Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares ) - один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

Сущность МНК

Пусть задана некоторая (параметрическая) модель вероятностной (регрессионной) зависимости между (объясняемой) переменной y и множеством факторов (объясняющих переменных) x

где - вектор неизвестных параметров модели

- случайная ошибка модели.

Пусть также имеются выборочные наблюдения значений указанных переменных. Пусть - номер наблюдения (). Тогда - значения переменных в -м наблюдении. Тогда при заданных значениях параметров b можно рассчитать теоретические (модельные) значения объясняемой переменной y:

Величина остатков зависит от значений параметров b.

Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры b, при которых сумма квадратов остатков (англ. Residual Sum of Squares ) будет минимальной:

В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном МНК (NLS или NLLS - англ. Non-Linear Least Squares ). Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции , продифференцировав её по неизвестным параметрам b, приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений:

Если случайные ошибки модели имеют нормальное распределение , имеют одинаковую дисперсию и некоррелированы между собой, МНК-оценки параметров совпадают с оценками метода максимального правдоподобия (ММП) .

МНК в случае линейной модели

Пусть регрессионная зависимость является линейной:

Пусть y - вектор-столбец наблюдений объясняемой переменной, а - матрица наблюдений факторов (строки матрицы - векторы значений факторов в данном наблюдении, по столбцам - вектор значений данного фактора во всех наблюдениях). Матричное представление линейной модели имеет вид:

Тогда вектор оценок объясняемой переменной и вектор остатков регрессии будут равны

соответственно сумма квадратов остатков регрессии будет равна

Дифференцируя эту функцию по вектору параметров и приравняв производные к нулю, получим систему уравнений (в матричной форме):

.

Решение этой системы уравнений и дает общую формулу МНК-оценок для линейной модели:

Для аналитических целей оказывается полезным последнее представление этой формулы. Если в регрессионной модели данные центрированы , то в этом представлении первая матрица имеет смысл выборочной ковариационной матрицы факторов, а вторая - вектор ковариаций факторов с зависимой переменной. Если кроме того данные ещё и нормированы на СКО (то есть в конечном итоге стандартизированы ), то первая матрица имеет смысл выборочной корреляционной матрицы факторов, второй вектор - вектора выборочных корреляций факторов с зависимой переменной.

Немаловажное свойство МНК-оценок для моделей с константой - линия построенной регрессии проходит через центр тяжести выборочных данных, то есть выполняется равенство:

В частности, в крайнем случае, когда единственным регрессором является константа, получаем, что МНК-оценка единственного параметра (собственно константы) равна среднему значению объясняемой переменной. То есть среднее арифметическое, известное своими хорошими свойствами из законов больших чисел, также является МНК-оценкой - удовлетворяет критерию минимума суммы квадратов отклонений от неё.

Пример: простейшая (парная) регрессия

В случае парной линейной регрессии формулы расчета упрощаются (можно обойтись без матричной алгебры):

Свойства МНК-оценок

В первую очередь, отметим, что для линейных моделей МНК-оценки являются линейными оценками, как это следует из вышеприведённой формулы. Для несмещенности МНК-оценок необходимо и достаточно выполнения важнейшего условия регрессионного анализа : условное по факторам математическое ожидание случайной ошибки должно быть равно нулю. Данное условие, в частности, выполнено, если

  1. математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, и
  2. факторы и случайные ошибки - независимые случайные величины.

Второе условие - условие экзогенности факторов - принципиальное. Если это свойство не выполнено, то можно считать, что практически любые оценки будут крайне неудовлетворительными: они не будут даже состоятельными (то есть даже очень большой объём данных не позволяет получить качественные оценки в этом случае). В классическом случае делается более сильное предположение о детерминированности факторов, в отличие от случайной ошибки, что автоматически означает выполнение условия экзогенности. В общем случае для состоятельности оценок достаточно выполнения условия экзогенности вместе со сходимостью матрицы к некоторой невырожденной матрице при увеличении объёма выборки до бесконечности.

