Структура

Частицы технического углерода представляют собой глобулы , состоящие из деградированных графитовых структур. Межплоскостное расстояние между графитоподобными слоями составляет 0,35-0,365 нм (для сравнения, в графите 0,335 нм).

Размер частиц (13-120 нм) определяет «дисперсность » техуглерода. Физико-химическим показателем, характеризующим дисперсность, является удельная поверхность . Поверхность частиц обладает шероховатостью, за счёт наползающих друг на друга слоёв. Мерой шероховатости служит соотношение между показателями удельной поверхности техуглерода и его йодным числом (поскольку йодное число определяет полную поверхность частиц с учётом шероховатостей).

Частицы в процессе получения объединяются в т. н. «агрегаты», характеризуемые «структурностью» - разветвлённостью - мерой которой служит показатель абсорбции масла.

Агрегаты слипаются в менее прочные образования - «хлопья».

Кроме атомов углерода в составе технического углерода присутствуют атомы серы , кислорода , азота .

Техуглерод обладает высокоразвитой поверхностью (5-150 м²/г), со значительной активностью. На поверхности обнаруживаются т. н. концевые группы (-COOH, -CHO, -OH, -C(O)-O-, -C(O)-), а также сорбированные остатки неразложившихся углеводородов. Их количество напрямую зависит от способа получения и последующей обработки углеродных частиц. Для получения пигментов часто частицы техуглерода подвергают окислительной обработке кислотами.

Истинная плотность частиц технического углерода - 1,76-1,9 г/см³. Насыпная плотность хлопьевидного («пылящего») техуглерода составляет 30-70 кг/м³. Для удобства транспортирования и использования технический углерод гранулируют до плотности 300-600 кг/м³.

Применение

Технический углерод применяется в качестве усиливающего компонента в производстве резин и других пластических масс . Около 70 % всего выпускаемого техуглерода используется в производстве шин , ~20 % в производстве резино-технических изделий. Остальное количество находит применение в качестве чёрного пигмента ; замедлителя «старения » пластмасс; компонента, придающего пластмассам специальные свойства: (электропроводные , способность поглощать ультрафиолетовое излучение, излучение радаров).

Усиление резин

Усиливающее действие техуглерода в составе полимеров во многом обусловлено его поверхностной активностью. Оценить степень изменения свойств резиновых вулканизатов, содержащих 50 % по массе технического углерода разных марок, можно на основе следующих данных (в качестве основы использован БСК - бутадиен-стирольный каучук):

Наименование класса Код Марка по
ASTM D1765 		Размер
частиц, нм 		Растягивающее
усилие, МПа 		Сопротивление
истиранию, усл.ед.
Суперстойкий к истиранию, печной SAF N110 20-25 25,2 1,35
Промежуточный ISAF N220 24-33 23,1 1,25
С высокой стойкостью к истиранию, печной HAF N330 28-36 22,4 1,00
Быстроэкструдирующийся печной FEF N550 39-55 18,2 0,64
Высокомодульный печной HMF N683 49-73 16,1 0,56
Полуусиливающий печной SRF N772 70-96 14,7 0,48
Средний термический MT N990 250-350 9,8 0,18
Каучук бутадиен-стирольный - - - 2,5 ~0

Следует отметить, что кроме прекрасных физических свойств техуглерод придаёт наполненным полимерам чёрную окраску. В связи с чем, для производства пластмасс, для которых важен конечный цвет (например обувной пластикат) в качестве усиливающего наполнителя применяют т. н. «белую сажу » (аэросил) - высокодисперсный оксид кремния .

Справедливости ради следует отметить, что доля «белой сажи» возрастает и в производстве автомобильных шин, поскольку резиновые вулканизаты на её основе обладают значительно меньшими потерями на трение при качении, что приводит к экономии топлива . Однако, усиливающее действие «белой сажи» и сопротивляемость вулканизатов истиранию пока существенно хуже, чем при использовании техуглерода.

