятием присяги несколько дней, видимо, ожидая развития событий в столице. Задержка эта не прошла незамеченной, создала крайнее беспокойство во дворце и породила массу фантастических слухов типа: «Ермолов перешел со своим корпусом Кавказ и идет на присоединение к бунтовщикам». Не случайно члены царской семьи по нескольку раз в день справлялись о приезде фельдъегеря из Грузии.

О радости при дворе после получения известия о присяге корпуса Ермолова двоюродный брат Алексея Петровича Денис Давыдов вспоминал так: «Императрица перекрестилась от удовольствия».

Хотя «ермоловского следа» в заговоре против Николая I следствие так и не нашло, недоверие императора к популярному в российском обществе генералу после событий на Сенатской площади усилилось. Тем более что наместник Кавказа бесстрашно защищал своих подчиненных, подозреваемых в заговоре, давая им блестящие характеристики…

Правда гораздо любопытнее придуманного героизма. К слову, на днях в Орле вышла новая книга-альбом «Алексей Ермолов. Денис Давыдов». Она развенчивает много легенд и утвердившихся клише на основе малоизвестных документов, опровергающих многие общепринятые представления о наших удивительных земляках - двоюродных братьях А. Ермолове и Д. Давыдове.

"Мы были дети 1812 года"

"Блажен, кто посетил сей мир в его минуты роковые…"

Наполеон вторгся в Россию, идет к Москве. Через 23 года после штурма Бастилии - уже не королевская, не республиканская, но императорская армия Франции и ее союзников совершает то, чего опасалась еще Екатерина II: парижское пламя достигает российских пределов.

"Мы положили не выезжать из Москвы без крайности: не хочу служить примером робости" (Карамзин - брату).

Все же пришлось разлучиться: жена Карамзина, Екатерина Андреевна, с детьми отправляется в Ярославль; выехать не было денег, друзья выручили. История не пишется - делается.

Карамзин хочет примкнуть к ополчению, просится "во что бы то ни стало ехать в армию, чтобы видеть вблизи все ужасы и всю прелесть сражений и описать их" . Сегодня ни один литератор, пожалуй, не написал бы таких слов- "прелесть сражений", но в 1812 году еще находили эту прелесть…

Генерал-губернатор Москвы граф Ростопчин, некогда готовивший союз Павла с Наполеоном, объясняет историку, что война сама идет сюда: уговаривает Карамзина переехать нему в дом.

Согласно рассказу очевидца, 27 августа 1812 года - на другой день после Бородина и за 6 дней до оставления Москвы - кто только не заезжал к Ростопчину в Сокольники: желали узнать, как окончилось сражение? на что надеяться? Генерал-губернатор, раньше других узнавший, что Кутузов скомандовал отступление, пришел в смятение, которое передалось и другим: "Ежели падет Москва - что будет после?"

Вдруг Карамзин, вообще не любивший войны, крови, почти в пророческом экстазе, уверенно объявил, что "мы испили до дна горькую чашу - зато наступает начало его и конец наших бедствий". Он говорил столь убежденно, как будто читал будущее и (по словам очевидца) "открывал уже в дали убийственную скалу Святой Елены".

Среди смущенных, подавленных людей этот оптимизм выглядел странным, даже неоправданным - но "в Карамзине было что-то вдохновенное, увлекательное и вместе с тем отрадное. Он возвышал свой приятный, мужественный голос; прекрасные его глаза, исполненные выражением, сверкали как две звезды в тихую, ясную ночь. В жару разговора он часто вставал вдруг с места, ходил по комнате, все говоря, и опять садился. Мы слушали молча".

Ростопчин неуверенно заметил, что Бонапарт все-таки «вывернется». Карамзин отвечал доводами (как будто взятыми из будущего романа "Война и мир") - о единодушии народа, воюющего за свой дом, тогда как Наполеон за тысячи верст от своего; о сложных, необыкновенных путях исторического провидения. Историк боялся не падения Москвы (он это предвидел, по утверждению Вяземского, еще в начале кампании); он боялся одного- как бы царь не заключил мира.