Для того, чтобы кроме состоятельности и несмещенности , оценки (обычного) МНК были ещё и эффективными (наилучшими в классе линейных несмещенных оценок) необходимо выполнение дополнительных свойств случайной ошибки:

Данные предположения можно сформулировать для ковариационной матрицы вектора случайных ошибок

Линейная модель, удовлетворяющая таким условиям, называется классической . МНК-оценки для классической линейной регрессии являются несмещёнными , состоятельными и наиболее эффективными оценками в классе всех линейных несмещённых оценок (в англоязычной литературе иногда употребляют аббревиатуру BLUE (Best Linear Unbaised Estimator ) - наилучшая линейная несмещённая оценка; в отечественной литературе чаще приводится теорема Гаусса - Маркова). Как нетрудно показать, ковариационная матрица вектора оценок коэффициентов будет равна:

Обобщенный МНК

Метод наименьших квадратов допускает широкое обобщение. Вместо минимизации суммы квадратов остатков можно минимизировать некоторую положительно определенную квадратичную форму от вектора остатков , где - некоторая симметрическая положительно определенная весовая матрица. Обычный МНК является частным случаем данного подхода, когда весовая матрица пропорциональна единичной матрице. Как известно из теории симметрических матриц (или операторов) для таких матриц существует разложение . Следовательно, указанный функционал можно представить следующим образом , то есть этот функционал можно представить как сумму квадратов некоторых преобразованных «остатков». Таким образом, можно выделить класс методов наименьших квадратов - LS-методы (Least Squares).

Доказано (теорема Айткена), что для обобщенной линейной регрессионной модели (в которой на ковариационную матрицу случайных ошибок не налагается никаких ограничений) наиболее эффективными (в классе линейных несмещенных оценок) являются оценки т. н. обобщенного МНК (ОМНК, GLS - Generalized Least Squares) - LS-метода с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице случайных ошибок: .

Можно показать, что формула ОМНК-оценок параметров линейной модели имеет вид

Ковариационная матрица этих оценок соответственно будет равна

Фактически сущность ОМНК заключается в определенном (линейном) преобразовании (P) исходных данных и применении обычного МНК к преобразованным данным. Цель этого преобразования - для преобразованных данных случайные ошибки уже удовлетворяют классическим предположениям.

Взвешенный МНК

В случае диагональной весовой матрицы (а значит и ковариационной матрицы случайных ошибок) имеем так называемый взвешенный МНК (WLS - Weighted Least Squares). В данном случае минимизируется взвешенная сумма квадратов остатков модели, то есть каждое наблюдение получает «вес», обратно пропорциональный дисперсии случайной ошибки в данном наблюдении: . Фактически данные преобразуются взвешиванием наблюдений (делением на величину, пропорциональную предполагаемому стандартному отклонению случайных ошибок), а к взвешенным данным применяется обычный МНК.

Некоторые частные случаи применения МНК на практике

Аппроксимация линейной зависимости

Рассмотрим случай, когда в результате изучения зависимости некоторой скалярной величины от некоторой скалярной величины (Это может быть, например, зависимость напряжения от силы тока : , где - постоянная величина, сопротивление проводника) было проведено измерений этих величин, в результате которых были получены значения и соответствующие им значения . Данные измерений должны быть записаны в таблице.

Таблица. Результаты измерений.

№ измерения
1
2
3
4
5
6

Вопрос звучит так: какое значение коэффициента можно подобрать, чтобы наилучшим образом описать зависимость ? Согласно МНК это значение должно быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений величин от величин

была минимальной

Сумма квадратов отклонений имеет один экстремум - минимум, что позволяет нам использовать эту формулу . Найдём из этой формулы значение коэффициента . Для этого преобразуем её левую часть следующим образом:

Последняя формула позволяет нам найти значение коэффициента , что и требовалось в задаче.

История

До начала XIX в. учёные не имели определённых правил для решения системы уравнений , в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Гауссу (1795) принадлежит первое применение метода, а Лежандр (1805) независимо открыл и опубликовал его под современным названием (фр. Méthode des moindres quarrés ) . Лаплас связал метод с теорией вероятностей , а американский математик Эдрейн (1808) рассмотрел его теоретико-вероятностные приложения . Метод распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Энке , Бесселя , Ганзена и других.

Альтернативное использование МНК

Идея метода наименьших квадратов может быть использована также в других случаях, не связанных напрямую с регрессионным анализом. Дело в том, что сумма квадратов является одной из наиболее распространенных мер близости для векторов (евклидова метрика в конечномерных пространствах).

Одно из применений - «решение» систем линейных уравнений, в которых число уравнений больше числа переменных

где матрица не квадратная, а прямоугольная размера .

Такая система уравнений, в общем случае не имеет решения (если ранг на самом деле больше числа переменных). Поэтому эту систему можно «решить» только в смысле выбора такого вектора , чтобы минимизировать «расстояние» между векторами и . Для этого можно применить критерий минимизации суммы квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы, то есть . Нетрудно показать, что решение этой задачи минимизации приводит к решению следующей системы уравнений

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:

x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. 2 была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда

y = kx или y = a + bx.

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ 2 , то на графике строят зависимость n от λ -2 .

Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум


или
(19)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом

, (20)
где – n число измерений.

Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x i , y i найти наилучшие значения a и b.

Снова составим квадратичную форму φ , равную сумме квадратов отклонений точек x i , y i от прямой

и найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум

;

.

.

Совместное решение этих уравнений дает

(21)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

(23)

.  (24)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (19)–(24). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 5 .

Таблица 5
n M, Н · м ε, c -1 M 2 M · ε ε - kM (ε - kM) 2
1 1.44 0.52 2.0736 0.7488 0.039432 0.001555
2 3.12 1.06 9.7344 3.3072 0.018768 0.000352
3 4.59 1.45 21.0681 6.6555 -0.08181 0.006693
4 5.90 1.92 34.81 11.328 -0.049 0.002401
5 7.45 2.56 55.5025 19.072 0.073725 0.005435
∑ – – 123.1886 41.1115 – 0.016436

По формуле (19) определяем:

.

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (20)

0.005775 кг -1 · м -2 .

По формуле (18) имеем

; .

S J = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м 2 .

Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м 2 .

Результаты запишем в виде:

J = (3.0 ± 0.2) кг · м 2 ;


Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Свободный член определяет сопротивление R 0 при температуре 0° C , а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R 0 .

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 6 ).

Таблица 6
n t°, c r, Ом t-¯ t (t-¯ t) 2 (t-¯ t)r r - bt - a (r - bt - a) 2 ,10 -6
1 23 1.242 -62.8333 3948.028 -78.039 0.007673 58.8722
2 59 1.326 -26.8333 720.0278 -35.581 -0.00353 12.4959
3 84 1.386 -1.83333 3.361111 -2.541 -0.00965 93.1506
4 96 1.417 10.16667 103.3611 14.40617 -0.01039 107.898
5 120 1.512 34.16667 1167.361 51.66 0.021141 446.932
6 133 1.520 47.16667 2224.694 71.69333 -0.00524 27.4556
∑ 515 8.403 – 8166.833 21.5985 – 746.804
∑/n 85.83333 1.4005 – – – – –

По формулам (21), (22) определяем

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом .

Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (18) имеем:

.

Пользуясь формулами (23), (24) имеем

;

0.014126 Ом .

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град -1 .

α = (23 ± 4) · 10 -4 град -1 при P = 0.95.


Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

где d 0 – толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),

λ – длина волны падающего света.

λ = (600 ± 6) нм;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

тогда уравнение примет вид y = a + bx .

.

Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 7 .

Таблица 7
n x = m y = r 2 , 10 -2 мм 2 m -¯ m (m -¯ m) 2 (m -¯ m)y y - bx - a, 10 -4 (y - bx - a) 2 , 10 -6
1 1 6.101 -2.5 6.25 -0.152525 12.01 1.44229
2 2 11.834 -1.5 2.25 -0.17751 -9.6 0.930766
3 3 17.808 -0.5 0.25 -0.08904 -7.2 0.519086
4 4 23.814 0.5 0.25 0.11907 -1.6 0.0243955
5 5 29.812 1.5 2.25 0.44718 3.28 0.107646
6 6 35.760 2.5 6.25 0.894 3.12 0.0975819
∑ 21 125.129 – 17.5 1.041175 – 3.12176
∑/n 3.5 20.8548333 – – – – –

Сущность метода наименьших квадратов заключается в отыскании параметров модели тренда, которая лучше всего описывает тенденцию развития какого-либо случайного явления во времени или в пространстве (тренд – это линия, которая и характеризует тенденцию этого развития). Задача метода наименьших квадратов (МНК) сводится к нахождению не просто какой-то модели тренда, а к нахождению лучшей или оптимальной модели. Эта модель будет оптимальной, если сумма квадратических отклонений между наблюдаемыми фактическими величинами и соответствующими им расчетными величинами тренда будет минимальной (наименьшей):

где - квадратичное отклонение между наблюдаемой фактической величиной

и соответствующей ей расчетной величиной тренда,

Фактическое (наблюдаемое) значение изучаемого явления,

Расчетное значение модели тренда,

Число наблюдений за изучаемым явлением.

МНК самостоятельно применяется довольно редко. Как правило, чаще всего его используют лишь в качестве необходимого технического приема при корреляционных исследованиях. Следует помнить, что информационной основой МНК может быть только достоверный статистический ряд, причем число наблюдений не должно быть меньше 4-х, иначе, сглаживающие процедуры МНК могут потерять здравый смысл.

Инструментарий МНК сводится к следующим процедурам:

Первая процедура. Выясняется, существует ли вообще какая-либо тенденция изменения результативного признака при изменении выбранного фактора-аргумента, или другими словами, есть ли связь между «у » и «х ».

Вторая процедура. Определяется, какая линия (траектория) способна лучше всего описать или охарактеризовать эту тенденцию.

Третья процедура.

Пример . Допустим, мы имеем информацию о средней урожайности подсолнечника по исследуемому хозяйству (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Номер наблюдения

Урожайность, ц/га

Поскольку уровень технологии при производстве подсолнечника в нашей стране за последние 10 лет практически не изменился, значит, по всей видимости, колебания урожайности в анализируемый период очень сильно зависели от колебания погодно-климатических условий. Действительно ли это так?

Первая процедура МНК. Проверяется гипотеза о существовании тенденции изменения урожайности подсолнечника в зависимости от изменения погодно-климатических условий за анализируемые 10 лет.

В данном примере за «y » целесообразно принять урожайность подсолнечника, а за «x » – номер наблюдаемого года в анализируемом периоде. Проверку гипотезы о существовании какой-либо взаимосвязи между «x » и «y » можно выполнить двумя способами: вручную и при помощи компьютерных программ. Конечно, при наличии компьютерной техники данная проблема решается сама собой. Но, чтобы лучше понять инструментарий МНК целесообразно выполнить проверку гипотезы о существовании связи между «x » и «y » вручную, когда под рукой находятся только ручка и обыкновенный калькулятор. В таких случаях гипотезу о существовании тенденции лучше всего проверить визуальным способом по расположению графического изображения анализируемого ряда динамики - корреляционного поля:

Корреляционное поле в нашем примере расположено вокруг медленно возрастающей линии. Это уже само по себе говорит о существовании определенной тенденции в изменении урожайности подсолнечника. Нельзя говорить о наличии какой-либо тенденции лишь тогда, когда корреляционное поле похоже на круг, окружность, строго вертикальное или строго горизонтальное облако, или же состоит из хаотично разбросанных точек. Во всех остальных случаях следует подтвердить гипотезу о существовании взаимосвязи между «x » и «y », и продолжить исследования.

Вторая процедура МНК. Определяется, какая линия (траектория) способна лучше всего описать или охарактеризовать тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемый период.

При наличии компьютерной техники подбор оптимального тренда происходит автоматически. При «ручной» обработке выбор оптимальной функции осуществляется, как правило, визуальным способом – по расположению корреляционного поля. То есть, по виду графика подбирается уравнение линии, которая лучше всего подходит к эмпирическому тренду (к фактической траектории).

Как известно, в природе существует огромное разнообразие функциональных зависимостей, поэтому визуальным способом проанализировать даже незначительную их часть - крайне затруднительно. К счастью, в реальной экономической практике большинство взаимосвязей достаточно точно могут быть описаны или параболой, или гиперболой, или же прямой линией. В связи с этим, при «ручном» варианте подбора лучшей функции, можно ограничиться только этими тремя моделями.

Гипербола:

Парабола второго порядка: :

Нетрудно заметить, что в нашем примере лучше всего тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемые 10 лет характеризует прямая линия, поэтому уравнением регрессии будет уравнение прямой.

Третья процедура. Рассчитываются параметры регрессионного уравнения, характеризующего данную линию, или другими словами, определяется аналитическая формула, описывающая лучшую модель тренда.

Нахождение значений параметров уравнения регрессии, в нашем случае параметров и , является сердцевиной МНК. Данный процесс сводится к решению системы нормальных уравнений.

(9.2)

Эта система уравнений довольно легко решается методом Гаусса. Напомним, что в результате решения, в нашем примере, находятся значения параметров и . Таким образом, найденное уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

3. Аппроксимация функций с помощью метода

наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется при обработке результатов эксперимента для аппроксимации (приближения) экспериментальных данных аналитической формулой. Конкретный вид формулы выбирается, как правило, из физических соображений. Такими формулами могут быть:

и другие.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Пусть результаты измерений представлены таблицей:

Таблица 4

x n

y n

(3.1)

где f - известная функция, a 0 , a 1 , …, a m - неизвестные постоянные параметры, значения которых надо найти. В методе наименьших квадратов приближение функции (3.1) к экспериментальной зависимости считается наилучшим, если выполняется условие

(3.2)

то есть сумм a квадратов отклонений искомой аналитической функции от экспериментальной зависимости должна быть минимальна .

Заметим, что функция Q называется невязкой.


Так как невязка

то она имеет минимум. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является равенство нулю всех частных производных этой функции по параметрам. Таким образом, отыскание наилучших значений параметров аппроксимирующей функции (3.1), то есть таких их значений, при которых Q = Q (a 0 , a 1 , …, a m ) минимальна, сводится к решению системы уравнений:

(3.3)

Методу наименьших квадратов можно дать следующее геометрическое истолкование: среди бесконечного семейства линий данного вида отыскивается одна линия, для которой сумма квадратов разностей ординат экспериментальных точек и соответствующих им ординат точек, найденных по уравнению этой линии, будет наименьшей.

Нахождение параметров линейной функции

Пусть экспериментальные данные надо представить линейной функцией:

Требуется подобрать такие значения a и b , для которых функция

(3.4)

будет минимальной. Необходимые условия минимума функции (3.4) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(3.5)

решая которую , находим искомые значения параметров a и b .

Нахождение параметров квадратичной функции

Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость

то её параметры a , b , c находят из условия минимума функции:

(3.6)

Условия минимума функции (3.6) сводятся к системе уравнений:


После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

(3.7)

при решении которой находим искомые значения параметров a , b и c .

Пример . Пусть в результате эксперимента получена следующая таблица значений x и y :

Таблица 5

y i

0,705

0,495

0,426

0,357

0,368

0,406

0,549

0,768

Требуется аппроксимировать экспериментальные данные линейной и квадратичной функциями.

Решение. Отыскание параметров аппроксимирующих функций сводится к решению систем линейных уравнений (3.5) и (3.7). Для решения задачи воспользуемся процессором электронных таблиц Excel .

1. Сначала сцепим листы 1 и 2. Занесём экспериментальные значения x i и y i в столбцы А и В, начиная со второй строки (в первой строке поместим заголовки столбцов). Затем для этих столбцов вычислим суммы и поместим их в десятой строке.

В столбцах C – G разместим соответственно вычисление и суммирование

2. Расцепим листы.Дальнейшие вычисления проведём аналогичным образом для линейной зависимости на Листе 1и для квадратичной зависимости на Листе 2.

3. Под полученной таблицей сформируем матрицу коэффициентов и вектор-столбец свободных членов. Решим систему линейных уравнений по следующему алгоритму:

Для вычисления обратной матрицы и перемножения матриц воспользуемся Мастером функций и функциями МОБР и МУМНОЖ .

4. В блоке ячеек H2: H 9 на основе полученных коэффициентов вычислим значенияаппроксимирующего полинома y i выч ., в блоке I 2: I 9 – отклонения D y i = y i эксп . - y i выч .,в столбце J – невязку:

Полученные таблицы и построенные с помощью Мастера диаграмм графики приведёны на рисунках6, 7, 8.


Рис. 6. Таблица вычисления коэффициентов линейной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.


Рис. 7. Таблица вычисления коэффициентов квадратичной функции,

аппроксимирующей экспериментальные данные.


Рис. 8. Графическое представление результатов аппроксимации

экспериментальных данных линейной и квадратичной функциями.

Ответ. Аппроксимировали экспериментальные данные линейной зависимостью y = 0,07881 x + 0,442262 c невязкой Q = 0,165167 и квадратичной зависимостью y = 3,115476 x 2 – 5,2175 x + 2,529631 c невязкой Q = 0,002103 .