Способы получения

Существует несколько промышленных способов получения технического углерода. В основе всех лежит термическое (пиролиз) или термоокислительное разложение жидких или газообразных углеводородов . В зависимости от применяемого сырья и метода его разложения различают:

  • печной - непрерывный процесс, осуществляемый в закрытых цилиндрических проточных реакторах . Жидкое углеводородное сырьё впрыскивается механическими или пневматическими форсунками в поток газов полного сгорания топлива (природный газ , дизельное топливо), причём расходы всех материальных потоков поддерживаются на заданном уровне. Полученную реакционную смесь для прекращения реакций газификации охлаждают, впрыскивая в поток воду. Техуглерод выделяют из отходящего газа и гранулируют;
  • ламповый - непрерывный процесс, осуществляемый в специальных проточных реакторах. Жидкое углеводородное сырьё испаряется за счёт подвода теплоты к чаше, в которой оно находится. Пары сырья увлекают во внутрь реактора наружный воздух через кольцевой зазор между приёмным зонтом реактора и чашей для сырья. Материальные потоки контролируются лишь частично. Реакционный канал в хвостовой части реактора охлаждается через стенку водой. Техуглерод выделяют из отходящего газа и упаковывают;
  • термический - процесс осуществляется в парных реакторах объёмного типа, работающих попеременно. В один из реакторов подают газ (природный , ацетилен) в смеси с воздухом, который, сгорая, нагревает футеровку реактора. В это время во второй предварительно нагретый реактор подают только газ (без воздуха), в ходе протекания реакции футеровка остывает, подачу газа переводят в подготовленный реактор, а остывший разогревают, как описано выше;
  • канальный - периодический процесс, осуществляемый в специальных камерах периодического действия, в полу которых установлены щелевые (канальные) горелки. Пламя сгорающего сырья (природный газ) на выходе из горелок сталкивается с охлаждаемым водой металлическим жёлобом, процесс окисления прекращается с выделением техуглерода, который собирается внутри камеры. Полученный продукт периодически выгружают вручную.

Классификация

В соответствии с классификацией по ГОСТ установлены 10 марок технического углерода. В зависимости от способа получения (печной, канальный, термический) маркам присвоены буквенные индексы «П», «К», «Т». Следующий за буквенным цифровой индекс характеризует средний размер частиц техуглерода в целых десятках нанометров
Основные физико-химические характеристики показатели марок техуглерода по ГОСТ приведены ниже:

Марка по
ГОСТ 7885 		Удельная поверхность ,
10³м²/кг 		Йодное число ,
г/кг 		Абсорбция масла,
10 −5 м³/кг 		Насыпная плотность,
кг/м³
П245 119 121 103 330
П234 109 105 101 340
К354 150 - - -
П324 84 84 100 340
П514 - 43 101 340
П701 36 - 65 420
П702 37,5 - 70 400
П705 23 - 110 320
П803 16 - 83 320
Т900 14 - - -

В основе классификации по стандарту ASTM D1765 лежит способность некоторых марок техуглерода изменять скорость вулканизации резиновых смесей. В зависимости от чего маркам присвоены буквенные индексы «N» (с нормальной скоростью вулканизации) и «S» (с замедленной скоростью вулканизации, от англ. «slow» - медленный). Следующий за буквенным цифровой индекс - номер группы марок по средней удельной поверхности . Два последних цифровых индекса выбирались при утверждении марки.
Стандартом описаны (по состоянию на год) 43 марки техуглерода, из которых индекс «S» имеют 2.
Основные физико-химические характеристики показатели типичных марок техуглерода по ASTM приведены ниже:

Марка по
ASTM D1765 		Удельная поверхность ,
10³м²/кг 		Йодное число ,
г/кг 		Абсорбция масла,
10 −5 м³/кг 		Насыпная плотность,
кг/м³
N110 127 145 113 345
N220 114 121 114 355
S315 89 - 79 425
N330 78 82 102 380
N550 40 43 121 360
N683 36 35 133 355
N772 32 30 65 520
N990 8 - 43 640

Воздействие на человека

По текущим оценкам Международного агентства по исследованиям в области рака, технический углерод, возможно , является канцерогенным веществом для человека и по этой причине отнесён к группе 2B по классификации канцерогенных веществ. Кратковременное воздействие высоких концентраций пыли техуглерода может вызывать дискомфорт в верхних дыхательных путях за счёт механического раздражения.

На протяжении многих лет сажевые наполните-ли использовали для окрашивания пластических масс и сырых резиновых смесей , так же для улучшения их светостойкости и электропроводности.

Ввиду высокой цветовой насыщенности и свето-стойкости углеродная сажа использовалась в ка-честве пигмента на самых ранних этапах развития человеческого общества. Однако в промышленном масштабе она начала применяться лишь после установления ее высокой эффективности как ак-тивного наполнителя для каучуков.