Когда Карамзин вышел из комнаты, гипноз его слов рассеялся, и Ростопчин съязвил, что в этих речах "много поэтического восторга". Тем не менее слышавшие всю жизнь затем вспоминали этот эпизод, где ученый-летописец преображался в еще более древнюю фигуру пророка.

Карамзин выехал из Москвы 1 сентября, за считанные часы до вступления неприятеля. Потом - несколько очень тяжелых месяцев: историк с семьей перебирается в Нижний Новгород, снова записывается в ополчение. Однако Москва освобождена, "Наполеон бежит зайцем, пришедши тигром… Дело обошлось без меча историографического".

Вскоре выяснилось, что в пожаре, вместе с домами и людьми, погибла знаменитая библиотека графа Мусина-Пушкина, а с нею единственный экземпляр древней поэмы "Слово о полку Игореве"…

1812–1814 годы: великие сражения, последние успехи и поражения Бонапарта…

Карамзин, с его особым провидческим чутьем, скорее не разумом, а чувством угадывает внутренний нерв событий. До последних дней похода он все не уверен; разве не чудо предсказанное им после Бородина крушение завоевателя? Но не может ли все более сдавливаемая Наполеонова пружина раскрутиться обратно, поскольку теперь французы прижаты к стене?

Это сейчас, почти через два века, нам кажется все ясным - что Бонапарт был обречен, а война выиграна уже в конце 1812-го. Однако многое в этой уверенности происходит от твердого нашего знания - чем дело кончилось…

И разве не сродни этим ощущениям Карамзина «странные» соображения М. И. Кутузова, который опасался Наполеона до последнего мига и не советовал идти за ним в Европу?

Внешне неразумно - внутренне мудро: мало ли что может продумать припертый к стене гениальный полководец? Мало ли как мстит история за излишнюю самоуверенность?

Но Париж взят: салюты, ликование… Кончилась одна историческая эпоха, начинается другая. Иным кажется - вернулись давние времена, до 1789-го: ведь в Париж вошли те, кто начали еще в 1792-м борьбу с французской революцией; ведь на престоле восстановлены Бурбоны, которые "ничего не забыли и ничему не научились".

Какой же урок нужно извлечь народам, царям из случившегося? Не обязан ли историк-художник первым заметить направление времени?

Карамзину около 50 лет; но молодые ребята, которые вчера еще учились танцам и играли в республику, - где же они?

Разумеется, на войне - или всей душой стремятся туда! Подъем, воодушевление коснулось всех, - и снова проницательный Жозеф де Местр, который, как ярый враг Наполеона, должен бы радоваться, - снова он в сомнении.

"Несколько скверных анекдотов из предыдущих царствований, несколько русских, делавших долги в Париже, несколько острот Дидро поселили в голове французов мысль, что Россия состоит исключительно из испорченного двора, придворных и народа, состоящего из рабов".

Госпожа де Сталь:

"В характере русского народа - не бояться ни усталости, ни физических страданий; в этой нации совмещаются терпение и деятельность, веселость и меланхолия; в ней соединяются самые поразительные контрасты, и на этом основании ей можно предсказать великую будущность… Этот народ характеризуется чем-то гигантским во всех отношениях; обыкновенные размеры неприложимы к нему".

Правда, де Сталь убеждена, что "поэзия, красноречие и литература не встречаются еще в России", но это уже издержки слишком быстрого, поверхностного осмотра; главное все же она поняла - и, между прочим, отдала должное героям-солдатам и юным офицерам.

