Самое лучшее определение вращательного момента – это тенденция силы вращать предмет вокруг оси, точки опоры или точки вращения. Вращательный момент можно рассчитать с помощью силы и плеча момента (перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы), или используя момент инерции и угловое ускорение.

Шаги

Использование силы и плеча момента

  1. Определите силы, действующие на тело и соответствующие им моменты. Если сила не перпендикулярна рассматриваемому плечу момента (т.е. она действует под углом), то вам может понадобиться найти ее составляющие с использованием тригонометрических функций, таких как синус или косинус.

    • Рассматриваемая составляющая силы будет зависеть от эквивалента перпендикулярной силы.
    • Представьте себе горизонтальный стержень, к которому нужно приложить силу 10 Н под углом 30° над горизонтальной плоскостью, чтобы вращать его вокруг центра.
    • Поскольку вам нужно использовать силу, не перпендикулярную плечу момента, то для вращения стержня вам необходима вертикальная составляющая силы.
    • Следовательно, нужно рассматривать y-составляющую, или использовать F = 10sin30° Н.

  2. Воспользуйтесь уравнением момента, τ = Fr, и просто замените переменные заданными или полученными данными.

    • Простой пример: Представьте себе ребенка массой 30 кг, сидящего на одном конце качели-доски. Длина одной стороны качели составляет 1,5 м.
    • Поскольку ось вращения качели находится в центре, вам не нужно умножать длину.
    • Вам необходимо определить силу, прилагаемую ребенком, с помощью массы и ускорения.
    • Поскольку дана масса, вам нужно умножить ее на ускорение свободного падения, g, равное 9,81 м/с 2 . Следовательно:
    • Теперь у вас есть все необходимые данные для использования уравнения момента:

  3. Воспользуйтесь знаками (плюс или минус), чтобы показать направление момента. Если сила вращает тело по часовой стрелке, то момент отрицательный. Если же сила вращает тело против часовой стрелки, то момент положительный.

    • В случае нескольких приложенных сил, просто сложите все моменты в теле.
    • Поскольку каждая сила стремится вызвать различные направления вращения, важно использовать знак поворота для того, чтобы следить за направлением действия каждой силы.
    • Например, к ободу колеса, имеющего диаметр 0,050 м, были приложены две силы, F 1 = 10,0 Н, направленная по часовой стрелке, и F 2 = 9,0 Н, направленная против часовой стрелки.
    • Поскольку данное тело – круг, фиксированная ось является его центром. Вам нужно разделить диаметр и получить радиус. Размер радиуса будет служить плечом момента. Следовательно, радиус равен 0,025 м.
    • Для ясности мы можем решить отдельные уравнения для каждого из моментов, возникающих от соответствующей силы.
    • Для силы 1 действие направлено по часовой стрелке, следовательно, создаваемый ею момент отрицательный:
    • Для силы 2 действие направлено против часовой стрелки, следовательно, создаваемый ею момент положительный:
    • Теперь мы можем сложить все моменты, чтобы получить результирующий вращательный момент:

    Использование момента инерции и углового ускорения

    1. Чтобы начать решать задачу, разберитесь в том, как действует момент инерции тела. Момент инерции тела – это сопротивление тела вращательному движению. Момент инерции зависит как от массы, так и от характера ее распределения.

      • Чтобы четко понимать это, представьте себе два цилиндра одинакового диаметра, но разной массы.
      • Представьте себе, что вам нужно повернуть оба цилиндра вокруг их центральной оси.
      • Очевидно, что цилиндр с большей массой будет сложнее повернуть, чем другой цилиндр, поскольку он “тяжелее”.
      • А теперь представьте себе два цилиндра различных диаметров, но одинаковой массы. Чтобы выглядеть цилиндрическими и иметь разную массу, но в то же время иметь разные диаметры, форма, или распределение массы обоих цилиндров должна отличаться.
      • Цилиндр с большим диаметром будет выглядеть как плоская закругленная пластина, тогда как меньший цилиндр будет выглядеть как цельная трубка из ткани.
      • Цилиндр с большим диаметром будет сложнее вращать, поскольку вам нужно приложить большую силу, чтобы преодолеть более длинное плечо момента.

    2. Выберите уравнение, которое вы будете использовать для расчета момента инерции. Есть несколько уравнений, которые можно использовать для этого.

      • Первое уравнение – самое простое: суммирование масс и плечей моментов всех частиц.
      • Это уравнение используется для материальных точек, или частиц. Идеальная частица – это тело, имеющее массу, но не занимающее пространства.
      • Другими словами, единственной значимой характеристикой этого тела является масса; вам не нужно знать его размер, форму или строение.
      • Идея материальной частицы широко используется в физике с целью упрощения расчетов и использования идеальных и теоретических схем.
      • Теперь представьте себе объект вроде полого цилиндра или сплошной равномерной сферы. Эти предметы имеют четкую и определенную форму, размер и строение.
      • Следовательно, вы не можете рассматривать их как материальную точку.
      • К счастью, можно использовать формулы, применимые к некоторым распространенным объектам:

    3. Найдите момент инерции. Чтобы начать рассчитывать вращательный момент, нужно найти момент инерции. Воспользуйтесь следующим примером как руководством:

      • Два небольших “груза” массой 5,0 кг и 7,0 кг установлены на расстоянии 4,0 м друг от друга на легком стержне (массой которого можно пренебречь). Ось вращения находится в середине стержня. Стержень раскручивается из состояния покоя до угловой скорости 30,0 рад/с за 3,00 с. Рассчитайте производимый вращательный момент.
      • Поскольку ось вращения находится в середине стержня, то плечо момента обоих грузов равно половине его длины, т.е. 2,0 м.
      • Поскольку форма, размер и строение “грузов” не оговаривается, мы можем предположить, что грузы являются материальными частицами.
      • Момент инерции можно вычислить следующим образом:

    4. Найдите угловое ускорение, α. Для расчета углового ускорения можно воспользоваться формулой α= at/r.

      • Первая формула, α= at/r, может использоваться в том случае, если дано тангенциальное ускорение и радиус.
      • Тангенциальное ускорение – это ускорение, направленное по касательной к направлению движения.
      • Представьте себе объект, двигающийся по криволинейному пути. Тангенциальное ускорение – это попросту его линейное ускорение на любой из точек всего пути.
      • В случае второй формулы, легче всего проиллюстрировать ее, связав с понятиями из кинематики: смещением, линейной скоростью и линейным ускорением.
      • Смещение – это расстояние, пройденное объектом (единица СИ – метры, м); линейная скорость – это показатель изменения смещения за единицу времени (единица СИ – м/с); линейное ускорение – это показатель изменения линейной скорости за единицу времени (единица СИ – м/с 2).
      • Теперь давайте рассмотрим аналоги этих величин при вращательном движении: угловое смещение, θ – угол поворота определенной точки или отрезка (единица СИ – рад); угловая скорость, ω – изменение углового смещения за единицу времени (единица СИ – рад/с); и угловое ускорение, α – изменение угловой скорости за единицу времени (единица СИ – рад/с 2).
      • Возвращаясь к нашему примеру – нам были даны данные для углового момента и время. Поскольку вращение начиналось из состояния покоя, то начальная угловая скорость равна 0. Мы можем воспользоваться уравнением, чтобы найти:
    5. Если вам сложно представить, как происходит вращение, то возьмите ручку и попробуйте воссоздать задачу. Для более точного воспроизведения не забудьте скопировать положение оси вращения и направление приложенной силы.

Итак, для равновесия тела, закрепленного на оси, существен не сам модуль силы, а произведение модуля силы на расстояние от оси до линии, вдоль которой действует сила (рис. 115; предполагается, что сила лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения). Это произведение называется моментом силы относительно оси или просто моментом силы. Расстояние называется плечом силы. Обозначив момент силы буквой , получим

Условимся считать момент силы положительным, если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой стрелке, и отрицательным в противном случае (при этом нужно заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть на тело). Например, силам и на рис. 116 нужно приписать положительный момент, а силе - отрицательный.

Рис. 115. Момент силы равен произведению ее модуля на плечо

Рис. 116. Моменты сил и положительны, момент силы отрицателен

Рис. 117. Момент силы равен произведению модуля составляющей силы на модуль радиус-вектора

Моменту силы можно дать еще и другое определение. Проведем из точки , лежащей на оси в той же плоскости, что и сила, в точку приложения силы направленный отрезок (рис. 117). Этот отрезок называется радиус-вектором точки приложения силы. Модуль вектора равен расстоянию от оси до точки приложения силы. Теперь построим составляющую силы , перпендикулярную к радиус-вектору . Обозначим эту составляющую через . Из рисунка видно, что , a . Перемножив оба выражения, получим, что .

Таким образом, момент силы можно представить в виде

где - модуль составляющей силы , перпендикулярной к радиус-вектору точки приложения силы, - модуль радиус-вектора. Отметим, что произведение численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 117). На рис. 118 показаны силы, моменты которых относительно оси одинаковы. Из рис. 119 видно, что перенесение точки приложения силы вдоль ее направления не меняет ее момента. Если направление силы проходит через ось вращения, то плечо силы равно нулю; следовательно, равен нулю и момент силы. Мы видели, что в этом случае сила не вызывает вращения тела: сила, момент которой относительно данной оси равен нулю, не вызывает вращения вокруг этой оси.

Рис. 118. Силы и имеют одинаковые моменты относительно оси

Рис. 119. Равные силы с одинаковым плечом имеют равные моменты относительно оси

Пользуясь понятием момента силы, мы можем по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси и находящегося под действием двух сил. В условии равновесия, выражаемом формулой (76.1), и есть не что иное, как плечи соответствующих сил. Следовательно, это условие состоит в равенстве абсолютных значений моментов обеих сил. Кроме того, чтобы не возникало вращение, направления моментов должны быть противоположными, т. е. моменты должны отличаться знаком. Таким образом, для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю.

Так как момент силы определяется произведением модуля силы на плечо, то единицу момента силы мы получим, взяв равную единице силу, плечо которой также равно единице. Следовательно, в СИ единицей момента силы является момент силы, равной одному ньютону и действующей на плече один метр. Она называется ньютон-метром (Н·м).

Если на тело, закрепленное на оси, действует много сил, то, как показывает опыт, условие равновесия остается тем же, что и для случая двух сил: для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю. Результирующим моментом нескольких моментов, действующих на тело (составляющих моментов), называют алгебраическую сумму составляющих моментов. Под действием результирующего момента тело будет вращаться вокруг оси так же, как оно вращалось бы при одновременном действии всех составляющих моментов. В частности, если результирующий момент равен нулю, то тело, закрепленное на оси, либо покоится, либо вращается равномерно.

Определение 1

Моментом силы представляется крутящий или вращательный момент, являясь при этом векторной физической величиной.

Она определяется как векторное произведение вектора силы, а также радиус-вектора, который проведен от оси вращения к точке приложения указанной силы.

Момент силы выступает характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело. Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты не будут считаться при этом тождественными, поскольку в технике понятие «вращающий» момент рассматривают как внешнее, прикладываемое к объекту, усилие.

В то же время, понятие «крутящий» рассматривается в формате внутреннего усилия, возникающего в объекте под воздействием определенных приложенных нагрузок (подобным понятием оперируют при сопротивлении материалов).

Понятие момента силы

Момент силы в физике может рассматриваться в виде так называемой «вращающей силы». В СИ за единицу измерения принимают ньютон-метр. Момент силы также может называться «моментом пары сил», что отмечено в работах Архимеда над рычагами.

Замечание 1

В простых примерах, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему, момент силы будет определяться в виде произведения величины указанной силы и расстояния до оси вращения рычага.

К примеру, сила в три ньютона, приложенная на двухметровом расстоянии от оси вращения рычага, создает момент, равнозначный силе в один ньютон, приложенной на 6-метровом расстоянии к рычагу. Более точно момент силы частицы определяют в формате векторного произведения:

$\vec {M}=\vec{r}\vec{F}$, где:

  • $\vec {F}$ представляет силу, воздействующая на частицу,
  • $\vec {r}$ является радиусом вектора частицы.

В физике следует понимать энергию как скалярную величину, в то время как момент силы будет считаться величиной (псевдо) векторной. Совпадение размерностей подобных величин не будет случайным: момент силы в 1 Н м, который приложен через целый оборот, совершая механическую работу, сообщает энергию в 2 $\pi$ джоулей. Математически это выглядит так:

$E = M\theta $, где:

  • $E$ представляет энергию;
  • $M$ считается вращающимся моментом;
  • $\theta $ будет углом в радианах.

Сегодня измерение момента силы осуществляют посредством задействования специальных датчиков нагрузки тензометрического, оптического и индуктивного типа.

Формулы расчета момента силы

Интересным в физике является вычисление момента силы в поле, производимого по формуле:

$\vec{M} = \vec{M_1}\vec{F}$, где:

  • $\vec{M_1}$ считается моментом рычага;
  • $\vec{F}$ представляет величину действующей силы.

Недостатком такого представления будет считаться тот факт, что оно не определяет направление момента силы, а только лишь его величину. При перпендикулярности силы вектору вектору $\vec{r}$ момент рычага будет равен расстоянию от центра до точки приложенной силы. При этом момент силы окажется максимальным:

$\vec{T}=\vec{r}\vec{F}$

При совершении силой определенного действия на каком-либо расстоянии, она совершит механическую работу. Точно также и момент силы (при выполнении действия через угловое расстояние) совершит работу.

$P = \vec {M}\omega $

В существующей международной системе измерений мощность $P$ будет измеряться в Ваттах, а непосредственно момент силы- в ньютон-метрах. При этом угловая скорость определяется в радианах в секунду.

Момент нескольких сил

Замечание 2

При воздействии на тело двух равных, а также противоположно направленных сил, не лежащих при этом на одной и той же прямой, наблюдается отсутствие пребывания этого тела в состоянии равновесия. Это объясняется тем, что результирующий момент указанных сил относительно любой из осей не имеет нулевого значения, поскольку обе представленные силы имеют направленные в одну сторону моменты (пара сил).

В ситуации, когда тело закрепляется на оси, произойдет его вращение под воздействием пары сил. Если пара сил будет приложенной в отношении свободного тела, оно в таком случае станет вращаться вокруг проходящей сквозь центр тяжести тела оси.

Момент пары сил считается одинаковым в отношении любой оси, которая перпендикулярна плоскости пары. При этом суммарный момент $М$ пары всегда будет равным произведению одной из сил $F$ на расстояние $l$ между силами (плечо пары) в независимости от типов отрезков, на которые оно разделяет положение оси.

$M={FL_1+FL-2} = F{L_1+L_2}=FL$

В ситуации, когда равнодействующая момента нескольких сил равнозначна нулю, он будет считаться одинаковым относительно всех параллельных друг другу осей. По этой причине воздействие на тело всех этих сил возможно заменить действием всего лишь одной пары сил с таким же моментом.

§ 92. Вращающий момент асинхронного двигателя

Вращающий момент асинхронного двигателя создается при взаимодействии вращающегося магнитного поля статора с токами в проводниках обмотки ротора. Поэтому вращающий момент зависит как от магнитного потока статора Φ, так и от силы тока в обмотке ротора I 2 . Однако в создании вращающего момента участвует только активная мощность, потребляемая машиной из сети. Вследствие этого вращающий момент зависит не от силы тока в обмотке ротора I 2 , а только от его активной составляющей, т. е. I 2 cos φ 2 , где φ 2 - фазный угол между э. д. с. и током в обмотке ротора.
Таким образом, вращающий момент асинхронного двигателя определяется следующим выражением:

M = C ΦI φ 2 cos φ 2 , (122)

где С - конструктивная постоянная машины, зависящая от числа ее полюсов и фаз, числа витков обмотки статора, конструктивного выполнения обмотки и принятой системы единиц.
При условии постоянства приложенного напряжения и изменении нагрузки двигателя магнитный поток остается также почти постоянным.
Таким образом, в выражении вращающего момента величины С и Φ постоянны и вращающий момент пропорционален только активной составляющей тока в обмотке ротора, т. е.

M ~ I 2 cos φ 2 . (123)

Изменение нагрузки или тормозного момента на валу двигателя, как уже известно, изменяет и скорость вращения ротора, и скольжение.
Изменение скольжения вызывает изменение как силы тока в роторе I 2 , так и ее активной составляющей I 2 cos φ 2 .
Можно силу тока в роторе определить отношением э. д. с. к полному сопротивлению, т. е. на основании закона Ома

где Z 2 , r 2 и x 2 - полное, активное и реактивное сопротивления фазы обмотки ротора,
E 2 - э. д. с. фазы обмотки вращающегося ротора.
Изменение скольжения изменяет частоту тока ротора. При неподвижном роторе (n 2 = 0 и S = 1) вращающееся поле с одинаковой скоростью пересекает проводники обмотки статора и ротора и частота тока в роторе равна частоте тока сети (f 2 = f 1). При уменьшении скольжения обмотка ротора пересекается магнитным полем с меньшей частотой, вследствие чего частота тока в роторе уменьшается. Когда ротор вращается синхронно с полем (n 2 = n 1 и S = 0), проводники обмотки ротора не пересекаются магнитным полем, так что частота тока в роторе равна нулю (f 2 = 0). Таким образом, частота тока в обмотке ротора пропорциональна скольжению, т. е.

f 2 = S f 1 .

Активное сопротивление обмотки ротора почти не зависит от частоты, тогда как э. д. с. и реактивное сопротивление пропорциональны частоте, т. е. изменяются с изменением скольжения и могут быть определены следующими выражениями:

E 2 = S E и X 2 = S X ,

где Е и X - э. д. с. и индуктивное сопротивление фазы обмотки для неподвижного ротора соответственно.
Таким образом, имеем:


и вращающий момент

Следовательно, при небольших скольжениях (примерно до 20%), когда реактивное сопротивление Х 2 = S X мало по сравнению с активным r 2 , увеличение скольжения вызывает увеличение вращающего момента, так как при этом возрастает активная составляющая тока в роторе (I 2 cos φ 2). При больших скольжениях (S X больше, чем r 2) увеличение скольжения будет вызывать уменьшение вращающего момента.
Таким образом, при увеличении скольжения (его больших значениях) хотя и повышается сила тока в роторе I 2 , но ее активная составляющая I 2 cos φ 2 и, следовательно, вращающий момент уменьшаются вследствие значительного возрастания реактивного сопротивления обмотки ротора.
На рис. 115 показана зависимость вращающего момента от скольжения. При некотором скольжении S m (примерно 12 - 20%) двигатель развивает максимальный момент, который определяет перегрузочную способность двигателя и обычно в 2 - 3 раза превышает номинальный момент.

Устойчивая работа двигателя возможна только на восходящей ветви кривой зависимости момента от скольжения, т. е. при изменении скольжения в пределах от 0 до S m . Работа двигателя на нисходящей ветви указанной кривой, т. е. при скольжении S > S m , невозможна, так как здесь не обеспечивается устойчивое равновесие моментов.
Если предположить, что вращающий момент был равен тормозному (M вр = M торм) в точках A и Б , то при случайном нарушении равновесия моментов в одном случае оно восстанавливается, а в другом не восстанавливается.
Допустим, что вращающий момент двигателя почему-либо уменьшился (например, при понижении напряжения сети), тогда скольжение начнет увеличиваться. Если равновесие моментов было в точке А , то увеличение скольжения вызовет возрастание вращающего момента двигателя и он станет вновь равным тормозному моменту, т. е. равновесие моментов восстановится при возросшем скольжении. Если же равновесие моментов было в точке Б , то увеличение скольжения вызовет уменьшение вращающего момента, который будет оставаться всегда меньше тормозного, т. е. равновесие моментов не восстановится и скорость вращения ротора будет непрерывно уменьшаться до полной остановки двигателя.
Таким образом, в точке А машина будет работать устойчиво, а в точке Б устойчивая работа невозможна.
Если приложить к валу двигателя тормозной момент, больший максимального, то равновесие моментов не восстановится и ротор двигателя остановится.
Вращающий момент двигателя пропорционален квадрату приложенного напряжения, так как пропорциональны напряжению как магнитный поток, так и сила тока в роторе. Поэтому изменение напряжения в сети вызывает изменение вращающего момента.

Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Кинетические характеристики:

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с)и угловым ускорением(единица измерения - рад/с²).

При равномерном вращении (T оборотов в секунду):

Частота вращения - число оборотов тела в единицу времени.-

Период вращения - время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

Угловая скорость вращения тела

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) - векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы - по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м - момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

16.Уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки - угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

М = E*J или E = M/J

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент инерции - скалярная (в общем случае - тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции - в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Свойства момента инерции:

1.Момент инерции системы равен сумме момента инерции её частей.

2.Момент инерции тела является величиной, иманентно присущей этому телу.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина

.