Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Примеры решений.

Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка .

У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка . А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.

Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка . В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят

Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:

Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.

В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная и не входят производные более высоких порядков:

Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.

Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.

Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.

1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка . Налетайте!

2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами . Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение .

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение .

Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение будет иметь два различных действительных корня, например: , то общее решение запишется по обычной схеме: .

В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде . Что делать, ответ придется записать так:

С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие тоже никаких проблем, общее решение:

То есть, общее решение в любом случае существует . Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.

В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:

Линейные однородные уравнения высших порядков

Всё очень и очень похоже.

Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.

Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:

Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:

Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:

Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:

Пример 9

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.

Ответ: общее решение

Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.

В этом параграфе будет рассмотрен частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т. е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит особенно широкое применение.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

в котором коэффициенты постоянны. Полагая, что деля все члены уравнения на и обозначая

запишем данное уравнение в виде

Как известно, для нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фундаментальная система частных решений для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Будем искать частное решение этого уравнения в виде

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для в уравнение (59), получим

Так как , то, сокращая на получим уравнение

Из этого уравнения определяются те значения k, при которых функция будет решением уравнения (59).

Алгебраическое уравнение (61) для определения коэффициента к называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (59).

Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть либо действительными различными, либо действительными и равными, либо комплексными сопряженными.

Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных решений в каждом из этих случаев.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: . В этом случае по формуле (60) находим два частных решения:

Эти два частных решения образуют фундаментальную систему решений на всей числовой оси, так как определитель Вронского нигде не обращается в нуль:

Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле (48) имеет вид

2. Корни характеристического уравнения равные: . В этом случае оба корня будут действительными. По формуле (60) получаем только одно частное решение

Покажем, что второе частное решение образующее вместе с первым фундаментальную систему, имеет вид

Прежде всего проверим, что функция является решением уравнения (59). Действительно,

Но , так как есть корень характеристического уравнения (61). Кроме того, по теореме Виета Поэтому . Следовательно, , т. е. функция действительно является решением уравнения (59).

Покажем теперь, что найденные частные решения образуют фундаментальную систему решений. Действительно,

Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного уравнения имеет вид

3. Корни характеристического уравнения комплексные. Как известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами, т. е. имеют вид: . В этом случае частные решения уравнения (59), согласно формуле (60), будут иметь вид:

Применяя формулы Эйлера (см. гл. XI, § 5 п. 3), выражения для можно записать в виде:

Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действительные решения, рассмотрим новые функции

Они являются линейными комбинациями решений и, следовательно, сами являются решениями уравнения (59) (см. § 3, п. 2, теорему 1).

Легко показать, что определитель Вронского для этих решений отличен от нуля и, следовательно, решения образуют фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид

Приведем в заключение таблицу формул общего решения уравнения (59) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и
- некоторые числа, а функция
задана на некотором интервале
.

Если
на интервале
, то уравнение (1) примет вид

, (2)

и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным .

Рассмотрим комплексную функцию

, (3)

где
и
- действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть
, и мнимая часть
решения
в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:

Если есть решение уравнения (2), то и функция
, гдеС – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);

Если иесть решения уравнения (2), то и функция
также будет решением уравнения (2);

Если иесть решения уравнения (2), то их линейная комбинация
также будет решением уравнения (2), гдеи
– произвольные постоянные.

Функции
и
называютсялинейно зависимыми на интервале
, если существуют такие числаи
, не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство

Если равенство (4) имеет место только тогда, когда
и
, то функции
и
называютсялинейно независимыми на интервале
.

Пример 1 . Функции
и
линейно зависимы, так как
на всей числовой прямой. В этом примере
.

Пример 2 . Функции
и
линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство
возможно лишь в случае, когда и
, и
.

Построение общего решения линейного однородного

уравнения

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и. Линейная комбинация этих решений
, гдеи
– произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения.

Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать в виде

, (5)

где – некоторое число. Тогда
,
. Подставим эти выражения в уравнение (2):

или
.

Так как
, то
. Таким образом, функция
будет решением уравнения (2), еслибудет удовлетворять уравнению

. (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть иесть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни ихарактеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции
и
. Эти решения линейно независимы, так как равенство
может выполняться лишь тогда, когда и
, и
. Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид

,

где и
- произвольные постоянные.

Пример 3
.

Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет
. Решив это квадратное уравнение, найдём его корни
и
. Функции
и
являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид
.

Комплексным числом называется выражение вида
, гдеи- действительные числа, а
называется мнимой единицей. Если
, то число
называется чисто мнимым. Если же
, то число
отождествляется с действительным числом.

