> Эквипотенциальные линии

Характеристика и свойства линий эквипотенциальной поверхности : состояние электрического потенциала поля, статическое равновесие, формула точечного заряда.

Эквипотенциальные линии поля – одномерные области, где электрический потенциал остается неизменным.

Задача обучения

• Охарактеризовать форму эквипотенциальных линий для нескольких конфигураций заряда.

Основные пункты

• Для конкретного изолированного точечного заряда потенциал основывается на радиальной дистанции. Поэтому эквипотенциальные линии выступают круглыми.
• Если контактирует несколько дискретных зарядов, то их поля пересекаются и демонстрируют потенциал. В итоге, эквипотенциальные линии перекашиваются.
• Когда заряды распределяются по двум проводящим пластинам в статическом балансе, эквипотенциальные линии практически прямые.

Термины

• Эквипотенциальный – участок, где каждая точка обладает единым потенциалом.
• Статическое равновесие – физическое состояние, где все компоненты пребывают в покое, а чистая сила приравнивается к нулю.

Эквипотенциальные линии отображают одномерные участки, где электрический потенциал остается неизменным. То есть, для такого заряда (где бы он ни находился на эквипотенциальной линии) не нужно осуществлять работу, чтобы сдвинуться с одной точки на другую в пределах конкретной линии.

Линии эквипотенциальной поверхности бывают прямыми, изогнутыми или неправильными. Все это основывается на распределении зарядов. Они располагаются радиально вокруг заряженного тела, поэтому остаются перпендикулярными к линиям электрического поля.

Одиночный точечный заряд

Для одиночного точечного заряда формула потенциала:

Здесь наблюдается радиальная зависимость, то есть, независимо от дистанции к точечному заряду потенциал остается неизменным. Поэтому эквипотенциальные линии принимают круглую форму с точечным зарядом в центре.

Изолированный точечный заряд с линиями электрического поля (синий) и эквипотенциальными (зеленый)

Множественные заряды

Если контактирует несколько дискретных зарядов, то мы видим, как перекрываются их поля. Это перекрытие заставляет потенциал объединяться, а эквипотенциальные линии перекашиваться.

Если присутствует несколько зарядов, то эквипотенциальные линии формируются нерегулярно. В точке между зарядами контрольный способен ощущать эффекты от обоих зарядов

Непрерывный заряд

Если заряды расположены на двух проводящих пластинах в условиях статического баланса, где заряды не прерываются и находятся на прямой, то и эквипотенциальные линии выпрямляются. Дело в том, что непрерывность зарядов вызывает непрерывные действия в любой точке.

Если заряды вытягиваются в линию и лишены прерывания, то эквипотенциальные линии идут прямо перед ними. В качестве исключения можно вспомнить только изгиб возле краев проводящих пластин

Непрерывность нарушается ближе к концам пластин, из-за чего на этих участках создается кривизна – краевой эффект.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x 1 – x 2 = dx, равна E x dx. Та же работа равна j 1 -j 2 = dj. Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор Е:

где i, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6). следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал jимеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электростатического поля.

Хотелось бы иметь возможность наглядно представить себе электростатическое поле. Поле скалярного потенциала можно геометрически представить себе как совокупность эквипотенциальных поверхностей (в плоском случае - линий), или поверхностей уровня, как их называют математики:

Для каждой такой поверхности имеет место условие (в силу определения!):

(*)

Представим это условие в эквивалентной форме записи:

Здесь принадлежит рассматриваемой поверхности, вектор перпендикулярным элементу поверхности (скалярное произведение неравных нулю векторов равно нулю именно при этом условии). Мы имеем возможность определит единичный вектор нормали к рассматриваемому элементу поверхности:

Если вернуться к физике, заключаем, что вектор напряжённости электростатического поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности этого поля!

Математическое содержание понятия "градиент скалярного поля" :

Направление вектора - это направление, в котором функция возрастает наиболее быстро;

Это приращение функции на единице длины вдоль направления максимального возрастания.

Как построить эквипотенциальную поверхность?

Пусть эквипотенциальная поверхность, заданная уравнением (*), проходит через точку пространства с координатами (x,y,z ). Зададим произвольно малые смещения двух координат, например x=>x+dx и y=>y+dy. Из уравнения (*) определяем необходимое смещение dz , такое, чтобы конечная точка осталась на рассматриваемой эквипотенциальной поверхности. Таким способом можно "добраться" до нужной точки поверхности.

Силовая линия векторного поля .

Определение. Касательная к силовой линии совпадает по направлению с вектором, определяющим рассматриваемое векторное поле.

Вектор и вектор совпадают по направлению (т.е. параллельны друг другу), если

В координатной форме записи имеем:

Легко видеть, что справедливы соотношения:

К такому же результату можно придти, если записать условие параллельности двух векторов с помощью их векторного произведения:

Итак, имеем векторное поле . Рассмотрим элементарный вектор как элемент силовой линии векторного поля .

В соответствие с определением силовой линии должны выполняться соотношения:

(**)

Так выглядят дифференциальные уравнения силовой линии. Получить аналитическое решение этой системы уравнений удаётся в очень редких случаях (поле точечного заряда, постоянное поле и т.п.). Но построить графически семейство силовых линий несложно.

Пусть силовая линия проходит через точку с координатами (x,y,z ). Значения проекций вектора напряжённости на координатные направления в этой точке нам известны. Выберем произвольно малое смешение, например, х=>x+dx . По уравнениям (**) определяем требуемые смещения dy и dz . Так мы перешли в соседнюю точку силовой линии, Процесс построения можно продолжить.

