Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a: b = c: d , или, в других обозначениях, равенство
Если a : b = c : d , то a и d называют крайними , а b и c - средними членами пропорции.
От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.
Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:
В пропорции
произведение крайних членов равно произведению средних
Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.
Например,
То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе
которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины
, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции
(независимо от того, где эта неизвестная величина стоит
).
Задача 1.
Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
Решение:
Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.
Заполним таблицу:
Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.
Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.
Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:
Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д
Задача 2.
Перевести в радианы.
Решение:
Мы знаем, что . Заполним таблицу:
Задача 3.
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?
Решение:
Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .
Составим таблицу:
Откуда площадь круга – есть .
Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение:
Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.
Заполняем таблицу:
Откуда получаем, что все поле составляет (га).
А следующая задача – с засадой.
Задача 5.
Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч ?
Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:
время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.
В чем ошибка рассуждений?
До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу , то есть рост одной величины во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны .
Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.
Решение:
Рассуждаем так:
Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.
То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.
Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.
Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.
Итак, первая задача:
Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?
На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:
Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?
Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:
37 500 — 100%
X
— 95%
Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:
Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:
По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:
x = 375 · 95
Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:
x = 35 625
Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.
Задача на проценты №2
Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?
Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:
45 000 — 100%
x
— 80%
Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:
45 000 · 8 = x · 10
Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :
x = 45 000 · 8: 10
Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:
x = 4500 · 8
Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:
x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000
А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!
Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:
45 000 − 36 000 = 9000
Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.
§ 125. Понятие о пропорции.
Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:
Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.
Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.
Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.
§ 126. Основное свойство пропорции.
Рассмотрим пропорцию:
Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.
Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.
Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.
В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .
Проверим его на нескольких пропорциях:
1) 12: 4 = 30: 10.
Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.
Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:
эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:
Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:
Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:
а) 1 6 = 2 3;
б) 2 15 = б 5.
§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.
Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:
х : 4 = 15: 3.
В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:
x 3 = 4 15.
После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:
х 3 = 60.
Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:
х = 60: 3, или х = 20.
Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:
Пропорция верна.
Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:
70: 10 = 21: х .
Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.
Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:
70 х = 210.
Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),
х = 210: 70; х = 3.
Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.
Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:
30: х = 27: 9.
Напишем основное свойство пропорции:
30 9 = х 27.
Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:
х 27 = 270.
Найдём неизвестный сомножитель:
х = 270: 27, или х = 10.
Проверим подстановкой:
30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.
Возьмём ещё одну пропорцию:
12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:
12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:
6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:
х = 96: 6, или х = 16.
Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.
Найдите неизвестные члены следующих пропорций:
1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .
Два последних правила в общем виде можно записать так:
1) Если пропорция имеет вид:
х: а = b: с , то
2) Если пропорция имеет вид:
а: х = b: с , то
§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.
В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:
1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.
П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.
Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:
120:30 = 60: 15.
Пропорция не нарушилась.
Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:
Получили опять правильную пропорцию.
2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.
Пример. 16:8 = 40:20.
Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:
Получили правильную пропорцию.
Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:
Пропорция не нарушилась.
Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.
Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:
3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:
Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:
Пропорция верна.
Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.
1) Пусть имеется пропорция:
200: 25 = 56: x .
В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:
8:1 = 56: x .
Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:
2) Возьмём пропорцию:
2: 1 / 2 = 20: 5.
В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов
(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.
Увеличим второй крайний член:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.
Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.
Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.
Приведём дроби к общему знаменателю:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:
Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.
Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .
Умножим все члены пропорции на 48:
24: 1 = 960: 40.
При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:
3: 5 = 12: 20. (1)
Переставив в ней крайние члены, получим:
20: 5 = 12:3. (2)
Переставим теперь средние члены:
3:12 = 5: 20. (3)
Переставим одновременно и крайние, и средние члены:
20: 12 = 5: 3. (4)
Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:
12: 20 = 3: 5. (5)
В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.
Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:
а: b = с: d; c: d = a: b ;
d: b = с: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:
ad = bc.
Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.
В разделе на вопрос Напомните как с помощью пропорции высчитывать проценты? заданный автором силосовать
лучший ответ это На бумажке перемножая крестиком известные данные и деля на 3-е число. Примерно так:
500=100%
200=??? %
Итого 200*100/500= 40 %
Ну вот как-то так...))
Ответ от Ёергей Орлов
[мастер]
Сложные задачи по математике на % слабым ученикам лучше находить с помощью пропорций.
Проценты от числа они могут находить без пропорций.
Умножаешь на калькуляторе само число на кол-во %, деленных на 100.
Чтоб найти 13 % от 70 нужно 70*0,13
Существую еще 2 типа задач на %.
Чтоб найти ск-ко % составляет часть от целого. Хотя тут без пропорций легко можно обойтись.
А вот когда известны % от числа. Тут уже у многих сложности.
Если попадается задача на %, за "х" принимаешь то, что нужно найти.
Ставишь черточку и пишешь, чему оно соответствует.
Внизу пишешь следующие данные.
Например, по последнему типу задача.
Многим 4-шникам ее сложно решить.
5% некоторого числа равно, допустим 12.
Найти само число. Применим это к химии. Дан 5%-й р-р кислоты. Масса самой к-ты (чистого в-ва, концентрированной) в р-ре составляет 12 г. Найти массу всего р-ра.
Пишем пропорцию.
х ------100%
12 г -------5%
Умножаем крест-накрест.
х*5 = 12*100
Решаем получившееся ур-е
х=(12*100)5=240 (г.)
Ответ от Agatakristi
[гуру]
Вообще-то проценты в пятом классе изучают, и учат их вычислять бех помощи пропорций. Я преподаю в вузе, на экономическом факультете, и более половины моих студентов испытывают затруднения в операциях с процентами, что меня искренне удивляет. Ведь это же простые вещи! Что же за студенты пошли! Если в вузе им приходится объяснять программу 5-го класса!
Ответ от трость
[гуру]
5% от 68
68 - 100%
Х - 5%
Х = (5*68)/100 = 3,4
или
68*0,05 = 3,4 т. к. процент - это 1/100 числа
Квадратное уравнение на Википедии
Квадратное уравнение
Пропорция математика на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Пропорция математика
Нередко возникают случаи, когда нужно найти процент какого – либо числа. Те, кто сейчас учится в школе, должны без труда справляться с этой задачей. Но бывает так, что решение вылетает из головы, а посчитать нужно срочно. Так как найти процент от числа?
Как найти процент от числа и число от процента на бумаге
Самый простой способ найти процент от числа – это пропорция. Допустим, вам необходимо посчитать процент бракованного товара. Известно, что всего выпущено 300 деталей, 20 из них бракованные. Вот как найти процент от числа с помощью пропорции:
Теперь вспомните, как считали пропорции в школе: (20*100)/300 = 6,66%. В обратную сторону это работает так: нужно узнать, сколько составляет один процент от числа и умножить на сто. Допустим, необходимо посчитать, сколько всего выпущено автомобилей, если в город доставлено 120 машин, что составляет 5% от всей партии. Разделите 120 на 5 и получите 24. Теперь остается умножить на сто, и вы узнаете, сколько всего автомобилей было выпущено. Так, зная как найти процент от числа и число от процента, вы сможете решать задачи такого рода на бумаге.
Узнайте также, как перевести простую дробь в десятичную и наоборот.В чем разница в расчете сложных и простых процентов? Читайте .
Использование сторонних программ
Для того, чтобы быстро посчитать проценты, можно воспользоваться обычными офисными инструментами – браузером или программой Microsoft Excel. Если у вас есть подключение к интернету, то вы можете воспользоваться услугами онлайн калькулятора процентов. Подобных сервисов в сети достаточно много, так что вы обязательно найдете то, что ищете. А можно просто написать в поисковой строке Google «5% от 100», например. Он выдаст вам ответ моментально, посчитав на встроенном калькуляторе.
Но самым популярным решением в условиях офиса является Microsoft Excel. Чаще всего проценты нужны при составлении таблиц, а когда под рукой есть мощный инструмент, способный считать проценты за вас (например, сумму налогового вычета), то грех будет им не воспользоваться.Как найти процент от числа в excel? Точно так же, как и на бумаге, с той лишь разницей, что не приходится пересчитывать вручную. Формулы в Excel записываются в ячейках и начинаются со знака «=». Переведя на язык формул Excel пропорцию, описанную выше, вы получите такое выражение: =B1/A1, где A1 – общее число деталей, а B1 – число бракованных. После этого необходимо в контекстном меню ячейки C1 выбрать пункт «формат ячеек» и выбрать процентный числовой формат. Ответ автоматически будет переводиться в проценты. После можно копировать формулу в другие ячейки, адреса ячеек изменятся автоматически.