Рекомбинация неравновесных носителей в полупроводниках.
Сверхпроводимость.
Контактные явления. Неоднородные электронные системы.
Условия равновесия контактирующих проводников. Электронное сродство, работа выхода и контактная разность потенциалов. Распределение концентрации электронов и электрического поля вблизи контактов металл-полупроводник и полупроводник-полупроводник. Длина экранирования электрического поля. Вольтамперная характеристика p-n перехода и ее физическая интерпретация.
Размерное квантование и низкоразмерные электронные системы.
Экранирование межэлектронного взаимодействия электронами и ионами и эффективное притяжение между электронами. Спектр элементарных возбуждений в сверхпроводнике. Незатухающий ток.
Межзонная излучательная рекомбинация, примесная рекомбинация (рекомбинация Холла-Шокли-Рида), межзонная Оже-рекомбинация. Зависимость скорости рекомбинации Холла-Шокли-Рида от концентрации рекомбинационных центров при слабом отклонении полупроводника от равновесного состояния.
Литература
Основная:
А.И.Ансельм. Введение в теорию полупроводников. М., Наука, 1978.
В.Л.Бонч-Бруевич, С.Г.Калашников. Физика полупроводников. М.,Наука, 1990.
Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твердого тела. В 2-х томах. Мир, 1979
Ф.Блатт. Физика электронной проводимости в твердых телах. М., Мир, 1971.
О. Моделунг. Теория твердого тела. М., Наука, 1980.
А.С. Давыдов. Теория твердого тела. М., Наука, 1976.
Ф. Зейтц. Современная теория твердого тела. М.-Л., Госиздат технико-теоретической
литературы, 1949.
Дж. Займан. Принципы теории твердого тела. М., Мир, 1966.
Адиабатическое приближение и приближение самосогласованного поля:
,
Дж. Слэтер. Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел. М., Мир, 1978.
А.С. Давыдов. Квантовая механика. М., Наука, 1973.
Р. Мак-Вини, Б. Сатклиф. Квантовая механика молекул. М., Мир, 1972.
В.А. Фок. Начала квантовой механики. М., Наука, 1976.
А. Мессиа. Квантовая механика. том 2, М., Наука, 1979.
В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Том III, часть 1., Изд. 8, М. , Физматгиз, 1958
(о матрицах и их диагонализации).
Теорема Блоха, квазиимпульс, обратная решетка, зона Бриллюэна, общие характеристики энергетических зон:
, , , ,
Дж. Каллуэй. Теория энергетической зонной структуры. М., Мир, 1969.
Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах. М., Мир, 1968.
В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Том II, Изд. 18, М., Физматгиз, 1961 (о способе
комбинации собственных функции для приведения их к взаимной ортогональности).
Лавинное размножение носителей:
Техника оптической связи. Фотоприемники. Под ред. У. Тсанга. М.: Мир, 1988.
Грехов И.В., Сережкин Ю.Н. Лавинный пробой в полупроводниках. Л.: Энергия, 1980.
В. А. Холоднов. Коэффициенты размножения носителей в p-n структурах // ФТП, т. 30, № 6, с. 1051-1063,
(июнь 1996).
Межзонное туннелирование:
Туннельные явления в твердых телах. Под ред. Э. Бурштейна и С. Лундквиста. М., Мир, 1973.
Рекомбинация неравновесных носителей в полупроводниках:
Дж. Бдекмор. Статистика электронов и дырок в полупроводниках. М., Мир, 1964.
Р. Смит. Полупроводники. М., Мир, 1982.
В. А. Холоднов. К теории рекомбинации Холла-Шокли-Рида // ФТП, т. 30, № 6, с. 1011-1025 (июнь 1996).
Каждый отдельно взятый атом вещества может быть охарактеризован некоторым энергетическим спектром электронов. Спектры для атомов одного и того же вещества будут идентичны. На основании этого можно было бы предположить, что при рассмотрении некоторой совокупности атомов следует пользоваться спектром одиночного атома, увеличивая число электронов, находящихся на том или ином уровне, во столько раз, сколько однотипных атомов включает в себя рассматриваемая система. Однако такое допущение может быть принято только тогда, когда расстояния между атомами настолько велики, что мы можем пренебрегать взаимным влиянием атомов и считать, что принцип Паули выполняется для каждого атома в отдельности.
Если мы будем сближать атомы, то, начиная с некоторого расстояния, взаимное влияние атомов становится ощутимым, принцип Паули следует распространить на всю совокупность атомов в целом, и линии спектра начнут расщепляться в группу уровней – зону. Количество уровней в зоне определяется концентрацией взаимодействующих атомов N . Взаимное влияние атомов в первую очередь начинает сказываться на внешней оболочке. На внутренних оболочках взаимное влияние атомов сказывается меньше, и по мере приближения к атомному ядру расщепление уровней дает все более и более узкие зоны, вырождаясь в отдельный уровень, как это имело место для всех уровней одиночных атомов. Зоны будут состоять из уровней, появившихся в результате расщепления. Внутренние электронные оболочки атомов являются заполненными. Естественно, что и зоны, образовавшиеся за счет расщепления уровней, относящихся к внутренним оболочкам, являются заполненными зонами. Все уровни, образующие эту зону, заняты максимально допустимым числом электронов. Между зонами, объединяющими группу разрешенных для электронов энергетических уровней, расположены зоны значений энергии, которыми не могут обладать электроны. Эти зоны называются запрещенными.
На рисунке 2.13 показан пример расщепления уровней в зоны для лития.
Каждый атом лития имеет полностью заполненное состояние 1s , в котором находится два электрона и частично заполненное состояние 2s в котором может находиться два электрона, но имеется только один электрон. При расщеплении этих уровней в зоны образовалась одна полностью заполненная зона (нижняя), содержащая 2N электронов и одна частично заполненная зона (верхняя), имеющая N электронов на 2N уровней в зоне.
Внутри нижней разрешенной зоны переход электронов с одного уровня на другой невозможен, поскольку все уровни заполнены. Переход из одной зоны в другую будет возможен, если электрон получит дополнительную энергию, превышающую ширину запрещенной зоны, разделяющей эти две разрешенные зоны. Внутри верхней разрешенной зоны электроны могут переходить с занятых уровней на свободные за счет получения значительно меньших порций энергии. Почему эти порции меньше? То есть, почему разность между уровнями в разрешенной зоне мала? Обычно ширина разрешенной зоны DW р порядка 1 Эв. Это означает, что расстояние между уровнями энергии в разрешенной зоне для кусочка вещества объемом 1 см 3 составит порядка DW р / N ~10 -22 Эв, так как в 1 см 3 содержится порядка N = 10 22 частиц.
Порядок расположения зон на энергетической шкале может не соответствовать порядку расположения энергетических уровней в изолированном атоме. Зона, образовавшаяся от расщепления более низкого уровня, может оказаться в спектре значений энергии твердого тела более высокой и наоборот. Примеры таких расщеплений рассмотрим немного позже.
При приложении к твердому телу внешнего электрического поля электрон на длине свободного пробега приобретает энергию 10 -4 – 10 -5 Эв. Этой энергии достаточно для переходов электронов в пределах частично заполненной разрешенной зоны, но недостаточно для межзонных переходов.
При комнатной температуре средняя тепловая энергия колебаний атомов в решетке порядка 0,04 Эв, однако, часть атомов может приобретать энергию значительно выше этой средней. Колеблющиеся атомы взаимодействуют не только друг с другом, но и с электронами, поэтому атом может передать всю или часть своей энергии колебаний электрону. Если эта энергия больше ширины запрещенной зоны, электрон может перейти в более высокую энергетическую зону.
Дадим некоторые определения:
Разрешенную энергетическую зону, в которой при абсолютном нуле температуры все энергетические уровни заняты электронами, называют заполненной зоной.
Верхнюю из заполненных зон полупроводника называют валентной зоной.
