Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:
Определение 1
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Пример 1
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 - 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Определение 2
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Пример 2
Например, у нас есть уравнение x - 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 - 6 = 10 . Равенство 16 - 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Определение 3
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Пример 3
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 - x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 - 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 - 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Определение 4
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c: a = b , c: b = c и наоборот.
Пример 4
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:
x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Определение 5
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Пример 5
Решим с его помощью уравнение x: 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x: 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Определение 6
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Пример 6
Возьмем простой пример – уравнение 21: x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21: x = 3 , x = 21: 3 , x = 7 .
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21: 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0: x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5: x = 0 , которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
Пример 7
У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2 · x − 7) : 3 − 5 = 2:
(2 · x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 · x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 · x − 7) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28: 2 , x = 14 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тема: Уравнение. Решение уравнений на основе взаимосвязи действий сложения и вычитания. Неизвестное слагаемое.
Цель урока: формировать умение решать уравнения с неизвестным слагаемым на основе взаимосвязи действий сложения и вычитания; развитие умений складывать и вычитать десятки; повторение знаний о геометрических фигурах; воспитание интереса к математике.
Ход урока
1. Организационный момент
2.Актуализация опорных знаний, умений и навыков.
1.Игра «Покажи знак». Учитель читает задачи:
Я купил 10 конвертов без марок. На 4 конверта я наклеил марки. Сколько конвертов осталось без марок?
В альбоме 8 цветных фотографий, а черно-белых - на 3 меньше. Сколько черно-белых фотографий в альбоме?
Набрали 7 банок малины и 3 банки смородины. Сколько всего банок с ягодами набрали?
В букете 5 желтых и 8 белых гвоздик. На сколько меньше желтых гвоздик?
В коробке 8 пирожных. Сколько пирожных надо взять из коробки, чтобы в ней осталось 5 пирожных?
С катка ушли 4 мальчика, остальные 6 продолжали кататься. Сколько мальчиков было на катке сначала?
2.На карточках найти среди записей уравнения и подчеркнуть их одной чертой (по линейке). На карточках запись.
4 + 5 = 9 7 – а = 3 6 + b х 4 4 + у = 6
3.Найди решение каждого уравнения. Запиши.
7 + х = 9 8 – y = 2 3 + a = 9
3.Изучение нового материала.
П одготовки к восприятию нового материала учитель
Составьте четверки примеров.
50 + 40 = 90 90 - 40 = 50
40 + 50 = 90 90 - 50 = 40
Затем решить уравнения.
50 + х = 90 х + 40 = 90
Х=90 – 50 х= 90 - 40
Х=40 х=50_____
50+40=90 50+40=90
Корень уравнения можно подобрать, а можно использовать знания о взаимосвязи сложения и вычитания. Решение уравнения обязательно нужно проверять. Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.
4. Закрепление
З адание 2 в тетрадях. Решете уравнения и сделайте проверку.
Задание 4 с 187. какие фигуры вы видите на рисунке? Какие пересекаются?
5.Работа в тетради. С 23
Задание 3. решение задачи с комментированием с места
6. Работа по методической теме. направлено на развитие логического мышления. Научить строить логические высказывания.
Задание 4 с 24
Задание5 . с 187. Какой подарок тяжелее? Какой легче?
7. Домашнее задание с 23 з 1 8. Итог урока
§ 1 Как найти неизвестное слагаемое
Как найти корень уравнения, если неизвестно одно из слагаемых? В этом уроке рассмотрим метод решения уравнений на основе связи между слагаемыми и значением суммы.
Давайте решим такую задачу.
На клумбе росло 6 красных тюльпанов и 3 желтых. Сколько всего тюльпанов росло на клумбе? Запишем решение. Итак, росло 6 красных и 3 желтых тюльпана, следовательно, мы можем записать выражение 6+3, выполнив сложение, получим результат - на клумбе росло 9 тюльпанов.
Запишем решение. Итак, росло 6 красных и 3 желтых тюльпана, следовательно, мы можем записать выражение 6+3, выполнив сложение, получим результат - на клумбе росло 9 тюльпанов. 6 + 3 = 9.
Давайте изменим условие задачи. На клумбе росло 9 тюльпанов, 6 сорвали. Сколько тюльпанов осталось?
Чтобы узнать, сколько тюльпанов осталось на клумбе, необходимо из общего количества тюльпанов 9 вычесть сорванные цветы, их 6.
Произведем вычисления: 9-6 получим результат 3. На клумбе осталось 3 тюльпана.
Снова преобразуем эту задачу. Росло 9 тюльпанов, 3 сорвали. Сколько тюльпанов осталось?
Решение будет выглядеть так: из общего количества тюльпанов 9 необходимо вычесть сорванные цветы, их 3. Осталось 6 тюльпанов.
Давайте внимательно рассмотрим равенства и постараемся выяснить, каким образом они связаны между собой.
Как можно заметить, в этих равенствах записаны одни и те же числа и взаимообратные действия: сложение и вычитание.
Вернемся к решению первой задачи и рассмотрим выражение 6 + 3 = 9.
Давайте вспомним, как называются числа при сложении:
6 - это первое слагаемое
3 - второе слагаемое
9 - значение суммы
А теперь подумаем, как мы получили разности 9 - 6 = 3 и 9 - 3 = 6?
В равенстве 9 - 6 = 3 из значения суммы9 вычли первое слагаемое6, получили второе слагаемое3.
В равенстве 9 - 3 = 6 из значения суммы9 вычли второе слагаемое3, получили первое слагаемое6.
Следовательно, если из значения суммы вычесть первое слагаемое, то получится второе слагаемое, а если из значения суммы вычесть второе слагаемое, то получится первое слагаемое.
Сформулируем общее правило:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.
§ 2 Примеры решения уравнений с неизвестным слагаемым
Давайте рассмотрим уравнения с неизвестными слагаемыми и попробуем с помощью этого правила найти корни.
Решим уравнение Х + 5 = 7.
В этом уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы его найти, воспользуемся правилом: чтобы найти неизвестное первое слагаемое X, необходимо из значения суммы 7 вычесть второе слагаемое 5.
Значит, Х = 7 - 5,
найдем разность 7 - 5 = 2 , Х = 2.
Проверим, правильно ли мы нашли корень уравнения. Для осуществления проверки необходимо подставить в уравнение вместо Х число 2:
7 = 7 - получили верное равенство. Делаем вывод: число 2 является корнем уравнения Х+5=7.
Решим еще одно уравнение 8 + У =17.
В этом уравнении неизвестно второе слагаемое.
Чтобы его найти, необходимо из значения суммы 17 вычесть первое слагаемое 8.
Сделаем проверку: подставим вместо У число 9. Получим:
17 = 17 - получили верное равенство.
Следовательно, число 9 является корнем уравнения 8 + У = 17.
Итак, на уроке мы познакомились с методом решения уравнений на основе связи между слагаемыми и значением суммы. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.
Список использованной литературы:
- И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская, С.Н. Кормишина. Математика: Учебник для 2 класса: В 2ч. - Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2012.
- Аргинская И.И. Сборник заданий по математике для самостоятельных, проверочных и контрольных работ в начальной школе. - Самара: Корпорация «Федоров», Издательство «Учебная литература», 2006.
Использованные изображения:
Долгий путь наработки навыков решения уравнений начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых находится сумма, разность, произведение или частное двух чисел, одно из которых неизвестно, а в правой части стоит число. То есть, эти уравнения содержат неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.
Здесь мы приведем правила, позволяющие находить неизвестное слагаемое, множитель и т.п. Причем будем сразу рассматривать применение этих правил на практике, решая характерные уравнения.
Навигация по странице.
Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5 , получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.
Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?
Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Для примера рассмотрим уравнение x−2=5 . Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2 , имеем 5+2=7 . Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.
Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5
,
x=5+2
,
x=7
.
Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5 . Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.
Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность .
Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4 , имеем 9−4=5 . Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.
Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4
,
x=9−4
,
x=5
.
Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5 , при этом получаем числовое равенство 9−5=4 . Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.
И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо…
Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6 . В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .
В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c , в котором a≠0 и b≠0 следует, что c:a=b и c:b=c , и обратно.
Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12 . Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3 . Проведем : 12:3=4 . Таким образом, неизвестный множитель равен 4 .
Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12
,
x=12:3
,
x=4
.
Желательно еще сделать проверку результата: подставляем в исходное уравнение вместо буквы найденное значение, получаем 4·3=12 – верное числовое равенство, поэтому мы верно нашли значение неизвестного множителя.
И еще один момент: действуя по изученному правилу, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на отличный от нуля известный множитель. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же отличное от нуля число, это не влияет на корни уравнения.
Как найти неизвестное делимое, делитель?
В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестное делимое при известном делителе и частном, а также как найти неизвестный делитель при известном делимом и частном. Ответить на эти вопросы позволяет уже упомянутая в предыдущем пункте связь между умножением и делением.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x:5=9 . Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5 , то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45 . Таким образом, искомое делимое равно 45 .
Покажем краткую запись решения:
x:5=9
,
x=9·5
,
x=45
.
Проверка подтверждает, что значение неизвестного делимого найдено верно. Действительно, при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 оно обращается в верное числовое равенство 45:5=9 .
Заметим, что разобранное правило можно трактовать как умножение обеих частей уравнения на известный делитель. Такое преобразование не влияет на корни уравнения.
Переходим к правилу нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное .
Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18:x=3 . Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3 , имеем 18:3=6 . Таким образом, искомый делитель равен шести.
Решение можно оформить и так:
18:x=3
,
x=18:3
,
x=6
.
Проверим этот результат для надежности: 18:6=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.
Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0:x=0 , то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5:x=0 , оно не имеет решений.
Совместное использование правил
Последовательное применение правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя позволяет решать и уравнения с единственной переменной более сложного вида. Разберемся с этим на примере.
Рассмотрим уравнение 3·x+1=7 . Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x , для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1 , получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6 . Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3 , имеем x=6:3 , откуда x=2 . Так найден корень исходного уравнения.
Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2
.
(2·x−7):3−5=2
,
(2·x−7):3=2+5
,
(2·x−7):3=7
,
2·x−7=7·3
,
2·x−7=21
,
2·x=21+7
,
2·x=28
,
x=28:2
,
x=14
.
Список литературы.
- Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.].- 8-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 112 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
