Методы решения иррациональных уравнений.
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.
За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)
За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.
1. Решить уравнение различными способами.
2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.
3. Оформить запись выводов в виде таблицы.
| № п/п | Способ | Достоинства | Недостатки |
Цели урока:
Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.
Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.
Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.
Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.
Правила решения иррациональных уравнений.
Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).
Ход урока
I . Организационный момент
(Сообщение темы и целей урока)
II . Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»
(Работу представляет учащийся, который ее проводил.)
III . Анализ методов решения домашнего задания
(По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)
Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.
Решение.
Снова возведем обе части уравнения в квадрат:
Отсюда
Проверка:
1. Если х= 42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.
2. Если х= 2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.
Ответ: 2.
| № п/п | Способ | Достоинства | Недостатки |
| Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень | 1. Понятно. 2. Доступно. | 1. Словесная запись. 2. Сложная проверка. |
Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.
Второй способ: равносильные преобразования.
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:
Ответ: 2.
| № п/п | Способ | Достоинства | Недостатки |
| Равносильных преобразований | 1. Отсутствие словесного описания. 2. Нет проверки. 3. Четкая логическая запись. 4. Последовательность равносильных переходов. | 1. Громоздкая запись. 2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности. |
Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда - совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.
Третий способ: функционально-графический.
Решение.
Рассмотрим функции и .
1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени - положительное (не целое) число.
D( f ).
Составим таблицу значений x и f ( x ).
| 1,5 | 3,5 | |||
| f(x) |
2. Функция степенная; является убывающей.
Найдем область определения функции D ( g ).
Составим таблицу значений x и g ( x ).
| g(x) |
Построим данные графики функций в одной системе координат.
Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f ( x ) возрастает, а функция g ( x ) убывает, то решение уравнения будет только одно.
Ответ: 2.
| №п/п | Способ | Достоинства | Недостатки |
| Функционально-графический | 1. Наглядность. 2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ. 3. Позволяет найти количество решений. | 1. словесная запись. 2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка. |
Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.
Четвертый способ: введение новой переменной.
Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы
Составим второе уравнение системы.
Для переменной :
Для переменной
Поэтому
Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и
Вернувшись к переменной , получим
Введение новой переменнойУпрощение - получение системы уравнений, не содержащих радикалы
1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных
2. Необходимость возврата к исходной переменной
Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.
- Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:
1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;
2) методу равносильных преобразований;
3) функционально-графическому методу;
4) методу введения новой переменной.
IV . Практическая часть
(Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)
Группа 1.
Группа 2.
Группа 3.
V . Самостоятельная работа
(В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)
VI . Подведение итогов урока
Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.
Домашнее задание
Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.
Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком корня. Таковы, например, уравнения
Во многих случаях, применяя однократно или многократно возведение в степень обеих частей уравнения, удается свести иррациональное уравнение к алгебраическому уравнению той или иной степени (являющемуся следствием исходного уравнения). Так как при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние решения, то, решив алгебраическое уравнение, к которому мы привели данное иррациональное уравнение, следует найденные корни проверить подстановкой в исходное уравнение и сохранить лишь те, которые ему удовлетворяют, а остальные - посторонние - отбросить.
При решении иррациональных уравнений мы ограничиваемся только их действительными корнями; все корни четной степени в записи уравнений понимаются в арифметическом смысле.
Рассмотрим некоторые типичные примеры иррациональных уравнений.
А. У равнения, содержащие неизвестную под знаком квадратного корня. Если данное уравнение содержит только один квадратный корень, под знаком которого имеется неизвестная то следует этот корень уединить, т. е. поместить в одной части уравнения, а все другие члены перенести в другую часть. После возведения в квадрат обеих частей уравнения мы уже освободимся от иррациональности и получим алгебраическое уравнение для
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Уединяем корень в левой части уравнения;
Возводим полученное равенство в квадрат:
Находим корни этого уравнения:
Проверка показывает, что лишь удовлетворяет исходному уравнению.
Если в уравнение входит два и более корня, содержащих х, то возведение в квадрат приходится повторять несколько раз.
Пример 2. Решить следующие уравнения:
Решение, а) Возводим обе части уравнения в квадрат:
Уединяем корень:
Полученное уравнение снова возводим в квадрат:
После преобразований получаем для следующее квадратное уравнение:
решаем его:
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся в том, что есть его корень, а является для него посторонним корнем.
б) Пример можно решить тем же методом, каким был решен пример а). Однако, воспользовавшись тем, что правая часть данного уравнения не содержит неизвестной величины, поступим иначе. Умножим уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью; получим
Справа стоит произведение суммы на разность, т. е. разность квадратов. Отсюда
В левой части данного уравнения стояла сумма квадратных корней; в левой части полученного теперь уравнения стоит разность тех же корней. Запишем данное и полученное уравнения:
Взяв сумму этих уравнений, получаем
Возведем в квадрат последнее уравнение и после упрощений получим
Отсюда находим . Проверкой убеждаемся в том, что корнем данного уравнения служит только число . Пример 3. Решить уравнение
Здесь уже под знаком радикала мы имеем квадратные трехчлены.
Решение. Умножаем уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью:
Вычтем последнее уравнение из данного:
Возводим это уравнение в квадрат:
Из последнего уравнения находим . Проверкой убеждаемся, что корнем данного уравнения служит только число х = 1.
Б. У равнения, содержащие корни третьей степени. Системы иррациональных уравнений. Ограничимся отдельными примерами таких уравнений и систем.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Покажем два способа решения уравнения (70.1). Первый способ. Возведем обе части данного уравнения в куб (см. формулу (20.8)):
(здесь мы заменили сумму кубических корней числом 4, пользуясь уравнением ).
Итак, имеем
т. е., после упрощений,
откуда Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Второй способ. Положим
Уравнение (70.1) запишется в виде . Кроме того, видно что . От уравнения (70.1) мы перешли к системе
Разделив первое уравнение системы почленно на второе, найдем