Электроны, находящиеся в заполненных зонах, не могут изменить свое энергетическое состояние под действием приложенного электрического поля и не могут принять участие в электропроводности.
Для создания электропроводности необходимо, чтобы часть электронов из валентной зоны перешла в свободную зону.
Разрешенную зону полупроводника, на уровнях которой отсутствуют электроны проводимости при абсолютном нуле, называют свободной зоной.
Свободную зону полупроводников, на уровнях которой при возбуждении могут находиться электроны проводимости, называют зоной проводимости.
Между зоной проводимости и валентной зоной располагается запрещенная зона. Для перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости им нужно сообщить дополнительную энергию, равную ширине запрещенной зоны.
Ширина запрещенной зоны – это разность энергий между нижним уровнем зоны проводимости и верхним уровнем валентной зоны.
У проводников между валентной зоной и зоной проводимости запрещенная зона отсутствует, поскольку валентная зона перекрывается с зоной проводимости (бериллий), либо валентная зона заполнена не целиком (литий) и она же является зоной проводимости.
При абсолютном нуле температуры полупроводники и диэлектрики обладают одинаковым свойством – электропроводность в них отсутствует, что резко отличает их от проводников.
С возрастанием температуры происходит генерация электронов из валентной зоны в зону проводимости. Поскольку ширина запрещенной зоны у полупроводников меньше, то процесс перехода электронов у них происходит интенсивнее, и по своим свойствам полупроводники начинают приближаться к проводникам.
Твердое тело можно рассматривать как очень большую молекулу, в которой соблюдается дальний или ближний порядок расположения атомов или молекул. Дальний порядок отвечает идеально регулярным кристаллам, пространственная симметрия которых описывается 230 федоровскими группами. Ближний порядок характерен для реальных кристаллов с дефектами кристаллической решетки, аморфных тел, полимеров и т.д.: для них характерно проявление лишь локальной симметрии в определенных фрагментах структуры – кластерах. Для каждого из этих случаев существуют свои способы описания электронной структуры. Идеальные регулярные кристаллы рассматриваются как бесконечно протяженные (наличие поверхности игнорируется), и их электронные волновые функции определяются с явным учетом симметрии кристалла. Структуры некоторых идеальных атомных и молекулярных кристаллов представлены на рис.
В твердых телах с ближним порядком, нестехиометрических кристаллах и при изучении поверхностных эффектов часто достаточно использовать модифицированные молекулярные модели, выделив
Кристаллические структуры NaCl (а), алмаза (б), бензола (в)
и диборида магния (г)
Одноэлектронные волновые функции в бесконечных периодических кристаллах и методы их расчета Трансляционная симметрия кристалла
В идеальном кристалле можно ввести три вектора трансляций a, b иc так, что физические свойства кристалла в некоторой произвольно выбранной точке r точно воспроизводятся в любой другой точке r удовлетворяющей условию
r = r + T = r + n1 a + n2 b + n3 c ,
где n1 , n2 , n3 произвольные целые числа. Совокупность точек r, определяемая
выражением (58), при различных n1 , n2 , n3 дает кристаллическую решетку, которая является геометрическим образом регулярного периодического расположения атомов в пространстве.
Параллелепипед, имеющий в качестве ребер векторы a, b иc , называетсяэлементарной ячейкой кристалла. Перемещение в пространстве ячейки как целого, описываемое векторомT = n 1 a + n 2 b + n 3 c , называетсятрансляцией. Вектор трансляции связывает любые две соответственные точки кристаллической решетки (рис. 49). Посредством операций трансляции элементарной ячейкой можно заполнить все пространство кристаллической
структуры. Такое свойство кристалла называется 3
трансляционной симметрией.
Посредством соответствующих операций трансляций элементарной ячейкой можно заполнить все пространство кристаллической структуры. Такое свойство кристалла названо трансляционной симметрией.
Трансляционная симметрия предполагает бесконечную протяженность кристалла. Конечно, регулярные структуры не являются бесконечными, а при отсутствии бесконечности теряется важное свойство трансляционной симметрии.
