Задача № 1 (1).

Условие:

Вариант 1. P 6 , P 8 , A 6 2 , A 8 5 , C 6 2 , C 8 5 .

Решение:

P 6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 P 8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320

6 5 = 30 == 8 7 6 = 336

15 = = = 56

Задача № 2 (2) .

Условие:

В ящике случайным образом находится 10 рубашек, причем 4 из них высшего сорта. Покупатель берет наудачу 3 из них. Найти вероятность того, что из взятых рубашек окажется высшего сорта хотя бы 1 рубашка.

Решение:

Способ 1:

А - событие взятия 1 рубашки высшего сорта

B - событие взятия 2 рубашек высшего сорта

C - событие взятия 3 рубашек высшего сорта

R - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

P(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =

2 способ :

А - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

Ни одна из рубашек высшего сорта не взята

P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()

P() = = = P(A) = 1 - =

Задача № 3 (1) .

Условие:

Имеется 3 партии деталей по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии - 30, во второй - 20, в третей партии - 15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлекают деталь, оказавшуюся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии извлекают деталь, тоже оказавшуюся стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третей партии.

Решение:

А - событие извлечения стандартной детали в каждом из двух испытаний

В 1 - детали извлекались из первой партии

В 2 - детали извлекались из второй партии

В 3 - детали извлекались из третей партии

Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то P(B1) = P(B2) = P(B3) =

(А) = 1 - вероятность извлечения стандартных деталей из 1 партии

(А) = = - вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии

(А) = = - вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии

P A (B 3) = == =

Задача № 4 (3) .

Условие:

Отдел технического контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных.

Решение:

P = 0.9 - вероятность того, что деталь стандартна

q = 1-P = 0.1 - вероятность того, что деталь нестандартна

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных деталей от числа P не превысит положительного числа?, определяется из удвоенной формулы Лапласа:

Ф(105?) = =0.475

По таблице значений функции Ф(х) находим, что х = 1.96. Откуда 105? = 1.96, значит? ? 0,0186.

Таким образом, границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных, удовлетворяет равенству:

0,0186 или 0,8814??0,9186

Отсюда искомое число стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах

881?m ?917

Задача № 5 (4).

Условие:

Экономист считает, что вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0.8, если экономика страны будет на подъёме, и 0.25, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0.55. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

Решение:

А - событие, что акции компании поднимутся в следующем году

Н 1 - событие, что экономика страны будет на подъёме

H 2 - событие, что экономика страны не будет успешно развиваться

События Н 1 и Н 2 образуют полную группу событий. Так как:

P(H 1) = 0.55 - вероятность того, что экономика страны будет на подъёме

P(H 2) = 0.45 - вероятность того, что экономика страны не будет успешно развиваться

0.8 - вероятность роста акций при подъёме экономики страны

0.25 - вероятность роста акций при неуспешном развитии экономики страны

По формуле полной вероятности получим:

P(A) = P(H 1) + P(H 2) = 0.8 0.55+0.25 0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525

Задача № 6 (5).

Условие:

Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течении обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0.88, от второй - с вероятностью 0.85. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0.16, для второй - 0.018. В случае банкротства инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность получить прибыль?

вероятность значение степень оценка

Решение:

А - событие получения инвестором прибыли

В 1 - событие банкротства первой фирмы

В 2 - событие банкротства второй фирмы

С 1 = В 1 - событие банкротства только первой фирмы

С 2 = В 2 - событие банкротства только второй фирмы

С 3 = В 1 В 2 - событие банкротства обеих фирм

С 4 = - событие работы обеих фирм

Р(В 1) = 0.16 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(В 2) = 0.018 - вероятность банкротства второй фирмы

Р С1 (А) = 0.85 - вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы

Р С 2 (А) = 0.88 - вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы

Р С 3 (А) = 0 - вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм

Р С4 (А) = 1 - вероятность получения прибыли при работе обеих фирм

Р(С 1) = 0.16 0.982 = 0.1571 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(С 2) = 0.84 0.018 = 0.0151 - вероятность банкротства второй фирмы

Р(С 3) = 0.16 0.018 = 0.0029 - вероятность банкротства обеих фирм

Р(С 4) = 0.84 0.982 = 0.8223 - вероятность работы двух фирм

Тогда по формуле полной вероятности получим:

P(A) = P C1 (A) P(C 1)+ P C2 (A) P(C 2)+ P C3 (A) P(C 3)+ P C4 (A) P(C 4) =

0.85 0.1571+0.88 0.0151+0 0.0029+1 0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691

Задача № 7 (1).

Условие:

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.04. Какова вероятность того, что среди купленных 15 билетов окажется 3 выигрышных?

Решение:

Требуется найти вероятность n=3 успехов из N=15 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0.04. По формуле Бернулли эта вероятность равна:

P 15 (3) = = 0.04 3 0.96 12 =455 0.000064 0.613=0.018

Задача № 8 (6).

Условие:

Вероятность банкротства одной из 9 фирм к концу года равна 0.24. Какова вероятность того, что к концу года обанкротится не более 3 фирм?

Р (n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P 9 (0)+P 9 (1)+P 9 (2)+P 9 (3) =

1 0.0846+ 0.24 0.1113+ 0.0576 0.1465+ 0.138 0.01927 =

0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847

Задача № 9 (1).

Условие:

Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную величину Х со средним =55 и дисперсией D X =4. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от Х 1 =53 до Х 2 =57 ден. единиц.

Решение:

Так как М(Х) ? =55, ? = = 2, то

P (53

Задача № 1 0 (7).

Условие:

Суммарная выручка 10 фирм в среднем равна S=11000. В 80% случаев эта выручка отклоняется от средней не более чем на?S = 500. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка находится в интервале между 1000 и 10000.

Решение:

По условию задачи =P (10500

2=0.8, =0.4

то по таблице значений функции Ф(х) находим =1.28, ? = =390,625

P (1000

Подобные документы

    Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.

    контрольная работа , добавлен 13.01.2014

    Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.

    контрольная работа , добавлен 18.09.2010

    Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.

    задача , добавлен 14.01.2011

    Применение классического определения вероятности для нахождения среди определенного количества деталей заданных комбинаций. Определение вероятности обращения пассажира в первую кассу. Использование локальной теоремы Муавра-Лапласа для оценки отклонения.

    контрольная работа , добавлен 23.11.2014

    Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности. Частость наступления события. Операции над событиями. Сложение и умножение вероятности. Схема повторных независимых испытаний (система Бернулли). Формула полной вероятности.

    реферат , добавлен 22.12.2013

    Общее понятие и характеристика простейшего пространства элементарных исходов. Способы вычисления вероятности события. Классическая вероятностная модель, ее главные свойства и доказательства. Основные аксиомы теории вероятности, примеры решения задач.

    реферат , добавлен 24.04.2009

    Способы вычисления наступления некоторого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Использование таблицы функции Лапласа для определения теоретических частот нормального закона распределения. Определение исправленной выборочной дисперсии.

    контрольная работа , добавлен 14.03.2015

    Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения.

    задача , добавлен 19.03.2011

    Изучение сути и выдвижение предположения о законе распределения вероятности экспериментальных данных. Понятие и оценка асимметрии. Принятие решения о виде закона распределения вероятности результата. Переход от случайного значения к неслучайной величине.

    курсовая работа , добавлен 27.04.2013

    Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.


Необходимо ввести и точно определить гипотезы и итоговое событие , указать вероятности гипотез
и условные вероятности события при наступлении каждой гипотезы
. При этом совокупность гипотез должна образовывать полную группу событий , поэтому сумма их вероятностей равна 1:
.
^

Решение типовых задач
Задача 1. На сборку поступают детали с 3 станков-автома­тов, производительности которых относятся как 2:3:5. Брак в их продукции составляет 2%, 1%, 3% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная.

Решение. Пусть событие состоит в том, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная. Это событие происходит совместно с одной из гипотез
, состоящих в том, что деталь с i -го автомата. Вероятности этих гипотез:

;
;
.

Гипотезы образуют полную группу событий, сумма их вероятностей равна 1.

Условные вероятности интересующего нас события равны:

;
;
.

Искомую вероятность события найдем по формуле полной вероятности, которая в нашем случае запишется так:

Получаем окончательно

Задача 2. Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80%, а во 2 – 70% высококачественного шрифта. Наудачу извлеченная литера из наудачу взятого набора оказалась высококачественной. Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора.

Решение. Событие – наудачу взятая литера высококачественная. Как и в предыдущей задаче, оно происходит совместно с одной из гипотез
– литера с i -го набора – вероятности которых
. Гипотезы и образуют полную группу событий.

По условию
,
. Требуется найти вероятность
, т.е. переоценить вероятность гипотезы при условии, что событие уже наступило. Используем формулу Байеса

,

Где
– формула полной вероятности .

В данном случае
.
^

Задачи для отчета преподавателю


Блок А

А 3.1. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 изготовлено на станке № 2, остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на станке № 3, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,98.

А 3.2. На сборку поступают детали с 4 автоматов. Второй дает 40%,
а третий – 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%. Сколько процентов продукции идет на сборку с 4-го автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?

А 3.3. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6;
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.4. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по 1 детали, причем
обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит 3-й партии.

А 3.5. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся
доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?

А 3.6. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти
вероятность того, что: а) число бракованных изделий равно 6; б) взятое бракованное изделие единственно.

А 3.7. В 2-х ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в 1-м ящике – 12, а во 2-м – 15 стандартных. Из 1-го ящика перекладывается во 2-й одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из 2-го ящика будет стандартной.