Примерно 6 % мирового объема промышленного произ-водства углеродной сажи использу-ется в настоящее время в качестве черного пигмен-та для лаков и красок, типографских красок, пластических масс, бумаги, а также в производстве электропроводного графита, чугуна, пеностекла.

Технология производства углеродной сажи

Впервые методы получения углеродной сажи были разработаны в древнем Китае и Египте. В 263 г. до нашей эры в Китае уже применяли черный лак и, следовательно, использовали чер-ный пигмент.

Были разработаны две различные технологии с применением масла и смолы; углеродная сажа осаждалась на охлажденных поверхностях. Углеродная сажа служила также компонентом при производстве китайских чернил.

Римский ученый Марк Витрувий Поллион описал получение углеродной сажи еще в 24 г. до нашей эры в своем трактате "Об архитектуре". Углеродная сажа представляет собой мелкие кол-лоидные частицы неорганического пигмента. Она имеет микрокристаллическую структуру и состоит в основном из углерода. Углеродная сажа включа-ет также водород и кислород, содержание которых зависит от способа производства и химического состояния поверхности.

Углеродную сажу получают путем неполного сжигания природного и искусственного газов, жидких углеводородов, например битумного дегтя.

Технология получения ламповой сажи

Одним из наиболее старых методов является производство ламповой сажи. Этот метод исполь-зовали в древнем Китае и Египте.

Технология получения ламповой сажи основана на применении чугунного котла, в котором сжигают жидкое или расплавленное сырье. Ламповая сажа, выделяемая из продуктов сгора-ния газов, осаждается в топке или отделяется, с помощью циклонных сепараторов и фильтров.

Десятилетие назад было прекращено производство канальной газовой сажи по причи-нам экологического и экономического характера. Технология изготовления канальной газовой сажи обеспечивает получение продукта, представляюще-го собой тонкодисперсную углеродную сажу.

В качестве сырьевых материалов используют угле-водороды, которые испаряются и сгорают вместе с газоносителем. Пламя подогревает охлажденные металлические резервуары, а углеродную сажу удаляют с помощью скребков или скребково-го оборудования.

Благоприятные условия производства и неукос-нительное соблюдение законодательства по охране окружающей среды позволяют бесперебойно изготавливать газовую сажу.

Технология получения печной сажи

Отличие метода производства печной сажи от метода получения газовой сажи заключается в том, что сырьевой материал сжигают с помощью не целого ряда горелок, а единственной мощной струи пламени в футерованной огнеупорной печи. Газообразные продукты сгорания, содержащие углеродную сажу, подвергают мокрому тушению и направляют в сборник сажи. В связи с тем, что производительность процесса получения печной сажи значительно выше производительно-сти процесса получения газовой сажи, он имеет более высокую экономическую эффективность.

На данный момент производители выпускают более 50 сор-тов углеродной сажи. Ввиду того, что ассортимент продукции у разных поставщиков углеродной сажи различен, существует сле-дующая классификация саж:

Красящие пигменты,

Окислительные пигменты,

Структурированные пигменты;

Электропроводные пигменты.

Физико-химические свойства

Помимо технологии производства функциональ-ное назначение продукта в еще большей степени определяется его физико-химическими свойствами.

Степень черноты

Степень черноты черных пигментов связана с первоначальным размером их частиц. Уменьшение размера частиц приводит к повышению степени черноты или насыщенности цвета. Степень черно-ты (величину М у) измеряют через стерто на масляной пасте, пигментированной углеродной сажей. Может быть использо-ван спектрофотометр с полихроматическим излучением и глянцевым фильтром. Величину определяют по системе координат МКО.

Размер частиц

Размер крупной частицы ламповой сажи состав-ляет 95 нм. Размер частиц печной сажи равен 50—15 нм; наименьший размер у частиц газовой сажи — 10—30 нм.

Поверхность частиц

Средний размер исходных частиц и поверх-ность черных пигментов можно определить с по-мощью электронной микрофотографии.

Удельная поверхность может быть определена методом Брунауэра—Эмметта—Теллера (БЭТ-ме-тод) по адсорбции азота или йода.

Маслоемкость

Маслоемкость черных пигментов зависит от размера исходных частиц. Она определяется по процентному содержанию льняного масла, необходимого для придания пастообразной углеродной саже свойства текучести.

Абсорбция дибутилфталата/ структура

Важным показателем печной сажи является структура. Структура определяется объемом ди-бутилфталата (в мл), абсорбированного 100 г углеродной сажи.

Структура может изменяться в процессе полу-чения печной сажи за счет использования некото-рых добавок.

Структура характеризуется более или менее ярко выраженным скоплением исходных частиц в виде коротких цепей или трехмерных структур.

Низкотемпературные сажи отличаются малой маслоемкостью, хорошей текучестью, высокой дозировкой и хорошим блеском. Существуют печные сажи с величиной поглоще-ния дибутилфталата в пределах 40—80 мл/100 г пигмента.

Высокоструктурные печные сажи отличаются высоким уровнем поглощения дибутилфталата, низкой дозировкой пигмента и хорошей диспергируемостью.

Для высокоструктурных углеро-дистых саж с хорошей удельной электропровод-ностью уровень абсорбции дибутилфталата превы-шает 100 мл/100 г пигмента.

Газовые сажи имеют очень большое количество летучих веществ, характеризуемых наличием функциональных кислотных, полярных групп. Показатель pH свидетельствует о кислой среде.

Печные сажи имеют щелочную реакцию, обу-словленную наличием щелочных оксидов на по-верхности, образовавшихся в процессе получения сажи. Все сажи, которые подвергали последующей окислительной обработке, имеют кислый pH. Сажи с высоким содержанием летучих веществ быстро диспергируются, имеют хорошие реологи-ческие свойства и низкую вязкость.

Зольный остаток/остаток на сите

Зольный остаток черных пигментов определяют путем прокаливания, а остаток на сите — путем просеивания черного пигмента через сито с разме-ром отверстий 0,04 мм.

В зависимости от природы сжигаемого газа газовые сажи могут иметь наименьшее содержание золы и самый низкий остаток на сите, например 0,002 %. Это необходимо учитывать при производстве поливинилхлоридных грампластинок и при окрашивании синтетических волокон.

Черные пигменты и пластические массы

Черные пигменты используются не только для окрашивания и подкрашивания пластических масс, но чаще для их защиты от УФ-излучения, повышения термостойкости, улучшения электро-проводности, а также в качестве наполнителя.

Окрашивание пластических масс

Черный пигмент, отличающийся очень хороши-ми технологическими характеристиками (степенью черноты, интенсивностью, цветовым тоном) приме-няют для окрашивания всех видов пластических масс.

Чернота

Тонкодисперсные частицы черных пигментов используют для пигментирования в тех случаях, когда требуется обеспечить высокую степень чер-ноты, например в акрилонитрилбутадиенстирольном сополимере, полиакрилате, поликарбонате, полипропилене, поливинилхлориде и полиуретане.

Для обеспечения высокой степени черноты применяют черные пигменты.

Высокая степень черноты грампластинок на основе сополимера винилхлорида и винилацетата требуется для высококачественного воспроизведе-ния стереозаписей, не имеющих фоновых шумов. Такие пластинки можно изготовить только с по-мощью тонкодисперсной газовой сажи с низким зольным остатком и остатком на сите.

Интенсивность

Интенсивность черного пигмента зависит не только от размера частиц, но и в большей степени от структуры.

Предпочтение отдается высокоструктурным черным пигментам с частицами среднего размера. Высокоструктурные углеродные сажи легко и быстро диспергируются. Следовательно, они явля-ются идеальными черными пигментами для окра-шивания полимеров с кристаллической структурой. Они получили также преимущественное распространение для окрашивания вторичных полимеров, содержащих различные пигменты.

Цветовой тон

Грубодисперсную ламповую сажу исполь-зуют для получения матовых серых цветовых тонов. По этой причине эту сажу применяют в тех случаях, когда полиметилметакрилат должен иметь дымчато-коричневый оттенок.

Устойчивость к действию УФ-излучения

Пластические массы, находящиеся под воздей-ствием УФ-излучения, могут обесцвечиваться, терять прочность при растяжении или стать очень хрупкими.

Успешное использование черных пигментов при окрашивании пластических масс во многом обу-словлено их высокой устойчивостью к воздействию УФ-излучения. Черные пигменты являются наибо-лее эффективными стабилизаторами при воздей-ствии УФ-излучения.

Изделия из пластических масс, полученные с применением черных пигментов, например трубо-проводы из полиэтилена высокой и низкой плот-ности, поливинилхорида и полипропилена, оплет-ки кабелей, отличаются длительным сроком служ-бы.

Тонкодисперсные углеродистые сажи более эффективны, чем сажи грубодиспёрсных сортов. Содержание черных пигментов также влияет на устойчивость к УФ-излучению. Повышение содер-жания до 2—3 % улучшает степень защиты поли-мера и увеличивает срок службы изделия. Анализ микрофотографии поперечного среза полипропи-лена показывает, что содержание тонкодисперсной сажи марки Printex Р (20 нм), равное 0,5 %, обе-спечивает такую светостойкость, которую грубо-дисперсная ламповая сажа марки 101 (95 нм) может обеспечить лишь при содержании 2 %. Однако необходимая устойчивость к воздействию УФ-облучения может быть достигнута лишь с повышением содержания тонкодисперсной сажи марки Printex Р до 2 %.

Термостойкость

В некоторых полимерах черный пигмент вы-полняет функцию термостабилизатора или антиок-сиданта.

Полиэтилен низкой плотности, содержащий различные черные пигменты, испытывали по стан-дартной методике, применяемой для изучения свойств поливинилхлорида с помощью измерения величины pH. Термостойкость оценивали по продолжительности времени, в течение которого исходная величина pH, равная 6, умень-шалась до 4,6. Наиболее высокая термостойкость достигнута при использовании тонкодисперсной газовой сажи с размером частиц 17 нм.

Поскольку в тонкодисперсной печной саже (21 нм) нет такого большого количества функцио-нальных групп, как в грубодисперсной газовой саже (25 нм), тонкодисперсная печная сажа не столь эффективна. Газовые сажи повышают термо-стойкость полиэтилена низкой плотности благода-ря своей тонкодисперсной структуре и наличию функциональных групп на поверхности частиц.

Что касается полипропилена, то в отличие от полиэтилена низкой плотности его термостойкость при использовании черных пигментов с частицами различного размера изменяется в противополож-ном направлении.

В качестве критерия оценки изменения величи-ны термостойкости во времени использовали тем-пературу хрупкости образцов полипропилена, помещенных в сушилку с температурой 140 °С и содержащих тонко дисперсную печную сажу марки Printex Р (20 нм) и ламповую сажу марки 101 (95 нм) соответственно. Повышенное содержание черного пигмента (0,5—2 %) снижает термостой-кость полипропилена на 40 % при повышенной температуре после хранения в горячей воде. В этом отношении адекватную стабилизацию обеспечивает грубодисперсная ламповая сажа марки 101.

Наполнитель

Применяется для сшиваемых полиэтилена низкой плотности и сополимера этилена с винил- ацетатом, а также сополимеров, используемых в производстве кабелей с повышенной термостой-костью. Для получения безусадочного полимера в него вводят перед отверждением 10—20 % черного пигмента. Для улучшения технологических и механических свойств тройного этиленпропилено- вого сополимера, также применяемого в производ-стве кабелей, в него добавляют 30—50 % черного пигмента.

Электрические характеристики

Пластические массы являются прекрасными изоляционными материалами с удельным объ-емным электрическим сопротивлением 10 12 — 10 17 Ом/см (поливинилхлорид и полиэтилен низ-кой плотности).

Удельное электрическое сопротивление

У некоторых кабелей из поливинилхлорида с содержанием черного пигмента 0,1 или 0,5 % изоляционные характеристики не изменяются. Коэффициент потерь определяют путем измерения tg угла в температурном диапазоне 20—100 °С. При окислении наилучшими свойствами обладает газо-вая сажа.

Удельная электропроводность

Как отмечалось ранее, полимеры имеют очень хорошие изоляционные свойства по сравнению с металлами и чистыми прессованными углеродными сажами.

Высокоструктурная углеродная сажа с высокой степенью поглощения дибутилфталата повышает удельную электропроводность полимеров в гораз-до большей степени, чем низкоструктурная са-жа.

У черных пигментов, требуемая величина удельной электропроводности в большинстве случаев дости-гается при вдвое меньшем содержании, чем при применении стандартной высокоструктурной элек-тропроводной углеродной сажи. Для полимеров с аморфной структурой, например, полистирола, поливинилхлорида и полиэтилена низкой плотности требуется по этой причине более высокое количество углеродной сажи. Повышенная степень кристалличности полимера повышает удельную электропроводность.

Другими параметрами, от которых зависит достижение постоянной удельной электропровод-ности, являются степень ориентации частиц углеродной сажи в полимере, технология ее получе-ния, реологические условия и скорость кристалли-зации в процессе охлаждения.

Помимо электрических характеристик полиме-ров с электропроводными и антистатическими свойствами необходимо учитывать, что электропроводная углеродная сажа оказывает влияние на механические свойства полимеров. Повышение удельной электропроводности жидких полимеров, таких, как полиуретаны, поливинилхлоридные пластизоли, -эпоксидные смолы, с помощью элек-тропроводной углеродной сажи связано с примене-нием такого большого количества сажи, что вяз-кость материала увеличивается настолько, что работа с ним затрудняется. Для термоотверждае-мых полимеров и формуемых или спекаемых со-единений, например ненасыщенных полиэфиров, мочевиноформальдегидных смол, фенолоформальдегидных смол и политетрафторэтилена, обеспече-ние электропроводных и антистатических свойств не вызывает затруднений. Содержание добавляе-мой электропроводной сажи колеблется в пределах от 1 до 7 % и зависит от заданной величины удельной электропроводности.

Полимеры с антистатическими и электропро-водными свойствами используются для изготовле-ния держателей печатных плат, опорных шин интегральных схем, контейнеров, ящиков, поддо-нов, труб и фиттингов, шахтных трубопроводов и воздуховодов, настилов для полов, перчаток, упа-ковочной пленки, пенопластов, кабелей.

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята настолько нелогичной, парадоксальной и даже шокирующей, что натолкнулась на резкую критику со стороны математиков-современников, в частности, Леопольда Кронекера и Анри Пуанкаре; позднее - Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра, а Людвиг Витгенштейн высказал возражения философского плана (см. Споры о теории Кантора). Некоторые христианские богословы (особенно представители неотомизма) увидели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм. Критика его трудов была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи». Десятилетия спустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, что математика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теории множеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и «ошибочное». Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию, но сейчас считается, что эти приступы, возможно, были проявлением биполярного расстройства.

Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. В своё время, защищая её от критики, Давид Гильберт смело заявил: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор».

Биография

Юные годы и учёба

Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году будущий знаменитый учёный поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе (ныне - Швейцарская высшая техническая школа Цюриха). Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете, тогда, да и сейчас, - очень важного центра математической мысли. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

Учёный и исследователь

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн (Vally Guttmann). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Рихардом Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии.

Кантор получил звание Внештатного Профессора в 1872 году, а в 1879 стал Полным Профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском - в то время ведущем университете Германии. Однако его теории встречают серьёзную критику, и мечтам не удаётся воплотиться в жизнь. Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, всё больше и больше был не в восторге от перспективы получить такого коллегу, как Кантор, воспринимая его как «развратителя молодёжи», наполнявшего своими идеями головы молодого поколения математиков. Более того, Кронекер, будучи заметной фигурой в математическом сообществе и бывшим учителем Кантора, был в корне не согласен с содержанием теорий последнего. Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку та утверждала существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, - без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам. Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета.

В 1881 году Эдуард Гейне, коллега Кантора, умер, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенца (именно в таком порядке), но все они отказались. В итоге пост занял Фридрих Вангерин, однако он никогда не был другом Кантора.

В 1882 году научная переписка с Дедекиндом оборвалась, вероятно, как следствие отказа последнего от должности в Галле. В то же время Кантор установил другую важную переписку, с Гёста Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и скоро начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати. Он попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Кантор согласился, но при этом отметил в переписке с другим человеком:

Вслед за этим Кантор резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, проявляя склонность воспринимать исполненную благих намерений критику как глубокое личное оскорбление.

Первый известный приступ депрессии Кантор испытал в 1884 году. Критика его работ тяготила его разум: каждое из 52 писем, которые он написал Маттаг-Леффлёру в 1884 году, подверглось атаке Кронекера. Отрывок из одного письма показывает степень ущерба, нанесённого ощущению уверенности Кантора в себе:

Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон (см. Вопрос авторства Шекспира); результаты по этой работе в конце концов были опубликованы в двух проспектах 1896 и 1897 годов.

Вскоре после этого Кантор восстановился, и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, свои знаменитые диагональный аргумент и теорему. Однако он уже никогда не сможет достичь того высокого уровня, который был в его работах 1874-1884 годов. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз - маниакально-депрессивный психоз.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году; в то время его репутация была достаточно сильна, даже несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.

Объекты, названные в честь Кантора

  • Канторово множество - континуальное множество нулевой меры на отрезке;
  • Функция Кантора (Канторова лестница);
  • Нумерующая функция Кантора - отображение декартовой степени множества натуральных чисел в само себя;
  • Теорема Кантора (см. также Теорема Кантора (значения)) о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности самого множества;
  • Теорема Кантора - Бернштейна о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A;
  • Теорема Кантора - Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте;
  • Теорема Кантора - Бендиксона
  • Медаль Кантора - математическая награда, вручаемая Немецким математическим обществом;
  • а также другие математические объекты.

Сочинения

  • Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Давид Гильберт

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (3 марта 1845 - 6 января 1918) - выдающийся немецкий математик, известный как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Созданная Кантором теория множеств (некоторые ее идеи встречались у его предшественников, в частности сравнительно подробно разработаны Б. Больцано) не только лежит ныне в основе математического анализа, но и послужила причиной общего пересмотра логических основ математики и оказала влияние на всю современную структуру математики.

Кантор родился в Петербурге. Отец его Георг Вольдемар Кантор был родом из Копенгагена. Он прибыл в Петербург в молодости и держал там маклерскую контору под собственным именем. Усердный и удачливый коммерсант, он достиг крупного успеха и оставил после смерти (1863) весьма значительное состояние; по-видимому, он пользовался и в Петербурге, и позже в Германии высоким уважением. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. Мать Кантора, Мария, урожденная Бем, происходила из семьи, многие члены которой были одарены в разных областях искусства; влияние ее проявилось, без сомнения, в богатой фантазии сына.

Георг Кантор, одаренный мальчик, посещавший в Петербурге начальную школу, уже очень рано проявил страстное желание приступить к изучению математики. Отец его, однако, не согласился с этим, считая более обещающей в отношении заработка профессию инженера. Сын сначала подчинился. Он посещал некоторое время гимназию в Висбадене, а также частные школы во Франкфурте на Майне. Затем поступил, весной 1859 года, в провинциальное реальное училище Великого герцогства Гессенского в Дармштадте, оттуда он перешел в 1860 году на общий курс Высшей ремесленной школы (позже Высшей технической школы). Отец руководил его образованием, предъявляя необычно высокие требования; особую важность придавал он воспитанию энергии, твердости характера и пронизывающей всю жизнь религиозности.

С течением времени глубокое влечение сына к математике не могло не подействовать на отца, письма которого свидетельствуют также об его уважении к науке. В письме из Дармштадта, датированном 25 мая 1862 года и представляющем первое сохранившееся письмо Кантора, сын мог уже выразить отцу благодарность за одобрительное отношение к его планам:

Дорогой папа! Ты можешь себе представить, как обрадовало меня твое письмо; оно определяет мое будущее. Последние дни я провел в сомнении и неуверенности; и не мог прийти ни к какому решению. Долг и влечение постоянно были в борьбе. Теперь я счастлив, видя, что не огорчу тебя, последовав в моем выборе собственной склонности. Надеюсь, дорогой отец, что сумею еще доставить тебе радость, потому что душа моя, все мое существо живет в моем призвании; человек делает то, что он хочет и может, и к чему влечет его неведомый, таинственный голос!..

Осенью 1862 года Кантор приступил к занятиям в Цюрихе, откуда он, впрочем, уже после первого семестра ушел вследствие смерти отца. С осени 1863 года он изучал математику, физику и философию в Берлине, куда триумвират Куммера, Вейерштрасса и Кронекера привлекал лучшие дарования, возбуждая умы (тогда еще довольно узкого) круга слушателей в самых различных направлениях. Лишь весенний семестр 1866 года провел он в Геттингене. Сильнейшее влияние на его научное развитие оказал, бесспорно, Вейерштрасс. Замечательно и характерно для широты взглядов Вейерштрасса, для его непредубежденного и проницательного суждения, с каким сочувственным пониманием и как рано оценил он нетрадиционные идеи своего ученика, ответив этим на глубокое уважение, которое тот неизменно оказывал ему в течение всей жизни, вопреки преходящим размолвкам.

В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел. Докторская диссертация, давшая Кантор возможность стать весной 1869 года приват-доцентом университета в Галле, принадлежит, вместе с несколькими небольшими заметками, опубликованными в 1868−1872 годах, еще к первому, арифметическому кругу его интересов, к которому он редко возвращался впоследствии.

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн. У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии. Это знакомство привело, наряду с частыми личными встречами, впоследствии происходившими обычно в Гарцбурге, также к переписке, от которой сохранилось 38 писем. Следует отметить также весьма значительную в начале переписки разницу в возрасте (Дедекинд был на 14 лет старше). В целом, Кантор играет в этой переписке роль спрашивающего и берущего. Уже в одном из первых писем он выражает свою потребность обсуждать с Дедекиндом научные вопросы и ближе познакомиться с ним лично. В дальнейшем Кантор постоянно выражал почтительную благодарность за то, что дает ему это знакомство, а также за «вдохновляющее и чрезвычайно поучительное воздействие» на него «классических трудов» Дедекинда.

В 1869 году Кантор стал действительным членом Общества Естествоиспытателей в Галле; особенно же следует отметить избрание в члены-корреспонденты Геттингенского Научного Общества.

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Работы Кантора представляют большой философский интерес, о чём и сам Кантор прекрасно знал.

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики - в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Некоторые христианские богословы увидели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога. Критика его трудов была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи». Десятилетия спустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, что математика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теории множеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и «ошибочное».

К сорока годам у Кантора начинаются проблемы с пснхикой. Первый известный приступ депрессии он испытал в 1884 году. Отрывок из одного письма показывает степень ущерба, нанесённого ощущению уверенности Кантора в себе:

Не знаю, когда вернусь к продолжению моей научной работы. Сейчас я не могу абсолютно ничего делать с ней, и ограничил себя лишь самым необходимым занятием - чтением лекций; насколько бы я был счастливее быть активнее в научном плане, если бы только у меня была необходимая свежесть мыслей.

Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон. Результаты по этой работе в конце концов были опубликованы в 1896 и 1897 годах.

Через некоторое время Кантор восстановился, и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности. Однако он уже никогда не сможет достичь того высокого уровня, который был в его работах 1874-1884 годов. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз - маниакально-депрессивный психоз.

Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. В своё время, именно защищая теорию Кантора от критики, Давид Гильберт смело заявил:

Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году. В то время его репутация была достаточно сильна, несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.

Более широкий план Кантора − основать международную организацию математиков потерпел неудачу; но он решительно и успешно работал над учреждением Международных математических конгрессов.

Более сорока лет Кантор занимался преподавательской деятельностью в университете Галле; выдающемся преимуществом его лекций была строгость и четкость в определении понятий. Изложение, по рассказам его учеников, было ясным и упорядоченным, но в то же время оживленным и возбуждающим интерес. В человеческом отношении Кантор был верным и отзывчивым другом своих слушателей; дом его всегда был открыт для них, как и для многих студентов других специальностей, привлекая их интимной атмосферой, музыкой и возбуждающей, юношески свежей общительностью; значительную роль в этом играла его любезная супруга. Даже в пожилом возрасте он не щадил усилий, чтобы оказать помощь своим ученикам или просто доставить им радость. В частности, к молодым приват-доцентам он относился с исключительной благожелательностью, и в их круге было известно, что каждый, обратившийся к Кантору с просьбой, важной или не столь важной, всегда найдет в нем дружески расположенного слушателя и советчика.

Кантор завершил свои математические публикации в 1897 году, но продолжал преподавательскую работу. Тогда же начинается все возрастающее признание его труда математическим миром.

Международное празднование семидесятилетия Кантора было намечено на 1915 год, но не могло состояться из-за войны; все же многие немецкие математики явились в Галле воздать ему честь. Тогда же был заложен мраморный бюст Кантора, с 1928 года стоящий в вестибюле университета Галле. Его золотой докторский юбилей не мог быть публично отмечен, вследствие состояния его здоровья.

В честь математика Немецкое математическое общество учредило Медаль Кантора.

Имя Кантора носят следующие математические объекты:

  • канторово множество
  • функция Кантора
  • теорема Кантора
  • теорема Кантора-Бернштейна
  • теорема Кантора-Гейне
  • аксиома Кантора
  • антиномия Кантора.

По материалам статьи Адольфа Френкеля «Жизнь Георга Кантора».