Один из способов сохранения трансляционной симметрии конечных систем - наложение циклических граничных условий (условия Борна-фон-Кармана). Суть их в том, что эквивалентные группы атомов отождествляются друг с другом так, чтобы граница отсутствовала.
Электрон в периодическом поле кристалла Рассмотрим случй одномерных систем. Для цепочки точек, изображающих
атомы, периодичность равносильна изгибу цепочки в окружность большого радиуса и соединению между собой концевых точек.
Образование периодической системы на примере одномерной цепочки атомов с периодом а
Если движение электрона, например, вдоль оси х , ничем не ограничено (свободный электрон), его волновая функция есть бегущая волна ei kx . Кинетическая энергия свободного электрона равна
Екин = p2 /2m =(kh )2 /82 m,
(p – импульс, а длина волны электрона), потенциальная энергия равна нулю, а волновое число k = 2 / может принимать любые значения.
Движение электрона ограничено в пространстве элементарной ячейкой кристалла. Граничные условия, накладываемые на волновую функцию электрона: (0)= (а) = 0 (a – размер ящика). Движение электрона в ящике
можно описать как суперпозицию волн, бегущих в противоположных направлениях. Волновые функции различных состояний электрона, движущегося в периодическом пространстве, имеют вид
u (x ,y ,z ) | u (x ,y ,z ) =ç 2 | |||||||||||
=è ç a | ø÷ | èç a | ø÷ | |||||||||
т.е. представляют собой стоячие волны. Из-за граничных условий волновое число и энергия электрона могут принимать лишь дискретные значения:k= (/а)n
(n =1,2,3,…; n = 0 исключается как противоречащее условию нормировки волновых функций). Энергия электрона теперь зависит от волновых чисел и записывается следующим образом:
ç ÷n |
|||||||||||||
mè aø | |||||||||||||
Стоячие волны, энергия которых пропорциональна u2 , имеют узлы и пучности в разных областях пространства по отношению к атомным остовам: каждая из волн указывает места концентрации электронов в точках пространства, отвечающих различным значениям потенциальной энергии.
В случае нечетных n cos2 [(/а)nx ]= 1 приx =а : стоячая волна u2 описывает
концентрации электронов вблизи атомных остовов, где отрицательная потенциальная энергия взаимодействия «электрон-остов» максимальна по абсолютной величине.
В случае четных n функции u1 описывают концентрации электронов между остовами, где потенциальная энергия электрона не столь отрицательна. В среднем по периоду энергия волны u1 выше, а волны u2 – ниже, чем у бегущей волны, описывающей свободный электрон. Разность этих энергий, возникающая приk i = (/а )n i как следствие трансляционной симметрии, называетсяэнергетической
щелью и обозначается Eg .
Рис. иллюстрирует сказанное для случая n = 1 иn = 2 : поведение волновых функций позволяет заключить, что u2 соответствует связывающим, а u1 –
разрыхляющим кристаллическим волновым функциям.
В кристалле электроны движутся в трехмерном периодическом потенциале с периодом a ~ 1 Å: V(r) = V(r +а ), в этом случае волновая функция электрона, обладающая трансляционными свойствами и являющаяся собственной функцией одноэлектронного гамильтониана, имеет вид
uk (r) = Neikr k (r),
где k (r) – периодическая в кристаллической решетке функция, N –
нормировочный множитель. Одноэлектронная функция uk называетсяфункцией Блоха . Кристаллические орбиталиk (r) – аналоги МО – строятся как линейные
комбинации функций Блоха (62):
k (r) = cj (k )ukj (r).
Функции Блоха k (r), таким образом, играют в кристалле роль базисных функций.
