На этом уроке мы дадим определение геометрии как науке и ее подразделам: планиметрии и стереометрии. Дадим определение геометрических фигур и рассмотрим основные геометрические фигуры. Далее мы рассмотрим геометрические обозначения фигур и три основных аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве и решим несколько простых задач на их применение.
А, В, С, D - точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.
АВ = , CD = b - прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.
Плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).
Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В . Прямая может быть также обозначена как АВ .
Рассмотрим прямую b , на ней лежат точки С и D . Прямая b может быть также обозначена как СD .
Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.
Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .
Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая не принадлежит плоскости : .
Аксиомы стереометрии.
Аксиома 1 (А1)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Пояснение к аксиоме А1.
Рассмотрим три точки: А, В, С , причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.
Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.
Аксиома 2 (А2)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.
Пояснение к аксиоме А2.
Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).
Аксиома утверждает - все точки прямой (прямой АВ ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.
Эту аксиому можно записать следующим образом:
Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.
Если у прямой и плоскости одна общая точка М , то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
Задания 2, 4 на стр. 9.
Перечислите известные вам аксиомы стереометрии.
2. Дан куб .
В каких плоскостях лежат прямые:
б) AC 1
3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости
а) ABC и ABB 1
б) DCC 1 и BB 1 C .
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др. При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.
Большинство пространственных фигур представляют собой абстракцию различных предметов. Изучение стереометрии включает не только усвоение некоторых фактов и понятий, но владение математическими методами, которые применяются для обоснования этих фактов. Обратим внимание на структуру стереометрии, как учебного курса. Стереометрия строится следующим образом:
- перечисляются исходные понятия, которые принимаются без определения;
- приводится список аксиом;
- при помощи исходных понятий даются определения другим геометрическим понятиям;
- на основании аксиом и определений доказываются теоремы.
Исходными понятиями стереометрии являются следующих три понятия: «точка», «расстояние между точками», «плоскость». С их помощью определяются и другие понятия стереометрии. Определить понятие (дать ему определение) – это значит указать его существенные, характерные особенности, указать признаки. Некоторые из этих признаков являются признаками сходства и устанавливают связь данного понятия с другими, уже известными понятиями; иные – признаки различия, указывающие на особенные свойства данных понятий.
Исходным геометрическим понятием непосредственно определение не даётся. Их нельзя свести и каким-либо другим понятиям в принятой системе изложения. Но это не значит, что они остаются совершенно неопределёнными. Они обозначаются косвенно, через перечисление некоторых признаков и свойств в аксиомах. С помощью аксиом логическим путём выводятся другие свойства геометрических понятий. Утверждения такого рода называются теоремами, а рассуждения, в ходе которых они устанавливаются – доказательствами.
Приведём некоторые обозначения, применяемые в стереометрии:
α, β, γ, … – обозначения плоскостейα, β, γ…;
А, В, С,… – точки;
а, b, с,… – прямые;
А = В, а = b, α = β – точки А и В совпадают, прямые а и b совпадают, плоскости α и β совпадают;
А ≠ В, а ≠ b, α ≠ β – точки А и В не совпадают, прямые а и b не совпадают, плоскости α и β не совпадают;
А Є а, А Є α – точка А принадлежит прямой а, точка А принадлежит плоскости α;
А Ȼ а, А Ȼ α – точка А не принадлежит прямой а, точка А не принадлежит плоскости α.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур). Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» - телесный, пространственный и «метрео» - измеряю.
Не нужно путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (т.е. свойства плоских фигур), а в стереометрии – свойства фигур в пространстве (т.е. свойства пространственных фигур).
Для лучшего понимания напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.
Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 1–10). Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми (рис. 1) и невыпуклыми (рис. 2). Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань. (Мы будем изучать только выпуклые многогранники.)
Приведем примеры отдельных многогранников.
Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они - равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (рис. 3).
Параллелепипед представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них - параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым (рис. 4) или наклонным (рис. 5).
Параллелепипед, все грани которого прямоугольники, называют прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед изображается также, как и прямой. Из сказанного следует, что куб - это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
n-угольная пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, - некоторый выпуклый n-угольник, а остальные n граней - треугольники с общей вершиной (рис. 6). Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а боковые ребра равны между собой, называется правильной пирамидой (рис. 7). Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется треугольной пирамидой или тетраэдром. Таким образом, тетраэдр - это четырехгранник. Все его четыре грани - треугольники. Тетраэдр, все четыре грани которого - равные правильные треугольники, называется правильным тетраэдром (рис. 8). Правильный тетраэдр - это частный случай правильной треугольной пирамиды.
n-угольная призма представляет собой многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, - равные n-угольники, а все остальные n граней - параллелограммы. Они называются боковыми гранями призмы. Призма может быть прямой (рис. 9) или наклонной (рис. 10). У прямой призмы все боковые грани - прямоугольники, у наклонной призмы хотя бы одна грань - параллелограмм, не являющийся прямоугольником.
Параллелепипед - это призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (рис. 11). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр.
Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки - центра шара - не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара.
Шар и куб - примеры геометрических тел, сфера и плоскость - примеры поверхностей.
Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» - объёмный, пространственный и «метро» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.
Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а
Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом (III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».
Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?
Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:
Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ: