Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .
Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .
Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности
x 1 , x 2 , … x n , …
с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .
Пример 1 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
задана с помощью формулы общего члена
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .
x 1 , x 2 , … x n , …
называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n
x n + 1 > x n
Пример 3 . Последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, … n , …
является возрастающей последовательностью .
Определение 2. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
x n + 1 < x n
Пример 4 . Последовательность
заданная формулой
является убывающей последовательностью .
Пример 5 . Числовая последовательность
1, - 1, 1, - 1, …
заданная формулой
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 4. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 5. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 6. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
m < x n < M
Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .
Пример 6 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
заданная формулой
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .
Пример 7 . Последовательность
заданная формулой
является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
| подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов |
Иногда такие последовательности наз. строго возрастающим и, а термин "В. п." применяется к последовательностям, удовлетворяющим для всех плишь условию Такие последовательности наз. также неубывающими. Всякая ограниченная сверху неубывающая последовательность имеет конечный , а всякая не ограниченная сверху имеет бесконечный предел, равный +бесконечн. Л. Д. Кудрявцев.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ" в других словарях:
возрастающая последовательность - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ascending sequence … Справочник технического переводчика
Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности состоит в отыскании наиболее длинной возрастающей подпоследовательности в данной последовательности элементов. Содержание 1 Постановка задачи 2 Родственные алгоритмы … Википедия
Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Содержание 1 Определения 2… … Википедия
Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
Это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия
Монотонная последовательность последовательность, удовлетворяющая одному из следующих условий: для любого номера выполняется неравенство (неубывающая последовательность), для любого номера выполняется неравенство (невозрастающая… … Википедия
Раздел теории чисел, в к ром изучаются и метрически (т. е. на основе теории меры)характеризуются множества чисел, обладающих определенными арифметич. свойствами. М. т. ч. тесно связана с теорией вероятностей, что иногда дает возможность… … Математическая энциклопедия
Утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих… … Википедия
Теорема, дающая оценку плотности суммы двух последовательностей. Пусть А={0, а 1, а.2,. . ., а i, ...} возрастающая последовательность целых чисел и Плотностью последовательности Аназ. величина А р и ф м е т и ч е с к о й суммой двух… … Математическая энциклопедия
Пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS)и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной… … Математическая энциклопедия
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Любая монотонная ограниченная последовательность {
x n }
имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {
x n }
для неубывающей и точной нижней границе, inf {
x n }
для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство
1) неубывающей ограниченной последовательностью .
(1.1)
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную верхнюю границу
.
Это означает, что:
- для всех n
,
(1.2) ;
(1.3) .
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.
2)
Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью
:
(2.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:
- для всех n
выполняются неравенства:
(2.2) ; - для любого положительного числа ,
существует такой номер ,
зависящий от ε
,
для которого
(2.3) .
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.
Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3)
Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью
.
Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n
выполняются неравенства:
(3.1)
.
Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(3.2)
.
Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.
4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .
Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(4.2)
.
Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Итак, для любого числа M
существует такое натуральное число ,
зависящее от M
,
так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.
Пример решения задачи
Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
,
,
. . . ,
,
. . .
После чего найти ее предел.
Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.
Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1)
.
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть .
Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.
Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2)
.
Поскольку ,
то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через a
:
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .
Монотонность последовательности
Монотонная последовательность - последовательность , удовлетворяющая одному из следующих условий:
Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» - в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Некоторые обобщения
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона
(здесь допускается обращение правой границы N + в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I , а сам диапазон I называется промежутком монотонности последовательности.
Примеры
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Монотонность последовательности" в других словарях:
Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… … Энциклопедия Кольера
Тестирование псевдослучайных последовательностей совокупность методов определения меры близости заданной псевдослучайной последовательности к случайной. В качестве такой меры обычно выступает наличие равномерного распределения, большого… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия
Известный писатель. Род. в Орле в 1871 г.; отец его был землемер. Учился в Орловской гимназии и в университетах С. Петербургском и Московском, по юридическому факультету. Студентом сильно нуждался. Тогда же он написал первый свой рассказ "о… … Большая биографическая энциклопедия
Численные методы решения методы, заменяющие решение краевой задачи решением дискретной задачи (см. Линейная краевая задача;численные методы решения и Нелинейное уравнение;численные методы решения). Во многих случаях, особенно при рассмотрении… … Математическая энциклопедия
Манускрипт Войнича написан с помощью неизвестной системы письма Рукопись Войнича (англ. Voyni … Википедия
Написан с помощью неизвестной системы письма Рукопись Войнича (англ. Voynich Manuscript) таинственная книга, написанная около 500 лет назад неизвестным автором, на неизвестном языке, с использованием неизвестного алфавита. Рукопись Войнича… … Википедия
Сиджизмондо д’Индия (итал. Sigismondo d India, ок. 1582, Палермо? до 19 апреля 1629, Модена) итальянский композитор. Содержание 1 Биография 2 Творчество … Википедия
Модернизация - (Modernization) Модернизация это процесс изменения чего либо в соответствии с требованиями современности, переход к более совершенным условиям, с помощью ввода разных новых обновлений Теория модернизации, типы модернизации, органическая… … Энциклопедия инвестора
Одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. I. Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства В., называемых теперь, для отличия от… … Большая советская энциклопедия