А 3.8. В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены 1-м заводом, а остальные – 2-м. Известно, что 3% ламп 1-го завода и 5% ламп 2-го завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность, что взятая наудачу лампа будет стандартной?

А 3.9. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,9;
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,6. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.10. Через остановку возле вокзала проходят автобусы маршру­тов № 2, № 3, № 10 и № 29. Пассажир ждет автобус № 2 или № 10. Среди 50 курсирующих автобусов имеется 6 автобусов № 2 и 9 – № 10. Найти вероятность того, что 1-й, подошедший к остановке автобус будет нужного пассажиру маршрута, если появление на остановке любого автобуса предполагается равновероятным.

А 3.11. Имеется 2 ящика изделий, причем в 1 ящике все
изделия доброкачественны, а во 2 – только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит 1-му и 2-му ящику, если количество изделий в ящиках
одинаково?

А 3.12. Из контейнера, содержащего одинаковое количество
деталей 4-х предприятий, взяли на проверку одну деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция 2 предприятий содержит по 3/4 бракованных деталей, а вся
продукция остальных предприятий доброкачественна?

А 3.13. В 2 ящиках содержится по 20 деталей, из которых в
1-м ящике – 16, а во 2-м – 10 стандартных. Из 1-го ящика извлекаются и перекладываются во 2-й ящик 2 детали. Определить
вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из
2-го ящика будет стандартной.

А 3.14. Известно, что 5% всех мужчин и 25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником.
Какова вероятность, что это мужчина?

А 3.15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень c вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – c вероят­ностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.16. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной
стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.

А 3.17. Прибор может собираться из высококачественных
деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t ) равна 0,95; если из деталей обычного
качества, то 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и
работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

А 3.18. Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в
остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

А 3.19. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, 2 знают 20 билетов из 30, 1 успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного на подготовку времени экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при
незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

А 3.20. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности событий: а) студент подготовлен отлично или хорошо; б) студент подготовлен удовлетворительно; в) студент подготовлен плохо.

А 3.21. В продажу поступают телевизоры 3 видов. Продукция
1-го завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом,
2-го – 10% и 3-го – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с 1-го завода, 20% – со 2-го и 50% – с 3-го?

А 3.22. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо 1-й;
человеку с 1-й группой крови можно перелить только кровь 1-й группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

А 3.23. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще 2 мяча. Какова вероятность того, что 2-я игра будет проводиться новыми мячами?

А 3.24. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% – для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, 40% отправляется на экспорт. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для черно-белого телевизора, будет отправлен на экспорт.

А 3.25. Имеется 25 партий однотипных изделий: 10 партий по 10 изделий, из которых 8 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных, 1 нестандартно. Из наудачу выбранной партии изымается одна деталь. Какова вероятность того, что она нестандартна?

А 3.26. Три машинистки перепечатывали рукопись. 1-я напеча­тала 1/3 всей рукописи, 2-я – 1/4, остальное – 3-я. Вероятность того, что 1-я машинистка сделает ошибку, равна 0,15, 2-я – 0,1, 3-я – 0,1. При проверке была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибка допущена 1-й машинисткой.

А 3.27. Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05. Вероятность обнаружения дефекта равна 0,95, а вероятность того, что годная деталь будет забракована, равна 0,02. Найти вероятность того, что: а) деталь будет принята; б) принятая деталь окажется с дефектом; в) непринятая деталь не будет иметь дефекта.

А 3.28. Априорно установлено, что число дефектных деталей не превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных
деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось?

А 3.29. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет первым или не первым?

А 3.30. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероят­ностью белый или черный. В урну опускается 1 белый шар, и после тщательного перемешивания наудачу извлекается 1 шар.
Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался
белый шар?

А 3.31. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов
соответственно равны 0,05, 0,03, 0,02. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен
1-м заводом?

А 3.32. Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный срок службы, равна 0,9, для завода № 2 эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

А 3.33. В двух ящиках содержится по 20 деталей, из которых в первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика будет стандартной?

А 3.34. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 – на станке № 2, а остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на третьем станке, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,97.

А 3.35. Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с
вероятностью 0,1. В 15% случаев на экран оператора попадает
помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном
пространстве самолета противника. Определить вероятность того, что сигнал получен действительно от самолета.

А 3.36. Из 20 стрелков семь попадают в цель с вероятностью 0,6; восемь – с вероятностью 0,5 и пять – с вероятностью 0,7.
Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

А 3.37. На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук
соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТу), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?

А 3.38. Экономист считает, что вероятность роста стоимости акции компании в следующем году составит 0,75, если экономика страны будет на подъеме, и 0,30, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

А 3.39. Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1, однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?

А 3.40. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с веро­ятностью 0,05; ученик – с вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер?