Матвей Иванович Муравьев-Апостол на Бородинском поле отшвыривал, как бы играя, неприятельские ядра - так представлял своего родственника другой участник сражения, бывший президент республики «Чока» Николай Муравьев. Прочитав в журнале эти строки, 92-летний Матйей Иванович вспомнил, как было на самом деле:

"26 августа 1812 года еще было темно, когда неприятельские ядра стали долетать до нас. Так началось Бородинское сражение. Гвардия стояла в резерве, но под сильными пушечными выстрелами. Правее 1-го баталиона Семеновского полка находился 2-й баталион. Петр Алексеевич Оленин, как адъютант 2-го баталиона, был перед ним верхом. В 8 час. утра ядро пролетело близ его головы; он упал с лошади, и его сочли убитым. Князь Сергей Петрович Трубецкой, ходивший к раненым на перевязку, успокоил старшего Оленина тем, что брат его только контужен и останется жив. Оленин был вне себя от радости. Офицеры собрались перед баталионом в кружок, чтобы порасспросить о контуженом. В это время неприятельский огонь усилился, и ядра начали нас бить. Тогда командир 2-го баталиона, полковник барон Максим Иванович де-Дама, скомандовал: «Г-да офицеры, по местам».

Николай Алексеевич Оленин стал у своего взвода, а граф Татищев перед ним у своего, лицом к Оленину. Они оба радовались только что сообщенному счастливому известию; в эту самую минуту ядро пробило спину графа Татищева и грудь Оленина, а унтер-офицеру оторвало ногу. Я стоял в 3-м баталионе под знаменем вместе с Иваном Дмитриевичем Якушкиным и, конечно, не смел отлучиться со своего места; следовательно, ядрами играть не мог".

Трубецкой, Муравьев, Якушкин: будущие декабристы…

Когда в Семеновский полк были присланы Бородинские награды, командование попросило солдат проголосовать за достойных офицеров, и 19-летний Матвей Иванович Муравьев-Апостол получит военный орден "по большинству голосов от нижних чинов седьмой роты полка".

Сергею же в ту пору нет и семнадцати. Во время Бородина его держат при главной квартире армии. Возможно, сам Кутузов бережет юного сына столь знаменитого отца. Ведь узнал главнокомандующий и тем самым спас от расправы внезапно появившегося в армии мальчика, которого приняли за французского шпиона, а это был удравший из дому Никитушка Муравьев (тот, кто сомневался, - танцевал ли Катон?).

После освобождения Москвы самых молодых офицеров возвращают доучиваться в Петербург, но Сергей Муравьев-Апостол, к тому времени уже 17-летний, использует родственные связи и остается в строю. После сражения при Красном получает золотую шпагу с надписью: "За храбрость". К концу года он уже поручик и получает орден… Русская армия наступает.

Смерть - рядом с веселыми голодными юношами: она зацепляет Матвея в знаменитом Кульмском сражении и целится в Сергея, выходящего на "битву народов".

"Под Лейпцигом Сергей дрался со своим батальоном, и такого еще не видел, но остался цел и невредим, хотя с полудня до ночи четвертого октября находился под обстрелом, и даже старые воины говорят, что не припомнят подобного огня".

Но все обошлось, братья вместе, "в прекрасной Готе, и сегодня город даст бал, который мы навсегда запомним, и впереди движение к Рейну и сладостное возвращение".

Матвей Иванович - 60 лет спустя:

"Каждый раз, когда я ухожу от настоящего, возвращаюсь к прошедшему, я нахожу в нем значительно больше теплоты. Разница в обоих моментах выражается одним словом: любили . Мы были дети 1812 года. Принести в жертву все, даже самую жизнь, ради любви к отечеству, было сердечным побуждением. Наши чувства были чужды эгоизма. Бог свидетель тому…"

Если есть эпохи детские и старческие, так это была - юная. Пушкин скажет: "Время славы и восторгов".

С марта 1814 года братья в Париже, проделав боем и пешком ту дорогу, по которой в обратном направлении ехали с Анной Семеновной пять лет назад. Наверное, бегали на свидание с детством - пансион Хикса, старый дом, опера, посольство…

В конце марта 1814-го в Париже собралась едва ли не половина будущих революционеров-декабристов - от прапорщика Матвея Муравьева-Апостола до генерал-майоров Орлова и Волконского; одних Муравьевых - шесть человек, тут же их кузен Лунин… Первый съезд первых революционеров задолго до того, как они стали таковыми.

Но пора домой - к отцу, сестрам, восьмилетнему Ипполиту, который уже давно играет в старших братьев.

Сергей с гренадерским корпусом опять шагает через всю Францию и Германию, в четвертый и последний раз в жизни. Матвей же, с гвардией, "от Парижа через Нормандию до города Шербурга, откуда на российской эскадре - домой"…

"Из Франции в 1814-м году мы возвратились морем в Россию… Во время молебствия полиция нещадно била народ, пытавшийся приблизиться к выстроенному войску. Это произвело на нас первое неблагоприятное впечатление по возвращении в отечество… Наконец показался император, предводительствующий гвардейской дивизией, на славном рыжем коне, с обнаженной шпагой, которую он уже готов был опустить перед императрицей. Мы им любовались; но в самую эту минуту почти перед его лошадью перебежал через улицу мужик. Император дал шпоры своей лошади и бросился на бегущего с обнаженной шпагой. Полиция приняла мужика в палки. Мы не верили собственным глазам и отвернулись, стыдясь за любимого нами царя. Это было во мне первое разочарование на его счет; невольно вспомнил я о кошке, обращенной в красавицу, которая, однако ж, не могла видеть мыши, не бросившись на нее".

Эту сцену, описанную будущим революционером, а в ту пору юным офицером Иваном Якушкиным, видел другой семеновский офицер - Матвей Муравьев-Апостол.

"За военные два года, - заметит Якушкин, - каждый из нас сколько-нибудь вырос".

Вчерашние крепостные, переименованные в российских солдат, во главе с офицерами-помещиками только что прошагали по дорогам Европы, освобождая края, уже начинающие забывать о рабстве.

Война закончилась в стране, где и прежний правитель, Наполеон, и нынешний - Людовик не тронули крестьянской земли и свободы, завоеванных в 1789–1794 годах.

Возвращающимся же победителям перед родными границами не нужно объяснять: "В России найдете рабов!.."

"Мы были дети 1812 года": никто не сказал - дети 1789-го; можно было бы, имея в виду сцепление событий, полушутя, полусерьезно, порассуждать о "внуках 1789-го", - но это заведет далеко. России и без того хватало парадоксов.

Из книги Генеральская мафия - от Кутузова до Жукова автора Мухин Юрий Игнатьевич

Стратегия войны 1812 года Считается, что Кутузов заманил Наполеона в глубь России, но на самом деле Кутузов к этому плану вряд ли имеет хоть какое-то отношение.Напомню, что стратегия - это замысел того, как выиграть всю войну. В начале 1812 г. военный министр России Барклай де

Из книги Генеральская мафия - от Кутузова до Жукова автора Мухин Юрий Игнатьевич

По примеру войны 1812 года Я так думаю вот почему. Немцы в своих работах отмечают, что после поражения Красной Армии под Харьковом характер последующих боев резко изменился, а ни один наш военачальник в своих мемуарах этого изменения не отмечает! То есть изменение характера

Из книги США: История страны автора Макинерни Дэниел

Война 1812 года Под действием воинственных настроений, охвативших все штаты, 1 июня 1812 года президент Мэдисон сделал заявление, в котором обвинял Британскую империю во враждебных нападениях на суше и на море. И хотя 16 июня того же года Британия отменила коммерческие

автора Бегунова Алла Игоревна

Кобрин 15 июля 1812 года Это была первая победа, одержанная русскими войсками со времени вторжения армии Наполеона в пределы России. Кобрин, небольшой городок Гродненской губернии, стоящий на реке Мухавце, недалеко от русско-польской границы, к этому времени был занят

Из книги Повседневная жизнь русского гусара в царствование императора Александра I автора Бегунова Алла Игоревна

Бородино 26 августа 1812 года В грандиозной битве у села Бородино участвовали большие силы кавалерии: у русских - 164 эскадрона (около 17 500 всадников) и 7 тысяч казаков; у французов - 294 эскадрона (около 28 тысяч всадников). Обер-офицер Ахтырского гусарского полка, 1815 год.

