Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут;-)

Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика - это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа - люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению - их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

Перестановки, сочетания и размещения без повторений

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка - что значит «без повторений »? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:

яблоко / груша / банан

Вопрос первый : сколькими способами их можно переставить?

Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:

яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

Итого : 6 комбинаций или 6 перестановок .

Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!

Никаких мучений - 3 объекта можно переставить способами.

Вопрос второй : сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?


Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте - для того, чтобы съесть! а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами - взять либо яблоко, либо грушу, либо банан.

Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний :

Запись в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:

Запись понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:

Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта - собственно, ничего не взять и всё.

г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)

Вопрос третий : сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно способами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей - Наташу;
либо наоборот - груша достанется Даше, а яблоко - Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.

В данном случае работает формула количества размещений :

Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.

Постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.

Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными .

Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:

Задача 1

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение : используем формулу количества перестановок:

Ответ : 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели на скамейку вдоль одной стены - важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:

Задача 2

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны! ) , и это очень важная предпосылка для применения формулы Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? ;-)

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач - в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.

Решение и ответ в конце урока.

Увеличиваем обороты:

Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание - это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение : прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными - даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать) .

В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» - грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:

Способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ : 1365 способами

Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

Единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
- единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля , по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений при небольших значениях «эн».

Задача 4

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью - главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:

Задача 4

В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по 1-й партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой) . Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений ) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».

Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
различных пар можно составить из соперников (кто играет белыми, кто чёрными - не важно) .

Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.

Ну а вывода тут два:

Во-первых, не всё очевидное - очевидно;

И во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!

Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!

Размещения

Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком . Количество размещений рассчитывается по формуле

Что наша жизнь? Игра:

Задача 5

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение : ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

Способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей, 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

Способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.

По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.

Ответ : 42840

Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:

Задача 6

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.

План:

1. Элементы комбинаторики.

2. Общие правила комбинаторики.

4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

1. Комбинаторика и ее возникновение.

Комбинаторика - это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.

Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.

2. Общие правила комбинаторики.

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран m способами, а объект В- k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m +k способами.

Примеры:

1. Допустим, что в ящике находится n разноцветных шаров. Произвольным образом вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: n способами.

Распределим эти n шариков по двум ящикам: в первый- m шариков, во второй- k шариков. Произвольным образом из произвольно выбранного ящика вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из первого ящика шарик можно вынуть m способами, из второго- k способами. Тогда всего способов m+k=n .

2. Морской семафор.

В морском семафоре каждой букве алфавита соответствует определенное положение относительно тела сигнальщика двух флажков. Сколько таких сигналов может быть?

Решение: Общее число складывается из положений, когда оба флажка расположены по разные стороны от тела сигнальщика и положений, когда они расположены по одну сторону от тела сигнальщика. При подсчете числа возможных положений применяется правило суммы.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать m *k способами.

Примеры:

1. Сколько двузначных чисел существует?

Решение: Число десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9. Число единиц может быть обозначено любой цифрой от 0 до 9. Если число десятков равно 1, то число единиц может быть любым (от 0 до 9). Таким образом, существует 10 двузначных чисел, с числом десятков- 1.Аналогично рассуждаем и для любого другого числа десятков. Тогда можно посчитать, что существует 9 *10 = 90 двузначных чисел.

2. Имеется 2 ящика. В одном лежит m разноцветных кубиков, а в другом- k разноцветных шариков. Сколькими способами можно выбрать пару «Кубик-шарик»?

Решение: Выбор шарика не зависит от выбора кубика, и наоборот. Поэтому, число способов, которыми можно выбрать данную пару равно m *k .

3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.

Генеральная совокупность без повторений - это набор некоторого конечного числа различных элементов a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .

Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.

Выборкой объема k (k n ) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.

Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n .

Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

- число размещений из n по k .

Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n -1 способом и т.д.


Преобразовав данную формулу, имеем:

Следует помнить, что 0!=1.

Примеры:

1. В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?

Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.

2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n , т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число перестановок.

Примеры:

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?

Решение: Имеем перестановки из 5 элементов. 2. Сколькими способами можно собрать 6 разноцветных лоскутков в пеструю ленту?
Решение: Имеем перестановки из 6 элементов.

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.

- число сочетаний из n по k

Элементы каждого из сочетаний можно расставить способами. Тогда Примеры:

1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.

2. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов из десяти человек на конференцию?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.

Конспект:




4.Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

В случае, когда число возможных выборов на каждом шагу зависит от того, какие элементы были выбраны ранее, можно изобразить процесс составления комбинаций в виде «дерева». Сначала из одной точки проводят столько отрезков, сколько различных выборов можно сделать на первом шагу. Из конца каждого отрезка проводят столько отрезков, сколько можно сделать выборов на втором шагу, если на первом шагу был выбран данный элемент и т.д.

Задача:

При составлении команд космического корабля учитывается вопрос и психологической совместимости участников путешествия. Необходимо составить команду космического корабля из 3 человек: командира, инженера и врача. На место командира есть 4 кандидата: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 .На место инженера- 3: b 1 , b 2 , b 3 . На место врача- 3: c 1 , c 2 , c 3 . Проведенная проверка показала, что командир a 1 психологически совместим с инженерами b 1 и b 3 и врачами c 1 и c 3 . Командир a 2 - с инженерами b 1 и b 2 . и всеми врачами. Командир a 3 - с инженерами b 1 и b 2 и врачами c 1 и c 3 . Командир a 4 -со всеми инженерами и врачом c 2 . Кроме того, инженер b 1 не совместим с врачом c 3 , b 2 - с врачом c 1 и b 3 - с врачом c 2 . Сколькими способами при этих условиях может быть составлена команда корабля?

Решение:

Составим соответствующее «дерево».






Ответ: 10 комбинаций.

Такое дерево является графом и применяется для решения комбинаторных задач.

Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.

План занятия:

1. Число размещений.

2. Число перестановок.

3. Число сочетаний.

4. Повторения.

5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Методические указания по изучению темы

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Пусть есть некоторое множество из n элементов: x 1, x 2, x 3, …, x n .

Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).

Размещения

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:

Понятие факториала

Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n ! (n факториал), то есть

Например, 2!=

5!=

Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.

Примеры:

Из последних двух формул следует, что

Пример.

В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?

Решение : Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда

(вариантов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение:

(способов).

Пример.

Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?

(телефонных номеров).

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P n (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:

Пример.

В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?

Решение:

В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)

Пример.

Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?

Решение:

(способов)

Пример.

Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?

Решение:

(способов).

Сочетания

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляют по формуле: (С - первая буква французского слова combinasion).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение :

(способов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?

Решение:

(способов).

Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний

; , то есть .

Свойства числа сочетаний:

5)

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.

Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Размещения с повторениями

Число размещений по m элементов с повторениями из n различных элементов равно n m ,то есть

Пример.

Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.

Перестановки с повторениями

Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

где

Пример.

Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Решение:

Сочетания с повторениями

Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n +m -1) различных элементов по m элементов:

Пример.

Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a , b , c , d по 3 элемента.

Решение:

Искомое число будет

Бином Ньютона

Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:

Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

При n = 2 получим формулу ;

При n = 3 получим формулу .

Пример. Определить разложение при n=4.

Решение:

Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:

2. ;

Рассмотрим следующий треугольник:

………………………….

Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:

……………………….

Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.

В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)




Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)


При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить:

2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Найти n , если 5С n 3 =

5. Найти n , если

6. Найти n , если

7. Найти n , если

8. Найти n , если , k n

9. Решить уравнение

10. Решить систему

11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?

13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?

17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?

18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?

20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?

21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?

23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?

24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?

29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?

31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.

32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?

36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.

37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. (Обмен происходит по одной марке).

38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?

40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?

41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?

43. Определить разложение при n=5.

44. Определить разложение при n=8.

45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).

46. Найти шестой член разложения , если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

47. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).

48. В разложении бинома найти члены, не содержащие иррациональности.

49. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

Практическое занятие №2

(интерактивное занятие в малых группах)

Булевы функции

Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.

План занятия:

1. Основные операции

2. Булевы функции от n переменных

3. Основные эквивалентности

Подсчитаем в MS EXCEL количество перестановок из n элементов. С помощью формул выведем на лист все варианты перестановок (английский перевод термина: permutation).

Перестановкой множества из n элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Элементами множества могут быть числа, буквы и вообще любые объекты. Главное, чтобы эти элементы были различными. Т.к. любому объекту можно сопоставить число, то для Перестановок обычно используют конечное множество целых чисел, например, {1; 2; 3; 4; 5}. Хотя множества из букв также можно часто встретить в литературе. Например, все различные Перестановки множества из трех элементов {a, b, c} – это abc , acb , bac , bca , cab , cba .

Число Перестановок n элементов равно n! (факториал).

Для вычисления факториала в MS EXCEL есть функция =ФАКТР() , английский вариант FACT(). Понятно, что число перестановок растет очень быстро с ростом n: для n=7 число перестановок равно 5040. Справедливости ради, нужно отметить, что зачастую сами варианты перестановок находить не требуется, главное – найти их количество.

Примечание : Перестановки можно считать частным случаем размещений при n=k (см. статью ). Поэтому для вычисления количества перестановок можно использовать функцию ПЕРЕСТ() . Для n=7 число Перестановок вычисляется по формуле =ПЕРЕСТ(7;7)

Примечание : О Перестановках с повторениями (с возвращением элементов обратно во множество, из которого они берутся, после выборки каждого элемента) можно прочитать в статье .

В файле примера создана универсальная формула для вывода всех Перестановок для заданного n. Например, для n=3.

Задача

6 машин разных марок участвуют в гонках на выживание: LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo. Определить число возможных вариантов распределения мест между всеми участниками.

Нам нужно определить число перестановок 6 машин на 6-и местах. Т.е. n=6. Оказывается, что таких перестановок 720: =ПЕРЕСТ(6;6) или 6! =ФАКТР(6)

Воспользуемся файлом примера , чтобы найти все варианты перестановок.

Произвольным образом сопоставим маркам машин числовые значения и сделаем сокращения названий марок: LADA Granta (LG=1), Hyundai Solaris (HS=2), …

Введя в ячейке В5 значение 6, определим все варианты расстановок машин на занятых ими в гонке местах.

Примечание : О Размещениях можно прочитать в статье , а о Сочетаниях в статье .

Перебор всех возможных перестановок может потребоваться для решения различных задач (см. статью и ).

Инверсии перестановок

Для каждой перестановки a 1, a 2, a 3,..., a n из n целых чисел 1, 2, 3, ..., n , инверсией называется пара (a i, a j) если для i < j выполняется a i > a j. Число инверсией в перестановке показывает насколько перестановка является "несортированной" по возрастанию.

Например, число инверсий в перестановке 1, 2, 3, 4 равно 0 (перестановка из 4-х целых чисел отсортирована по возрастанию от 1 до 4), а число инверсий в перестановке 4, 3, 1, 2 равно 5, т.к.:

  • первый элемент (i=1) равен 4 и он больше 3-х чисел (с j=2, 3, 4), которые расположены правее (4>3, 4>1, 4>2), т.е. мы имеем 3 инверсии;
  • второй элемент (i=2) равен 3 и он больше2-х чисел (с j=3, 4), которые расположены правее (3>1, 3>2), т.е. мы имеем еще 2 инверсии;
  • так третий элемент (i=3) равен 1 и он меньше числа с j=4, которое расположено правее (1<2), то эта пара не является инверсией. Т.е. у перестановки 4, 3, 1, 2 число инверсий равно 3+2+0=5.

В файле примера для каждой Перестановки подсчитывается число инверсией.

Задача . Определить количество всех упорядоченных наборов длиныr , которые можно составить из элементов множестваX (
), если выбор каждого элемента
, производится из всего множестваX .

Упорядоченный набор
– это элемент декартова произведения
, состоящего изr одинаковых множителейX . По правилу произведения количество элементов множества
равно
. Мы вывели формулу
.

Пример . Сколько четырехзначных телефонных номеров можно составить, если использовать все десять цифр?

Здесь
, и количество телефонных номеров равно

2.1.5. Размещения без повторений

Задача . Сколько упорядоченных наборов
можно составить изn элементов множестваX , если все элементы набора различны?

Первый элемент можно выбратьn способами. Если первый элемент уже выбран, то второй элементможно выбрать лишь
способами, а если уже выбран
элемент
, то элементможно выбрать
способами (повторение уже выбранного элемента не допускается). По правилу произведения получаем

Эта формула записывается иначе с использованием обозначения
. Так как

.

Пример . Сколько может быть различных списков победителей олимпиады (первое, второе, третье место), если участвовало 20 человек?

Здесь
, искомым является число

2.1.6. Перестановки без повторений

Рассмотрим частный случай размещения без повторений: если
, то в размещении участвуют все элементы множестваX , т.е. выборки имеют одинаковый состав и отличаются друг от друга только порядком элементов. Такие выборки называютсяперестановками . Количество перестановок изn элементов обозначают:

Пример. Сколькими способами можно выстроить очередь в кассу, если хотят получить зарплату шесть человек?

2.1.7. Перестановки с повторениями

Пусть множество X состоит изk различных элементов:
.Перестановкой с повторениями состава
будем называть упорядоченный набор длины
, в котором элементвстречается раз
. Количество таких перестановок обозначается
.

Пример . Из букв
запишем перестановку с повторением состава
. Ее длина
, причем букваa входит 2 раза,b – 2 раза,c – один раз. Такой перестановкой будет, например,
или
.

Выведем формулу количества перестановок с повторениями. Занумеруем все одинаковые элементы, входящие в перестановку, различными индексами, т.е. вместо перестановки
получим
. Теперь все элементы перестановки различны, а количество таких перестановок равно
. Первый элемент встречается в выборкераз. Уберем индексы у первого элемента (в нашем примере получим перестановку
), при этом число различных перестановок уменьшится в раз, т.к. при изменении порядка одинаковых элементов наша выборка не изменится. Уберем индексы у второго элемента – число перестановок уменьшится в раз. И так далее, до элемента с номеромk – число перестановок уменьшится в раз. Получим формулу

Пример . Сколько различных “слов” можно получить, переставляя буквы слова “передача” ?

В этом слове буквы “е” и “а” встречаются два раза, остальные по одному разу. Речь идет о перестановке с повторением состава
длины. Количество таких перестановок равно

2.1.8. Сочетания

Задача . Сколько различных множеств изr элементов можно составить из множества, содержащегоn элементов?

Будем составлять вначале упорядоченные наборы по r элементов в каждом. Количество таких наборов (это размещения изn элементов поr ) равно
. Теперь учитываем, что порядок записи элементов нам безразличен. При этом изразличных размещений, отличающихся только порядком элементов, получим одно сочетание. Например, два различных размещения
и
из двух элементов соответствуют одному сочетанию
. Таким образом, число сочетанийвраз меньше числа размещений:


Пример . Количество способов, которыми мы можем выбрать из восьми дворников троих равно