Блок В


  1. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,25%, с четвертого - 0,5%. Производительности их относятся как 4: 3: 2: 1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена: а) на первом; б) на втором; в) на третьем; г) на четвертом станке. Как проверить правильность вычислений этих вероятностей?

  2. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй - шесть, из третьей - пять студентов. Вероятности того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

  3. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела - 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

  4. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго - 0,2%, третьего - 0,25%, четвертого - 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

  5. Радиолампы производятся на двух заводах, причем первый из них поставляет 70% всей продукции, а второй – 30%. Из каждых 100 ламп первого завода 80 стандартных, а из 100 ламп второго завода – лишь 60 стандартных. Найти вероятности следующих событий: а) заказчик получил стандартную лампу; б) лампа произведена первым заводом, если известно, что она оказалась стандартной.

  6. В некоторой отрасли 30% продукции производится на первой фабрике, 25% – на второй, остальное – на третьей. На первой фабрике брак составляет 1% от общего объема произведенной продукции, на второй – 1,5%, на третьей – 2%. Купленная покупателем продукция оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена на первой фабрике?

  7. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 7 черных, в третьей – только белые шары. Наугад из одной урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белый.

  8. Три стрелка одновременно выстрелили в мишень, в результате чего в ней оказалась одна пробоина. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,3, второго – 0,5, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.

  9. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 4 белых и 6 черных шаров, во второй – все белые, в третьей – все черные шары. Из выбранной наугад урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что: а) шар черный; б) шар был извлечен из первой урны, если он оказался белым.

  10. Студент знает ответы на 25 билетов из 30. Один билет уже вытащили до него. Какова вероятность того, что студент знает попавшийся ему билет?

  11. В группе учатся 20 девочек и 10 мальчиков. Домашнее задание не выполнили 4 девочки и 3 мальчика. Наугад вызванный студент оказался не подготовлен. Какова вероятность того, что это мальчик?
Блок С

С 3а Инспекторы налоговой службы производят проверку деятельности предприятий: первый обслуживает предприятий, среди которых % не имеют задолженностей, второй
предприятий, из них % без задолженностей. Какая вероятность того, что:

А) наудачу выбранное предприятие не имеет задолженностей;

Б) предприятие, которое не имеет задолженностей, проверял первый инспектор?


Номер
варианта
Исходные данные
Номер
варианта
Исходные данные



%


%


%


%

С 3.1

50
15
70
20
С 3.6

55
20
75
40

С 3.2

70
25
80
30
С 3.7

85
35
95
15

С 3.3

65
20
75
40
С 3.8

90
25
70
30

С 3.4

80
25
100
40
С 3.9

80
20
55
45

С 3.5

70
30
90
20
С 3.10

60
30
90
50

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение. Этот пример позволит вам на практике рассчитать показатели, которые мы можем ожидать от инвестиционного портфеля. Даны два вида акций и три состояния экономики:

Рассчитайте стандартное отклонение и ожидаемую доходность для каждого типа акций.

Риск портфеля и доходность. Вернемся к примеру 11.1 и предположим, что всего вы имеете $20000. Если вы вложите $6000 в акции A , а остальное в B , какими будут ожидаемая доходность и стандартное отклонение вашего портфеля?

Риск и доходность. Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:

Ценные бумаги Бета Ожидаемая доходность
Cooley, Inc. 1,6 19%
Moyer Co. 1,2 16%

Если ставка, свободная от риска, составляет 8%, правильно ли оценены данные ценные бумаги? Какой должна была бы быть ставка, свободная от риска, если ценные бумаги оценить правильно?

CAPM . Предположим, что ставка, свободная от риска, составляет 8%. Ожидаемая доходность на рынке составляет 14%. Если конкретный вид актива имеет (3 = 0,6, то какова ожидаемая доходность этого актива, основываясь на CAPM ? Если другой актив имеет ожидаемую доходность 20%, то какой должен быть (3 коэффициент?

Ответы

Ожидаемые доходности рассчитываются как произведение возможных доходностей на их вероятности:

E(R A ) = 0,1 х (-0,2) + 0,6 х (0,1) + 0,3 х (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 х (0,3) + 0,6 х (0,2) + 0,3 х (0,5) = 30%

Непостоянство рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонения ожидаемых доходностей на их вероятности:

Од = 0,1 х (-0,2 - 0,25)2 + 0,6 х (0,1 - 0,25)2 + 0,3 х (0,7 - 0,25)2 = = 0,1 х (-0,45)2 + 0,6 х (-0,15)2 + 0,3 х (0,45)2 = = 0,1 х 0,2025 + 0,6 х 0,0225 + 0,3 х 0,2025 = 0,0945

а2, = 0,1 х (0,3 - 0,3)2 + 0,6 х (0,2 - 0,3)2 + 0,3 х (0,5 - 0,3)2 =

0,1 х (0,0)2 + 0,6 х (-0,1)2 + 0,3 х (0,2)2 =

0,1 х 0,0 + 0,6 х 0,01 + 0,3 х 0,04 = 0,0180 Стандартные отклонения равны: аА = УО,0945 =30,74% aB = VO,0180 = 13,42%

Вес каждого типа акций в портфеле составляет: $6000/20000 = 0,3 и $14000/20000 = 0,7. Тогда ожидаемая доходность портфеля составит:

Щ/У = 0,3 х E(RA) + 0,7 х E(RB) = 0,3 х 25% + 0,7 х 30% = 28,50%

Тогда доходность портфеля составляет

E(R p ) = 0,1 х (0,15) + 0,6 х (0,17) - 0 3 х (0,56) = 28,50%.

Это тот же самый результат, что мы получили ранее.

Рассчитаем непостоянство портфеля

Ор = 0,1 х (0,15 - 0,285)2 + 0,6 х (0,17 - 0,285)2 + 0,3 х (0,56 - 0,285)2 = 0,03245

Тогда стандартное отклонение есть корень квадратный из 0,03245 и равно 18,01%

Если мы рассчитаем коэффициент награды за риск для ценных бумаг каждой компании, мы в результате получим (19% - 8%)/1,6 = 6,875% для Cooley и 6,67% для Моуег По отношению к Cooley ожидаемая доходность Моуег слишком низкая, поэтому ее цены слишком высокие

Если ценные бумаги обеих компаний оценены правильно, то они должны предлагать одинаковый коэффициент награды за риск Таким образом, мы можем составить уравнение

(19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2

Произведя небольшие алгебраические преобразования, мы получим /?у= 7%

(19% - Rf) = (16% - ЯД 1,6/1 ,2) 19% - 16% х (4/3) = Rf - Rf x (4/3) йу=7%

Так как рыночная ожидаемая доходность составляет 14%, то рыночная премия риска соответственно (14% - 8%) = 6% (ставка, свободная от риска, равна 8%) Первый вид ценных бумаг имеет Р = 0,6, значит ожидаемая доходность составляет 8% + 0,6x6%= 11,6%

Для второго вида премия риска составляет 20% - 8% = 12% Так как это ровно в два раза превышает рыночную премию риска, то и р коэффициент должен быть точно равен 2 Мы можем проверить это используя теорию CAPM

20% = 8% + х р Р, = 12%/6% = 2,0

Вопросы и задачи

Ожидаемые доходности портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли ожидаемая доходность такого портфеля быть больше, чем доходность каждого актива в этом портфеле? Меньше? Если у вас положительный ответ на один или оба вопроса, пожалуйста приведите пример, чтобы аргументировать ваше решение.

Непостоянство индивидуального актива и диверсификация. Правда или нет: наиболее важной характеристикой при определении ожидаемой доходности хорошо диверсифицированного портфеля являются непостоянства индивидуальных активов портфеля. Объясните.

Риск портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли стандартное отклонение такого портфеля быть меньше, чем стандартное отклонение каждого актива в этом портфеле? Что вы можете сказать о b такого портфеля?

Доходности портфеля. Используя информацию предыдущей главы об истории рынка ценных бумаг, определите, какой была доходность портфеля, который былодинаково распределен между обыкновенными акциями и долгосрочными правительственными облигациями? Который одинаково распределен между малыми акциями и векселями Казначейства?

CAPM . Используя CAPM , докажите, что коэффициент премии риска двух активов равен их коэффициентам р.

Доходности портфеля и отклонения. Имея следующую информацию о портфеле, состоящем из трех видов ценных бумаг, определите:

Если вы инвестировали по 30% в A и B , 40% в C , какой будет ожидаемая доходность портфеля? Непостоянство? Стандартное отклонение?

Если ожидаемый уровень доходности T-bill составляет 5,25%, то какой будет премия риска портфеля?

Если ожидаемый уровень инфляции составляет 5%, то какова реальная ожидаемая доходность портфеля? Какова реальная премия риска портфеля?

Анализ портфеля. Вы хотите создать портфель с таким же уровнем риска, что и фондовый рынок в целом. У вас есть $200000. Имея нижеприведенную информацию, заполните недостающие позиции:

Актив Инвестиции, $ b
Вид A 1,20
Вид B 0,85
Вид C ?? 1,40
Актив, свободный от риска ?? ??

Анализ портфеля. Вы имеете $100000 для инвестиций либо в ценные бумаги типа D , либо в F, либо в актив, свободный от риска. Вы должны вложить все ваши деньги. Ваша цель – создание портфеля с ожидаемой доходностью 10% и только с 60% риска, по сравнению с остальным рынком. Если D имеет ожидаемую доходность 20% и Р = 1,50, F имеет ожидаемую доходность 15% и Р = 1,15, ставка, свободная от риска составляет 5%, то сколько денег вы вложите в F?

Систематический риск против несистематического. Вы имеете следующую информацию:

Рыночная премия риска составляет 8% и ставка, свободная от риска, равна 6%. Какой вид ценных бумаг имеет наибольший систематический риск? Какой вид имеет наибольший несистематический риск? Какой вид ценных бумаг наиболее рискованный? Объясните.

Вопросы повышенной сложности

Коэффициенты b. Может ли рискованный актив иметь b = 0? Объясните. Используя модель CAPM , какой будет ожидаемая доходность такого актива? Может ли рискованный актив иметь отрицательный b коэффициент? Что предсказывает CAPM об уровне ожидаемой доходности для такого актива? Можете ли вы пояснить свой ответ?

Линия состояния фондового рынка (SML ). Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:

Ценные бумаги компании b Ожидаемая доходность
Abel Co. 1,15 18%
Baker Co. 0,80 15%

Допустим, что эти ценные бумаги правильно оценены. Основываясь на CAPM , определите, какой будет ожидаемая рыночная доходность? Какова ставка, свободная от риска?


Экзамен CFA – экзамен на получение сертификата финансового аналитика, который выдается специалистам в области инвестиций в США.

Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Пусть событие А может произойти лишь вместе с одним из событий В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(В 1), Р(В 2), Р(В 3),…,Р(В n) . Так как события В i образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А: Р(А/B 1), Р(А/B 2),…, Р(А/B i),…, Р(А/B n). Так как заранее неизвестно с каким из событий В i произойдет событие А , то события В i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий В i с учетом полной информации о событии А .

Вероятность события А определяется как:

. (5.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью.

Если событие А может наступить только с одним из событий В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т. Байеса, опубликовавшего их в 1764 году), где в знаменателе P(A)- полная вероятность.

Пример 1. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году?

Решение. Определим события: А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А –« акции компании поднимутся в цене в будущем году»- может произойти только вместе с одной из гипотез: B 1 –экономика страны будет на подъеме и B 2 –экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию известны вероятности гипотез: P(B 1)= 0,8; P(B 2)= 0,2

и условные вероятности события А: P(А/B 1)= 0,75; P(А/B 2)= 0,3.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А – это (или B 1 А или B 2 А ). События B 1 А и B 2 А – B 1 и B 2 – несовместны.


События B 1 и А, B 2 и А – зависимые.

Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

Ответ: 0,66.

Пример 2. Экономист полагает, что в течении периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4; и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течении любого периода времени вероятность активного экономического роста роста 0,3, умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста равна 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение. Определим события: А – «доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: B 1 –«активный экономический рост»; B 2 –«умеренный экономический рост»; B 3 –«низкий экономический рост».

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А :

P(B 1)= 0,3; P(B 2)= 0,5; P(B 3)= 0,2.

P(А/B 1)= 0,7; P(А/B 2)= 0,4; P(А/B 3)= 0,2.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. 1.Событие А – это (или B 1 А, или B 2 А, или B 3 А ). События B 1 А и B 2 А и B 3 А – несовместные попарно, так как события B 1 , B 2 и B 3 – несовместны.События B 1 и А, B 2 и А,А и B 2 – зависимые.По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть P(B 1 /А)-?

Используя формулу Байеса (5.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

БАЙЕСА

Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

Априорные Новая информация из Байесовский Апостериорные

вероятности каких-либо источников анализ вероятности

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н 1 , Н 2 , Н 3 , ..., Н n , образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H 1), P(H 2),…P(H i),…P(H n). Так как события H i образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H 1), P(A/H 2), …P(A/H i)…, P(A/H n), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий H i произойдет событие А, то события H i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как:

(3.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью .

Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3, ..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

или (3.2)

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

Пример 3.1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от двух поставщиков. Первый поставляет 65% ЧИПов, второй 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. Основываясь на предыдущих данных о рейтингах качества, составлена следующая таблица:

Поставщик % качественной продукции % брака
Поставщик 1
Поставщик 2

Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер, укомплектован ЧИПом от поставщика 1, поставщика 2.

Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде таблицы следующего вида:

Шаг 1. В первой колонке перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы.

Соб. Н 1 - ЧИП от первого поставщика;

Соб. Н 2 - ЧИП от второго поставщика.

Это - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.

Во второй колонке записываем вероятности этих событий:

Р(Н 1) = 0,65, а Р(Н 2) = 0,35

В третьей колонке определим условные вероятности события А - «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез.

Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от первого поставщика и он бракованный» и «ЧИП от второго поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий: А и Hi, то их называют совместными вероятностями, то есть

Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика1, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика 2. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от двух поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, по формуле (3.1):

= 0,0130 + 0,0175 = 0,0305

Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2)

Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4.

Гипотезы Априорные вероятности Условные вероятности Совместные вероятности Апостериорные вероятности
ЧИП от 1-го поставщика ЧИП от 2-го поставщика 0,65 0,35 0,02 0,05 0,0130 0,0175 0,426 0,574
S - Р(А) = 0,305

Пример 3.2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъёме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъёма в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году ?

Решение. Определим события:

А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году”.

Событие А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году” - может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - экономика страны будет на подъёме и

Н 2 - экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию известны вероятности гипотез:

P(H 1) = 0,8; P(H 2) = 0,2

и условные вероятности события А:

P(A/H 1) = 0,75; P(A/H 2) = 0,3.

Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

P(A)=P(H 1)× P(A/H 1) + P(H 2)× P(A/H 2) = 0,8 × 0,75 + 0,2 × 0,3 = 0,66.

Оформим решение в рабочей таблице:

Гипотезы H i P(H i) P(A/H i) P(H i)· P(A/H i)
H 1 - “подъем экономики” 0,80 0,75 0,60
H 2 - “спад экономики” 0,20 0,30 0,06
S 1,00 - 0,66

Ответ. Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году,

составляет 0,66.

Пример 3.3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого роста - 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение . Определим события:

А - “доллар дорожает”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - “активный экономический рост”;

Н 2 - “умеренный экономический рост”;

Н 3 - “низкий экономический рост”.

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н 1) = 0,3; Р(Н 2) = 0,5; Р(Н 3) = 0,2;

Р(А/Н 1) = 0,7; Р(А/Н 2) = 0,4 и Р(А/Н 3) = 0,2.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это (или Н 1 × А или Н 2 × А или Н 3 × А). События Н 1 × А, Н 2 × А и Н 3 × А - несовместные попарно, так как события Н 1 , Н 2 и Н 3 - несовместны.

События Н 1 и А, Н 2 и А, Н 3 и А - зависимые.

По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть Р(Н 1 /А) - ?

Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Гипотезы H i
H 1 0,30 0,70 0,21 0,21 / 0,45 = 0,467
H 2 0,50 0,40 0,20 0,20 / 0,45 = 0,444
H 3 0,20 0,20 0,04 0,04 / 0,45 = 0,089
S 1,00 - 0,45

Ответ. Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.

Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево решений:

Совместные
Априорные Условные вероятности
вероятности вероятности (как произведение)
P(A/H 1) = 0,7 P(H 1 A) = 0,3× 0,7 = 0,21
Р(Н 1) = 0,3
P( /H 1) = 0,3 P(H 1 ) = 0,3× 0,3 = 0,09
Р(Н 2) = 0,5 P(A/H 2) = 0,4 P(H 2 A) = 0,5× 0,4 = 0,20
P( /H 2) = 0,6 P(H 2 ) = 0,5× 0,6 = 0,30
P(A/H 3) = 0,2 P(H 3 A) = 0,2 × 0,2 = 0,04
Р(Н 3) = 0,2
P( /H 3) = 0,8 P(H 3 ) = 0,2× 0,8 = 0,16

Ответ. Вероятность активного экономического роста при условии, что доллар подорожает,

P(H i /A) =0,467

Пример 3.3. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны во вторую наудачу переложен один шар.

1. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным ?

2. Предположим, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар ?

Решение. Определим события:

А - “шар, извлеченный из второй урны - черный”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар” и

Н 2 - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили белый шар”.

Используя классическое определение вероятностей, определим вероятности гипотез:

P(H 1) = 6/10; P(H 2) = 4/10.

и условные вероятности события А.

После перекладывания во второй урне окажется 11 шаров. Если из первой урны во вторую переложили черный шар, то во второй урне окажется 7 черных и 4 белых шаров.

Тогда P(A/H 1) = 7/11.

Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне окажется 6 черных и 5 белых шаров.

Тогда P(A/H 2) = 6/11.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это (или Н 1 А или Н 2 А). События Н 1 А и Н 2 А - несовместные попарно, так как события Н 1 и Н 2 - несовместны.

События Н 1 и А, Н 2 и А - зависимые.

1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на первый вопрос формулу полной вероятности (3.1):

P(A)=P(H 1)P(A/H 1) + P(H 2)P(A/H 2)=6/10 7/11 + 4/106/11 = 0,6.

Это же решение можно оформить в рабочей таблице:

Ответ. Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным составляет 0,6.

2. Во второй части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т.е. шар, извлеченный из второй урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность второй гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным.

Р(Н 2 /А) - ?

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2):

Мы можем получить тот же результат при помощи таблицы:

Гипотезы H i Априорные вероятности P(H i) Условные вероятности P(A/H i) Совместные вероятности P(A H i) Апостериорные вероятности P(H i /A)
H 1 6/10 7/11 42/110=0,3818 0,3818/0,6 = 0,6364
H 2 4/10 6/11 24/110=0,2182 0,2182/0,6 = 0,3636
1,00 - 0,6

Ответ. Вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.

Задачи к теме 3

1. Руководство компании выяснило, что в среднем 85% сотрудников, отправленных на стажировку по применению новых информационных технологий, успешно завершают курс обучения. В дальнейшем из них 60% активно применяют в работе полученные знания. Среди тех сотрудников, которые не смогли успешно завершить обучение новые информационные технологии успешно применяют лишь 10%. Если случайно выбранный сотрудник компании активно применяет новые информационные технологии, то какова вероятность того, что он успешно прошел стажировку?

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,85, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,4. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0,6, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

3. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,87, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,64, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,1. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

4. Исследованиями маркетологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на рекламу средств бытовой химии. Результаты исследований показали, что 64% женщин позитивно реагируют на такую рекламу, считая что она дает полезную информацию о новинках в этой сфере, в то время как 48% мужчин реагируют на подобную рекламу негативно. 12 женщин и 8 мужчин заполнили анкету, в которой оценили новую рекламу средств бытовой химии. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполняла женщина?

5. Компьютерная фирма разработала программу автоматизации учета в кафе и ресторанах. Рекламные материалы были разосланы в крупнейшие кафе и рестораны города, которые составляют 70% от общего числа предприятий питания города. Закупили программу 40% кафе и ресторанов, которые получили рекламные материалы и 15% не получавших ее. Какова вероятность того, что случайно выбранное кафе, заказало новую программу автоматизации учета?

6. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,55; в противном случае - в 0,35. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,30. Чему равна вероятность заключения контракта?

7. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 0,72. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 0,93, а отрицательные - с вероятностью 0,96. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

8. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 70% - местные, 20% - по СНГ и 10% - в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 60% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 50%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он бизнесмен?

9. Аудитор осуществляет проверку фирмы. В ходе работы у него накопилось 2 стопы бухгалтерских документов. В первой стопе содержит из 67 документов7 содержат ошибки, а во второй стопе из 45 документов 4 документа с ошибками. Случайно был переложен один документ из первой стопы во вторую. Какова вероятность того, что документ, извлеченный из второй стопы, содержит ошибку?

10. Компьютерная фирма продает мониторы 4 марок. При этом известно, что мониторы Sony составляют 24% от продаж, Panasonic-28%, LG – 16%, Samsung-32%. Вероятность неполадок в первый год работы для мониторов Sony составляет 0,01, Panasonic-0,02, LG – 0,03, Samsung-0,02. Какова вероятность неполадок в первый год работы случайно выбранного монитора?

11. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

12. На АЭС установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,999. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,002. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность того, что это случилось в условиях реальной аварийной ситуации?

13. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке, равна 0,55. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 92% случаев; если нефти нет, то в 14% случаев тест может ошибочно указать на ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?

14. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,58. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара 0,32. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода 0,24. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

15. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,06, а в период экономического кризиса - 0,23. Предположим, вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,79. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

16. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на “хорошую”, “посредственную” и “плохую” и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,25, 0,60 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,7, когда ситуация “хорошая”; с вероятностью 0,2, когда ситуация “посредственная”, и с вероятностью 0,1, когда ситуация “плохая”. Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

17. Керамическая плитка одной марки, цвета и размера выпускается двумя цехами завода: первый цех выпускает 60% плитки, а второй 40%. Причем известно, что 8% продукции первого цеха имеют дефекты, тогда как этот же показатель для второго цеха равен 5%. Случайно взятая плитка имеет дефект. Чему равна вероятность того, что она выпущена первым цехом?

18. Опрос показал, что из 26 студентов, обучающихся в первой группе 18 ростовчан, а остальные живут в других городах, во второй группе 17 студентов-ростовчан, а остальные 10 живут в других городах. Из второй группы в первую был переведен один студент. После перевода один студент первой группы был вызван в деканат и оказалось, что это студент ростовчанин. Какова вероятность того, что из второй группы в первую был переведен студент-ростовчанин?

19. Страховая компания делит, водителей, заключивших договор автокаско на следующие группы риска: 1 группа – низкий риск; 2 группа - средний; 3 группа – высокий риск. Среди клиентов страховой компании 25% - первой группы; 65% - второй группы; 10% - третьей группы. Вероятность того, что страховое событие произойдет и страховая компания будет вынуждена выплатить страховое возмещение для первой группы риска оценивается как 0,1; для второй группы – 0,2; для третьей – 0,3. Какова вероятность того, что случайно выбранный клиент, получивший страховое возмещение, относится к группе среднего риска?

20. Работа сотрудников торгового зала супермаркета организована в две смены. В первой смене работают 5 мужчин и 7 женщин, во второй смене – 9 мужчин и 10 женщин. Из второй смены в первую был переведен один сотрудник. Клиент супермаркета пригласил сотрудника торгового зала для консультации. Консультировал клиента сотрудник – мужчина. Какова вероятность того, что из второй смены в первую была переведена женщина?


Похожая информация.