Вследствие трансляционной симметрии волновые функции электронов кристалла оказываются зависящими от волновых векторов, пробегающих дискретные («разрешенные») значения. Энергии соответствующих электронных состояний называются энергетическими уровнями , а их совокупности формируют
энергетические полосы или энергетические зоны. Симметрия прямого пространства определяет симметрию пространства волновых векторов, которое называется обратным пространством. Важно, что в обратном пространстве также можно выделить наименьшую область, из которой операциями симметрии строится все обратное пространство. Эта область в k –пространстве называется первой зоной Бриллюэна; в одномерном случае она лежит между - / a и + / a (рис.
52). Зависимость энергии электронов от k в более высоких зонах Бриллюэна, охватывающих все k –пространство, получают из информации о первой зоне. Для этого достаточно сдвинуть кривую, описывающую эту зависимость, вдоль осиk на величину, кратную 2 /a (рис.). Такое представление называется схемой
Электронные свойства твердых тел: основные экспериментальные факты. Проводимость, эффект Холла, термоЭДС, фотопроводимость, оптическое поглощение. Трудности объяснения этих фактов на основе классической теории Друде.
Основные приближения зонной теории. Граничные условия Борна – Кармана. Теорема Блоха. Блоховские функции. Квазиимпульс. Зоны Бриллюэна. Энергетические зоны.
Брэгговское отражение электронов при движении по кристаллу. Полосатый спектр энергии.
Приближение сильносвязанных электронов. Связь ширины разрешенной зоны с перекрытием волновых функций атомов. Закон дисперсии. Тензор обратных эффективных масс.
Приближение почти свободных электронов. Брэгговские отражения электронов.
Заполнение энергетических зон электронами. Поверхность Ферми. Плотность состояний. Металлы, диэлектрики и полупроводники. Полуметаллы.
Магнитные свойства твердых тел
Намагниченность и восприимчивость. Диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Законы Кюри и Кюри – Вейсса. Парамагнетизм и диамагнетизм электронов проводимости.
Природа ферромагнетизма. Фазовый переход в ферромагнитное состояние. Роль обменного взаимодействия. Точка Кюри и восприимчивость ферромагнетика.
Ферромагнитные домены. Причины появлениядоменов. Доменные границы (Блоха, Нееля).
Антиферромагнетики. Магнитная структура. Точка Нееля. Восприимчивость антиферромагнетиков. Ферримагнетики. Магнитная структура ферримагнетиков.
Спиновые волны, магноны.
Движение магнитного момента в постоянном и переменном магнитных полях. Электронный парамагнитный резонанс. Ядерный магнитный резонанс.
Оптические и магнитооптические свойства твердых тел
Комплексная диэлектрическая проницаемость и оптические постоянные. Коэффициенты поглощения и отражения. Соотношения Крамерса-Кронига.
Поглощения света в полупроводниках (межзонное, примесное поглощение, поглощение свободными носителями, решеткой). Определение основных характеристик полупроводника из оптических исследований.
Магнитооптические эффекты (эффекты Фарадея, Фохта и Керра).
Проникновение высокочастотного поля в проводник. Нормальный и аномальный скин-эффекты. Толщина скин-слоя.
Сверхпроводимость
Сверхпроводимость. Критическая температура. Высокотемпературные сверхпроводники. Эффект Мейснера. Критическое поле и критический ток.
Сверхпроводники первого и второго рода. Их магнитные свойства. Вихри Абрикосова. Глубина проникновения магнитного поля в образец.
Эффект Джозефсона.
Куперовское спаривание. Длина когерентности. Энергетическая щель.
Основная литература
Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.
Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. I, II. М.: Мир, 1979.
Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1969.
Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974.
Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высш. шк., 2000.
Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971.
Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1979.
Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводимости. МЦ НМО, М., 2000.
Примечание. При подготовке к экзамену по программе технических наук особое внимание необходимо обратить на разделы 7-10 программы.
Перечень программ
Параметры запроса:
ПРОГРАММА-МИНИМУМ
кандидатского экзамена по специальности
Физика плазмы»
по физико-математическим, химическим
и техническим наукам
Введение
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: статистика, элементарные процессы, физическая кинетика, магнитная гидродинамика, электродинамика сплошных сред, физика волновых процессов.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по физике при участии Российского научного центра «Курчатовский институт», Института общей физики РАН, Московского физико-технического института (государственного университета), Объединенного института высоких температур РАН, физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и Московского государственного инженерно-физического института.
Термодинамика плазмы
Понятие плазмы, квазинейтральность, микрополя, дебаевский радиус, идеальная и неидеальная плазма. Условие термодинамического равновесия, термическая ионизация, формула Саха, корональное равновесие, снижение потенциала ионизации. Вырождение плазмы, статистика Больцмана и Ферми-Дирака, модель Томаса-Ферми.
Элементарные процессы
Столкновения заряженных частиц, дальнодействие, частоты столкновений, столкновения электронов с атомами (упругие и неупругие), столкновения тяжелых частиц. Ионизация, рекомбинация, перезарядка и прилипание. Возбуждение и диссоциация молекул электронным ударом.
Физическая кинетика
Уравнения Больцмана и Власова, интеграл столкновений, время максвеллизации и скорость выравнивания температур различных компонент плазмы. Скорость ионообразования и рекомбинации электронов и ионов, образование и разрушение возбужденных атомов (ионов). Явления переноса в плазме, электропроводность, диффузия и теплопроводность частиц при наличии и отсутствии магнитного поля. Кинетика возбужденных молекул в плазме.
4. Динамика заряженных частиц
в электрическом и магнитном полях
Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях. Дрейфовое приближение, разновидности дрейфового движения. Заряженная частица в высокочастотном поле. Понятие адиабатического инварианта.
Состояние движения электронов в твердом теле было бы точно известно, если бы удалось решить уравнение Шредингера
и найти собственные волновые функции и значения энергии Оператор Гамильтона для кристалла в общем случае имеет вид
Первых два слагаемых в (2.2) - операторы кинетической энергии электронов с массами и ядер с массами последующие слагаемые определяют соответственно энергии попарного кулоновского взаимодействия электронов, взаимодействия всех электронов со всеми ядрами и взаимодействия ядер между собой Радиусы-векторы электронов и ядер обозначены через
Уравнение (2.1) содержит координат частиц, где число атомов в кристалле; заряд ядра. Поскольку уравнение Шредингера не решается точно даже для отдельных атомов, за исключением атома водорода, то естественно, что невозможно найти точное решение (2.1). Поэтому задача сводится к нахождению приближенных решений в рамках физически оправданных упрощающих предположений .
Зонная теория, лежащая в основе современной физики металлов, диэлектриков и полупроводников, базируется на двух приближениях: адиабатическом, или приближении Борна - Оппенгеймера, и одноэлектронном.
В адиабатическом приближении учитывается различный характер движения легких частиц - электронов и тяжелых частиц - ядер. Вследствие резкого различия их масс движение электронов будет быстрым по сравнению с движением ядер. Поэтому при рассмотрении движения электронов в любой момент времени ядра можно считать неподвижными, а при рассмотрении движения ядер учитывать лишь усредненное по времени поле, создаваемое всеми электронами. На математическом языке это означает, что волновая функция в (2.1) может быть представлена в виде произведения двух функций
одна из которых с описывает медленное движение ядер, а вторая лишь параметрически зависит от координат ядер. Тогда (2.1) распадается на уравнение для электронов
и уравнение для ядер
Обычно движение ядер, т. е. тепловые колебания решетки, рассматривается как возмущения, а в уравнение (2.3) вместо координат ядер подставляют координаты неподвижных узлов решетки. Однако и после этого уравнение Шредингера решить
нельзя. Решение становится возможным только тогда, когда задача о движении многих взаимодействующих частиц сводится к задаче о движении одного электрона в поле всех остальных частиц. Это достигается путем введения так называемого самосогласованного поля
которое равно потенциальной энергии всех электронов, за исключением в той точке, в которой расположен электрон. С помощью гамильтониан системы представляется в виде суммы гамильтонианов, относящихся к отдельным электронам
а волновую функцию в (2.3) можно искать как произведение
