2. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен
:
количество сторон (в нашем случае 8.
Получаем точки А1, А2
, A3, A4, A5, A6, A7, A8.
А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
n-
угольника
3. Соединим центры окружности и одну из точек их пересечения
Мы получаем правильный треугольник
1
. Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга.
2
. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника.
3. Соединим точки пересечения окружностей.
5 . Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью.
Мы получаем правильный шестиугольник
Доказательство существования правильного
n-
угольника
Если
n
(число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует.
Пробуем построить 8ми угольник и докажем это.
1. Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке « О »
Построение треугольника при помощи циркуля и линейки
«
O
» .
2. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящая через точку «О».
4. Соединим точки, лежащие на окружности.
Получаем правильный восьмиугольник.
Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных
n-
угольников, если равенство
n =
+ 1
, где
n –
количество углов, а
k
– любое натуральное число
.
Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, равных частей
.
В 1836 году
Ванцель
доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя.
Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.
4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью
ЛИТЕРАТУРА
Атанасян
Л. С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов образовательных учреждений. – М: «Просвещение». 1998.
Б. И. Аргунов, М. Б.
Балк
. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М.,
Учпедгиз
, 1957 – 268 с.
И. Ф.
Шарыгин
, Л. Н.
Ерганжиева
. «Наглядная геометрия».
Еще
одним
великим математиком изучавшим правильные многоугольники был
Евклид
или
Эвклид
(др. греч.
Εὐκλείδης
, от «добрая слава»
ок
. 300 г. до н. э.)
–
автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике
.
Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряды вопросов теории чисел
;
в ней он подвёл итог дальнейшего развития математики. В
IV
книге он описал построение правильных многоугольников при
n
равном
3
, 4, 5, 6, 15
и определил первый критерий построения многоугольников.
Построение правильного восьмиугольника.
1. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника.
2. Соединим противоположные вершины четырёхугольника
3. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями
Треугольники
, сторонами которых являются ближайшие радиусы и
стороны получившегося восьмиугольника равны по двум сторонам и углу между ними, соответственно стороны восьмиугольника равны и он является правильным. Данное доказательство применимо не только к восьмиугольникам
,
но и к многоугольникам с количеством углов
больше 2-х
. Что и требовалось доказать
.
Доказательство существования правильного
n-
угольника
А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
4 . Проводим прямые через точки пересечения окружностей
5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности
Получаем правильный четырёхугольник.
Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.
6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника.
7. Достроим до пятиугольника
Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одним из них был
Архимед.
Архимед
– известный древнегреческий математик, физик и инженер. Он сделал множество открытий в геометрии, ввёл основы механики, гидростатики, создал множество важных изобретении. Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его открытия послужили для современных изобретений.
Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.
1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем прямую линию через центр окружности.
3. Проведем дугу окружность того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.
Презентация на тему: «Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки»
Подготовил:
Гурома
Денис
ученик 10 класса МБОУ школы №3
Учитель:
Наимова
Татьяна Михайловна
2015 год
3. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник.
Доказательство существования правильного
n-
угольника
А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
Построение правильного четырёхугольника.
1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем 2 взаимно перпендикулярные диаметра.
3. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).
Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.
4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей.
5. Проведем 2 отрезка.
Материал данного параграфа может использоваться на факультативных занятиях. Он может быть представлен ученикам, как в форме лекции, так и в форме докладов учеников.
Большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий задачи, которые с давних времен известны как "знаменитые задачи древности". Под этим названием обычно фигурировали три знаменитые задачи:
1) квадратура круга,
2) трисекция угла,
3) удвоение куба.
Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических потребностей людей. На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым "рецептам" вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными) задачами.
В Древней Греции в этот период им придали классические формулировки:
1) построить квадрат, равновеликий данному кругу;
2) разделить данный угол на три равные части;
3) построить ребро нового куба, объем которого был бы в два раза больше данного куба.
Все эти геометрические построения предлагалось выполнять с помощью циркуля и линейки.
Простота формулировок этих задач и "непреодолимые трудности", встретившиеся на пути их решения, способствовали росту их популярности. Стремясь дать строгие решения указанных задач, древнегреческие ученые "попутно" получали многие важные результаты для математики, что способствовало превращению разрозненных математических знаний в самостоятельную дедуктивную науку (особенно заметный след в то время оставили пифагорейцы, Гиппократ Хиосский и Архимед).