Число называется действительной частью комплексного числа, а- мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными:
,
.

Пример 4 . Решить квадратное уравнение
.

Решение . Дискриминант уравнения
. Тогда. Аналогично,
. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е.
,
, где
. Решения уравнения (2) можно записать в виде
,
или
,
. По формулам Эйлера

,
.

Тогда ,. Как известно, если комплексная функция является решением линейного однородного уравнения, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции
и
. Так как равенство

может выполняться только в том случае, если
и
, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид

где и
- произвольные постоянные.

Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Уравнение
является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни
,
. Функции
и
являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид.

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е.
. Тогда решениями уравнения (2) являются функции
и
. Эти решения линейно независимы, так как выражениеможет быть тождественно равным нулю только тогда, когда
и
. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид
.

Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Характеристическое уравнение
имеет равные корни
. В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции
и
. Общее решение имеет вид
.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и специальной правой частью

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и любого частного решения
неоднородного уравнения:
.

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части
уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m . Если
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степениm , т.е.

Коэффициенты
определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же
является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

Пример 7 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является
. Его характеристическое уравнение
имеет корни
и
. Общее решение однородного уравнения имеет вид
.

Так как
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции
. Найдём производные этой функции
,
и подставим их в данное уравнение:

или . Приравняем коэффициенты прии свободные члены:
Решив данную систему, получим
,
. Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид
, а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид

Если
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде. Если же
есть корень характеристического уравнения кратностиk (k =1 или k =2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид
. Его корни
,
. В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде
.

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
. Найдём производные первого и второго порядков:,

Подставим в дифференциальное уравнение:
+ +,
+,.

Приравняем коэффициенты при и свободные члены:

Отсюда
,
. Тогда частное решение данного уравнения имеет вид
, а общее решение

.

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных можно применять к любому неоднородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами независимо от вида правой части. Этот метод позволяет всегда найти общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть
и
являются линейно независимыми решениями уравнения (2). Тогда общим решением этого уравнения является
, гдеи
- произвольные постоянные. Суть метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (1) ищется в виде

где
и
- новые неизвестные функции, которые необходимо найти. Так как неизвестных функций две, то для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Эти два уравнения составляют систему

которая является линейной алгебраической системой уравнений относительно
и
. Решая данную систему, найдём
и
. Интегрируя обе части полученных равенств, найдём

и
.

Подставив эти выражения в (9), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (1).

Пример 9 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение. Характеристическим уравнением для однородного уравнения, соответствующего данному дифференциальному уравнению, является
. Корни его комплексные
,
. Так как
и
, то
,
, а общее решение однородного уравнения имеет вид. Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде, где
и
- неизвестные функции.

Система уравнений для нахождения этих неизвестных функций имеет вид

Решив эту систему, найдём
,
. Тогда

,
. Подставим полученные выражения в формулу общего решения:

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения, полученное по методу Лагранжа.

Вопросы для самоконтроля знаний

Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а какое – неоднородным?

Какими свойствами обладает линейное однородное уравнение?

Какое уравнение называется характеристическим для линейного дифференциального уравнения и как оно получается?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае разных корней характеристического уравнения?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?

В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?

Как записывается общее решение линейного неоднородного уравнения?

В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если корни характеристического уравнения различны и не равны нулю, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?

В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть один нуль, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?

В чём суть метода Лагранжа?

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y "" + p (x )y " + q (x )y = f (x ) ,

где y - функция, которую требуется найти, а p (x ) , q (x ) и f (x ) - непрерывные функции на некотором интервале (a, b ) .

Если правая часть уравнения равна нулю (f (x ) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением . Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f (x ) ≠ 0 ), то уравнение называется .

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y "" :

y "" = −p (x )y " − q (x )y + f (x ) .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши .

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y "" + p (x )y " + q (x )y = 0 .

Если y 1 (x ) и y 2 (x ) - частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y 1 (x ) + y 2 (x ) - также является решением этого уравнения;

2) Cy 1 (x ) , где C - произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x ) и y 2 (x ) .

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема . Функция C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x ) и y 2 (x ) линейно независимы.

Определение . Функции y 1 (x ) и y 2 (x ) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

y 1 (x )/y 2 (x ) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W (x ) :

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения - линейно независимые . Если определитель Вронского равен нулю, то решения - линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y "" + py " + qy = 0 ,

где p и q - постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность - нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k ² + pq + q = 0 ,

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением .

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения - действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и - вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Корни характеристического уравения - вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид