Задание 371 – 380 . Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение . Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):
0, x ≤ -1

1, x ≥ 1
Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
f(x) = dF(x)/dx = 1 / 2
Математическое ожидание .


Дисперсия .


= 1 / 6 1 3 - (1 / 6 (-1) 3) - (0) 2 = 1 / 3
Среднеквадратическое отклонение .

Задание 391 – 400 . Расчетное задание включает предварительную обработку статистики, построение линейной регрессионной модели:

  1. Найти объем выборок, относительные частоты и накопленные относительные частоты. Если случайная величина (СВ) задана интервалами, то определить середины интервалов.
  2. Построить полигон частот, гистограмму для СВ.
  3. Найти эмпирическую функцию распределения, построить график.
  4. Определить числовые оценки параметров распределения.
Решение . Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
X / Y 78 85 92 99 106 113 120 127 134
1.19 0 0 0 0 1 0 4 2 3
1.26 0 0 0 0 0 2 3 4 0
1.33 0 0 2 2 1 3 1 2 1
1.4 0 0 0 2 5 2 4 1 1
1.47 0 0 0 4 10 3 0 1 0
1.54 0 0 2 4 3 3 2 0 0
1.61 0 3 2 2 3 0 1 0 0
1.68 3 2 1 0 1 1 0 0 0
1.75 0 1 2 0 0 0 0 0 0

Приведем к относительным частотам.

X / Y 78 85 92 99 106 113 120 127 134
1.19 0 0 0 0 0.01 0 0.04 0.02 0.03
1.26 0 0 0 0 0 0.02 0.03 0.04 0
1.33 0 0 0.02 0.02 0.01 0.03 0.01 0.02 0.01
1.4 0 0 0 0.02 0.05 0.02 0.04 0.01 0.01
1.47 0 0 0 0.04 0.1 0.03 0 0.01 0
1.54 0 0 0.02 0.04 0.03 0.03 0.02 0 0
1.61 0 0.03 0.02 0.02 0.03 0 0.01 0 0
1.68 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.01 0 0 0
1.75 0 0.01 0.02 0 0 0 0 0 0

События (X=x i , Y=y j) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей p ij (i=1,2...,n, j=1,2..,m ), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y .
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi ,yj ) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X 1.19 1.26 1.33 1.4 1.47 1.54 1.61 1.68 1.75
P 0.1 0.09 0.12 0.15 0.18 0.14 0.11 0.08 0.03 ∑P i = 1

Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1.185*0.1 + 1.255*0.09 + 1.325*0.12 + 1.395*0.15 + 1.465*0.18 + 1.535*0.14 + 1.605*0.11 + 1.675*0.08 + 1.745*0.03 = 1.44
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1.185 2 *0.1 + 1.255 2 *0.09 + 1.325 2 *0.12 + 1.395 2 *0.15 + 1.465 2 *0.18 + 1.535 2 *0.14 + 1.605 2 *0.11 + 1.675 2 *0.08 + 1.745 2 *0.03 - 1.44 2 = 0.0231
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .

Пользуясь формулой ∑P(xi ,yj ) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y 78 85 92 99 106 113 120 127 134
P 0.03 0.06 0.09 0.14 0.24 0.14 0.15 0.1 0.05 ∑P i = 1

Математическое ожидание M[Y] .
M[y] = 78*0.03 + 85*0.06 + 92*0.09 + 99*0.14 + 106*0.24 + 113*0.14 + 120*0.15 + 127*0.1 + 134*0.05 = 108.24
Дисперсия D[Y] .
D[Y] = 78 2 *0.03 + 85 2 *0.06 + 92 2 *0.09 + 99 2 *0.14 + 106 2 *0.24 + 113 2 *0.14 + 120 2 *0.15 + 127 2 *0.1 + 134 2 *0.05 - 108.24 2 = 189.02
Среднее квадратическое отклонение σ(y) .

Поскольку, P(X=1.185,Y=78) = 0≠0.1 0.03, то случайные величины X и Y зависимы .

Представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде .

Ряд распределния является одним из видов группировок.

Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

  • Атрибутивными — называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.
  • Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными .
Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.
Во втором столбце содержится количество конкретных вариант , выраженное через частоты или частости:

Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости () — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Графическое изображение рядов распределения

Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:
  • Полигона
  • Гистограммы
  • Кумуляты
  • Огивы

Полигон

При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.

Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.

6.1. Распределение домохозяйств по размеру

Условие : Приводятся данные о распределении 25 работников одного из предприятий по тарифным разрядам:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Задача : Построить дискретный вариационный ряд и изобразить его графически в виде полигона распределения.
Решение :
В данном примере вариантами является тарифный разряд работника. Для определения частот необходимо рассчитать число работников, имеющих соответствующий тарифный разряд.

Полигон используется для дискретных вариационных рядов.

Для построения полигона распределения (рис 1) по оси абсцисс (X) откладываем количественные значения варьирующего признака — варианты, а по оси ординат — частоты или частости.

Если значения признака выражены в виде интервалов, то такой ряд называется интервальным.
Интервальные ряды распределения изображают графически в виде гистограммы, кумуляты или огивы.

Статистическая таблица

Условие : Приведены данные о размерах вкладов 20 физических лиц в одном банке (тыс.руб) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Задача : Построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами.
Решение :

  1. Исходная совокупность состоит из 20 единиц (N = 20).
  2. По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322*lg20=5
  3. Вычислим величину равного интервала: i=(152 — 2) /5 = 30 тыс.руб
  4. Расчленим исходную совокупность на 5 групп с величиной интервала в 30 тыс.руб.
  5. Результаты группировки представим в таблице:

При такой записи непрерывного признака, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.

Гистограмма

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Рис. 6.2. Распределение населения России по возрастным группам

Условие : Приводится распределение 30 работников фирмы по размеру месячной заработной платы

Задача : Изобразить интервальный вариационный ряд графически в виде гистограммы и кумуляты.
Решение :

  1. Неизвестная граница открытого (первого) интервала определяется по величине второго интервала: 7000 — 5000 = 2000 руб. С той же величиной находим нижнюю границу первого интервала: 5000 — 2000 = 3000 руб.
  2. Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем отрезки, величины которых соответствуют интервалам варицонного ряда.
    Эти отрезки служат нижним основанием, а соответствующая частота (частость) — высотой образуемых прямоугольников.
  3. Построим гистограмму:

Для построения кумуляты необходимо рассчитать накопленные частоты (частости). Они определяются путем последовательного суммирования частот (частостей) предшествующих интервалов и обозначаются S. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое.

Кумулята

Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Кумулята распределения домохозяйств по размеру

4. Рассчитаем накопленные частоты:
Наколенная частота первого интервала рассчитывается следующим образом: 0 + 4 = 4, для второго: 4 + 12 = 16; для третьего: 4 + 12 + 8 = 24 и т.д.

При построении кумуляты накопленная частота (частость) соответствующего интервала присваивается его верхней границе:

Огива

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.

Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат — накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.

Равномерному распределению признака соответствует на графике диагональ квадрата (рис. 6.4). При неравномерном распределении график представляет собой вогнутую кривую в зависимости от уровня концентрации признака.

6.4. Кривая концентрации

Решение.

Строим точки основываясь на данных из таблицы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. Обратите внимание на точки (0; 0) и (13; 0), расположенные на оси абсцисс и имеющие своими абсциссами числа, на 1 меньшее и большее, чем соответственно абсциссы самой левой и самой правой точек. Полигон частот изображен на рисунке.

Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов. Крайние левую и правую точки соединяют с точками оси абсцисс - серединами ближайших интервалов, частоты которых равны нулю. Конечно, в этом случае полигон лишь приближенно отображает зависимость частот от значений аргумента.

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

Пример построения кумуляты

По данным таблицы составить кумулятивный вариационный ряд, для которого построить кумуляту.

Решение.

Cоставим кумулятивный вариационный ряд (см. таблицу ниже), для которого построим кумуляту.

Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны частотам (или относительным частотам).

Если интервалы неравные, то на оси ординат следует откладывать в произвольно выбранном масштабе значения плотности распределения (абсолютной или относительной). Таким образом, высоты прямоугольников, которые мы строим, должны равняться плотностям соответствующих интервалов.



При графическом изображении вариационного ряда с помощью гистограммы плотность изображается так, как если бы она оставалась постоянной внутри каждого интервала. На самом деле, как правило, это не так. Если построить распределение по частям интервалов, то можно убедиться в том, что плотность распределения на различных участках интервала не остается постоянной. Плотность, полученная ранее, представляла лишь некоторую среднюю плотность. Итак, гистограмма изображает не фактическое изменение плотности распределения, а лишь средние плотности распределения на каждом интервале.

Если построена гистограмма интервального распределения, то полигон того же распределения можно получить, если соединить прямолинейными отрезками середины верхних оснований прямоугольников.

Пример построения гистограммы

По результатам тестирования по математике учащихся 7-го класса получены данные о доступности заданий теста (отношение числа учащихся, правильно выполнивших задания, к числу тестировавшихся учащихся), предствленные ниже, в таблице.
Тест содержал 25 заданий. Построить гистограмму.

Решение.

Откладываем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. На них, как на основаниях, строим прямоугольники, высоты которых соответственно равны 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Полученная ступенчатая фигура и является искомой гистограммой.

Пример построения гистограммы

Данные, приведенные в предыдущем примере представим более подробно (см. таблицу ниже.). Построить гистограмму.

26. Понятие выборки. Вариационный ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения. Гистограмма.

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются:

Определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

Разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описыва­ется случайной величиной X .

Рассмотрим выборку {х 1 ,х 2 ,...,х п } объема п из генеральной совокупности. этой выбор­ки представляют собой значения случайной величины X .

На первом этапе статистической обработки производят ран­жирование выборки, т.е. упорядочивание чисел х 1 ,х 2 ,...,х п по возрастанию.

Различные элементы выборки называются вариантами.

Час­тотой варианты называется число , показывающее, сколь­ко раз эта варианта встречается в выборке.

Частостью, относи­тельной частотой или долей варианты называется число

(1.1)

Частоты и частости называются весами .

Пусть х некоторое число. Тогда количество вариант , значе­ния которых меньше х, называется накопленной частотой, т.е.

(1.2)

Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений п называетсянакопленной частостью:

Ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их зна­чений, с соответствующими им весами называется вариацион­ным рядом.

Вариационные ряды бывают:

Дискретные;

Интер­вальные.

Вариационный ряд называется дискретным , если он представляет собой выборку значений дискретной случайной ве­личины.

Ряд называется непрерывным (интервальным) , если он представляет выборку непрерывной случайной величины.

Общий вид дискретного вариационного ряда:

Варианты

Частоты

Интер­вальный ряд можно представить таблицей:

Варианты

Частоты

Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xiоткладываются на оси абсцисс, а ni– на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относительные (wi) частоты, то получим полигон относительных частот.

По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x.

Определение 15.1 . Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

где nх – число вариант, меньших х, n – объем выборки.

Замечание . В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

1) 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2) F*(x) – неубывающая функция.

3) Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х1; если хк – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > хк.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма , то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной ni /h (гистограмма частот) или wi /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице.

Пример решения задачи

Условие задачи

Выборка из генеральной совокупности случайной величины X задана интервальным вариационным рядом.

Требуется:

Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (в часах).

Стойкость сверла, 3 - 3.2 3.2 - 3.4 3.4 - 3.6 3.6 -3.8 3.8 -4 Частота, 16 50 70 44 20

Решение задачи

Построение гистограммы и полигона относительных частот

Построим гистограмму относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной , а высоты равны . На том же графике строим полигон – ломанную, соединяющую точки

3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого 0.08 0.25 0.35 0.22 0.1 1

По виду полигона и гистограммы можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

Расчет среднего, дисперсии, исправленного среднего квадратического отклонения

Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу. В качестве величины х возьмем середины интервалов.

3.1 3.3 3.5 3.7 3.9 Итого 16 50 70 44 20 200 49.6 165 245 162.8 78 700.4 153.76 544.5 857.5 602.36 304.2 2462.32

Выборочная средняя:

Средняя квадратов:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

Плотность вероятности и функция распределения

Плотность вероятности случайной величины , распределенной по нормальному закону, имеет вид:

Теоретическая плотность вероятности:

Функция распределения для СВ , распределенной по нормальному закону, записывается следующим образом

Теоретическая функция распределения:

Доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания . Он считается по формуле:

Следовательно,

Найдем доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения. Он считается по формуле:

где находим по таблице

Следовательно,

Вычисление теоретических частот

Вычислим теоретические частоты. Для этого пронормируем , то есть перейдем к случайной величине , которую можно вычислить по формуле:

Вероятность попадания в соответствующий интервал:

Где - функция Лапласа

Где -объем выборки

Это расчет теоретических частот нормального распределения. На другой странице раздела есть похожая задача на вычисление теоретических частот и проверку гипотезы о распределении по закону Пуассона .

Составим расчетную таблицу:

Интервалы 3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого -1.384 -0.468 0.449 1.366 -1.384 -0.468 0.449 1.366 -0.5 -0.417 -0.18 0.173 0.414 -0.417 -0.18 0.173 0.414 0.5 0.083 0.237 0.353 0.241 0.086 1 16.627 47.384 70.66 48.133 17.196 200

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

16.627 47.384 70.66 48.133 17.196 0.024 0.144 0.006 0.355 0.457 0.986

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.