Чтобы умножать столбиком, достаточно знать таблицу умножения от 1 до 10 и несложное правило: многозначные числа можно перемножать по разрядам. Повогорим более подробно о правилах умножения в столбик.
Как умножать в столбик: основные правила
Возьмём простой пример для устного счёта.
Сначала 16 умножаем на 1, получаем 16. Потом 16 умножаем на 20, получаем 320. Складываем два этих результата:
Это и есть умножение по разрядам: первый множитель умножается по очереди на все цифры второго множителя, начиная с младшего разряда, а потом полученные результаты складываются.
Если записать пример 1 в столбик, получим следующее:
Здесь самое главное - аккуратная запись. Разряды единиц должны писаться под единицами, десятки - под десятками и т.д. Потом идёт сложение по разрядам:
6 + 0 = 6; 1 + 2 = 3. Цифру 3 старшего разряда складывать не с чем, она остаётся тройкой.
0 при умножении на 20 писать не обязательно, можно умножить просто на 2, но результаты сдвинуть влево на 1 разряд.
Более сложный пример: 24 х 328. Большее число лучше сделать множимым, а меньшее - множителем: так нужно будет складывать только 2 числа, а не 3. Хотя можно и наоборот, т.к. от перемены мест слагаемых или множителей результаты не меняются. Итак:
Здесь умножение получилось более трудным. 8 х 4 = 32. Мы записали только 2, а 3 держим в уме: эту тройку нужно будет прибавить к результату перемножения десятков.
Затем умножили 4 х 2 = 8, да 3 у нас в уме. Складываем десятки, получаем: 8 + 3 = 11. И опять в разряд десятков пишем только 1, а вторую единицу, которая у нас пойдёт в разряд сотен, держим в уме, не забываем.
4 х 3 = 12 и 1 в уме - всего 13. Т.к. цифр для умножения больше нет, так это число и записываем.
Теперь нужно точно так же 328 умножить на 20 или на 2 со сдвигом записи на 1 разряд влево. И сложить результаты.
Умножение натуральных чисел удобно проводить особым способом, который получил название «умножение столбиком » или «умножение в столбик ». Вся прелесть этого способа заключается в том, что умножение многозначных натуральных чисел сводится к последовательному умножению двух однозначных чисел.
В этой статье мы самым подробным образом разберем алгоритм умножения столбиком двух натуральных чисел. Последовательность действий будем описывать пошагово, одновременно показывая решения примеров.
Навигация по странице.
Что необходимо знать для умножения натуральных чисел столбиком?
Промежуточные вычисления при умножении столбиком проводятся с использованием таблицы умножения , поэтому ее желательно знать наизусть, чтобы не тратить время на поиск нужного результата.
Рано или поздно при умножении столбиком мы столкнемся с умножением однозначного натурального числа на нуль. В этом случае мы будем пользоваться свойством умножения натурального числа на нуль : a·0=0 , где a – произвольное натуральное число..
Рекомендуем разобраться с материалом статьи сложение столбиком . Это связано с тем, что на одном из этапов умножения в столбик приходится складывать промежуточные результаты (которые называют неполными произведениями), используя принцип сложения столбиком.
Наконец, желательно вспомнить понятие разряда натурального числа .
Запись множителей при умножении в столбик.
Начнем с правил записи множителей при умножении столбиком.
Второй множитель записывается под первым множителем так, что первые справа цифры, отличные от цифры 0 , располагаются друг под другом. Снизу под записанными множителями проводится горизонтальная линия, а слева ставится знак умножения вида «×». Приведем примеры правильной записи множителей при умножении столбиком. Ниже показаны записи в столбик произведений чисел 352 и 71 , 550 и 45 002 , а также 534 000 и 4 300 .
С записью разобрались.
Теперь можно переходить непосредственно к процессу умножения двух натуральных чисел столбиком. Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное число. После этого разберем умножение столбиком двух многозначных натуральных чисел.
Умножение столбиком многозначного натурального числа на однозначное число.
Сейчас мы приведем алгоритм умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число. Будем это делать, одновременно описывая решение примера.
Пусть нам требуется умножить данное многозначное натуральное число 45 027 на данное однозначное число 3 .
Записываем множители так, как это предполагает умножение столбиком (при этом однозначное число оказывается под крайним справа знаком многозначного числа).