Задача об удвоении куба.
Задача удвоения куба состоит в следующем: зная ребро данного куба, построить ребро такого куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба.
Пусть а - длина ребра данного куба, х - длина ребра искомого куба. Пусть - объем данного куба, а - объем искомого куба, тогда согласно формуле вычисления объема куба имеем, что: =, а так как, согласно условию задачи, то приходим к уравнению.
Из алгебры известно, что рациональные корни приведенного уравнения с целыми коэффициентами могут быть только целыми и содержаться среди делителей свободного члена уравнения. Но делители числа 2 служат только числа +1, - 1, +2, - 2, и ни одно из них не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение рациональных корней не имеет, а это значит, что задача удвоения куба не может быть решена с помощью циркуля и линейки.
Задача удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть решена лишь приближенно. Приведем один из самых простых способов приближенного решения этой задачи.
Пусть АВ=ВС=а, причем АВВС. Строим AD=АС, тогда CD с точностью до 1%. В самом деле, CD 1,2586…. В тоже время =1,2599….
Задача о квадратуре круга.
Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.
Задача о квадратуре круга состоит в следующем: построить квадрат равновеликий кругу.
Пусть - радиус данного круга, -длина стороны искомого квадрата. Тогда, отсюда.
Следовательно, задача о квадратуре круга будет решена, если мы построим отрезок длиной. Если радиус данного круга принять за единичный отрезок (=1), то дело сведется к построению по единичному отрезку отрезка длиной.
Как известно, зная единичный отрезок, мы можем циркулем и линейкой строить только такие отрезки, длины которых выражаются через рациональные числа с помощью конечного множества рациональных операций и извлечением квадратных корней и, значит являются числами алгебраическими. При этом будут использованы далеко не все алгебраические числа. Например, нельзя построить отрезок длиной и т.д.
В 1882 г. Линдеманн доказал, что - трансцендентное. Отсюда следует, что циркулем и линейкой нельзя построить отрезок длиной и, следовательно, этими средствами задача о квадратуре круга неразрешима.
Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.
Рассмотрим один из приемов приближенного построения отрезков длиной. Этот прием состоит в следующем. Четверть окружности АВ с центром в точке О и радиусом, равным единице, делим пополам точкой С. На продолжении диаметра CD откладываем отрезок DE, равный радиусу. Из точки Е проводим лучи ЕА и ЕВ до пересечения с касательной в точке С. отсекаемый отрезок АВ приближенно равен длине дуги АВ, а удвоенный - полуокружности.
Относительная погрешность этого приближения не превышает 0,227%.
Задача о трисекции угла.
Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.
Задача о трисекции угла состоит в следующем : разделить данный угол на три равные части.
Ограничимся решением задачи для углов, не превышающих 90. Если - тупой угол, то =180-, где <90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.
Заметим, что (при наличии единичного отрезка) задача о построении угла (90) равносильна задаче о построении отрезка х=соs . В самом деле, если угол построен, то построение отрезка х=соs сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.
Обратно. Если построен отрезок х, то построение такого угла, что х=соs , сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.
Пусть - данный угол, - искомый угол, так что =. Тогда cos=cos 3. Известно, что cos 3= 4cos-3cos . Поэтому, полагая cos =, а cos =, приходим к уравнению:
cos =4cos-3cos ,
Отрезок, а следовательно, и угол могут быть построены лишь в том случае, когда это уравнение имеет хотя бы один рациональный корень. Но это имеет место не при всяком, и поэтому задача о трисекции угла, вообще говоря не разрешима с помощью циркуля и линейки. Например. При =60 получим =1 и найденное уравнение принимает вид: . Легко проверить, что это уравнение не обладает никаким рациональным корнем, откуда следует невозможность деления угла в 60 на три равные части с помощью циркуля и линейки. Таким образом, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде.
Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.
Рассмотрим один из способов приближенного решения задачи с помощью циркуля и линейки, предложенный Альбертом Дюрером (1471-1528).
Пусть дан угол ASB. Из вершины S произвольным радиусом описываем окружность и соединяем точки пересечения сторон угла с окружностью хордой АВ. Делим эту хорду на три равные части в точках R и R (А R= R R= RВ). из точек А и В, как из центров, радиусами А R= RВ описываем дуги, пересекающие окружность в точках Т и Т. Проведем RSAB. Радиусами А S= BS проводим дуги, пересекающие АВ в точках U и U. Дуги АТ, SS и TB равны между собой, так как стягиваются равными хордами.
Чтобы найти точки трисекции угла X и X, Дюрер делит на три равные части отрезки RU и RU точками PV и PV. Затем радиусами AV и BV проводим дуги, которые пересекают окружность в точках X и X. Соединив эти точки с S, получим деление данного угла на три равные части с хорошим приближением к истинным величинам.
Команда предназначена для последовательного построения кривых и прямых линий так, что конец предыдущего объекта является началом следующего объекта. Построение геометрии этим способом возможно также из меню Инструменты → Геометрия →
| Параметр | Описание |
| С помощью этой кнопки завершается создание цепочки геометрических элементов. При этом производится замыкание контура из этих элементов путем соединения последнего геометрического элемента с первой точкой цепочки. Эта кнопка активна в том случае, когда возможно осуществить замыкание цепочки. Например, цепочка не получится, если последовательно построены только 2 прямых отрезка - их можно замкнуть только 3 прямым отрезком - получится треугольник (минимальная фигура). Но в случае кривой Безье - достаточно 2 точек, чтобы с помощью третьей точки замкнуть контур | |
| Отрезок | Команды создания прямых отрезков |
| С помощью этой кнопки производится построение произвольного прямого отрезка, параллельного выбранной прямой линии. Эта линия может находиться вне строящейся цепочки | |
| С помощью этой кнопки производится построение прямого отрезка, перпендикулярного выбранной прямой линии. Эта линия может находиться вне строящейся цепочки | |
| С помощью этой кнопки производится построение прямого отрезка, касательного выбранной кривой. Эта кривая должна находиться вне строящейся цепочки. В некоторых случаях программа может предложить несколько вариантов построения касательных отрезков. Для выбора одного из них или всех вместе необходимо использовать кнопки Предыдущий или Следующий объект или, указывая мышкой на каждый нужный вариант, нажимать левую кнопку мыши. Если задать конкретную длину отрезка в поле Длина , то появляется возможность строить касательный отрезок, вторая точка которого может не лежать на выбранной кривой | |
| Дуга | Команды создания дуг |
| С помощью этой кнопки производится построение произвольной дуги путем последовательного указания трех точек в графическом окне или на панели параметров | |
| С помощью этой кнопки производится построение дуги, касательной предыдущему элементу в цепочке | |
| Лекальная кривая | Команды создания кривых |
| С помощью этой кнопки производится построение сплайна по ряду точек | |
| Сплайн по полюсам | С помощью этой кнопки производится построение сплайна по ряду ограничительных точек. При этом можно задавать Вес точки и Порядок Вес определяет «силу притяжения» кривой к точке кривой. Чем больше вес, тем ближе к точке кривая. По сути это параметр кривизны кривой (чем больше кривизна кривой, тем меньше радиус изгиба, и наоборот). Параметр Порядок определяет минимальное количество точек, по которому будет построена кривая. Минимальный порядок 3 - позволяет построить кривую по трем точкам |
Построение геометрии с помощью инструмента Линия
Команда Линия предназначена для последовательного построения прямых линий и дуг так, что конец предыдущего объекта является началом следующего объекта. Панель параметров этой команды содержит вырожденное меню команды . Построение геометрии этим способом возможно также из меню Инструменты → Геометрия → Линия . Панель параметров этой кнопки содержит следующие команды:
| Параметр | Описание |
| Отрезок | С помощью этой кнопки производится построение произвольного прямого отрезка |
| Дуга | С помощью этой кнопки производится построение дуги, касательной к предыдущему элементу в цепочке. При этом направление создания дуги изменяется перемещением курсора в противоположную сторону от начальной точки дуги |
| С помощью этой кнопки завершается создание цепочки геометрических элементов. После этого программа переходит в режим ожидания ввода новой цепочки | |
| Если эта кнопка нажата, то производится построение цепочки элементов. Если эта кнопка отжата, то производится построение отдельных элементов (линий или дуг) |
Построение кривых и ломаной линии
Построение кривых возможно из менюИнструменты → Геометрия → Кривые . Построение ломаной линии возможно из менюИнструменты → Геометрия → Ломаная . Кривая Безье представляет собой частный случай NURBS кривой. Все эти команды находятся на панели инструментов Геометрия. Способы их построения перечислены ниже:
Кнопка Сплайн предназначена для построения одноименной кривой по ряду точек. Представленные на панели параметров кнопки Разомкнутый объект и Замкнутый объект позволяют строить соответственно незамкнутую и замкнутую кривую, когда первая и последняя точки соединяются. Замкнутую кривую всегда можно переключить в незамкнутую кривую и наоборот.
У сплайна возможно расширенное редактирование характерных точек. Для этого предназначена кнопка Редактировать точки на панели параметров. Также эта команда автоматически вызывается при двойном щелчке левой кнопки мыши на уже построенной кривой. При этом точки кривой дополняются касательными отрезками, которые проходят через характерные точки кривой.
Кривую можно разбить на части с помощью команд меню Разбить → Кривую и Разбить → Кривую на N частей . Первая команда позволяет разбить выбранную кривую на 2 части в указанной точке. Вторая кривая позволяет разбить кривую на несколько равных частей. Для этого необходимо выбрать количество частей на панели параметров и указать кривую, которую необходимо разбить.
Передвигая мышкой характерные точки (квадратные точки) и концы касательных отрезков (круглые точки), можно управлять формой кривой. Можно передвигать эти точки с использование стрелок клавиатуры, для этого необходимо навести курсор на требуемую точку и нажать клавишу Enter. После этого станет возможным передвижение с помощью стрелок с шагом, кратным текущему шагу курсора. Завершить перемещение можно также по нажатию клавиши Enter. Возможно 3 варианта перемещения характерных точек:
- Перемещение в любом направлении - если курсор при наведении на точку будет выглядеть в виде четырех диагональных стрелок
- Перемещение в ограниченном диапазоне направлений - если курсор при наведении на точку будет выглядеть в виде четырех ортогональных стрелок
- Перемещение курсора приводит к вращению геометрии - если курсор при наведении на точку будет выглядеть в виде вращающихся стрелок.
Точки кривой можно привязывать к другим объектам и другим точкам кривой с помощью глобальных и локальных привязок. Включение необходимой локальной привязки в процессе перемещения характерной точки возможно при нажатии правой кнопки мыши (или сочетании клавиш SHIFT+F10) и выборе привязки из выпадающего подменю Привязка .
Кнопка Сплайн по полюсам предназначена для построения кривой – сплайна по ряду точек. Для этого типа кривой можно задавать Вес с точки и Порядок кривой на панели параметров. Параметр Вес определяет «силу притяжения» кривой к точке кривой. Чем больше вес, тем ближе к точке кривая. По сути это параметр кривизны кривой (чем больше кривизна кривой, тем меньше радиус изгиба и наоборот). Параметр Порядок определяет минимальное количество точек, по которому будет построена кривая. Минимальный порядок 3 - позволяет построить кривую по трем точкам. Сплайн по полюсам напоминает обычный сплайн в режиме редактирования точек. Если конечные точки смежных касательных (тангенциальных) отрезков в к сплайне соединить, то получится подобие сплайна по полюсам. Сплайн по по полюсам изначально более «гладкий», чем обычный сплайн, в связи с тем, что в сплайн по полюсам обеспечивается непрерывность по кривизне.
Если построить 2 сплайна по полюcам, то можно соединить их концы так, чтобы обеспечивалась непрерывность («гладкость») в точке перехода.
Для этого необходимо построить вспомогательную линию в точке перехода с необходимым наклоном (например, касательную вспомогательную прямую в этой точке перехода) и расположить вторые точки от точки перехода на этой вспомогательной прямой. Теперь при перемещении 3 точки и выше (если смотреть от точки перехода) на любой из этих кривых будет сохраняться условие непрерывности кривой в точке перехода.
Добавить характерную точку можно с помощью простого щелчка левой кнопки мыши на нужном участке кривой.
Удалить характерную точку можно с помощью клавиши DEL при выборе требуемой точки. При этом кривая изменит форму.
Интерфейс работы со сплайнами по полюсам аналогичен интерфейсу работы с обычными сплайнами. На панели параметров можно также создать как Разомкнутый объект так и Замкнутый объект. И с помощью кнопки Редактировать точки можно также исправить форму кривой, двигая характерные точки. Точно так же, как и с кривыми Безье работают привязки, совершается перемещение точек и разбиение кривой на части.
Кнопка Ломаная предназначена для построения серии связанных между собой прямых линий. Ломаная линия отличается от обычной последовательности прямых отрезков тем, что сдвиг любого элемента не приводит к разрыву линии.
Интерфейс работы с ломаными линиями аналогичен интерфейсу работы с кривыми. На панели параметров можно также создать как Разомкнутый объект , так и Замкнутый объект . И с помощью кнопки Редактировать точки можно также исправить форму ломаной линии, двигая характерные точки. Точно так же, как и с кривыми, работают привязки и совершается перемещение точек. Отличительной особенностью ломаной линии является то, что ее можно разбить на отдельные элементы с помощью команды меню Редактор → Разрушить . После этого отдельные элементы ломаной линии можно перемещать или удалять, без воздействия на другие элементы.
Геометрические задачи на построение
С помощью циркуля и линейки
учащаяся 8-А класса
Руководитель: Москаева В.Н.,
учитель математики
Нижний Новгород
Введение
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лёд и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти две противоположности.
А. Д. Александров
Собираясь в школу, мы не забываем положить в портфель циркуль, линейку и транспортир. Эти инструменты помогают выполнить грамотно чертежи и красиво нарисовать. Данные инструменты используют инженеры, архитекторы, рабочие, конструкторы одежды, обуви, строители, ландшафтные дизайнеры. Хотя существуют компьютеры, но на стройке, в саду их пока не используешь.
Машина рисует мгновенно в течение нескольких секунд. Математик должен потратить довольно много времени, чтобы на языке, понятном машине объяснить ей то, что она должна сделать - написать программу и ввести её в машину, поэтому конструкторы нередко предпочитают работать с простейшими и древнейшими инструментами – циркулем и линейкой.
Что может быть проще? Гладкая дощечка с ровным краем - линейка, две заостренные палочки, связанные на одном конце - циркуль. С помощью линейки через две заданные точки проводят прямую. С помощью циркуля проводят окружности с данным центром и данного радиуса, отложить отрезок, равный данному.
Циркуль и линейка известны более 3 тысячи лет были уже известны, 200-300 лет назад их украшали орнаментами и узорами. Но, несмотря на это они и сейчас исправно служат нам. Простейших инструментов достаточно для огромного количества построений. Древние греки думали, что возможно любое разумное построение выполнить этими инструментами, пока не обнаружили три знаменательные задачи древности: «квадратуру круга», «трисекцию угла», «удвоение куба».
Поэтому считаю тему моей работы современной и важной для деятельности человека во многих сферах деятельности человека.
Все прекрасно знают, что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях. Математика – предмет непростой. И геометрию большинство учащихся называет «трудной». Задачи на построение отличаются от традиционных геометрических задач.
Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.
Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов - прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.
Программа по геометрии предполагает изучение лишь простейших приемов и методов построений. Но применение этих приемов часто вызывает затруднения. Поэтому, объектом моего исследования являются геометрические фигуры, построенные с помощью циркуля и линейки.
Цель моей работы: рассмотреть различные способы построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.
Методы исследования:
ü Анализ уже существующих способов построений
ü Поиск новых способов, простых в применении (ГМТ и построения Штейнера)
Задачи:
ü получить более полное представление о различных способах построений
ü проследить за развитием этого фрагмента геометрии в истории математики
ü продолжить развитие исследовательских умений.
Из истории геометрического построения циркулем и линейкой.
Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки-математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем – линейки и двух заостренных палок, связанных на одном конце – циркуля. Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.
Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.
Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки .
Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности, привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.
Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1796 году великий немецкий математик К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N-угольника указанными средствами. Первокурсник Геттингенского университета Карл Гаусс решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более 2 с лишним тысяч лет. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольников.
Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный. Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797 году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.
3. Простейшие задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки
Рассмотрим основные (элементарные) построения, которые наиболее часто встречаются в практике решения задач на построение. Задачи такого рода рассматриваются уже в первых главах школьного курса.
Построение 1. Построение отрезка, равного данному.
Дано: отрезок длины а.
Построить: отрезок АВ длины а.
Построение:
Построение 2. Построение угла, равного данному.
Дано: ∟AOB.
Построить: ∟ KMN, равный ∟ АОВ.
Построение:
Построение 3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).
Дано: отрезок АВ.
Построить: точку О – середину АВ.
Построение:
Построение 4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).
Дано: ∟ АВС.
Построить: ВD – биссектрису ∟АВС.
