(числа Фибоначчи, англ. Fibonacci sequence, Fibonacci numbers) – ряд чисел, выведенный известным математиком Фибоначчи. Имеет следующий вид: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 и др.

История ряда Фибоначчи

Леонардо из Пизы (Фибоначчи) пришел в математику из-за практической потребности в установлении деловых контактов. В молодости Фибоначчи много путешествовал, сопровождал отца в разных деловых поездках, что позволяло ему общаться с местными учеными.

Ряд чисел, который сегодня носит его имя, был выведен благодаря проблеме с кроликами, которую автор изложил в книге под названием «Liber abacci» (1202 год): один человек посадил в загон, со всех сторон окруженный стеной, пару кроликов. Вопрос: сколько пар кроликов может произвести эта пара за год, если известно, что ежемесячно, начиная со второго месяца, каждая пара производит на свет еще одну пару кроликов.

В итоге Фибоначчи определил, что число пар кроликов в каждый из последующих двенадцати месяцев будет соответственно:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Где каждое последующее число - это сумма двух предыдущих. Это ряд (числа) Фибоначчи. Данная последовательность имеет множество свойств, интересных с математической точки зрения. Например, если разделить линию на 2 сегмента таким образом, чтобы соотношение между меньшим и большим сегментом было пропорционально соотношению между большим сегментом и всей линией, получится коэффициент пропорциональности, известный как «золотое сечение». Он приблизительно равен 0,618. Ученые эпохи Возрождения считали, что именно эта пропорция, если ее соблюдать в архитектурных сооружениях, способна больше всего радовать глаз.

Применение ряда Фибоначчи

Ряд Фибоначчи нашел широкое применение в самых разных областях науки и жизни. Например, в природе: в строении ураганов, раковин и даже галактик. Не стал исключением и валютный рынок Форекс, где последовательный ряд чисел стал использоваться для прогнозирования трендов. Следует отметить, что между этими числами есть неизменные отношения. Например, как упоминалось выше, отношение предыдущего числа к следующему асимптотически стремится к 0,618 (золотое сечение). Отношения некоторого числа к предыдущему также стремится к величине 0,618.

Помимо прогнозирования трендов, числа Фибоначчи на Форекс используются для прогноза направления движения цены. Например, разворот тренда по золотому сечению происходит на уровне около 61,8% от предыдущего изменения цены (см. рис. 1). Соответственно, самым выгодным вариантом в таком случае будет закрытие позиции чуть ниже данного уровня. Опираясь на ряд Фибоначчи можно рассчитывать наиболее выгодные моменты закрытия и открытия сделок.

Также, одним из способов применения последовательных чисел ряда Фибоначчи на рынке Форекс является построение дуг. Выбор центра для такой дуги происходит в точке важного дна или потолка. Радиус дуг рассчитывается при помощи умножения коэффициентов Фибоначчи на значение предыдущего существенного подъема или спада цен.

Выбираемые коэффициенты имеют значения 0.333, 0.382, 0.4, 0.5, 0.6, 0.618, 0.666. Расположение дуг определяет их роль: поддержки или сопротивления. Чтобы получить представление также о времени возникновения движений цены, дуги, как правило, используют совместно со скоростными или веерными линиями.

Принцип их построения аналогичен: нужно выбрать точки прошлых экстремумов и построить горизонтальную линию из вершины первого из них и вертикальную – из вершины второго. Затем следует поделить получившийся вертикальный отрезок на соответствующие коэффициентам части, нарисовать лучи, идущие из первой точки сквозь только что избранные. При использовании отношений 2/3 и 1/3 получаются скоростные линии, при более строгих 0,618, 0,5 и 0,382 – веерные линии. Все они служат линиями поддержки или сопротивления для ценового тренда (см. рис. 2).

Пересечения веерных дуг и линий служат сигналами для определения поворотных точек тренда – как по времени, так и по цене.

(Рис. 2 – Ряд Фибоначчи, построение дуг)

Более волатильные пары валют характеризуются достижением больших уровней Фибоначчи по сравнению с менее волатильными. Максимальные движения фиксируются по парам Доллар/Франк и Фунт/Доллар, затем идут Доллар/Йена и Евро/Доллар.

Использование ряда Фибоначчи на валютном рынке Форекс имеет одну особенность – их можно применять лишь для хороших импульсных движений.

Последовательность Фибоначчи определяется следующим образом:

Несколько первых её членов:

История

Эти числа ввёл в 1202 г. Леонардо Фибоначчи (Leonardo Fibonacci) (также известный как Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano)). Однако именно благодаря математику 19 века Люка (Lucas) название "числа Фибоначчи" стало общеупотребительным.

Впрочем, индийские математики упоминали числа этой последовательности ещё раньше: Гопала (Gopala) до 1135 г., Хемачандра (Hemachandra) — в 1150 г.

Числа Фибоначчи в природе

Сам Фибоначчи упоминал эти числа в связи с такой задачей: "Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?". Решением этой задачи и будут числа последовательности, называемой теперь в его честь. Впрочем, описанная Фибоначчи ситуация — больше игра разума, чем реальная природа.

Индийские математики Гопала и Хемачандра упоминали числа этой последовательности в связи с количеством ритмических рисунков, образующихся в результате чередования долгих и кратких слогов в стихах или сильных и слабых долей в музыке. Число таких рисунков, имеющих в целом долей, равно .

Числа Фибоначчи появляются и в работе Кеплера 1611 года, который размышлял о числах, встречающихся в природе (работа "О шестиугольных снежинках").

Интересен пример растения — тысячелистника, у которого число стеблей (а значит и цветков) всегда есть число Фибоначчи. Причина этого проста: будучи изначально с единственным стеблем, этот стебель затем делится на два, затем от главного стебля ответвляется ещё один, затем первые два стебля снова разветвляются, затем все стебли, кроме двух последних, разветвляются, и так далее. Таким образом, каждый стебель после своего появления "пропускает" одно разветвление, а затем начинает делиться на каждом уровне разветвлений, что и даёт в результате числа Фибоначчи.

Вообще говоря, у многих цветов (например, лилий) число лепестков является тем или иным числом Фибоначчи.

Также в ботанике известно явление ""филлотаксиса"". В качестве примера можно привести расположение семечек подсолнуха: если посмотреть сверху на их расположение, то можно увидеть одновременно две серии спиралей (как бы наложенных друг на друга): одни закручены по часовой стрелке, другие — против. Оказывается, что число этих спиралей примерно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144. Аналогичные факты верны и для некоторых других цветов, а также для сосновых шишек, брокколи, ананасов, и т.д.

Для многих растений (по некоторым данным, для 90% из них) верен и такой интересный факт. Рассмотрим какой-нибудь лист, и будем спускаться от него вниз до тех пор, пока не достигнем листа, расположенного на стебле точно так же (т.е. направленного точно в ту же сторону). Попутно будем считать все листья, попадавшиеся нам (т.е. расположенные по высоте между стартовым листом и конечным), но расположенными по-другому. Нумеруя их, мы будем постепенно совершать витки вокруг стебля (поскольку листья расположены на стебле по спирали). В зависимости от того, совершать витки по часовой стрелке или против, будет получаться разное число витков. Но оказывается, что число витков, совершённых нами по часовой стрелке, число витков, совершённых против часовой стрелки, и число встреченных листьев образуют 3 последовательных числа Фибоначчи.

Впрочем, следует отметить, что есть и растения, для которых приведённые выше подсчёты дадут числа из совсем других последовательностей, поэтому нельзя сказать, что явление филлотаксиса является законом, — это скорее занимательная тенденция.

Свойства

Числа Фибоначчи обладают множеством интересных математических свойств.

Вот лишь некоторые из них:

Фибоначчиева система счисления

Теорема Цекендорфа утверждает, что любое натуральное число можно представить единственным образом в виде суммы чисел Фибоначчи:

где , , , (т.е. в записи нельзя использовать два соседних числа Фибоначчи).

Отсюда следует, что любое число можно однозначно записать в фибоначчиевой системе счисления , например:

причём ни в каком числе не могут идти две единицы подряд.

Нетрудно получить и правило прибавления единицы к числу в фибоначчиевой системе счисления: если младшая цифра равна 0, то её заменяем на 1, а если равна 1 (т.е. в конце стоит 01), то 01 заменяем на 10. Затем "исправляем" запись, последовательно исправляя везде 011 на 100. В результате за линейное время будет получена запись нового числа.

Перевод числа в фибоначчиеву систему счисления осуществляется простым "жадным" алгоритмом: просто перебираем числа Фибоначчи от больших к меньшим и, если некоторое , то входит в запись числа , и мы отнимаем от и продолжаем поиск.

Формула для n-го числа Фибоначчи

Формула через радикалы

Существует замечательная формула, называемая по имени французского математика Бине (Binet), хотя она была известна до него Муавру (Moivre):

Эту формулу легко доказать по индукции, однако вывести её можно с помощью понятия образующих функций или с помощью решения функционального уравнения.

Сразу можно заметить, что второе слагаемое всегда по модулю меньше 1, и более того, очень быстро убывает (экспоненциально). Отсюда следует, что значение первого слагаемого даёт "почти" значение . Это можно записать в строгом виде:

где квадратные скобки обозначают округление до ближайшего целого.

Впрочем, для практического применения в вычислениях эти формулы мало подходят, потому что требуют очень высокой точности работы с дробными числами.

Матричная формула для чисел Фибоначчи

Нетрудно доказать матричное следующее равенство:

Но тогда, обозначая

получаем:

Таким образом, для нахождения -го числа Фибоначчи надо возвести матрицу в степень .

Вспоминая, что возведение матрицы в -ую степень можно осуществить за (см.

Каналиева Дана

В данной работе мы изучили и проанализировали проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Мы обнаружили удивительную математическую связь между числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и числами последовательности Фибоначчи. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа, дыхательная система, строение уха - всё подчиняется определённым числовым соотношениям.

Мы убедились, что у Природы есть свои законы, выраженные с помощью математики.