Для нашего примера запись будет иметь следующий вид:
Теперь выполняем умножение значение разряда единиц данного многозначного числа на данное однозначное число. Если при этом получаем число меньшее 10 , то записываем его под горизонтальной чертой в том же столбце, в котором находится данное умножаемое однозначное число. Если же получаем число 10 или число большее, чем 10 , то под горизонтальной чертой записываем значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминаем (запомненное число прибавим к результату умножения на следующем шаге, после чего запомненное число удалим из памяти).
То есть, умножаем 7
(это значение разряда единиц первого множителя 45 027
) на 3
. Получаем 21
. Так как 21
больше 10
, то под чертой записываем число 1
(это значение разряда единиц полученного числа 21
) и запоминаем число 2
(это значение разряда десятков числа 21
). На этом шаге запись примет следующий вид:
Переходим к следующему этапу алгоритма умножения столбиком. Выполняем умножение значения разряда десятков данного многозначного числа на данное однозначное число и к произведению еще прибавляем число, запомненное на предыдущем этапе (если мы его запоминали). Если в результате получаем число меньшее десяти, то записываем его под горизонтальной чертой слева от уже записанного там числа. Если же в результате получаем число десять или число большее десяти, то под горизонтальной чертой записываем значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминаем (его так же используем на следующем шаге).
Итак, умножаем 2
(это значение разряда десятков первого множителя 45 027
) на 3
, имеем 6
. К этому числу прибавляем запомненное на предыдущем шаге число 2
, получаем 6+2=8
. Так как 8
меньше, чем 10
, то под горизонтальной чертой записываем число 8
на нужную позицию (при этом нам не нужно запоминать никакое число, то есть, теперь в памяти у нас чисел нет). Имеем:
На следующем шаге действуем аналогично, но уже выполняем умножение значения разряда сотен данного многозначного числа на данное однозначное натуральное число. Прибавляем к этому произведению запомненное число (если его запоминали); сравниваем результат с числом 10 ; если нужно, запоминаем новое число, и записываем нужное число под горизонтальной чертой слева от уже находящихся там чисел.
Умножаем 0
на 3
, получаем 0
. Так как в памяти у нас нет никакого числа, то к полученному числу 0
не нужно ничего прибавлять. Число 0
меньше 10
, поэтому записываем 0
под горизонтальной линией на нужной позиции:
После этого переходим к умножению значения следующего разряда данного многозначного натурального числа и данного однозначного натурального числа. Аналогичным образом действуем до того момента, пока не умножим значения всех разрядов данного многозначного числа на данное однозначное натуральное число.
Итак, умножаем 5
на 3
, получаем 15
. Так как 15>10
, то пишем под чертой 5
и запоминаем число 1
:
Наконец, умножаем 4
на 3
, получаем 12
. К 12
прибавляем запомненное на предыдущем этапе число 1
, имеем 12+1=13
. Так как 13
больше, чем 10
, то записываем число 3
на нужное место и запоминаем число 1
:
Отметим что, если на последнем этапе нам пришлось запомнить число, то его нужно записать под горизонтальной чертой слева от уже находящихся там чисел.
У нас в памяти находится число 1
, поэтому его нужно написать на нужное место под чертой:
На этом процесс умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число заканчивается, а результатом умножения является число, записанное под горизонтальной линией.
Таким образом, умножение столбиком натуральных чисел 45 027 и 3 привело нас к результату 135 081 .
Для наглядности схематично изобразим алгоритм умножения столбиком многозначного натурального числа на однозначное натуральное число (этот рисунок отражает лишь общую картину, но не показывает всех нюансов).
Осталось разобраться с умножением столбиком многозначного натурального числа, в записи которого справа находится цифра 0 или несколько цифр 0 подряд, на однозначное число. Также рассмотрим все шаги умножения столбиком в таких случаях на примере. Причем возьмем числа из предыдущего примера, но в записи многозначного числа допишем несколько цифр 0 справа.
Итак, умножим натуральные числа 4 502 700 (мы дописали две цифры 0 ) на число 3 .
В этом случае сначала записываем умножаемые числа так, как это предполагает умножение столбиком:
После этого проводим умножение столбиком так, как будто цифр 0 справа нет.
Воспользуемся результатом из уже решенного выше примера:
На заключительном этапе умножения столбиком под горизонтальной чертой, справа от уже имеющихся там цифр, записываем столько цифр 0 , сколько их находится справа в исходном умножаемом числе.
В нашем примере нужно дописать две цифры 0
. Запись примет вид:
На этом умножение столбиком завершено.
Результатом умножения многозначного натурального числа 4 502 700 , запись которого оканчивается нулями, на однозначное натуральное число 3 является 13 508 100 .
Умножение в столбик двух многозначных натуральных чисел.
Опишем все этапы алгоритма умножения двух многозначных натуральных чисел столбиком.
Описание будем проводить вместе с решением примера. Сейчас будем считать, что в записях умножаемых натуральных чисел справа не находятся цифры 0 . Умножение многозначных натуральных чисел, записи которых оканчиваются нулями, рассмотрим в конце этого пункта.
Умножим столбиком числа 207 на 8 063 .
Начинаем с записи множителей друг под другом. Заметим, что удобнее сверху располагать множитель, запись которого состоит из большего количества знаков (в нашем примере сверху запишем число 8 603
, так как в его записи 4
знака, а число 207
трехзначное). Если же записи множителей содержат одинаковое количество знаков, то не имеет значения, какой из множителей записывать сверху. Итак, располагаем множители друг под другом, чтобы цифры первого множителя были под цифрами второго множителя справа налево:
Теперь на каждом следующем шаге будем получать так называемые неполные произведения .
Первый этап алгоритма заключается в умножении столбиком первого множителя (в нашем примере это число 8 063
) на значение разряда единиц второго множителя (в нашем примере значением разряда единиц числа 207
является число 7
). Все действия аналогичны умножению столбиком многозначного числа на однозначное число (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту этой статьи), в результате под горизонтальной линией имеем первое неполное произведение. На этом этапе запись примет следующий вид:
Переходим ко второму этапу. На этом этапе умножаем столбиком первый множитель (в нашем примере это число 8 063 ) на значение разряда десятков второго множителя, если оно не равно нулю. Если значение разряда десятков второго множителя равно нулю, то переходим к следующему этапу (в нашем примере значением разряда десятков числа 207 равно нулю, поэтому, мы перейдем к третьему этапу). Результаты записываем под чертой ниже уже записанного там числа, начиная с позиции, которая соответствует разряду десятков.
На третьем, четвертом и так далее этапах действуем аналогично, умножая столбиком первый множитель (число 8 063 ) на значение разряда сотен второго множителя (если оно не равно нулю), далее на значение разряда тысяч (если оно не равно нулю) и так далее. Результаты записываем под чертой ниже уже записанных там чисел, начиная с позиции, отвечающей разряду однозначного числа, на которое проводится умножение на данном этапе.
Итак, умножаем число 8 063
на значение разряда сотен числа 207
, то есть на число 2
. Получаем второе неполное произведение, а решение примера примет следующий вид:
Итак, все неполные произведения вычислены. Остается последний этап алгоритма, на котором складываются все неполные произведения, причем делается это так же, как при сложении в столбик. Сложение производится с использованием уже имеющейся записи (неполные произведения остаются на тех местах, где они и записаны, то есть, они никуда не сдвигаются), снизу проводится еще одна горизонтальная линия, слева ставится знак «+», а результаты сложения записываются под нижней линией. Если в столбце находится только одно число, и при этом в памяти нет запомненного на предыдущем этапе числа, то оно записывается под горизонтальной линией.
В нашем примере получаем:
Образовавшееся внизу число является результатом умножения исходных многозначных натуральных чисел. Итак, произведение чисел 8 063 и 207 равно 1 669 041 .
Для наглядности схематично изобразим процесс умножения столбиком двух натуральных чисел.
Покажем решение еще одного примера для закрепления материала.
Перемножать большие числа, записывая их в строку, рано или поздно становится довольно сложным и утомительным процессом. Гораздо проще воспользоваться специальным алгоритмом по умножению в столбик: вам не придется держать числа в своей голове и что-либо запоминать. Вы можете делать пометки над столбиком, чтобы всегда видеть, как числа вам нужно перенести. Если вы пытаетесь обучить такому способу ребенка, то очень важно, чтобы таблица умножения отскакивала у него от зубов, иначе, процесс затянется надолго, а сам малыш совершит много ошибок, которые вереницей потянутся по всему примеру. Внимательно прочитайте статью и возьмите такой алгоритм себе на вооружение.
Запишите пример в строчку и посмотрите: какой из множителей меньше? Меньший окажется ниже в записи умножения в столбик, а большой множитель будет стоять наверху.Запишите пример по такому принципу, как указано на картинке ниже.
- Сверху напишите большее число.
- Слева поставьте знак умножения в виде крестика.
- Снизу запишите меньшее число.
- Проведите прямую черту под примером.
- Ноли нужно выносить за пример.
- Числа пишите под числами.
В таком случае, вы просто переносите это количество нолей сразу в ответ. Если ноли имеются и у первого множителя, и у второго, то сложите их количество и запишите в ответ.
- Всё верхнее число вы умножаете на последнюю цифру нижнего. Помните, что на последние ноли умножение не производится.
- Чтобы вам было удобнее, записывайте числа, которые нужно перенести, сверху над всем примером. Позднее вы можете их просто стереть, зато в процессе вам не придется запоминать числа переноса.
- Как только вы закончите расчет, запишите полученное число под чертой.
Как только вы перемножите верхнее число на последнюю цифру нижнего и запишите свой ответ, начинайте перемножать следующее.
Как вы уже догадались, вам нужно перемножить верхнее число на все цифры нижнего, начиная с конца. Каждый раз запись ответа переносится на одну клетку левее.
Перемножьте таким образом все числа между собой. Теперь снова проведите черту под столбиком. Между всеми решениями поставьте знак сложения.
- Складывайте все числа, находящиеся на одной вертикальной линии.
- Если число получается двухзначным, то число десятков вы переносите в следующую вертикальную полосу.
Под некоторыми числами вовсе не будет других – в таком случае, вы просто записываете это число в ответ. Не забывайте переносить в ответ все нули, которые стоят в конце множителей.
Выполнять умножение в столбик очень удобно и быстро, особенно, если требуется перемножить большие числа. Вы легко можете проверить правильность умножения, просто разделив ответ на один из множителей. Для этого используйте калькулятор, либо способ деления уголком. На первых порах такое умножение занимает значительную долю времени, но с опытом, всё действие происходит всего за пару секунд.
Умножение в столбик позволяет быстро выдавать решение примеров даже с многозначными числами. Для счёта нужно только знать наизусть таблицу умножения.
Как правильно умножать столбиком
Как и в случае со сложением и вычитанием в столбик, при умножении числа записываются друг под другом. Каждый разряд на своём месте: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. Внизу рисуется горизонтальная черта, ответ пишется под ней.
Возьмём числа 78 и 12. Для лучшего понимания: пишем 78 наверху, 12 - внизу. Начинаем с единицы нижнего числа, то есть с цифры 2.
Сперва считаем 8×2=16. Число получилось больше 10, значит, как и в сложении, пишем последнюю цифру (6), а единицу держим в уме. Теперь переходим к десятку, то есть считаем 7×2=14. Единицу мы держали в уме, значит, сейчас прибавляем её к результату, получается 14+1=15. Цифра 5 пишется под десятками, а 1 переходит в новый разряд - сотни. Другими словами, под горизонтальной чертой должно быть написано «156».
Переходим к следующему разряду. Теперь наш ответ будет записываться иначе: последняя цифра ответа должна быть ровно под верхними десятками, то есть под цифрой 5. Получается, что каждое последующее промежуточное число смещается на 1 разряд влево.
Считаем 8×1=8. Цифра меньше 10, пишем 8 под пятёркой в числе «156». Считаем 7×1=7. Семёрка переходит в разряд сотен, то есть она должна быть написана под единицей в ответе «156». Под шестёркой ничего не написано, для удобства туда можно поставить ноль.
Полученное выражение складываем в столбик: 156+78. К 6 ничего не прибавляется (0), значит, переписываем её в прежнем виде. Затем считаем 5+8=13, пишем 3, один в уме. Наконец, 1+7=8, прибавляем единицу - получается 9.
Таким образом, ответ: 936.
Тренироваться лучше на листе в клеточку, чтобы привыкнуть к расположению разрядов множителей
Точно так же умножаются и другие многозначные числа.
Если в множителях есть нули, они не перемножаются, а просто переносятся в правую часть окончательного ответа.
Варианты карточек
Для наглядности можно распечатать карточки с примерами разного уровня сложности. Так детям будет проще запомнить принцип счёта. Примеры для практики можно использовать и при первом изучении умножения, и для повторения после каникул.
Поначалу решение примеров будет занимать много времени, но постепенно скорость повысится. Даже при наличии калькулятора лучше считать вручную: это развивает умственную деятельность.
Фотогалерея: примеры карточек для урока
Видео: умножение чисел в столбик
Постоянная практика - залог успеха, и со временем можно научиться перемножать в уме даже большие числа. Но начинать, конечно, лучше с простых примеров, постепенно увеличивая уровень сложности.
Умножение многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик, последовательно умножая каждый разряд. Давайте разберем, как это делать. Начнем с умножения многоразрядного числа на одноразрядное число и постепенно увеличим разрядность второго множителя.
Для того чтобы умножить в столбик два числа, разместите их одно под другим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Сравните два множителя и меньший разместите под большим. Затем начинайте умножать каждый разряд второго множителя на все разряды первого множителя.
Умножение многозначного числа на однозначное
Пишем однозначное число под единицами многозначного.
Умножаем 2 последовательно на все разряды первого множителя:
Умножаем на единицы:
8 × 2 = 16
6 пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем. Для того, чтобы не забыть пишем 1 над десятками.
Умножаем на десятки:
3 десятка × 2 = 6 десятков + 1 десяток (запоминали) = 7 десятков . Ответ пишем под десятками.
Умножаем на сотни:
4 сотни × 2 = 8 сотен . Ответ пишем под сотнями. В результате получаем:
438 × 2 = 876
Умножение многозначного числа на многозначное
Умножим трехзначное число на двухзначное:
924 × 35
Пишем двухзначное число под трехзначным, единицы под единицами, десятки под десятками.
1 этап
: находим первое неполное произведение
, умножив 924
на 5
.
Умножаем 5 последовательно на все разряды первого множителя.
Умножаем на единицы :
4 × 5 = 20 0 пишем под единицами второго множителя, 2 десятка запоминаем.
Умножаем на десятки:
2 десятка × 5 = 10 десятков + 2 десятка (запоминали) = 12 десятков , пишем 2 под десятками второго множителя, 1 запоминаем.
Умножаем на сотни:
9 сотен × 5 = 45 сотен + 1 сотня (запоминали) = 46 сотен , пишем 6 под разрядом сотен, а 4 под разрядом тысяч второго множителя.
924 × 5 = 4620
2 этап : находим второе неполное произведение , умножив 924 на 3 .
Умножаем 3 последовательно на все разряды первого множителя. Ответ пишем под ответом первого этапа, сдвинув его на один разряд влево .
Умножаем на единицы:
4 × 3 = 12 2 пишем под разрядом десятков, 1 запоминаем.
Умножаем на десятки:
2 десятка × 3 = 6 десятков + 1 десяток (запоминали) = 7 десятков , пишем 7 под разрядом сотен.
Умножаем на сотни:
9 сотен × 3 = 27 сотен , 7 пишем в разряд тысяч, а 2 в разряд десятков тысяч.
3 этап : складываем оба неполных произведения.
Складываем поразрядно, учитывая сдвиг.
В результате получаем:
924 × 35 = 32340
Умножим трехзначное число на трехзначное:
Возьмем первый множитель из предыдущего примера, а второй множитель тоже из предыдущего, но больше на 8 сотен:
924 × 835
Итак, два первых этапа такие же, как в предыдущем примере.
3 этап : находим третье неполное произведение , умножив 924 на 8
Умножаем 8 последовательно на все разряды первого множителя. Результат пишем под вторым неполным произведением со сдвигом влево , в разряд сотен.
4 × 8 = 32 , пишем 2 в разряд сотен, 3 запоминаем
2 × 8 = 16 + 3 (запоминали) = 19 , пишем 9 в разряд тысяч, 1 запоминаем
9 × 8 = 72 + 1 (запоминали) = 73 , пишем 73 в разряды сотен и десятков тысяч соответственно.
4 этап : складываем три неполных произведения .
В результате получаем:
924 × 835 = 771540
Итак, сколько разрядов во втором множителе, столько и будет слагаемых в сумме неполных произведений.
Возьмем два множителя с одинаковой разрядностью:
3420 × 2700
При умножении двух чисел оканчивающихся нулями пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.
Теперь умножаем два числа, не обращая внимания на нули:
342 × 27 = 9234
Общее количество нулей приписываем к получившемуся произведению.
В результате получаем:
3420 × 2700 = 9234000
Подведем итог. Для того чтобы письменно в столбик умножить два числа друг на друга, надо :
1. Сравнить два числа и меньшее написать под большим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Если числа с нулями, то пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.
2. Умножаем последовательно каждый разряд второго множителя, начиная с единиц, на все разряды первого множителя. На нули внимания не обращаем
3. Неполные произведения пишем друг под другом, сдвигая каждое неполное произведение на один разряд влево. Сколько во втором множителе значащих разрядов (не 0), столько будет неполных произведений.
4 . Складываем все неполные произведения.
5. К полученному результату приписываем нули из обоих множителей.
Вот и все, спасибо, что Вы с нами!
