Следующая формула называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле:
Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя. Один из них обозначается через u , а остальная часть относится ко второму множителю и обозначается через dv . Затем дифференцированием находится du и интегрированием - функция v . При этом за u dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется.
Когда выгодно применять метод интегрирования по частям? Тогда, когда подынтегральная функция содержит :
1) - логарифмические функции, а также обратные тригонометрические функции (с приставкой "arc"), тогда на основании продолжительного опыта интегрирования по частям эти функции обозначаются через u ;
2) , , - синус, косинус и экспоненту, умноженные на P (x ) - произвольный многочлен от икса, тогда эти функции обозначают через dv , а многочлен - через u ;
3) , , , , в этом случае интегрирование по частям применяется дважды.
Поясним ценность метода интегрирования по частям на примере первого случая. Пусть выражение под знаком интеграла содержит логарифмическую функцию (таким будет пример 1). Применением интегрирования по частям такой интеграл сводится вычислению интеграла только алгебраических функций (чаще всего многочлена), то есть не содержащих логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. Применяя данную в самом начале урока формулу интегрирования по частям
получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма. Интеграл алгебраической функции намного проще интеграла, под знаком которого находятся отдельно или вместе с алгебраическим множителем логарифмическая или обратная тригонометрическая функция.
Таким образом, с помощью формулы интегрирования по частям интегрирование не выполняется сразу: нахождение данного интеграла сводится к нахождению другого. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:
то её можно записать в виде
который и был приведён в самом начале урока.
При нахождении интегрированием функции v для неё получается бесконечное множество первообразных функций. Чтобы применить формулу интегрирования по частям, можно взять любую из них, а значит, и ту, которая соответствует произвольной постоянной С , равной нулю. Поэтому при нахождении функции v произвольную постоянную С вводить не следует.
Есть у метода интегрирования по частям совершенно особенное применение: с его помощью можно выводить рекуррентные формулы для нахождения первообразных функций, когда требуется понизить степень функций под знаком интеграла. Понижение степени необходимо, когда не существует табличных интегралов для таких, например, функций, как синусы и косинусы в степени более второй и их произведения. Рекуррентная формула - это формула для нахождения очередного члена последовательности через предыдущий член. Для обозначенных случаев цель достигается последовательным понижением степени. Так, если подынтегральная функция - синус в четвёртой степени от икса, то методом интегрирования по частям можно найти формулу для интеграла синуса в третьей степени и так далее. Описанной задаче посвящен последний параграф этого урока.
Применяем интегрирование по частям вместе
Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям :
Решение. В подынтегральном выражении - логарифм, который, как мы уже знаем, разумно обозначить через u . Полагаем, что , .
Находим (как уже говорилось в пояснении к теоретической справке, сразу же получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма):
И снова логарифм...
Пример 2. Найти неопределённый интеграл:
Решение. Пусть , .
Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим
,
.
Второй интеграл вновь находим по частям и получаем уже упомянутое преимущество (в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма).
Находим изначальный интеграл:
Пример 3.
Решение. Арктангенс, как и логарифм, лучше обозначить через u . Итак, пусть , .
Тогда
,
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Второй интеграл находим методом замены переменной.
Возвращаясь к переменной x , получаем
.
Находим изначальный интеграл:
.
Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям :
Решение. Экспоненту лучше обозначить через dv
. Разбиваем подынтегральное выражение на два множителя. Полагая, что
Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям :
.
Решение. Пусть , . Тогда , .
Используя формулу интегрирования по частям (1), находим:
Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
Решение. Синус, как и экспоненту, удобно обозначить через dv . Пусть , .
По формуле интегрирования по частям находим:
Снова применяем интегрирование по частям вместе
Пример 10. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
.
Решение. Как и во всех подобных случаях, косинус удобно обозначить через dv . Обозначаем , .
Тогда 
,
.
По формуле интегрирования по частям получаем:
Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем , .
Применив эти обозначения, интегрируем упомянутое слагаемое:
Теперь находим требуемый интеграл:
Среди интегралов, которые можно решить методом интегрирования по частям, есть и такие, которые не входят ни в одну из трёх упомянутых в теоретической части групп, относительно которых из практики известно, что лучше обозначать через u , а что через dv . Поэтому в этих случаях нужно пользоваться соображением удобства, также приведённым в параграфе "Суть метода интегрирования по частям": за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. Последний пример этого урока - решение именно такого интеграла.
Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u
и v
являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x
(символ после знака дифференциала d
в конце записи интеграла) . Тогда u
и v
являются функциями от x
:
u(x)
и v(x)
.
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.
То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u
,
а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx
.
В некоторых случаях f(x) = 1
.
То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v
.
Резюме
Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.
Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u , оставшуюся часть - через dv .
Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x
По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x)
– многочлен от x
.
При интегрировании, многочлен P(x)
обозначают через u
,
а e ax dx
,
cos
ax dx
или sin
ax dx
- через dv
.
Вот примеры таких интегралов:
, , .
Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Пример
Вычислить интеграл:
Подробное решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln
x
,
dv = x 2
dx
.
Тогда
,
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C
,
поскольку неопределенный интеграл - это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.
Более короткое решение
Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v , а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.
.Ответ
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Пример
Вычислить интеграл:
.