Построение:
Построение 5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку.
а) Дано: прямая а, точка A а.
Построить:
прямой а.
Построение
:
б) Дано: прямая а, точка A a.
Построить: прямую, проходящую через точку А, перпендикулярно к
прямой а.
Построение:
Построение 6 . Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
Дано: прямая а, точка A a.
Построить: прямую, проходящую через точку А, параллельно прямой а.
I способ (через два перпендикуляра).
Построение:
II способ (через параллелограмм).
Построение:
Построение 7. Построение треугольника по трем сторонам.
Дано: отрезки длины a, b, c.
Построить: Δ ABC.
Построение:
Построение 8. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано: отрезки длины b, c, угол α.
Построить: треугольник ABC.
Построение:
Построение 9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.
Дано: отрезок длины c, углы α и β.
Построить: ΔABC.
Построение:
Построение 10. Построение касательной к данной окружности, проходящей через данную точку.
Дано: окружность (О), точка А вне ее.
Построить: касательную к окружности ω(О), проходящую через точку А.
Построение:
Рассмотренные задачи входят в качестве составных частей в решение более сложных задач, поэтому в дальнейшем, этапы основных построений не описываются.
Решение задач на построение состоит из четырех частей:
1. Предположив, что задача решена, делаем от руки приблизительный чертеж искомой фигуры и затем, внимательно рассматриваем начерченную фигуру, стремясь найти такие зависимости между данными задачи и искомыми, которые позволили бы свести задачу на другие, известные ранее. Эта самая важная часть решения задачи, имеющая целью составить план решения, носит название анализа.
2. Когда таким образом план решения найден, выполняют сообразно ему построение.
3. Доказательство - для проверки правильности плана на основании известных теорем доказывают, что полученная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.
4. Исследование - задаются двумя вопросами:
1) При всяких ли данных возможно решение?
2) Сколько существует решений?
Рассмотрим применение данных этапов на примере решения следующей задачи.
Задача: Построить треугольник, зная его основание b, угол A, прилежащий к основанию, и сумму s двух боковых сторон.
Анализ: Предположим, что задача решена, т.е. найден такой ΔAВС, у которого основание AС=b, ∟ВАС=A и AВ+ВС=s . Рассмотрим теперь полученный чертеж. Сторону AС, равную b , ∟ВАС=A , мы строить умеем. Значит, остается найти на другой стороне ∟A такую точку В , чтобы сумма AВ+ВС равнялась s . Продолжив AВ , отложим отрезок AD , равный s . Теперь вопрос приводится к тому, чтобы на прямой AD отыскать такую точку В , которая была бы одинаково удалена от С и D . Такая точка как мы знаем, должна лежать на перпендикуляре, проведенном к отрезку СD через его середину. Точка В найдется в пересечении этого перпендикуляра с АD .
Построение:
1. Строим ∟А
, равный данному углу
2. На его сторонах откладываем AС=b и AD=s
3. Через середину отрезка прямой СD проводим перпендикуляр ВЕ
4. ВЕ пересекает AD в точке В
5. Соединяем точки В и С
6. ΔAВС - искомый.
Доказательство:
Рассмотрим полученный ΔAВС, в нем ∟А равен данному углу (по пункту №1 построения). Сторона AС=b (пункт №2) и стороны АВ и ВС в сумме составляют s (пункты №2,3,4). Следовательно по 1-му признаку равенства треугольников ΔAВС - искомый.
Исследование:
1. При всяких ли данных возможно решение?
Рассматривая построение, мы замечаем, что задача возможна не при всяких данных. Действительно, если сумма s задана слишком малой сравнительно с b, то перпендикуляр ВЕ может не пересечь отрезка AD (или пересечет его продолжение за точку D), в этом случае задача окажется невозможной.
И, независимо от построения, можно видеть, задача невозможна, если s < b или s =b , потому что не может быть такого треугольника, у которого сумма двух сторон была бы меньше или равна третьей стороне.
2. Сколько существует решений?
В том случае, когда задача возможна, она имеет только одно решение, т.е. существует только один треугольник, удовлетворяющий требованиям задачи, так как пересечение перпендикуляра ВЕ с прямой AD может быть только в одной точке.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27
Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Построение с помощью линейки и циркуля Геометрия ">
Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В "> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.
Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники "> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый
Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Построение биссектрисы угла Задача Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС
Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.
Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.