Из книги Оружие великих держав [От копья до атомной бомбы] автора Коггинс Джек

ВОЙНА 1812 ГОДА Самые большие опасения армии стали реальностью в ходе войны 1812 года . Милиционная система показала всю свою искусственность, став ловушкой и фикцией. Некоторые штаты почти не ответили на призыв собрать ополчение, тогда как губернаторы Коннектикута и

Из книги Мифы и правда о восстании декабристов автора

2. Эхо грозы 1812 года. 1812 год вознес подлинных героев: «Война упорная требовала людей отважных и решительных, тяжкая трудами - людей, исполненных доброй воли», - писал А.П. Ермолов - едва ли не самый квалифицированный из русских полководцев того времени и сам храбрейший

Из книги Отечественная война 1812 г. Сборник документов и материалов автора Тарле Евгений Викторович

Отечественная война 1812 года История показывает, что непобедимых нет и не бывало. Армию Наполеона считали непобедимой, но она была разбита попеременно русскими, английскими, немецкими войсками. Немецкую армию Вильгельма в период Первой империалистической войны тоже

Из книги Московские загадки автора Молева Нина Михайловна

Герой 1812 года От вас отторгнутый судьбою, Один средь родины моей, Один – с стесненною душою Скитаться буду меж людей. Н.Н. Оржицкий. Прощание гусара. 1819 Это был один из тех браков, которые так любили устраивать при дворе обязательно с участием царствующих особ. Деньги к

Из книги Московские слова, словечки и крылатые выражения автора Муравьев Владимир Брониславович

«Гроза двенадцатого года» (Пословицы и поговорки об Отечественной войне 1812 года) Все этапы и события Отечественной войны 1812 года нашли свое отражение в русских пословицах и поговорках. Но особенно народная память выделяет события, непосредственно связанные с Москвой:

Из книги Гитлеровская Европа против СССР. Неизвестная история Второй Мировой автора Шумейко Игорь Николаевич

«ИНСТИНКТ 1812 ГОДА» И 1812 год, и 1941 -1943 годы - примеры действия этого объединяющего страну инстинкта.Второму, инстинкту роста, трудно подобрать определенное имя, но можно предложить образ: ребенок спит 23 часа в сутки и растет, растет. Большая часть сил идет на рост. И

Из книги Трагедия России. Цареубийство 1 марта 1881 г. автора Брюханов Владимир Андреевич

1.6. Эхо грозы 1812 года 1812 год перевернул все российские и европейские реалии.Спустя четверть века один из доморощенных экономистов и публицистов, Р.М. Зотов, писал: «1812-й год подобно сильной грозе очистил Русский воздух, зараженный унизительным пристрастием ко всему

Из книги Русские и шведы от Рюрика до Ленина. Контакты и конфликты автора Коваленко Геннадий Михайлович

Союз 1812 года Начиная войну с Россией, Наполеон рассчитывал на ее полную изоляцию. Но русской дипломатии удалось сорвать эти планы французского императора. Подписание Бухарестского договора с Турцией освободило для борьбы с Наполеоном всю Дунайскую армию, а заключение

Из книги Полководцы 1812 года, книга 2 автора Копылов Н. А.

