Если две стороны четырехугольника параллельны. Четырехугольник является параллелограммом, если

Одним из признаков параллелограмма является то, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом . То есть, если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то две другие стороны также оказываются равными между собой и параллельными друг другу, т. к. этот факт является определением и свойством параллелограмма.

Таким образом, параллелограмм можно определить лишь по двум сторонам, которые равны и параллельны друг другу.

Данный признак параллелограмма можно сформулировать как теорему и доказать. В таком случае нам дан четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны друг другу. Требуется доказать, что такой четырехугольник является параллелограммом (т. е. две его другие стороны равны и параллельны друг другу).

Пусть данный четырехугольник ABCD, и в нем стороны AB || CD и AB = CD.

По условию нам дан четырехугольник. Ничего не сказано о том, выпуклый он или нет (хотя параллелограммами могут быть только выпуклые четырехугольники). Однако даже в невыпуклом четырехугольнике всегда есть одна диагональ, которая делит его на два треугольника. Если это будет диагональ AC, то получим два треугольника ABC и ADC. Если это диагональ BD, то будут ∆ABD и ∆BCD.

Допустим, мы получили треугольники ABC и ADC. У них одна сторона общая (диагональ AC), сторона AB одного треугольника равна стороне CD другого (по условию), угол BAC равен углу ACD (как накрест лежащие между секущей и параллельными прямыми). Значит ∆ABC = ∆ADC по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что их остальные стороны и углы соответственно равны. Но стороне BC треугольника ABC соответствует сторона AD треугольника ADC, значит, BC = AD. Углу B соответствует угол D, значит, ∠B = ∠D. Эти углы могут быть равны друг другу, если BC || AD (так как AB || CD, то эти прямые можно совместить параллельным переносом, тогда ∠B станут накрест лежащими ∠D, а их равенство может быть только при BC || AD).

По определению параллелограмма им является четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу.

Таким образом было доказано, что если у четырехугольника ABCD стороны AB и CD равны и параллельны и диагональ AC делит его на два треугольника, то у него другая пара сторон оказывается равна друг другу и параллельна.

Если же четырехугольник ABCD был разделен на два треугольника другой диагональю (BD), то рассматривались бы треугольники ABD и BCD. Их равенство доказывалось бы аналогично предыдущему. Оказалось бы, что BC = AD и ∠A = ∠C, откуда следовало, что BC || AD.

Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру - четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник - многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников

• Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
• Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
• Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
• Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
• Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.

Четырехугольник может быть:

Самопересекающимся

Невыпуклым

Выпуклым

Самопересекающийся четырехугольник - это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).

Невыпуклый четырехугольник - это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

• Параллелограмм
• Прямоугольник
• Квадрат
• Трапеция
• Дельтоид
• Контрпараллелограмм

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .

Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. противоположные его углы равны;
2. противоположные его стороны попарно равны;
3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN - параллелограмм.

B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF - параллелограмм.

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM - параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR - параллелограмм.