Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, то процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд. Причем, если по каким-либо соображениям при экстраполяции удобнее начало отсчета времени установить на момент, отличающийся от начального момента, принятого при оценивании параметров уравнения, то для этого в соответствующем многочлене достаточно изменить постоянный член. Так в уравнении прямой при сдвиге начала отсчета времени на т лет вперед постоянный член будет равен a + bm, для параболы второй степени он составит величину а + bт + ст2.
Экстраполяция, вообще говоря, дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Как уже сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явления маловероятное. Соответствующая погрешность имеет следующие источники: выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной или тем более наилучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;
- 1. оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению о пространстве свойственна некоторая неопределенность;
- 2. тренд характеризует некоторый средний уровень ряда, на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.
Погрешность, связанная со вторым и третьим ее источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный экстраполяционный прогноз преобразуется в интервальный. Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно изменяться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения прогноза. Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве "уровень - время" и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно такой измеритель определяют в виде среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда. В общем виде среднее квадратическое отклонение от тренда можно выразить как:
В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:
Если t = i + L, то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени. Доверительный интервал для прогноза, очевидно должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами представляет собой некоторую естественную доверительную область для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться.
Прежде всего потому, что каждая на возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный доверительный интервал теряет всякий смысл.
Рисунок 2 - Поиск максимального интервала корреляции
Анимация: Кадров: 20, Количество повторений: 7, Объем: 55,9 Кб
Для сравнения качества решения задач прогнозирования при традиционном и предлагаемом подходе используются доверительные интервалы прогноза для линейного тренда. В качестве примера анализа влияния качественных характеристик временных рядов на глубину прогноза были взяты три временных ряда размерностью n равной 30 с различными колеблемостями вокруг тренда. В итоге вычислений значений площади участков кривых выборочных автокорреляционных функций получились следующие оценки для оптимальной глубины прогноза: для слабоколеблемого ряда - 9 уровней, для среднеколеблемого - 3 уровня, для сильноколеблемого - 1 уровень (Рисунок
Рисунок 3 - Полученные результаты оценки глубины прогноза
Анализ результатов показывает, что даже при средней колеблемости значений ряда вокруг тренда доверительный интервал оказывается весьма широким (при доверительной вероятности 90%) для периода упреждения, превышающего расчетный предлагаемым способом. Уже для упреждения на 4 уровня доверительный интервал составил почти 25% расчетного уровня. Довольно быстро экстраполяция приводит к неопределенным в статистическом смысле результатам. Это доказывает возможность применения предложенного подхода.
Поскольку выше расчет проводился основываясь на оценках величин, представляется возможным построить зависимость оценки глубины экономического прогноза от значений его базы, задав значения временного лага k и соответствующие им значения глубины экономического прогноза.
Таким образом, предложенный новый подход к оценке глубины экономического прогноза синтезирует количественную и качественную характеристики исходных значений динамического ряда и позволяет обоснованно с математической точки зрения задавать период упреждения для экстраполируемых временных рядов.
прогноз экстраполяция стратегическое планирование
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Планирование и прогнозирование
в условиях рынка»
на тему: Доверительные интервалы прогноза
Оценка адекватности и точности моделей
Глава 1. Теоретическая часть. 3
Глава 2. Практическая часть. 9
Список используемой литературы.. 13
Глава 1. Теоретическая часть
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
1.1 Доверительные интервалы прогноза
Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.
На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.
Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:
1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;
2. погрешностью оценивания параметров кривых;
3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
где n - длина временного ряда;
L -период упреждения;
y n + L -точечный прогноз на момент n+L;
t a - значение t-статистики Стьюдента;
S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.
Предположим, что тренд характеризуется прямой:
Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:
(1.2.),
где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;
t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;
t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;
Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, 
Тогда доверительный интервал можно представить в виде:
(1.3.),
Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:
(1.4.),
Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:
(1.5.),
(1.6.),
Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
(1.7.),
где y t - фактические значения уровней ряда,
Расчетные значения уровней ряда,
n- длина временного ряда,
k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.
Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения
Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда
Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).
В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.
Таблица 1.1.
Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).
| Линейный тренд | Параболический тренд |
||
| Длина ряда (п) | Период упреждения (L) | длина ряда (п) | период упреждения (L) |
| 7 | 2,6380 2,8748 3,1399 | 7 | 3,948 5,755 8,152 |
| 8 | 2,4631 2,6391 2,8361 | 8 | 3,459 4,754 6,461 |
| 9 | 2,3422 2,4786 2,6310 | 9 | 3,144 4,124 5,408 |
| 10 | 2,2524 2,3614 2,4827 | 10 | 2,926 3,695 4,698 |
| 11 | 2,1827 2,2718 2,3706 | 11 | 2,763 3,384 4,189 |
| 12 | 2,1274 2,2017 2,2836 | 12 | 2,636 3,148 3,808 |
| 13 | 2,0837 2,1463 2,2155 | 13 | 2,536 2,965 3,516 |
| 14 | 2,0462 2,1000 2,1590 | 14 | 2,455 2,830 3,286 |
| 15 | 2,0153 2,0621 2,1131 | 15 | 2,386 2,701 3,100 |
| 16 | 1,9883 2,0292 2,0735 | 16 | 2,330 2,604 2,950 |
| 17 | 1,9654 2,0015 2,0406 | 17 | 2,280 2,521 2,823 |
| 18 | 1,9455 1,9776 2,0124 | 18 | 2,238 2,451 2,717 |
| 19 | 1,9280 1,9568 1,9877 | 19 | 2,201 2,391 2,627 |
| 20 | 1,9117 1,9375 1,9654 | 20 | 2,169 2,339 2,549 |
| 21 | 1,8975 1,9210 1,9461 | 21 | 2,139 2,293 2,481 |
| 22 | 1,8854 1,9066 1,9294 | 22 | 2,113 2,252 2,422 |
| 23 | 1,8738 1,8932 1,9140 | 23 | 2,090 2,217 2,371 |
| 24 | 1,8631 1,8808 1,8998 | 24 | 2,069 2,185 2,325 |
| 25 | 1,8538 1,8701 1,8876 | 25 | 2,049 2,156 2,284 |
Глава 2. Практическая часть
Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании
1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.
Таблица 1.2.
Курс акций фирмы IBM
| 1 | 510 | 11 | 494 | 21 | 523 |
| 2 | 497 | 12 | 499 | 22 | 527 |
| 3 | 504 | 13 | 502 | 23 | 523 |
| 4 | 510 | 14 | 509 | 24 | 528 |
| 5 | 509 | 15 | 525 | 25 | 529 |
| 6 | 503 | 16 | 512 | 26 | 538 |
| 7 | 500 | 17 | 510 | 27 | 539 |
| 8 | 500 | 18 | 506 | 28 | 541 |
| 9 | 500 | 19 | 515 | 29 | 543 |
| 10 | 495 | 20 | 522 | 30 | 541 |
2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а=0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.
При определении прогнозных значений того или иного явления с помощью экстраполяции наибольший интерес представляет, по-видимому, не сама экстраполяция – это более или менее механический прием, а определение доверительных интервалов прогноза.
Доверительные интервалы могут быть определены двояко: формально и неформально. Что касается последнего, то это дело экспертного суждения, которое выносится при качественном осмыслении результатов прогноза, сопоставлении их с другими имеющимися у эксперта данными. При этом, естественно, эксперт должен учитывать не только степень колеблемости фактических уровней вокруг тренда в прошлом, но и возможность деформации тренда в будущем (соответственно могут быть получены различные варианты прогноза).
Формальный доверительный интервал учитывает лишь ту неопределенность, которая связана с ограниченностью числа наблюдений и соответствующей неточностью найденных оценок параметров кривой. Основной вопрос, – в какой мере в будущем сохранится найденная тенденция, – естественно, не может быть решен с помощью таких доверительных интервалов. Это дело содержательного экономического анализа и экспертной оценки.
Основное внимание в данном учебном пособии уделим оценке формальных доверительных интервалов, базирующихся на статистическом анализе.
Соответствующая погрешность имеет следующие источники:
1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;
2) оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;
3) тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.
Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источниками, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный прогноз преобразуется в интервальный.
Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень - время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Традиционно в качестве такого измерителя колеблемости используется среднее квадратическое (стандартное) отклонение (3.11).
Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.
В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:
, (4.1)
где – средняя квадратическая ошибка тренда; –расчетное значение уровня ряда; –значение t -статистики Стьюдента.