Победа 1812 года Но центральным событием царствования Александра I была, конечно, Отечественная война 1812 г. и последовавшие за ней заграничные походы русской армии.Грядущая непримиримая и ожесточенная борьба с новоявленным покорителем мира, хорошо осознавались царем за

Из книги Московские французы в 1812 году. От московского пожара до Березины автора Аскиноф Софи

Травма 1812 года Энтузиазм Ж. Лекуэнта де Лаво, конечно, не мог скрыть последствия 1812 года. Не все после этого испытания поднялись так быстро, как можно было подумать. Некоторые русские и французы, разоренные и уже немолодые, так никогда и не выбрались из бедности. Они

Из книги Отечественная война 1812 года автора Яковлев Александр Иванович

Нашествие 1812 года Подвиг солдат генерала Раевского под Салтановкой. Художник Н. Самокиш.

Площадь квадратного участка земли равна 81 дм². Найти его сторону. Предположим, что длина стороны квадрата равна х дециметрам. Тогда площадь участка равна х ² квадратным дециметрам. Так как по условию эта площадь равна 81 дм², то х ² = 81. Длина стороны квадрата — положительное число. Положительным числом, квадрат которого равен 81, является число 9. При решении задачи требовалось найти число х, квадрат которого равен 81, т. е. решить уравнение х ² = 81. Это уравнение имеет два корня: x 1 = 9 и x 2 = — 9, так как 9² = 81 и (- 9)² = 81. Оба числа 9 и — 9 называют квадратными корнями из числа 81.

Заметим, что один из квадратных корней х = 9 является положительным числом. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81 и обозначают √81, таким образом √81 = 9.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а .

Например, числа 6 и — 6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36, так как 6 — неотрицательное число и 6² = 36. Число — 6 не является арифметическим корнем.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √а.

Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а — называется подкоренным выражением. Выражение √а читается так: арифметический квадратный корень из числа а. Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят: «корень квадратный из а «.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Это действие является обратным к возведению в квадрат.

Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратные корни можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа — 4. Если бы такой корень существовал, то, обозначив его буквой х , мы получили бы неверное равенство х² = — 4, так как слева стоит неотрицательное число, а справа отрицательное.

Выражение √а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √а ≥ 0, (√а )² = а . Равенство (√а )² = а справедливо при а ≥ 0. Таким образом, чтобы убедиться в том, что квадратный корень из неотрицательного числа а равен b , т. е. в том, что √а =b , нужно проверить, что выполняются следующие два условия: b ≥ 0, b ² = а.

Квадратный корень из дроби

Вычислим . Заметим, что √25 = 5, √36 = 6, и проверим выполняется ли равенство .

Так как и , то равенство верно. Итак, .

Теорема: Если а ≥ 0 и b > 0, то т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Требуется доказать, что: и .

Так как √а ≥0 и √b > 0, то .

По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня теорема доказана. Рассмотрим несколько примеров.

Вычислить , по доказанной теореме .

Второй пример: Доказать, что , если а ≤ 0, b < 0. .

Еще примерчик: Вычислить .

.

Преобразование квадратных корней

Вынесение множителя из-под знака корня. Пусть дано выражение . Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то по теореме о корне из произведения можно записать:

Такое преобразование называется вынесение множителя из под знака корня. Рассмотрим пример;

Вычислить при х = 2. Непосредственная подстановка х = 2 в подкоренное выражение приводит к сложным вычислениям. Эти вычисления можно упростить, если вначале вынести из-под знака корня множители: . Подставив теперь х = 2, получим:.

Итак, при вынесении множителя из-под знака корня представляют подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются квадратами неотрицательных чисел. Затем применяют теорему о корне из произведения и извлекают корень из каждого множителя. Рассмотрим пример: Упростить выражение А = √8 + √18 — 4√2 вынося в первых двух слагаемых множители из-под знака корня, получим:. Подчеркнем, что равенство справедливо только при а ≥ 0 и b ≥ 0. если же а < 0, то .

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\) , \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) .
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\) . Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) , а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\) ! Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\) , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\) . Таким образом, так как \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\) ?
Так как \(\sqrt{49}=7\) , \(\sqrt{64}=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.