ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Гиперболические синус (sh x) и косинус (сh x) определяются следующими равенствами:
Гиперболические тангенс и котангенс определяются по аналогии с тригонометрическими тангенсом и котангенсом:
Аналогично определяются гиперболические секанс и косеканс:
Имеют место формулы:
Свойства гиперболических функций во многом аналогичны свойствам (см.). Уравнения х=соs t, у=sin t определяют окружность х²+у² = 1; уравнения х=сh t, у=sh t определяют гиперболу х² - у²=1. Как тригонометрические функции определяются из окружности единичного радиуса, так и гиперболические функции определяются из равнобочной гиперболы х² - у²=1. Аргумент t есть двойная площадь заштрихованного криволинейного треугольника ОМЕ (рис. 48), аналогично тому как для круговых (тригонометрических) функций аргумент t численно равен удвоенной площади криволинейного треугольника ОКЕ (рис. 49):
для круга
для гиперболы
Теоремы сложения для гиперболических функций аналогичны теоремам сложения для тригонометрических функций:
Эти аналогии легко усматриваются, если за аргумент х принять комплексное переменное г. Гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями следующими формулами: sh x = — i sin ix, ch x = cos ix,где i - одно из значений корня √-1
. Гиперболические функции sh х, а также и сh x: могут принимать сколько, угодно большие значения (отсюда, естественно, и большие единицы) в отличие от тригонометрических функций sin х, соs х, которые для действительных значений не могут быть по модулю больше единицы.
Гиперболические функции играют роль в геометрии Лобачевского (см. ), используются при изучении сопротивления материалов, в электротехнике и других отраслях знаний. Встречаются в литературе также обозначения гиперболических функций такие sinh x; соsh х; tgh x.
Тангенс, котангенс
Определения гиперболических функций, их области определений и значений
sh x - гиперболический синус, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - гиперболический косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .
th x - гиперболический тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - гиперболический котангенс
, x ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .
Графики гиперболических функций
График гиперболического синуса y = sh x
График гиперболического косинуса y = ch x
График гиперболического тангенса y = th x
График гиперболического котангенса y = cth x
Формулы с гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
sin
iz = i sh
z ; cos
iz = ch
z
sh
iz = i sin
z ; ch
iz = cos
z
tg
iz = i th
z ; ctg
iz = - i cth
z
th
iz = i tg
z ; cth
iz = - i ctg
z
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.
Четность
sh(-x) = - sh x
;
ch(-x) = ch x
.
th(-x) = - th x
;
cth(-x) = - cth x
.
Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.
Разность квадратов
ch 2 x - sh 2 x = 1 .
Формулы суммы и разности аргументов
sh(x ± y) = sh
x ch
y ± ch
x sh
y
,
ch(x ± y) = ch
x ch
y ± sh
x sh
y
,
,
,
sh 2
x = 2 sh
x ch
x
,
ch 2
x = ch 2
x + sh 2
x
= 2 ch 2
x - 1 = 1 + 2 sh 2
x
,
.
Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса
,
,
,
,
,
.
Формулы суммы и разности гиперболических функций
,
,
,
,
.
Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом
,
,
,
.
Производные
,
Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Разложения в ряды
Обратные функции
Ареасинус
При - ∞ < x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакосинус
При 1
≤ x < ∞
и 0
≤ y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1
≤ x < ∞
и - ∞ < y ≤ 0
:
.
Ареатангенс
При - 1
< x < 1
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
11 Основные функции комплексной переменной
Напомним определение комплексной экспоненты – . Тогда
Разложение в ряд Маклорена. Радиус сходимости этого ряда равен +∞, значит комплексная экспонента аналитична на всей комплексной плоскости и
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Первое равенство здесь следует, например, из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.
11.1 Тригонометрические и гиперболические функции
Синусом комплексного переменного называется функция
Косинус комплексного переменного есть функция
Гиперболический синус комплексного переменного определяется так:
Гиперболический косинус комплексного переменного -- это функция
Отметим некоторые свойства вновь введеных функций.
A. Если x∈ ℝ , то cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .
Б. Имеет место следующая связь тригонометрических и гиперболических функций:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
В. Основные тригонометрическое и гиперболическое тождества :
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
Доказательство основного гиперболического тождества.
Основное тригонометрическое тождество следует из оновного гиперболического тождества при учете связи тригонометрических и гиперболических функций (см. свойство Б)
Г Формулы сложения :
В частности,
Д. Для вычисления производных тригонометрических и гиперболических функций следует применить теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Получим:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
Е. Функции cos z, ch z четны, а функции sin z, sh z нечетны.
Ж. (Периодичность) Функция e z периодична с периодом 2π i. Функции cos z, sin z периодичны с периодом 2π , а функции ch z, sh z периодичны с периодом 2πi. Более того,
Применяя формулы суммы, получаем
З . Разложения на действительную и мнимую части :
Если однозначная аналитическая функция f(z) отображает биективно область D на область G, то D называется областью однолистности.
И. Область D k ={ x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Доказательство. Из соотношения (5) следует инъективность отображения exp:D k → ℂ . Пусть w -- любое ненулевое комплексное число. Тогда, решая уравнения e x =|w| и e iy =w/|w| с действительными переменными x и y (y выбираем из полуинтеравала ); иногда вводятся в рассмотрение… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям (См. Гиперболические функции) sh х, ch х, th х; они выражаются формулами (читается: ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс… … Большая советская энциклопедия
Функции, обратные к гиперболич. функциям; выражаются формулами … Естествознание. Энциклопедический словарь
Обратные гиперболические функции определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину… … Википедия
Книги
- Гиперболические функции , Янпольский А.Р.. В книге излагаются свойства гиперболических и обратных гиперболических функций и даются соотношения между ними и другими элементарными функциями. Показаны применения гиперболических функций к…