И математика очень важный инструмент познания тайн Природы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МБОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»

Оренбургского района Оренбургской области

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«Загадка чисел

Фибоначчи»

Выполнила: Каналиева Дана

ученица 6 класса

Научный руководитель:

Газизова Валерия Валерьевна

Учитель математики высшей категории

п. Экспериментальный

2012г

Пояснительная записка……………………………………………………………………........ 3.

Введение. История чисел Фибоначчи.……………………………………………………...... 4.

Глава 1. Числа Фибоначчи в живой природе.......……. …………………………………... 5.

Глава 2. Спираль Фибоначчи.......................................................……………..... 9.

Глава 3. Числа Фибоначчи в изобретениях человека.........…………………………….. 13

Глава 4. Наши исследования……………………………………………………………….... 16.

Глава 5. Заключение, выводы……………………………………………………………...... 19.

Список используемой литературы и сайтов Интернета…………………………………........21.

Объект исследования:

Человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека, окружающий растительный и животный мир.

Предмет исследования:

форма и строение исследуемых предметов и явлений.

Цель исследования:

изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов,

найти примеры использования чисел Фибоначчи.

Задачи работы:

Описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи.

Увидеть математические закономерности, в строении человека, растительного мира и неживой природы с точки зрения феномена Золотого сечения.

Новизна исследования:

Открытие чисел Фибоначчи в окружающей нас действительности.

Практическая значимость:

Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении других школьных предметов.

Умения и навыки:

Организация и проведение эксперимента.

Использование специальной литературы.

Приобретение умения делать обзор собранного материала (доклад, презентацию)

Оформление работы рисунками, диаграммами, фотографиями.

Активное участие в обсуждении своей работы.

Методы исследования:

эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).

теоретический (логическая ступень познания).

Пояснительная записка.

«Числа управляют миром! Число - это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние пифагорейцы. Актуальна ли в наши дни эта основа учения Пифагора? Изучая в школе науку чисел, нам хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям, найти эту невидимую связь между математикой и жизнью!

Неужели в каждом цветочке,

И в молекуле, и в галактике,

Числовые закономерности

Этой строгой «сухой» математики?

Мы обратились к современному источнику информации - к Интернету и прочитали о числах Фибоначчи, о магических числах, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого сердца и в музыкальных ритмах...

Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире?

Мы захотели узнать о тайнах чисел Фибоначчи. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

Гипотеза:

в окружающей нас действительности всё построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.

Всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером - Природой!

Введение. История ряда Фибоначчи.

Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики, способствовал передаче их на Запад. В одном из своих трудов под названием «Книга вычислений» он представил Европе одно из величайших открытий всех времён и народов - десятичную систему счисления.

Однажды, он ломал голову над решением одной математической задачи. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность размножения кроликов.

Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

«Ну и что?» - скажете вы, - «Мали ли мы сами можем придумать подобных числовых рядов, нарастающих по заданной прогрессии?» Действительно, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания!

Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его. Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой ряд.

В числах Фибоначчи существует интересная особенность: частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне именуется как золотое сечение или золотая пропорция.

В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Сколько бы раз мы не делили одно на другое, соседнее с ним число, мы всегда получим 1, 618. А если сделаем наоборот, то есть разделим меньшее число на большее, то получим 0, 618, это число, обратное к 1, 618, тоже называется золотой пропорцией.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления.

Учёные, анализируя дальнейшее применение этого числового ряда к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке.

Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом Вселенной.

Рассмотрим примеры, где встречаются числа Фибоначчи в живой и неживой природе.

Числа Фибоначчи в живой природе.

Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и закон золотого сечения .

Если вы зададитесь целью отыскать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений. Например, черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: полного оборота - у орешника, - у дуба, - у тополя и груши, - у ивы.

Семена подсолнечника, эхинацеи пурпурной и многих других растений, расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления - числа Фибоначчи.

Подсолнечник, 21 и 34 спирали. Эхинацея, 34 и 55 спиралей.

Чёткая, симметричная форма цветов также подчинена строгому закону .

У многих цветов количество лепесточков - именно числа из ряда Фибоначчи. Например:

ирис, 3леп. лютик, 5 леп. златоцвет, 8 леп. дельфиниум,

13 леп.

цикорий,21леп. астра, 34 леп. маргаритки,55леп.

Ряд Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем.

Мы уже говорили, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число φ = 1,618. Оказывается, что и сам человек - просто кладезь числа фи.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы.

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотая пропорция в строении легких человека

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.
Есть и другое, более прозаическое применение пропорций тела человека. Например, используя эти соотношения, криминальные аналитики и археологи по фрагментам частей человеческого тела восстанавливают облик целого.

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.

Все сведения о физиологических особенностях живых существ, будь то растение, животное или человек, хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Не только прямоходящие, но и все плавающие, ползающие, летающие и прыгающие не избежали участи подчиняться числу фи. Сердечная мышца человека сокращается до 0, 618 своего объёма. Строение ракушки улитки соответствует пропорциям Фибоначчи. И таких примеров можно найти предостаточно - было бы желание исследовать природные объекты и процессы. Мир настолько пронизан числами Фибоначчи, что порой кажется: только ими Вселенная и может быть объяснена.

Спираль Фибоначчи.

В математике нет иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами, как спираль, потому, что
в основе строения спирали лежит правило Золотого сечения!

Чтобы понять математическое построение спирали, повторим, что такое Золотое сечение.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

То есть (a+b) /a = a / b

Прямоугольник с именно таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168: 1.
Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника,

мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров.

Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов.

Например, спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и так далее.

Нас удивляет и восхищает спиральное строение ракушек.

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.
Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет спиральная форма ракушки?

Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.

Спирали есть и в человеке. С помощью спиралей мы слышим:

Также, во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и сотворена в форме улитки, имеющей в себе золотые пропорции.

Спирали есть на наших ладошках и пальцах:

В животном мире мы также можем найти множество примеров спиралей.

В форме спирали развиваются рога и бивни животных, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Интересно, что спиралью закручивается ураган, облака циклона и это хорошо видно из космоса:

В океанских и морских волнах спираль можно математически отразить на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55.

Такую «бытовую» и «прозаическую» спираль тоже все узнают.

Ведь вода убегает из ванной по спирали:

Да и живём мы с вами в спирали, ведь галактика - это спираль, соответствующая формуле Золотого сечения!

Итак, мы выяснили, что если взять Золотой прямоугольник и разбить его на более мелкие прямоугольники в точной последовательности Фибоначчи, а потом каждый из них разделить в таких пропорциях еще и еще, то получится система, которая называется спираль Фибоначчи.

Эту спираль мы обнаружили в самых неожиданных предметах и явлениях. Теперь понятно, почему спираль называют ещё «кривой жизни».
Спираль стала символом эволюции, ведь и развивается всё именно по спирали.

Числа Фибоначчи в изобретениях человека.

Подсмотрев у природы закон, выраженный последовательностью чисел Фибоначчи, учёные и люди искусства стараются подражать ему, воплощать этот закон в своих творениях.

Пропорция фи позволяет создавать шедевры живописи, грамотно вписывать в пространство архитектурные сооружения.

Не только деятели науки, но и архитекторы, дизайнеры и художники поражаются этой безупречной спирали у ракушки наутилуса,

занимающей наименьшее пространство и обеспечивающей наименьшую потерю тепла. Американские и тайские архитекторы, вдохновленные примером «наутилуса с камерами» в вопросе размещения максимума в минимуме пространства, заняты разработкой соответствующих проектов.

С незапамятных времен пропорция Золотого сечения считается наивысшей пропорцией совершенства, гармонии и даже божественности. Золотое отношение можно обнаружить и в скульптурах, и даже в музыке. Примером являются музыкальные произведения Моцарта. Даже биржевые курсы и алфавит иврита содержат золотое отношение.

Но мы хотим остановиться на уникальном примере создания эффективной солнечной установки. Американский школьник из Нью-Йорка Эйдан Дуайер свёл воедино свои знания о деревьях и обнаружил, что эффективность солнечных электростанций можно повысить, если привлечь математику. Будучи на зимней прогулке, Дуайер задумался, зачем деревьям такой «рисунок» веток и листьев. Он знал, что ветки на деревьях располагаются согласно последовательности Фибоначчи, а листья осуществляют фотосинтез.

В какой-то момент сообразительный мальчуган решил проверить, не помогает ли такое положение ветвей собирать больше солнечного света. Эйдан построил на своём заднем дворе опытную установку с маленькими солнечными батареями вместо листьев и проверил её в действии. Оказалось, что в сравнении с обычной плоской солнечной панелью его «дерево» собирает на 20% больше энергии и на 2,5 часа дольше эффективно работает.

Модель солнечного дерева Дуайера и графики, построенные школьником.

"А ещё такая установка занимает меньше места, чем плоская панель, собирает на 50% больше солнца зимой даже там, где она не смотрит на юг, да и снег в том количестве она не накапливает. Кроме того, дизайн в виде дерева гораздо больше подходит для городского пейзажа", — отмечает юный изобретатель.

Эйдана признали одним из лучших молодых естествоиспытателей 2011 года. Конкурс «2011 Young Naturalist» проводил музей естествознания Нью-Йорка. Эйдан подал предварительную заявку на патент своего изобретения .

Ученые продолжают активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения.

Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта.

Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения.

В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Итак, мы видим, что сфера применения последовательности чисел Фибоначчи очень многогранна:

Наблюдая за явлениями, происходящими в природе, учёные сделали поразительные выводы о том, что вся последовательность событий, происходящих в жизни, революции, крушения, банкротства, периоды процветания, законы и волны развития на фондовом и валютных рынках, циклы семейной жизни, и так далее, организуются на временной шкале в виде циклов, волн. Эти циклы и волны тоже распределяются в соответствии с числовым рядом Фибоначчи!

Опираясь на эти знания, человек научится в будущем прогнозировать различные события и управлять ими.

4. Наши исследования.

Мы продолжили наши наблюдения, и изучили строение

Сосновой шишки

тысячелистника

комара

человека

И убедились, что в этих, таких разных на первый взгляд объектах, незримо присутствуют те самые числа последовательности Фибоначчи.

Итак, шаг 1.

Возьмём сосновую шишку:

Рассмотрим её поближе:

Замечаем две серии спиралей Фибоначчи: одна - по часовой стрелки, другая - против, их число 8 и 13.

