Как построить треугольник равный данному по двум. Тема урока: Построение треугольника по трём элементам

§ 1 Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение геометрической фигуры - одна из интересных задач в геометрии. Получить необходимую фигуру только при помощи циркуля и линейки без делений не просто.

Фигура треугольник часто используется в решении задач, но как его правильно построить?

Пусть необходимо построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Во-первых, что такое две стороны - это два произвольных отрезка, например, P1Q1 и P2Q2, а также произвольный угол альфа. Все эти элементы уже построены, другими словами, эти элементы - дано задачи.

Во-вторых, необходимо определить последовательность построения: сначала необходимо построить одну сторону треугольника, затем угол и потом вторую сторону треугольника.

Итак, перед нами белый лист, проведем прямую а и отметим на ней точку А, затем возьмем циркуль и отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Далее выберем произвольный раствор циркуля и проведем одну окружность с центром в вершине угла альфа и другую с центром в точке А. Первая окружность пересечет лучи угла альфа в точках Р и К, а вторая окружность пересечет прямую а в точке М. Проведем отрезок РК. Затем возьмем раствор циркуля, равный отрезку РК, и построим окружность с центром в точке М. Окружность с центром в точке М пересечет окружность с центром в точке А, пусть эта точка будет М1. Проведем луч АМ1. Затем на луче АМ1 отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2. Соединим точки В и С отрезком. Полученный треугольник АВС - искомый.

Теперь докажем, что полученный треугольник АВС искомый. На самом деле отрезок АВ равен отрезку P1Q1 и отрезок АС равен отрезку P2Q2 по построению. Угол альфа также по построению равен углу САВ. При данном ходе построения для любых данных отрезков P1Q1 и P2Q2 и неразвернутом угле альфа искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по первому признаку равенства треугольников, поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

§ 2 Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Теперь рассмотрим задачу построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Итак, нам дан отрезок PQ и два угла альфа и бета. Проведем прямую а и отметим на ней произвольную точку А. Отложим от точки А отрезок АВ, равный отрезку PQ. Затем построим угол М1АВ с вершиной в точке А, равный углу альфа, и угол М2ВА с вершиной в точке В, равный углу бета. Точка пересечения лучей АМ1 и ВМ2 будет точка С. Треугольник АВС искомый.

Докажем это: отрезок АВ равен отрезку PQ по построению, также по построению угол САВ равен углу альфа, а угол СВА равен углу бета.

Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому при данном ходе построения искомый треугольник АВС возможно построить только, если сумма углов альфа и бета будет меньше 180 градусов. Если же сумма данных углов будет больше или равна 180 градусом, треугольник построить невозможно.

В этой задаче, как и в предыдущей, прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, а значит, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по второму признаку равенства треугольников, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

§ 3 Построение треугольника по трем сторонам

Построить треугольник по трем сторонам является третьей задачей построения треугольника.

Пусть нам даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3. необходимо построить треугольник АВС, в котором АВ равно P1Q1, ВС равно P2Q2 и СА равно P3Q3.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Затем построим две окружности: одну - с центром в точке А и радиусом P3Q3, а другую - с центром в точке В и радиусом P2Q2. Пусть точка С - одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС. В самом деле, по построению АВ равно P1Q1, BC равно P2Q2 и СА равно P3Q3, то есть стороны треугольника равны данным отрезкам.

Рассмотренная задача не всегда имеет решение в силу действия неравенства треугольника, то есть в любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Список использованной литературы:

1. Атанасян Л.С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2013. –383 с.
2. Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие/ И.Б. Барский, Г.Н. Тимофеев. – Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. – 636с

В т р е у г о л ь н и к е к а ж д а я с т о р о н а м е н ь ш е с у м м ы д в у х д р у г и х.

Повторительные вопросы

Постройте треугольник, стороны которого 44 мм, 58 мм и 66 мм. – Какие углы равны в равных треугольниках? – Из всяких ли трех отрезков можно построить треугольник? – Какая зависимость существует между сторонами треугольника?

Применения

9. В городе три завода, взаимно удаленные на 4,8 км, 2,4 км и 3,2 км. Начертите их расположение в масштабе 80 м в 1 мм.

Р е ш е н и е. Строят треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 4 см.

10. Возможен ли треугольник со сторонами в 10 см, 20 см и 30 см? 3 см, 4 см и 5 см? 6 см, 6 см и 13 см!

Р е ш е н и е. В первом случае невозможен, так как 10 + 20 не больше 30. Во втором случае возможен. В третьем случае невозможен: 6 + 6 не больше 13.

11. Почему кратчайшее и дальнейшее расстояние от точки до окружности надо считать по прямой, проходящей через центр круга?

Р е ш е н и е. Рассмотрим задачу для точки А (черт. 59), расположенной внутри круга. Покажем, что АВ короче АМ.

Соединив О с М, рассуждаем так: ОA + AM больше ОМ (почему?); но ОМ = ОВ, значит ОA + AM больше ОВ. Отняв по ОА от обоих сравниваемых расстояний, мы имеем: АМ больше АВ . Сходным образом можно показать, что дальнейшее расстояние точки А равно АС, т. е. что АС больше, напр., АN. Предлагаем читателю самому это доказать, а также рассмотреть случаи, когда точка лежит вне окружности.

Часто нужно бывает начертить («построить») угол, который был бы равен данному углу, причем построение необходимо выполнить без помощи транспортира, а обходясь только циркулем и линейкой. Умея строить треугольник по трем сторонам, мы сможем решить и эту задачу. Пусть на прямой MN (черт. 60 и 61) требуется построить у точки K угол, равный углу B . Это значит, что надо из точки K провести прямую, составляющую с MN угол, равный B .

Для этого отметим на каждой из сторон данного угла по точке, например А и С , и соединим А и С прямой линией. Получим треугольник АВС . Построим теперь на прямой MN этот треугольник так, чтобы вершина его В находилась в точке К : тогда у этой точки и будет построен угол, равный углу В . Строить же треугольник по трем сторонам ВС, ВА и АС мы умеем: откладываем (черт. 62) от точки К отрезок KL, равный ВС ; получим точку L ; вокруг K , как около центра, описываем окружность радиусом ВА , а вокруг L – радиусом СА . Точку Р пересечения окружностей соединяем с К и Z, – получим треугольник КPL, равный треугольнику ABC ; в нем угол К = уг. В .

Это построение выполняется быстрее и удобнее, если от вершины В отложить р а в н ы е отрезки (одним расстворением циркуля) и, не сдвигая его ножек, описать тем же радиусом окружность около точки К, как около центра.

Пусть требуется разделить угол А (черт. 63) на две равные части помощью циркуля и линейки, не пользуясь транспортиром. Покажем, как это сделать.

От вершины А на сторонах угла отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 64; это делается одним расстворени-ем циркуля). Затем ставим острие циркуля в точки В и С и описываем равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке D. Прямая, соединяющая А и Д делит угол А пополам.

Объясним, почему это. Если точку D соединим с В и С (черт. 65), то получатся два треугольника ADC и ADB, у которых есть общая сторона AD ; сторона АВ равна стороне АС , а ВD равна CD. По трем сторонам треугольники равны, а значит, равны и углы BAD и DАС, лежащие против равных сторон ВD и СD . Следовательно, прямая AD делит угол ВАС пополам.

Применения

12. Построить без транспортира угол в 45°. В 22°30’. В 67°30’.

Р е ш е н и е. Разделив прямой угол пополам, получим угол в 45°. Разделив угол в 45° пополам, получим угол в 22°30’. Построив сумму углов 45° + 22°30’, получим угол в 67°30’.

Пусть требуется на местности узнать расстояние между двумя вехами А и В (черт 66), разделенными непроходимым болотом.

Как это сделать?

Мы можем поступить так: в стороне от болота выберем такую точку С , откуда видны обе вехи и возможно измерить расстояния АС и ВС. У г о л С измеряем помощью особого угломерного прибора (называемого а с т р о л я б и е й). По этим данным, т. е. по измеренным сторонам AC и ВС и углу С между ними, построим треугольник ABC где-нибудь на удобной местности следующим образом. Отмерив по прямой линии одну известную сторону (черт. 67), например АС , строят при ней у точки С угол С ; на другой стороне этого угла отмеряют известную сторону ВС. Концы известных сторон, т. е. точки А и В соединяют прямой линией. Получается треугольник, в котором две стороны и угол между ними имеют наперед указанные размеры.

Из способа построения ясно, что по двум сторонам и углу между ними можно построить т о л ь к о о д и н треугольник. поэтому, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и углы между этими сторонами одинаковы, то такие треугольники можно друг на друга наложить всеми точками, т. е. у них должны быть равны также третьи стороны и прочие углы. Это значит, что равенство двух сторон треугольников и угла между ними может служить признаком полного равенства этих треугольников. Короче говоря:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и.

Применения

13. Чтобы определить расстояние от А до В через озеро (черт. 68), выбирают такую точку С, из которой видны обе точки А и В. На продолжении прямой АС отмеривают от точки С длину АС , а на продолжении линии ВС отмеривают от С длину ВС; получают точки Е и D Расстояние между ними равно искомому расстоянию АВ. Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ACB и DCE равны по двум сторонам (А С = СЕ; ВС = CD) и углу между ними (уг. АСВ = = уг. DCE, как противоположные). Значит стороны и Е и А В равны, как лежащие в равных треугольниках против равных углов.

Решение приведено в учебнике.

Даны три отрезка M 1 N 1 , M 2 N 2 , M 3 N 3 (рис. 148, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам M 1 N 1 и M 2 N 2 , а высота АН равна отрезку M 3 N 3 . Проведем решение задачи по описанной схеме.

Допустим, что искомый треугольник ABC построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника АВН. Поэтому построение треугольника ABC можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник АВН, а затем достроить его до всего треугольника ABC. Построение

Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза АВ равна отрезку M 1 N 1 , а катет АН равен данному отрезку M 3 N 3 . Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображен построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность радиуса M 2 N 2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 149, б).

Доказательство

Треугольник ABC действительно искомый, так как по построению сторона АВ равна M 1 N 1 , сторона АС равна M 2 N 2 , а высота АН равна M 3 N 3 , т. е. треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Исследование

Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M 1 N 1 , M 2 N 2 , М 3 N 3 . В самом деле, если хотя бы один из отрезков M 1 N 1 и M 2 N 2 меньше M 3 N 3 , то задача не имеет решения, так

как наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда M 1 N 1 =M 2 N 2 =M 3 N 3 (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если М 1 N 1 >М 3 N 3 , а M 2 N 2 =M 3 N 3 , то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если М 1 N 1 >М 3 N 3 , а M 2 N 2 =M 1 N 1 то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник ABC равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если M 2 N 2 >M 3 N 3 и М 1 N 1 ≠М 2 N 2 , то задача имеет два решения - треугольники ABC и АВС 1 на рисунке 149, д.

D С Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. hk h 1. Построим луч а. 2. Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q Построим угол, равный данному. 4. Отложим отрезок АС, равный P 2 Q 2. В А Δ АВС искомый. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 и Р 2 Q 2, Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 а k Док-во: По построению AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2, A= hk. Построить. Построение.

При любых данных отрезках AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2 и данном неразвернутом hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

D С Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. h 1 k 1, h 2 k 2 h2h2 1. Построим луч а. 2. Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q Построим угол, равный данному h 1 k Построим угол, равный h 2 k 2. В А Δ АВС искомый. Δ АВС искомый. Дано: Отрезок Р 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 а k2k2 h1h1 k1k1 N Док-во: По построению AB=P 1 Q 1, В= h 1 k 1, А= h 2 k 2. Построить Δ. Построение.

С 1. Построим луч а. 2. Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р 2 Q Построим дугу с центром в т.В и радиусом P 3 Q 3. В А Δ АВС искомый. Дано:Отрезки Р 1 Q 1, Р 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 а P2P2 Q3Q3 Построение треугольника по трем сторонам. Док-во: По построению AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2 CA= P 3 Q 3, т. е. стороны Δ ABC равны данным отрезкам. Построить Δ. Построение.

Задача не всегда имеет решение. Во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A . Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.

Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС , и построить у его концов углы а и b (черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину F треугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEF равен треугольнику АВС ; действительно, если представим себе, что треугольник DEF наложен на ABC так, что сторона DE совпала с равной ей стороною ВС , то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DF пойдет по стороне ВA , а сторона EF по стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина F должна совпасть с вершиной A . Значит, расстояние DF равно искомому расстоянию ВА.

Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС ;

по двум сторонам и углу между ними: СУС ;

по стороне и двум углам: УСУ .

Применения

14. Чтобы узнать расстояние до точки A на другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС , по другую сторону ВС , а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки D пересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ . Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ABC и ВDС равны по одной стороне (ВС ) и двум углам (уг. DCB = уг. АСВ ; уг. DBC = уг. ABC .) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.