Задания. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, линейной и квадратичной функциями.

Таблица 6

№0

x

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

y

3,030

3,142

3,358

3,463

3,772

3,251

3,170

3,665

№ 1

3,314

3,278

3,262

3,292

3,332

3,397

3,487

3,563

№ 2

1,045

1,162

1,264

1,172

1,070

0,898

0,656

0,344

№ 3

6,715

6,735

6,750

6,741

6,645

6,639

6,647

6,612

№ 4

2,325

2,515

2,638

2,700

2,696

2,626

2,491

2,291

№ 5

1.752

1,762

1,777

1,797

1,821

1,850

1,884

1,944

№ 6

1,924

1,710

1,525

1,370

1,264

1,190

1,148

1,127

№ 7

1,025

1,144

1,336

1,419

1,479

1,530

1,568

1,248

№ 8

5,785

5,685

5,605

5,545

5,505

5,480

5,495

5,510

№ 9

4,052

4,092

4,152

4,234

4,338

4,468

4,599

Которое находит самое широкое применение в различных областях науки и практической деятельности. Это может быть физика, химия, биология, экономика, социология, психология и так далее, так далее. Волею судьбы мне часто приходится иметь дело с экономикой, и поэтому сегодня я оформлю вам путёвку в удивительную страну под названием Эконометрика =) …Как это не хотите?! Там очень хорошо – нужно только решиться! …Но вот то, что вы, наверное, определённо хотите – так это научиться решать задачи методом наименьших квадратов . И особо прилежные читатели научатся решать их не только безошибочно, но ещё и ОЧЕНЬ БЫСТРО;-) Но сначала общая постановка задачи + сопутствующий пример:

Пусть в некоторой предметной области исследуются показатели , которые имеют количественное выражение. При этом есть все основания полагать, что показатель зависит от показателя . Это полагание может быть как научной гипотезой, так и основываться на элементарном здравом смысле. Оставим, однако, науку в сторонке и исследуем более аппетитные области – а именно, продовольственные магазины. Обозначим через:

– торговую площадь продовольственного магазина, кв.м.,
– годовой товарооборот продовольственного магазина, млн. руб.

Совершенно понятно, что чем больше площадь магазина, тем в большинстве случаев будет больше его товарооборот.

Предположим, что после проведения наблюдений/опытов/подсчётов/танцев с бубном в нашем распоряжении оказываются числовые данные:

С гастрономами, думаю, всё понятно: – это площадь 1-го магазина, – его годовой товарооборот, – площадь 2-го магазина, – его годовой товарооборот и т.д. Кстати, совсем не обязательно иметь доступ к секретным материалам – довольно точную оценку товарооборота можно получить средствами математической статистики . Впрочем, не отвлекаемся, курс коммерческого шпионажа – он уже платный =)

Табличные данные также можно записать в виде точек и изобразить в привычной для нас декартовой системе .

Ответим на важный вопрос: сколько точек нужно для качественного исследования?

Чем больше, тем лучше. Минимально допустимый набор состоит из 5-6 точек. Кроме того, при небольшом количестве данных в выборку нельзя включать «аномальные» результаты. Так, например, небольшой элитный магазин может выручать на порядки больше «своих коллег», искажая тем самым общую закономерность, которую и требуется найти!

Если совсем просто – нам нужно подобрать функцию , график которой проходит как можно ближе к точкам . Такую функцию называют аппроксимирующей (аппроксимация – приближение) или теоретической функцией . Вообще говоря, тут сразу появляется очевидный «претендент» – многочлен высокой степени, график которого проходит через ВСЕ точки. Но этот вариант сложен, а зачастую и просто некорректен (т.к. график будет всё время «петлять» и плохо отражать главную тенденцию) .

Таким образом, разыскиваемая функция должна быть достаточно простА и в то же время отражать зависимость адекватно. Как вы догадываетесь, один из методов нахождения таких функций и называется методом наименьших квадратов . Сначала разберём его суть в общем виде. Пусть некоторая функция приближает экспериментальные данные :


Как оценить точность данного приближения? Вычислим и разности (отклонения) между экспериментальными и функциональными значениями (изучаем чертёж) . Первая мысль, которая приходит в голову – это оценить, насколько великА сумма , но проблема состоит в том, что разности могут быть и отрицательны (например, ) и отклонения в результате такого суммирования будут взаимоуничтожаться. Поэтому в качестве оценки точности приближения напрашивается принять сумму модулей отклонений:

или в свёрнутом виде: (вдруг кто не знает: – это значок суммы, а – вспомогательная переменная-«счётчик», которая принимает значения от 1 до ) .

Приближая экспериментальные точки различными функциями, мы будем получать разные значения , и очевидно, где эта сумма меньше – та функция и точнее.

Такой метод существует и называется он методом наименьших модулей . Однако на практике получил гораздо бОльшее распространение метод наименьших квадратов , в котором возможные отрицательные значения ликвидируются не модулем, а возведением отклонений в квадрат:

, после чего усилия направлены на подбор такой функции , чтобы сумма квадратов отклонений была как можно меньше. Собственно, отсюда и название метода.

И сейчас мы возвращаемся к другому важному моменту: как отмечалось выше, подбираемая функция должна быть достаточно простА – но ведь и таких функций тоже немало: линейная , гиперболическая , экспоненциальная , логарифмическая , квадратичная и т.д. И, конечно же, тут сразу бы хотелось «сократить поле деятельности». Какой класс функций выбрать для исследования? Примитивный, но эффективный приём:

– Проще всего изобразить точки на чертеже и проанализировать их расположение. Если они имеют тенденцию располагаться по прямой, то следует искать уравнение прямой с оптимальными значениями и . Иными словами, задача состоит в нахождении ТАКИХ коэффициентов – чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

Если же точки расположены, например, по гиперболе , то заведомо понятно, что линейная функция будет давать плохое приближение. В этом случае ищем наиболее «выгодные» коэффициенты для уравнения гиперболы – те, которые дают минимальную сумму квадратов .

А теперь обратите внимание, что в обоих случаях речь идёт о функции двух переменных , аргументами которой являются параметры разыскиваемых зависимостей :

И по существу нам требуется решить стандартную задачу – найти минимум функции двух переменных .

Вспомним про наш пример: предположим, что «магазинные» точки имеют тенденцию располагаться по прямой линии и есть все основания полагать наличие линейной зависимости товарооборота от торговой площади. Найдём ТАКИЕ коэффициенты «а» и «бэ», чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Всё как обычно – сначала частные производные 1-го порядка . Согласно правилу линейности дифференцировать можно прямо под значком суммы:

Если хотите использовать данную информацию для реферата или курсовика – буду очень благодарен за поставленную ссылку в списке источников, такие подробные выкладки найдёте мало где:

Составим стандартную систему:

Сокращаем каждое уравнение на «двойку» и, кроме того, «разваливаем» суммы:

Примечание : самостоятельно проанализируйте, почему «а» и «бэ» можно вынести за значок суммы. Кстати, формально это можно проделать и с суммой

Перепишем систему в «прикладном» виде:

после чего начинает прорисовываться алгоритм решения нашей задачи:

Координаты точек мы знаем? Знаем. Суммы найти можем? Легко. Составляем простейшую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными («а» и «бэ»). Систему решаем, например, методом Крамера , в результате чего получаем стационарную точку . Проверяя достаточное условие экстремума , можно убедиться, что в данной точке функция достигает именно минимума . Проверка сопряжена с дополнительными выкладками и поэтому оставим её за кадром (при необходимости недостающий кадр можно посмотреть ) . Делаем окончательный вывод:

Функция наилучшим образом (по крайне мере, по сравнению с любой другой линейной функцией) приближает экспериментальные точки . Грубо говоря, её график проходит максимально близко к этим точкам. В традициях эконометрики полученную аппроксимирующую функцию также называют уравнением пАрной линейной регрессии .

Рассматриваемая задача имеет большое практическое значение. В ситуации с нашим примером, уравнение позволяет прогнозировать, какой товарооборот («игрек») будет у магазина при том или ином значении торговой площади (том или ином значении «икс») . Да, полученный прогноз будет лишь прогнозом, но во многих случаях он окажется достаточно точным.

Я разберу всего лишь одну задачу с «реальными» числами, поскольку никаких трудностей в ней нет – все вычисления на уровне школьной программы 7-8 класса. В 95 процентов случаев вам будет предложено отыскать как раз линейную функцию, но в самом конце статьи я покажу, что ничуть не сложнее отыскать уравнения оптимальной гиперболы, экспоненты и некоторых других функций.

По сути, осталось раздать обещанные плюшки – чтобы вы научились решать такие примеры не только безошибочно, но ещё и быстро. Внимательно изучаем стандарт:

Задача

В результате исследования взаимосвязи двух показателей, получены следующие пары чисел:

Методом наименьших квадратов найти линейную функцию, которая наилучшим образом приближает эмпирические (опытные) данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции . Найти сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Выяснить, будет ли функция лучше (с точки зрения метода наименьших квадратов) приближать экспериментальные точки.

Заметьте, что «иксовые» значения – натуральные, и это имеет характерный содержательный смысл, о котором я расскажу чуть позже; но они, разумеется, могут быть и дробными. Кроме того, в зависимости от содержания той или иной задачи как «иксовые», так и «игрековые» значения полностью или частично могут быть отрицательными. Ну а у нас дана «безликая» задача, и мы начинаем её решение :

Коэффициенты оптимальной функции найдём как решение системы:

В целях более компактной записи переменную-«счётчик» можно опустить, поскольку и так понятно, что суммирование осуществляется от 1 до .

Расчёт нужных сумм удобнее оформить в табличном виде:


Вычисления можно провести на микрокалькуляторе, но гораздо лучше использовать Эксель – и быстрее, и без ошибок; смотрим короткий видеоролик:

Таким образом, получаем следующую систему :

Тут можно умножить второе уравнение на 3 и из 1-го уравнения почленно вычесть 2-е . Но это везение – на практике системы чаще не подарочны, и в таких случаях спасает метод Крамера :
, значит, система имеет единственное решение.

Выполним проверку. Понимаю, что не хочется, но зачем же пропускать ошибки там, где их можно стопроцентно не пропустить? Подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы:

Получены правые части соответствующих уравнений, значит, система решена правильно.

Таким образом, искомая аппроксимирующая функция: – из всех линейных функций экспериментальные данные наилучшим образом приближает именно она.

В отличие от прямой зависимости товарооборота магазина от его площади, найденная зависимость является обратной (принцип «чем больше – тем меньше») , и этот факт сразу выявляется по отрицательному угловому коэффициенту . Функция сообщает нам о том, что с увеличение некоего показателя на 1 единицу значение зависимого показателя уменьшается в среднем на 0,65 единиц. Как говорится, чем выше цена на гречку, тем меньше её продано.

Для построения графика аппроксимирующей функции найдём два её значения:

и выполним чертёж:


Построенная прямая называется линией тренда (а именно – линией линейного тренда, т.е. в общем случае тренд – это не обязательно прямая линия) . Всем знакомо выражение «быть в тренде», и, думаю, что этот термин не нуждается в дополнительных комментариях.

Вычислим сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Геометрически – это сумма квадратов длин «малиновых» отрезков (два из которых настолько малы, что их даже не видно) .

Вычисления сведём в таблицу:


Их можно опять же провести вручную, на всякий случай приведу пример для 1-й точки:

но намного эффективнее поступить уже известным образом:

Еще раз повторим: в чём смысл полученного результата? Из всех линейных функций у функции показатель является наименьшим, то есть в своём семействе это наилучшее приближение. И здесь, кстати, не случаен заключительный вопрос задачи: а вдруг предложенная экспоненциальная функция будет лучше приближать экспериментальные точки?

Найдем соответствующую сумму квадратов отклонений – чтобы различать, я обозначу их буквой «эпсилон». Техника точно такая же:


И снова на всякий пожарный вычисления для 1-й точки:

В Экселе пользуемся стандартной функцией EXP (синтаксис можно посмотреть в экселевской Справке) .

Вывод : , значит, экспоненциальная функция приближает экспериментальные точки хуже, чем прямая .

Но тут следует отметить, что «хуже» – это ещё не значит , что плохо. Сейчас построил график этой экспоненциальной функции – и он тоже проходит близко к точкам – да так, что без аналитического исследования и сказать трудно, какая функция точнее.

На этом решение закончено, и я возвращаюсь к вопросу о натуральных значениях аргумента. В различных исследованиях, как правило, экономических или социологических, натуральными «иксами» нумеруют месяцы, годы или иные равные временнЫе промежутки. Рассмотрим, например, такую задачу.

Рейтинг:
Похожие публикации

Публикации