Шаг 2.

Возьмём тысячелистник:

Внимательно рассмотрим строение стеблей и цветов:

Заметим, что каждая новая ветвь тысячелистника растет из пазухи, и от новой ветви растут новые ветви. Складывая старые и новые ветви, мы нашли число Фибоначчи в каждой горизонтальной плоскости.

Шаг 3.

А проявляются ли числа Фибоначчи в морфологии различных организмов? Рассмотрим всем известного комара:

Видим: 3 пары ног, голове 5 усиков - антенн, брюшко делится на 8 сегментов.

Вывод:

В наших исследованиях мы увидели, что в окружающих нас растениях, живых организмах и даже в строении человека проявляют себя числа из последовательности Фибоначчи, что отражает гармоничность их строения.

Сосновая шишка, тысячелистник, комар, человек устроены с математической точностью.

Мы искали ответ на вопрос: как проявляет себя ряд Фибоначчи в окружающей нас действительности? Но, отвечая на него, получали новые и новые вопросы.

Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Спираль скручивается или раскручивается?

Как удивительно человек познаёт этот мир!!!

Найдя ответ на один вопрос, получает следующий. Разгадает его, получает два новых. Разберётся с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведётся пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...

Узнаёте?

Заключение.

Самим творцом во все объекты

Заложен уникальный код,

И тот, кто дружен с математикой,

Его познает и поймёт!

Мы изучили и проанализировали проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Также мы узнали, что закономерности этого числового ряда, в том числе и закономерности «Золотой» симметрии, проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

Мы обнаружили удивительную математическую связь между числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и числами в последовательности Фибоначчи. Мы увидели, как морфология различных организмов тоже подчиняется этому таинственному закону. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа, дыхательная система, строение уха, - всё подчиняется определённым числовым соотношениям.

Мы узнали, что сосновые шишки, раковины улиток, волны океана, рога животных, облака циклона и галактики - все они образуют логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму, когда сжимается.

Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остаётся тем же самым: коэффициент 1,618 ! Возможно, это первостепенный закон, управляющий природными явлениями.

Таким образом, наша гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию, подтверждается.

Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером - Природой!

Мы убедились, что у Природы есть свои законы, выраженные с помощью математики. И математика - это очень важный инструмент

для познания тайн природы.

Список литературы и сайтов Интернета:

1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. - М., Наука, 1984.
2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. - М., 1936.

3. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация. // Наука и жизнь, № 5, 2001.
4. Кашницкий С. Е. Гармония, сотканная из парадоксов // Культура и

Жизнь. - 1982.- № 10.
5. Малай Г. Гармония - тождество парадоксов // МН. - 1982.- № 19.
6. Соколов А. Тайны золотого сечения // Техника молодежи. - 1978.- № 5.
7. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. - М., 1984.
8. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. - М., 1974.
9. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа. - 1968.- № 11.

10. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три

Взгляда на природу гармонии.-М., 1990.

11.Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.:

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«КРИВЛЯНСКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА»

ЖАБИНКОВСКОГО РАЙОНА

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Исследовательская работа

Работу выполнила:

учащаяся 10 класса

Садовничик Валерия Алексеевна

Руководитель:

Лавренюк Лариса Николаевна,

учитель информатики и

математики 1 квалификационной

Числа Фибоначчи и природа

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов.

На первый взгляд может показаться, что число листьев, цветков может изменяться в очень широких пределах и принимать любые значения. Но такой вывод оказывается несостоятельным. Исследования показали, что число одноименных органов в растениях не является произвольным, существуют значения, часто встречающиеся и значения, которые встречаются очень редко.

В живой природе широко распространены формы, основанные на пентагональной симметрии – морские звезды, морские ежи, цветы.

Фот.13 . Лютик

В ромашке число лепестков 55 или 89.

Фот.14 . Ромашка

Пиретрум имеет 34 лепестка.

Фот. 15. Пиретрум

Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

Фот.16 . Шишка

В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34/55, 55/89.

Фот.17 . Подсолнух

Присмотримся к ракушкам. Если пересчитать число «ребер жесткости» у первой, взятой наугад ракушки - получилось 21. Возьмем вторую, третью, пятую, десятую ракушку - у всех будет 21 ребро на поверхности. Видно, моллюски были не только хорошими инженерами, они «знали» числа Фибоначчи.

Фот.18 . Ракушка

Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Их отношение в пределе стремится к золотой пропорции, выраженной числом 0,61803…

Числа Фибоначчи и животные

Число лучей у морских звезд отвечает ряду чисел Фибоначчи или очень близко к ним и равно 5,8, 13,21,34,55.

Фот.19 . Морская звезда

Современные членистоногие очень разнообразны. У лангуста также пять пар ног, на хвосте пять перьев, брюшко делится на пять сегментов, а каждая нога состоит из пяти частей.

Фот. 20. Лангуст

У некоторых насекомых брюшко состоит из восьми сегментов, имеется три пары конечностей, состоящих из восьми частей, а из ротового отверстия выходят восемь различных усикоподобных органов. У нашего хорошо знакомого комара - три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков - антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов.

Фот. 21. Комар

У мухи капустной брюшко членится на пять частей, имеется три пары ног, а личинка разделена на восемь сегментов. Каждое из двух крыльев разделено тонкими прожилками на восемь частей.

Гусеницы многих насекомых членятся на 13 сегментов, например, у шкуроеда, мукоеда, козявки мавританской. У большинства жуков-вредителей гусеница членится на 13 сегментов. Очень характерно строение ног у жуков. Каждая нога состоит из трех частей, как и у высших животных, - из плечевой, предплечья и лапы. Тонкие, ажурные лапы жуков членятся на пять частей.

Ажурные, прозрачные, невесомые крылья стрекозы - это шедевр «инженерного» мастерства природы. Какие же пропорции положены в основу конструкции этого крохотного летательного мускулолета? Отношение размаха крыльев к длине тела у многих стрекоз равно 4/3. Тело стрекозы делится на две основные части: массивный корпус и длинный тонкий хвост. В корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко. Брюшко разбито на пять сегментов, а хвост состоит из восьми частей. Сюда еще необходимо добавить три пары ног с их членением на три части.

Фот. 22. Стрекоза

Нетрудно увидеть в этой последовательности членения целого на части развертывание ряда чисел Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса и общая длина стрекозы связаны между собой золотой пропорцией: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Неудивительно, что стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции.

Вид черепахи на фоне покрытого трещинами такыра - явление удивительное. В центре панциря большое овальное поле с крупными сросшимися роговыми пластинами, а по краям - кайма из более мелких пластинок.

Фот. 23. Черепаха

Возьмите любую черепаху - от близкой нам болотной до гигантской морской, суповой черепахи - и вы убедитесь, что рисунок на панцире у них аналогичный: на овальном поле расположено 13 сросшихся роговых пластин - 5 пластин в центре и 8 - по краям, а на периферийной кайме около 21 пластинки (у чилийской черепахи по периферии панциря точно 21 пластина). На лапах у черепах по 5 пальцев, а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Нетрудно заметить, что все указанные величины отвечают числам Фибоначчи. Следовательно, развитие черепахи, формирование ее тела, членение целого на части осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.

Высшим типом животных на планете являются млекопитающие. Число ребер у многих видов животных равно или близко к тринадцати. У совершенно разных млекопитающих - кита, верблюда, оленя, тура - число ребер составляет 13 ± 1. Число позвонков меняется очень сильно, особенно за счет хвостов, которые могут быть различной длины даже у одного и того же вида животного. Но у многих из них число позвонков равно или близко к 34 и 55. Так, 34 позвонка у гигантского оленя, 55 - у кита.

Скелет конечностей домашних животных состоит из трех тождественных костных звеньев: плечевой (тазовой) кости, кости предплечья (голени) и кости лапы (стопы). Стопа, в свою очередь, состоит из трех костных звеньев.

Число зубов у многих домашних животных тяготеет к числам Фибоначчи: у кролика 14 пар, у собаки, свиньи, лошади - 21 ± 1 пара зубов. У диких животных число зубов изменяется более широко: у одного сумчатого хищника оно равно 54, у гиены - 34, у одного из видов дельфинов достигает 233. Общее число костей в скелете домашних животных (с учетом зубов) у одной группы близко к 230, а у другой - к 300. Следует учесть, что в число костей скелета не включены маленькие слуховые косточки и непостоянные косточки. С их учетом общее число костей скелета у многих животных станет близким к 233, а у других - превысит 300. Как видим, членение тела, сопровождавшееся развитием скелета, характеризуется дискретным изменением числа костей в различных органах животных, и эти числа отвечают числам Фибоначчи или очень близки к ним, образуя ряд 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Отношение размеров у большинства куриных яиц равно 4:3 (у некоторых 3/2), семечек тыквы - 3:2, арбузных семечек - 3/2. Отношение длины сосновых шишек к их диаметру оказалось равным 2:1. Размеры березовых листьев в среднем очень близки к, а желудей - 5:2.

Считается, что если необходимо разбить на две части цветочный газон (трава и цветы), то не следует делать эти полосы равными по ширине, красивее будет, если взять их в отношении 5: 8 или 8: 13, т.е. воспользоваться такой пропорцией, которые называется «золотым сечением».

Числа Фибоначчи и фотография

Применительно к фотографическому искусству правило золотого сечения делит кадр двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями на 9 неравных прямоугольников. Чтобы облегчить себе задачу съемки сбалансированных изображений, фотографы немного упростили задачу и стали делить кадр на 9 равных прямоугольников в соответствии с числами Фибоначчи. Так правило золотого сечения трансформировалось в правило третей, которое относится к одному из принципов построения композиции.

Фот. 24. Кадр и золотое сечение

В видоискателях современных цифровых камер точки фокусировки расположены на позициях 2/8 или на воображаемых линиях, делящих кадр по правилу золотого сечения.

Фот.25. Цифровая фотокамера и точки фокусировки

Фот.26.

Фот.27. Фотография и точки фокусировки

Правило третей применимо ко всем сюжетным композициям: снимаете вы пейзаж или портрет, натюрморт или репортаж. Пока ваше чувство гармонии не стало приобретенным и бессознательным, соблюдение нехитрого правила третей позволит вам делать снимки выразительные, гармоничные, сбалансированные.

Фот.28. Фотография и отношение неба и земли 1 к 2.

Наиболее удачным примером для демонстрации является пейзаж. Принцип композиции заключается в том, что небо и суша (либо водная гладь) должны иметь соотношение 1:2. Одну треть кадра следует отвести под небо, а две трети под сушу или наоборот.

Фот.29. Фотография цветка закручивается по спирали

Фибоначчи и космос

Соотношение воды и суши на планете Земля составляет 62% и 38%.

Размеры Земли и Луны находятся в золотой пропорции.

Фот.30. Размеры Земли и Луны

На рисунке показаны относительные размеры Земли и Луны в масштабе.

Нарисуем радиус Земли. Проведем отрезок от центральной точки Земли до центральной точки Луны, длина которого будет равна). Нарисуем отрезок для соединения двух данных отрезков, чтобы сформировать треугольник. Получаем золотой треугольник.

Сатурн показывает золотую пропорцию в нескольких ее измерениях

Фот.31. Сатурн и его кольца

Диаметр Сатурна очень близко находится в отношении золотой пропорции с диаметром колец, как показано зелеными линиями. Радиус в нутренней части колец находится в отношении, очень близком к с внешним диаметром колец, как показано синей линией.

Расстояние планет от Солнца также подчиняется золотой пропорции.

Фот.32. Расстояние планет от Солнца

Золотое сечение в быту

Золотое сечение также используется, чтобы придать стиль и привлекательность в области маркетинга и дизайна повседневных потребительских товаров. Примеров множество, но проиллюстрируем лишь некоторые.

Фот.33. Эмблема Toyota

Фот.34. Золотое сечение и одежда

Фот.34. Золотое сечение и автомобильный дизайн

Фот.35. Эмблема Apple

Фот.36. Эмблема Google

Практические исследования

Теперь применим полученные знания на практике. Проведем сначала измерения среди учащихся 8 класса.

В эксперименте приняли участие 7 учащихся 8 класса, 5 девочек и 2 мальчика. Измерялся рост и расстояние от пупка до пола. Результаты отражены в таблицы. Одна учащаяся идеального телосложения, для неё отношение роста к расстоянию от пупка до пола равно 1,6185. Ещё одна учащаяся очень близка к золотому сечению, . В результате проведенных измерений 29% участников имеют идеальные параметры. Эти результаты в процентах тоже близки к золотому сечению 68% и 32%. Для первой испытуемой мы видим, что 3 отношения из 5 близки к золотому сечению, в процентном соотношении это 60% к 40%. А для второй – 4 из 5, то есть 80% к 20%.

Если внимательно посмотреть на телевизионную картинку, то ее размеры будут 16 к 9 или 16 к 10, что тоже близко к золотому сечению.

Проводя измерения и построения в CorelDRAW X4 и используя кадр новостного канала Россия 24, можно обнаружить следующее:

а) отношение длины к ширине кадра равно 1,7.

б) человек в кадре расположен ровно в точках фокусировки, расположенных на расстоянии 3/8.

Далее обратимся к официальному микроблогу газеты «Известия», другими словами, к твиттер-страничке. Для экрана монитора со сторонами 4:3видим, что «шапка» странички составляет 3/8 от всей высоты странички.

Внимательно посмотрев на фуражки военных, можно обнаружить следующее:

а) фуражка министра обороны РФ имеет отношение указанных частей 21,73 к 15,52, равное 1,4.

б) фуражка пограничника РБ имеет размеры указанных частей 44,42 к 21,33 , что равно 2,1.

в) фуражка времен СССР имеет размеры указанных частей 49,67 к 31,04, что равно 1,6.

Для данной модели подойдет длина платья 113,13 мм.

Если «дорисовать» платье до «идеальной» длины, то получим вот такую картинку.

Все измерения имеют некоторую погрешность, так как проводились по фотографии, что не мешает увидеть тенденцию – всё, что идеально, содержит золотое сечение в той или иной степени.

Заключение

Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

“Золотое сечение” представляется тем моментом истины, без выполнения которого не возможно, вообще, что-либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях.

Воистину природа оказывается однообразной (и потому единой!) в проявлении своих фундаментальных закономерностей. Найденные ею «наиболее удачные» решения распространяются на самые различные объекты, на самые разнообразные формы организации. Непрерывность и дискретность организации исходит из двуединства материи - ее корпускулярной и волновой природы, проникает в химию, где дает законы целочисленной стехиометрии, химические соединения постоянного и переменного состава. В ботанике непрерывность и дискретность находят свое специфическое выражение в филлотаксисе, квантах дискретности, квантах роста, единстве дискретности и непрерывности пространственно-временной организации. И вот уже в числовых соотношениях органов растений появляется «принцип кратных отношений», введенный А. Гурским, - полное повторение основного закона химии.

Конечно, заявление, что все эти явления построены на последовательности Фибоначчи, звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама она далека от совершенства, как и всё в этом мире.

Есть предположение, что ряд Фибоначчи - это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любого ряда достаточно знать три его члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.

Каждый член золотой логарифмической последовательности является степенью Золотой Пропорции (). Часть ряда выглядит примерно так: ... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим =1,618 , тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618 , но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.

И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?

Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...

Список используемых источников

Васютинский, Н. Золотая пропорция/ Васютинский Н, Москва, Молодая гвардия, 1990, - 238 с. - (Эврика).

Воробьев, Н.Н. Числа Фибоначчи,

Режим доступа: . Дата доступа: 17. 11. 2015.

Режим доступа: . Дата доступа: 16. 11. 2015.

Режим доступа: . Дата доступа: 13. 11. 2015.

Окружающий мир, начиная с мельчайших невидимых частиц, и заканчивая далекими галактиками бескрайнего космоса, таит в себе много неразгаданных тайн. Однако над некоторыми из них уже приподнята завеса таинственности благодаря пытливым умам ряда ученых.

Одним из таких примеров является «золотое сечение» и числа Фибоначчи , составляющие его основу. Данная закономерность получила отображение в математическом виде и часто встречается в окружающей человека природе, еще раз исключая вероятность того, что она возникла в результате случая.

Числа Фибоначчи и их последовательность

Последовательностью чисел Фибоначчи называется ряд чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Особенностью этой последовательности являются числовые значения, которые получаются вследствие деления чисел этого ряда друг на друга.

Ряд чисел Фибоначчи имеет свои интересные закономерности:

• В ряду чисел Фибоначчи, каждое число разделенное на следующее будет показывать значение, стремящееся к 0,618 . Чем дальше числа от начала ряда, тем точнее будет соотношение. К примеру, цифры взятые в начале ряда 5 и 8 будут показывать 0,625 (5/8=0,625 ). Если же взять числа 144 и 233 , то они покажут соотношение 0.618 .
• В свою очередь, если в ряду чисел Фибоначчи разделить число на предыдущее, то результат деления будет стремится к 1,618 . Для примера использованы те же цифры, что оговаривались выше: 8/5=1,6 и 233/144=1,618 .
• Число поделенное на следующее за ним через одно, будет показывать значение, приближающееся к 0,382 . И чем дальше от начала ряда взяты цифры, тем точнее значение соотношения: 5/13=0,385 и 144/377=0,382 . Деление цифр в обратном порядке будет давать результат 2,618 : 13/5=2,6 и 377/144=2,618 .

Используя вышеописанные методы расчета и увеличивая промежутки между цифрами можно вывести следующий ряд значений: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, который широко применяется в инструментах Фибоначчи на рынке форекс.

Золотое сечение или Божественная пропорция

Очень наглядно представляет «золотое сечение» и числа Фибоначчи аналогия с отрезком. Если отрезок АВ разделить точкой С в таком соотношении, чтобы соблюдалось условие:

АС/ВС=ВС/АВ, тогда это будет «золотое сечение»

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ СЛЕДУЮЩИЕ СТАТЬИ:

Удивительно, но именно это соотношение прослеживается в ряду чисел Фибоначчи. Взяв несколько цифр из ряда, можно расчетом проверить, что это так. Например, такая последовательность чисел Фибоначчи …55, 89, 144 … Пусть число 144 является целым отрезком АВ, о котором упоминалось выше. Поскольку 144 является суммой двух предыдущих чисел, то 55+89=АС+ВС=144.

Деление отрезков покажет следующие результаты:

АС/ВС=55/89=0,618

ВС/АВ=89/144=0,618

Если принять отрезок АВ за целое, или за единицу, то АС=55 будет составлять 0,382 от этого целого, а ВС=89 будет равным 0,618.

Где встречаются числа Фибоначчи

Закономерную последовательность чисел Фибоначчи знали греки и египтяне еще задолго до самого Леонардо Фибоначчи. Такое название этот числовой ряд приобрел после того, как знаменитый математик обеспечил широкое распространение этого математического феномена в ученых рядах.

Важно отметить, что золотые числа Фибоначчи являются не просто наукой, а математическим отображением окружающего мира. Множество природных явлений, представителей растительного и животного мира имеет в своих пропорциях «золотое сечение». Это и спиралевидные завитки раковины, и расположение семян подсолнуха, кактусы, ананасы.

Спираль, пропорции ответвлений которой подчинены закономерностям «золотого сечения», лежит в основе образования урагана, плетения паутины пауком, формы многих галактик, переплетения молекул ДНК и множества других явлений.

Длина хвоста ящерицы к ее туловищу имеет соотношение 62 к 38. Отросток цикория, перед тем как выпустить листок, делает выброс. После того, как первый лист выпущен, происходит второй выброс перед выпуском второго листа, по силе равный 0,62 от условно принятой единицы силы первого выброса. Третий выброс равен 0,38, а четвертый - 0,24.

Для трейдера также большое значение имеет тот факт, что движение цены на рынке форекс часто подчинено закономерности золотых чисел Фибоначчи. На основе этой последовательность создан целый ряд инструментов, которые трейдер может использовать в своем арсенале

Часто используемый трейдерами инструмент « » может с высокой точностью показывать цели движения цены, а также уровни ее коррекции.