Решение
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)
.
Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем.
Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:
Она
дает возможность свести вычисление
заданного интеграла
к вычислению интеграла
,
который оказывается более простым, чем
данный.
Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:
1.
Интегралы вида
,
,
,
где
– многочлен,
– число, не равное нулю
В
этом случае через
обозначают многочлен
.
2.
Интегралы вида
,
,
,
,
,
где
– многочлен.
В
этом случае через
обозначают
,
а всю остальную часть подынтегрального
выражения через
:
3.
Интегралы вида
,
,
где
– числа.
В
этом случае через
обозначают
и применяют формулу интегрирования по
частям дважды, возвращаясь в результате
к исходному интегралу, после чего
исходный интеграл выражается из
равенства.
Замечание : В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.
Пример 26.
Найти
интегралы методом по частям: а)
;
б)
.
Решение.
б)
3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной
функцией
(рациональной
дробью) называется функция, равная
отношению двух многочленов:
,
где
– многочлен степени
,
– многочлен степени
.
Рациональная
дробь называется
правильной
,
если степень многочлена в числителе
меньше степени многочлена в знаменателе,
т.е.
,
в противном случае (если
)
рациональная дробь называется
неправильной
.
Любую
неправильную рациональную дробь можно
представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, разделив
числитель на знаменатель по правилу
деления многочленов:
,
где
– целая часть от деления,
– правильная рациональная дробь,
– остаток от деления.
Правильные рациональные дроби вида:
I.
;
II.
;
III.
;
IV.
,
где
,
,
,
,
,
,
– действительные
числа и
(т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV
дробей не имеет корней – дискриминант
отрицательный) называются
простейшими
рациональными дробями
I, II, III и IV типов
.
Интегрирование простейших дробей
Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.
I)
.
II)
,
.
III)
Для интегрирования простейшей дроби
III типа в знаменателе выделяют полный
квадрат, производят замену
.
Интеграл после подстановки разбивают
на два интеграла. Первый интеграл
вычисляют выделением в числителе
производной знаменателя, что дает
табличный интеграл, а второй интеграл
преобразовывают к виду
,
так как
,
что также дает табличный интеграл.
;
IV)
Для
интегрирования простейшей дроби IV типа
в знаменателе выделяют полный квадрат,
производят замену
.
Интеграл после подстановки разбивают
на два интеграла. Первый интеграл
вычисляют подстановкой
,
а второй с помощью рекуррентных
соотношений.
Пример 27.
Найти интегралы от простейших дробей:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
.
Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:
соответствует одна дробь вида
;
–
каждому
множителю знаменателя
соответствует сумма
дробей
вида
соответствует дробь вида
;
– каждому
квадратному множителю знаменателя
соответствует сумма
дробей вида
где – неопределенные коэффициенты.
Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.
Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.
Метод неопределенных коэффициентов.
Т.к.
многочлены тождественно равны, то равны
коэффициенты при одинаковых степенях
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
в многочленах левой и правой частей,
получим систему линейных уравнений.
Решая систему, определяем неопределенные
коэффициенты.
Метод частных значений.
Т.к.
многочлены тождественно равны, то,
подставляя вместо
в левую и правую части любое число,
получим верное равенство, линейное
относительно неизвестных коэффициентов.
Подставляя столько значений
,
сколько неизвестных коэффициентов,
получим систему линейных уравнений.
Вместо
в левую и правую части можно подставлять
любые числа, однако более удобно
подставлять корни знаменателей дробей.
После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.
Схема интегрирования рациональных дробей:
1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.
2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.
3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.
4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.
Пример 28.
Найти интегралы от рациональных дробей:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
.
Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.
Исходный
интеграл примет вид:
.
Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:
,
получаем:
Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.
Тогда
искомое разложение имеет вид:
.
=
.
б)
.
.
Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
,
получаем систему:
Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:
.
Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:
.
в)
.
Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:
.
Приведя к общему знаменателю, получим:
Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:
Для
нахождения неопределенных коэффициентов
применим метод частных значений. Придадим
частные
значения
,
при которых множители обращаются в
нуль, т. е. подставим эти значения в
последнее выражение и получим три
уравнения:
; 
;
; 
;
; 
.
Тогда искомое разложение имеет вид:
Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:
Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись
Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,
(38)
Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
(39)
Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому
Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .
При a = b по определению принимается
Пример 1.
Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:
Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной
(при С = 0), получим
Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).
Пример 2. Вычислить определённый интеграл
Решение. Используя формулу
Свойства определённого интеграла
Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.
(40)
Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,
На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов
Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.
(41)
Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.
(42)
Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если
(43)
Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.
(44)
Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.
(45)
Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если
Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
можно почленно интегрировать , т.е.
(46)
Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.
Пример 5. Вычислить определённый интеграл
Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим
Определённый интеграл с переменным верхним пределом
Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл
(47)
а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.
(48)
Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим
так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.
Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.
Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
то в соответствии с формулой (16) можно записать
В этом выражении
первообразная функция для
В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна
Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция
принимает соответственно значения a и b , т.е.
Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть
Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.
Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1.
По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти
закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию
s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство
(x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство
(x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство
(sin(x))" = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).
Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)
Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.
Методы интегрирования
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом
заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора
подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где
\(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла
получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