В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y
можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа (см. рис. 3.17). Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares
значение соответствует подкоренному выражению в формуле (3.11) для S y
, то есть остаточной дисперсии.Остается только извлечь из него квадратный корень (
тыс.чел.).
Доверительные интервалы прогноза
Тема 8. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называется точечным прогнозом . На практике в дополнение к точечному определяют границы возможного значения прогнозированного показателя, то есть вычисляют интервальный прогноз.
Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом может быть вызвано:
1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;
2) погрешностью оценивания параметров кривых;
3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал прогноза определяется в следующем виде:
Ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sр, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения
Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).
Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу строится на анализе случайной компоненты. Случайная (остаточная) компонента получается после выделения из исследуемого ряда тренда и периодической составляющей. Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный периодическими колебаниями, то есть примем гипотезу об аддитивной модели временного ряда:
Тогда ряд случайной компоненты будет получен как отклонение фактических уровней временного ряда (yt) от выровненных, расчетных
При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений et от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, например, критерий серий.
Если вид функции, описывающей тренд, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, так как они могут коррелировать между собой. В этом случае имеет место явление автокорреляции.
В условиях автокорреляции оценки параметров модели будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности .
Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном.
Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка (то есть между соседними остаточными уровнями ряда). Значение этого критерия определяется по формуле:
d=
Можно показать, что величина d приближенно равна:
где r1- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e1, e2, ... ,en-1 и e2, e3, ..., en).
Из последней формулы видно, что если в значениях et имеется сильная положительная автокорреляция ,то величина d=0 , в случае сильной отрицательной автокорреляции d=4. При отсутствии автокорреляции .
Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости.
Рассчитанные значения d сравнивают с табличными значениями. Здесь (в таблице): d1 и d2 - соответственно нижняя и верхняя доверительная граница критерия d;
К – число переменных в модели
n – длина ряда.
При сравнении величины d с d1 и d2 возможны следующие ситуации:
2) d< d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;
3) d> d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается;
4) d1≤ d≤ d2, то нет достаточных основании для принятия решений, величина попадает в область неопределенности.
Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция. Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в et существует отрицательная автокорреляция. Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d1 и d2 сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.
Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, небольшие, то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно на основе исследования показателей ассиметрии и эксцесса .
При нормальном распределении показатели ассиметрии и эксцесса равны нулю.
Э=
Если одновременно выполняются следующие неравенства:
,
то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.
Если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:
,
то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Планирование и прогнозирование
в условиях рынка»
на тему: Доверительные интервалы прогноза
Оценка адекватности и точности моделей
Глава
1. Теоретическаячасть
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
1.1 Доверительные интервалы прогноза
Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.
На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.
Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:
1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;
2. погрешностью оценивания параметров кривых;
3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
где n- длина временного ряда;
L -период упреждения;
y n + L -точечный прогноз на момент n+L;
t a - значение t-статистики Стьюдента;
S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.
Предположим, что тренд характеризуется прямой:
Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:
(1.2.),
где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;
t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;
t 1 = n + L ;
t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;
Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, 
Тогда доверительный интервал можно представить в виде:
(1.3.),
Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:
(1.4.),
Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:
(1.5.),
(1.6.),
Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
(1.7.),
где y t - фактические значения уровней ряда,
Расчетные значения уровней ряда,
n - длина временного ряда,
k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.
Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения
Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда
Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).
В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .
Таблица 1.1.
Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).
| Линейный тренд | Параболический тренд | ||
| Длина ряда (п) | Период упреждения (L) |
длина ряда (п) | период упреждения (L) |
| 7 | 2,6380 2,8748 3,1399 | 7 | 3,948 5,755 8,152 |
| 8 | 2,4631 2,6391 2,8361 | 8 | 3,459 4,754 6,461 |
| 9 | 2,3422 2,4786 2,6310 | 9 | 3,144 4,124 5,408 |
| 10 | 2,2524 2,3614 2,4827 | 10 | 2,926 3,695 4,698 |
| 11 | 2,1827 2,2718 2,3706 | 11 | 2,763 3,384 4,189 |
| 12 | 2,1274 2,2017 2,2836 | 12 | 2,636 3,148 3,808 |
| 13 | 2,0837 2,1463 2,2155 | 13 | 2,536 2,965 3,516 |
| 14 | 2,0462 2,1000 2,1590 | 14 | 2,455 2,830 3,286 |
| 15 | 2,0153 2,0621 2,1131 | 15 | 2,386 2,701 3,100 |
| 16 | 1,9883 2,0292 2,0735 | 16 | 2,330 2,604 2,950 |
| 17 | 1,9654 2,0015 2,0406 | 17 | 2,280 2,521 2,823 |
| 18 | 1,9455 1,9776 2,0124 | 18 | 2,238 2,451 2,717 |
| 19 | 1,9280 1,9568 1,9877 | 19 | 2,201 2,391 2,627 |
| 20 | 1,9117 1,9375 1,9654 | 20 | 2,169 2,339 2,549 |
| 21 | 1,8975 1,9210 1,9461 | 21 | 2,139 2,293 2,481 |
| 22 | 1,8854 1,9066 1,9294 | 22 | 2,113 2,252 2,422 |
| 23 | 1,8738 1,8932 1,9140 | 23 | 2,090 2,217 2,371 |
| 24 | 1,8631 1,8808 1,8998 | 24 | 2,069 2,185 2,325 |
| 25 | 1,8538 1,8701 1,8876 | 25 | 2,049 2,156 2,284 |
Глава 2. Практическая часть
Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании
1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.
Таблица 1.2.
Курс акций фирмы IBM
| t | y t | t | y t | t | y t |
| 1 | 510 | 11 | 494 | 21 | 523 |
| 2 | 497 | 12 | 499 | 22 | 527 |
| 3 | 504 | 13 | 502 | 23 | 523 |
| 4 | 510 | 14 | 509 | 24 | 528 |
| 5 | 509 | 15 | 525 | 25 | 529 |
| 6 | 503 | 16 | 512 | 26 | 538 |
| 7 | 500 | 17 | 510 | 27 | 539 |
| 8 | 500 | 18 | 506 | 28 | 541 |
| 9 | 500 | 19 | 515 | 29 | 543 |
| 10 | 495 | 20 | 522 | 30 | 541 |
2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.
3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка
,
где - период упреждения.
На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:
На 1 день вперед (=1);
На 2 дня вперед (=2).
Решение задания 1.5
1. Определим
Найдем значения экспоненциальной средней при а =0,1.
. а
=0,1 – по условию;
; S 1
= 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;
; S 2
= 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;
; S 3
= 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.
а =0,5 – по условию.
; S 1
= 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;
; S 2
= 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.
Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.
Таблица 1.3.
Экспоненциальные средние
| t | Экспоненциальная средняя | t | Экспоненциальная средняя | ||
| а =0,1 | а =0,5 | а =0,1 | а =0,5 | ||
| 1 | 506,4 | 508 | 16 | 505,7 | 513,3 |
| 2 | 505,5 | 502,5 | 17 | 506,1 | 511,7 |
| 3 | 505,3 | 503,2 | 18 | 506,1 | 508,8 |
| 4 | 505,8 | 506,6 | 19 | 507,0 | 511,9 |
| 5 | 506,1 | 507,8 | 20 | 508,5 | 517 |
| 6 | 505,8 | 505,4 | 21 | 509,9 | 520 |
| 7 | 505,2 | 502,7 | 22 | 511,6 | 523,5 |
| 8 | 504,7 | 501,4 | 23 | 512,8 | 523,2 |
| 9 | 504,2 | 500,7 | 24 | 514,3 | 525,6 |
| 10 | 503,4 | 497,8 | 25 | 515,8 | 527,3 |
| 11 | 502,4 | 495,9 | 26 | 518,0 | 532,7 |
| 12 | 502,0 | 497,5 | 27 | 520,1 | 525,8 |
| 13 | 502,0 | 499,7 | 28 | 522,2 | 538,4 |
| 14 | 502,7 | 504,4 | 29 | 524,3 | 540,7 |
| 15 | 505,0 | 514,7 | 30 | 525,9 | 540,9 |
Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С – экспоненциальная средняя при альфа = 0,5
При а =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.
3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.
Прогноз на 1 день вперед (= 1):
Прогноз на 2 дня вперед (= 2):
Список используемой литературы
1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ, 2003. – 52с.
2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.
3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 1997.