NB! (Nota Bene!). Силовая линия не полностью определяет вектор напряжённости. Если на силовой линии задано положительное направление, вектор напряжённости может быть направлен либо в положительную, либо в отрицательную сторону (но по линии!). Силовая линия не определяет модуль вектора (т.е. его величину) рассматриваемого векторного поля.

Свойства введённых геометрических объектов:

Эквипотенциальные поверхности это такие поверхности каждая из точек, которых обладают одинаковым потенциалом. То есть на эквипотенциальной поверхности электрический потенциал имеет неизменное значение. Такой поверхностью является поверхности проводников, так как их потенциал одинаков.

Представим себе такую поверхность, для двух точек которой разность потенциалов будет равна нулю. Это и будет эквипотенциальная поверхность. Поскольку потенциал на ней одинаков. Если рассматривать эквипотенциальную поверхность в двухмерном пространстве, допустим на чертеже, то она будет иметь форму лини. Работа сил электрического поля по перемещению электрического заряда вдоль этой лини будет равна нулю.

Одним из свойств эквипотенциальных поверхностей является то, что они всегда перпендикулярны силовым линиям поля. Это свойство можно сформулировать и наоборот. Любая поверхность, которая перпендикулярна во всех точках к линиям электрического поля и называется эквипотенциальной.

Также такие поверхности никогда не пересекаются между собой. Так как это означало бы различие потенциала в пределах одной поверхности, что противоречит определению. Еще они всегда замкнуты. Поверхности равного потенциала не могут начаться и уйти в бесконечность, не имея при этом четких границ.

Как правило, на чертежах нет необходимости изображать поверхности целиком. Чаще изображают перпендикулярное сечение к эквипотенциальным поверхностям. Таким образом, они вырождаются в линии. Этого оказывается вполне достаточно для оценки распределения данного поля. При изображении графически поверхности располагают с одинаковым интервалом. То есть между двумя соседними поверхностям соблюдается одинаковый, шаг скажем в один вольт. Тогда по густоте линий образованных сечением эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряжённости электрического поля.

Для примера рассмотрим поле, создаваемое точечным электрическим зарядом. Силовые линии такого поля радиальные. То есть они начинаются в центре заряда и направлены на бесконечность, если заряд положительный. Или направлены к заряду, если он отрицательный. Эквипотенциальные поверхности такого поля будут иметь форму сфер с центром в заряде и расходящихся от него. Если же изобразить двухмерное сечение, то тогда эквипотенциальные лини будут в виде концентрических окружностей, центр которых также расположен в заряде.

Рисунок 1 — эквипотенциальные лини точечного заряда

Для однородного поля такого как, например поле между обкладками электрического конденсатора поверхности равного потенциала будут иметь форму плоскостей. Эти плоскости расположены параллельно друг другу на одинаковом расстоянии. Правда на краях обкладок картина поля исказится вследствие краевого эффекта. Но мы представим себе, что обкладки бесконечно длинные.

Рисунок 2 — эквипотенциальные линии однородного поля

Чтобы изобразить эквипотенциальные лини для поля, создаваемого двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами не достаточно применить принцип суперпозиции. Так как в этом случае при наложении двух изображений точечных зарядов будут точки пересечения линий поля. А этого быть не может, так как поле не может быть направлено сразу в две разные стороны. В этом случае задачу необходимо решить аналитически.

Рисунок 3 — Картина поля двух электрических зарядов

Для более наглядного графического изображения полей, кроме линий напряжённости, используют поверхности равного потенциала или эквипотенциальные поверхности. Как следует из названия, эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

Линии напряжённости поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Докажем это утверждение.

Пусть линия и силовая линия составляют некоторый угол (рис.1.5).

Переместим из точки 1 в точку 2 вдоль линии пробный заряд . При этом силы поля совершают работу:

. (1.5)

То есть работа перемещения пробного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Эту же работу можно определить и другим способом – как произведение заряда на модуль напряженности поля, действующего на пробный заряд, на величину перемещения и на косинус угла между вектором и вектором перемещения , т.е. косинус угла (см.рис.1.5):

.

Величина работы не зависит от способа её подсчёта, согласно (1.5) она равна нулю. Отсюда вытекает, что и, соответственно, , что и требовалось доказать.

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество. Условились, однако, проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжённости поля. Действительно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.

На рис.1.6,а показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда. В соответствии с характером изменения эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. На рис.1.6,б изображены эквипотенциальные поверхности и линии напряжённости для поля диполя. Из рис.1.6 видно, что при одновременном использовании эквипотенциальных поверхностей и линий напряжённости картина поля получается особенно наглядной.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности, очевидно, представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению напряжённости поля.

1.8. Связь между напряжённостью поля и потенциалом

(градиент потенциала)

Пусть имеется произвольное электростатическое поле. В этом поле проведём две эквипотенциальные поверхности таким образом, что они отличаются одна от другой потенциалом на величину dφ (рис. 1.7)

Вектор напряжённости направлен по нормали к поверхности . Направление нормали совпадает с направлением оси x. Ось x , проведённая из точки 1, пересекает поверхность в точке 2.

Отрезок dx представляет собой кратчайшее расстояние между точками 1 и 2. Работа, совершаемая при перемещении заряда вдоль этого отрезка:

С другой стороны, эту же работу можно записать как:

Приравнивая эти два выражения, получаем:

где символ частной производной подчёркивает, что дифференцирование производиться только по x . Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z , можем найти вектор :

, (1.7)

где – единичные векторы координатных осей x, y, z.

Вектор, определяемый выражением (1.7), называется градиентом скаляра φ . Для него наряду с обозначением применяется также обозначение . («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона