В эконометрических исследованиях часто возникают ситуации, когда дисперсия остатков постоянна, но наблюдается статистическая зависимость остатков эконометрической модели между собой. Это явление называют автокорреляцией остатков .

В общем случае автокорреляция (последовательная корреляция) – это взаимосвязь упорядоченных во времени или в пространстве последовательных элементов соответственно временного или пространственного ряда данных.

На рис.5.5 показана зависимость Y от X , а также линия оцененного по этим данным уравнения парной линейной регрессии. Уже по рисунку видно, что оцененная регрессия не очень хороша: зависимость Y от X явно нелинейна. Если использовать проведенную регрессионную прямую, скажем, для прогнозирования дальнейшей динамики Y , результат будет неудовлетворительным.

Рис.5.5. К вопросу об автокорреляции остатков

Как же можно выразить формально неудовлетворительность полученного уравнения регрессии?

Мы видим, например, на рис.5.5, что в этом случае отклонения от линии регрессии не случайно распределены вокруг нее, а обладают определенной закономерностью. Эта закономерность, в частности, выражается в одинаковом, как правило, знаке каждых двух соседних отклонений . Это может являться следствием:

Неверной спецификации модели (ввиду нелинейного характера связи переменных);

Воздействием какого-то фактора, не включенного в модель в качестве объясняющей переменной. Величина такого неучтенного фактора может менять свою динамику в рассматриваемый период, отклоняясь в достаточно длительные промежутки времени в ту или иную сторону от своего среднего значения. Это, очевидно, может служить причиной длительных устойчивых отклонений зависимой переменной от линии регрессии.

Обе указанные причины свидетельствуют о том, что существует возможность улучшить уравнение регрессии путем оценивания какой-то новой нелинейной формулы или включения некоторой новой объясняющей переменной.

Зависимость, показанная на рис.5.5, очевидно, нелинейна. Но это – крайний случай. Далеко не всегда бывает столь же очевидно, что отклонения от регрессионной прямой имеют неслучайный, закономерный характер. Для оценки степени такой неслучайности необходимо ввести количественную меру .

Итак, одним из основных предполагаемых свойств отклонений наблюдаемых значений от регрессионной формулы является их статистическая независимость между собой .

Мы рассмотрим наиболее простую модель, в которой ошибки образуют так называемый авторегрессионный процесс первого порядка , т.е. когда ошибки зависят только от ошибок предыдущего периода. Применение обычного метода наименьших квадратов в этом случае дает несмещенные и состоятельные оценки параметров, однако можно показать, что оценка дисперсии оказывается смещенной вниз , что может отрицательно сказаться при проверке гипотез о значимости оценок параметров. Образно говоря, МНК рисует более оптимистичную картину, чем есть на самом деле.



Следовательно, последствия автокорреляции состоят в том, что:

- оценка дисперсии при использовании МНК является заниженной .

Большинство тестов на наличие автокорреляции в ошибках модели (наиболее широко используется тест Дарбина-Уотсона ) используют следующую идею: если корреляция есть у ошибок , то она присутствует и в остатках , получаемых после применения к модели обычного метода наименьших квадратов.

То есть, поскольку значения ошибок остаются неизвестными ввиду неизвестности истинных значений параметров модели, то проверяется статистическая независимость их аналогов – отклонений . При этом проверяется обычно их некоррелированность (являющаяся необходимым, но недостаточным атрибутом независимости ), причем некоррелированность не любых, а соседних величин .

- соседние во времени значения (в случае временных рядов);

- соседние по возрастанию переменной Х значения (в случае перекрестных выборок).

“Первого порядка ” означает, что остатки зависят только от остатков предыдущего периода.



Практически, однако, используют тесно связанную с статистику Дарбина-Уотсона, обозначаемую как DW-статистика или как d‑статистика , и рассчитываемую по формуле:

. (5.13)

.

Автокорреляция остатков может возникать по нескольким причинам:

Во-первых, иногда автокорреляция связана с исходными данными и наличием ошибок измерения в значениях Y.

Во-вторых, иногда причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. В модель может быть не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, но влияние у которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Зачастую этим фактором является фактор времени t.

Иногда, в качестве существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных , включенных в модель. Либо в модели не учтено несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или циклических колебаний.

Автокорреляция бывает явной и неявной.

Явная наблюдается в случае, когда известна точная зависимость между уровнями шоковой переменной, полученными в различные моменты времени.

Неявная – когда такая зависимость является стохастической:

Зависимость такого вида достаточно часто встречается при анализе временных рядов и носит название модели авторегрессии первого порядка AP (1).

К последствиям наличия в модели автокорреляции относятся:

а) увеличение дисперсий оценок параметров модели;

б) смещение оценок, полученных по МНК;

в) снижение значимости оценок параметров.

Если ρ >0, то автокорреляция будет положительной, а если ρ < 0 – отрицательной.

Наиболее популярным критерием диагностики эконометрической модели на наличие автокорреляции является тест Дарбина-Уотсона.

Кроме точечной проверки наличия автокорреляции шоковой переменной на практике проверяют статистические гипотезы следующих видов:

Критерии проверки гипотез 1) и 2) основаны на специальных таблицах Дарбина-Уотсона, в которых по уровню надежности содержаться доверительные границы статистики .

Однако, существуют особые ограничения при использовании теста Дарбина-Уотсона.



1) Модель должна содержать свободный член ;

2) Модель не должна содержать лаговых переменных.

В других учебниках существует деление автокорреляции на чистую и ложную .

Чистая вызывается зависимостью случайного члена от прошлых значений. Она, в свою очередь, делится на автокорреляцию первого порядка, второго порядка и высших порядков.

Ложная автокорреляция вызывается неправильной спецификацией модели.

Причинами чистой автокорреляции могут быть:

1. Инерция. Трансформация и изменение многих экономических показателей обладает инерционностью.

2. Эффект паутины. Многие экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с временным лагом (запаздыванием).

3. Сглаживание данных. Усреднение данных по некоторому продолжительному интервалу времени.

Последствия автокорреляции:

1. Истинная автокорреляция не приводит к смещению оценок регрессии, но оценки перестают быть эффективными.

2. Автокорреляция (особенно положительная) часто приводит к уменьшению стандартных ошибок коэффициентов, что влечет за собой увеличение t -статистик.

3. Оценка дисперсии остатков S e 2 является смещенной оценкой истинного значения σ e 2 , во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по оценке качества коэффициентов и модели в целом, возможно, будут неверными. Это приводит к ухудшению прогнозных качеств модели.

9.1 Сущность и причины автокорреляции в остатках

Автокорреляция в остатках обычно встречается при регрессионном анализе временных рядов, и почти не встречается при анализе пространственных выборок. Чаще встречается положительная автокорреляция. Она в большинстве случаев вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов. При положительной автокорреляции остатки изменяются монотонно с течением времени наблюдения, а при отрицательной – следует частое изменение знака остатка.

Среди базовых причин автокорреляции можно выделить следующие:

а) ошибки спецификации – неучет в модели какой-то важной объясняющей переменной или неверный выбор вида функции, что ведет к систематическим отклонениям точек наблюдения от линии регрессии,

б) инœерция – запаздывание реакции экономической системы на изменение факторов,

в) сглаживание данных.

Последствия автокорреляции в остатках такие же, как и в случае гетероскедастичности (потеря эффективности, смещение дисперсий оценок параметров, занижение стандартных ошибок и завышение t –статистик параметров), а это может повлечь признание незначимых факторов значимыми. Вследствие перечисленных обстоятельств, прогнозные качества модели ухудшаются.

При анализе временных рядов вместо индекса i часто будем использовать время t , а вместо числа наблюдений n будем писать – продолжительность интервала наблюдения временного ряда.

Мы будем рассматривать автокорреляцию первого порядка, так как в большинстве практических случаев автокорреляционная функция быстро убывает.

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка в остатках:

В случае если данный коэффициент корреляции существенно отличен от 0, то можно говорить о наличии автокорреляции.

9.2. Обнаружение автокорреляции в остатках

1. Графический метод – при использовании этого метода строится график: ε t есть функция от ε t – 1 . В случае если в графике прослеживается отчетливая положительная или отрицательная тенденция, то, скорее всœего, имеет место соответствующая автокорреляция в остатках.

2. Метод рядов

В моменты времени определяются знаки отклонений, к примеру:

– для 20-ти наблюдений.

Рядом называют непрерывную последовательность одинаковых знаков (ряд ограничен скобками, в примере приведено 5 рядов). Количество знаков называют длиной ряда. В случае если рядов мало по сравнению с числом наблюдений, то вполне вероятна положительная автокорреляция, в случае если рядов много, – то отрицательная.

Для более детального анализа используется следующая процедура:

Пусть - число знаков ʼʼ+ʼʼ,

Число знаков ʼʼ–ʼʼ,

Количество рядов.

При достаточном количестве наблюдений и при отсутствии автокорреляции в остатках случайная величина имеет асимптотически нормальное распределœение со следующими параметрами:

Тогда, в случае если k лежит внутри интервала

то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется; если лежит левее данного интервала, то есть положительная автокорреляция, а если правее – то отрицательная автокорреляция. Здесь γ – уровень значимости гипотезы об отсутствии автокорреляции. Стоит сказать, что для небольших и существует таблица Сведа–Эйзенхарта͵ в которой по значениям и находятся и .

В случае если k 1 < k < k 2 , то автокорреляция отсутствует, в случае если k < k 1 – есть положительная автокорреляция, в случае если k > k 2 – есть отрицательная автокорреляция.

3. Тест Дарбина-Уотсона (DW ). Это – самый популярный тест: ─ критерий Дарбина – Уотсона.

Установим связь между этим критерием и коэффициентом корреляции:

учитывая, что и , получим:

Процедура обнаружения автокорреляции по критерию DW такова:

1. Вычисляется критерий DW , для чего должна быть выполнена регрессия y на x и определœены остатки. Далее выдвигается гипотезаоб отсутствии автокорреляции в остатках.

2. По таблице критических значений теста Дарбина–Уотсона для назначенного уровня значимости γ , числа наблюдений n и числа факторов p определяются верхняя du и нижняя dl критические точки

3. Строятся области: I–от 0 до dl ; II–от dl до du; III–от du до 4–du ; IV– от 4–ul до 4–dl и V–от 4–dl до 4.

Это поясняется табл. 9.1.

таблица 9.1

При использовании критерия следует учитывать следующие ограничения:

а) он применим лишь для модели с ненулевым свободным членом,

в) временной ряд должен иметь одинаковую периодичность, то есть не должно быть пропусков наблюдений,

где - коэффициент авторегрессии, - количество наблюдений, – дисперсия коэффициента c 1 в уравнении авторегрессии y t = a + bx t + c 1 y t - 1 +…+ ε t , c 1 – коэффициент при в упомянутом уравнении.

Как использовать h – статистику?

Стоит сказать, что для назначенного уровня значимости γ выдвигают гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, ᴛ.ᴇ. полагают, что в модели AR(1) остатков и статистика h имеет стандартное нормальное распределœение: .

По таблице функции Лапласа определяют критическую точку такую, что . В случае если , то отклоняется. В противном случае не отклоняется и автокорреляция не признается.

9.3. Методы устранения автокорреляции

1.Обобщенный МНК (ОМНК)

Рассмотрим исходную модель в моменты времени t и t –1:

– есть случайная величина, так как и – случайные величины,

Так как и .

Остаток не коррелирует ни с одним регрессором, следовательно, можно применить классический МНК. Оценка параметра b вычисляется непосредственно, а оценка параметра a вычисляется так: .

ОМНК может применяться для данных, начиная с момента , ᴛ.ᴇ. первое наблюдение теряется; его можно восстановить для и , используя поправку Прайса–Уинстена.

Мультиколлинеарность

Одним из условий классической линейной регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, что означает линейную независимость столбцов матрицы или (эквивалентно), что матрица не вырождена. При нарушении этого условия, т.е. когда один из столбцов матрицы есть линейная комбинация остальных столбцов, говорят, что имеет место полная коллинеарность. В этой ситуации нельзя построить МНК-оценку вектора параметров , поскольку .

На практике полная коллинеарность встречается исключительно редко. Гораздо чаще приходится сталкиваться с ситуацией, когда матрица имеет полный ранг, но между регрессорами имеется высокая степень корреляции, что приводит к тому, что матрица близка к вырожденной. Тогда говорят о наличии мультиколлинеарности. В этом случае МНК-оценка существует, но обладает «плохими» свойствами.

Мультиколлинеарность может возникнуть в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания.

Признаки мультиколлинеарности:

1) Небольшое изменение исходных данных (например, добавление новых наблюдений) приводит к существенному изменению оценок коэффициентов регрессии.

2) Оценки имеют большие стандартные ошибки (и, следовательно, большие доверительные интервалы), малую значимость (т.е. малые t -статистики ) в то время как модель в целом является значимой (т.е. высокое значение коэффициента детерминации и соответствующей F -статистики )

3) Оценки коэффициентов имеют неоправданные с точки зрения теории знаки или неоправданно большие значения.

4) Парная корреляция между малозначимыми объясняющими переменными достаточно высока.

5) Высокие частные коэффициенты корреляции.

Напомним, что выборочный коэффициент (парной) корреляции между переменными и находится по формуле:

(1)

Выборочный частный коэффициент корреляции находится следующим образом.

Пусть даны переменные , .

Обозначим .

Пусть , .

Построим регрессии и на :

(2)

(3)

Найдем остатки для этих регрессий:

Частный коэффициент корреляции между и без учета влияния переменных – это коэффициент парной корреляции между остатками и :

Таким образом, коэффициент частной корреляции позволяет исключить влияние других факторов на взаимосвязь между рассматриваемыми переменными.

Например, равен коэффициенту парной корреляции между остатками и следующих регрессий:

(6)

(7)

Последствия мультиколлинеарности

1) Большие стандартные ошибки затрудняют нахождение истинных значений определяемых величин и расширяют их интервальные оценки, ухудшая их точность.



2) Ухудшается качество прогноза.

3) Малые t -статистики коэффициентов могут привести к неоправданному выводу о их малой значимости, т.е. о слабом влиянии соответствующей объясняющей переменной на зависимую переменную.

4) Оценки коэффициентов и их стандартные ошибки становятся очень чувствительными к малейшим изменениям данных, т.е. они становятся неустойчивыми.

Методы устранения мультиколлинеарности

1) Исключение переменных из модели. Исключается из модели одна или несколько коррелированных объясняющих переменных. Например, можно последовательно исключать из модели объясняющие переменные с наименьшими незначащими t -статистиками коэффициентов регрессии (причем после каждого исключения из модели объясняющей переменной следует производить пересчет t -статистик для оставшихся объясняющих переменных).

2) Можно использовать описанный в предыдущей теме алгоритм оптимального отбора объясняющих переменных, основанный на использовании скорректированного коэффициента детерминации .

3) Получение дополнительных данных или новой выборки

4) Изменение спецификации модели

5) Преобразование переменных.

Например, вместо переменной можно включить в модель переменную .

Гетероскедастичность и автокорреляция остатков

Гетероскедастичность означает, что дисперсии случайных отклонений зависят от , т.е. нарушается гипотеза классической модели о постоянстве этих дисперсий.

Автокорреляция остатков означает, что ковариации не равны нулю при разных значениях и .

Суть и причины гетероскедастичности

Гетероскедастичность означает, что зависит от номера наблюдения . Обычно эта зависимость возникает вследствие зависимости от . Например, если – уровень дохода семьи, а – ее потребление, естественно ожидать что для семей с высоким доходом разброс в их потреблении больше, чем для семей с низким доходом.

Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов.

Последствия гетероскедастичности

1) Оценки коэффициентов регрессии, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными, что (в частности) ухудшает прогноз.

2) Дисперсии и ковариации оценок являются смещенными. Это приводит к искажению значений статистик Стъюдента и Фишера, что негативным образом сказывается на результаты проверки гипотез и построении интервальных оценок.

Обнаружение гетероскедастичности

Графический анализ остатков.

По оси абсцисс откладываются либо номера наблюдений , либо значения объясняющей переменной , либо линейная комбинация объясняющих переменных, либо прогнозные значения объясняемой переменной. По оси ординат – либо отклонения , либо их квадраты . При наличии гетероскедастичности можно визуально заметить зависимость значений от .

Тест Уайта (White)

Сначала к исходной модели применяется обычный метод наименьших квадратов и находятся остатки регрессии , . Затем осуществляется регрессия квадратов этих остатков на все регрессоры исходной модели, их квадраты , попарные произведения и константу (если ее не было в составе исходных регрессоров). Для этой регрессии находится коэффициент детерминации . Тогда при выполнении нулевой гипотезы о постоянстве дисперсий случайных отклонений величина:

асимптотически (т.е. при большом количестве наблюдений ) имеет распределение , где – число регрессоров второй регрессии.

Напомним, что распределение «хи квадрат» с степенями свободы – это распределение следующей случайной величины:

где – независимые стандартные нормальные случайные величины.

Следовательно, при выполнении нулевой гипотезы имеет место равенство:

где – -квантиль распределения «хи квадрат» с степенями свободы.

В случае, если нулевая гипотеза отвергается (и, следовательно, можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности); если , нет оснований отвергать нулевую гипотезу (и, она принимается).

Тест ранговой корреляции Спирмана

Этот тест применяется, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной. Значения такой независимой переменной и абсолютные величины отклонений ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

, (11)

где – разность между рангами и . (Например, если при значение является 25-м по величине среди всех наблюдений , а является 32-м, то .)

Доказано, что если коэффициент корреляции равен нулю, то статистика:

(12)

имеет распределение Стъюдента с числом степеней свободы . Следовательно, если

(13)

(где двусторонняя квантиль распределения Стъюдента с степенями свободы при уровне значимости ), то нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции отклоняется, и, следовательно, можно сделать вывод о присутствии гетероскедастичности.

Тест Голфельда-Куандта (Goldfeld-Quandt)

Этот тест также применяется, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной.

1) упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность;

2) исключить средних (в этом упорядочении) наблюдений ( должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений);

3) провести две независимые регрессии первых наблюдений и последних наблюдений и построить соответствующие остатки и ;

4) составить статистику .

Если верна нулевая гипотеза (8) о постоянстве дисперсий случайных отклонений, то построенная статистика имеет распределение Фишера с степенями свободы.

В случае, если нулевая гипотеза отвергается и, следовательно, можно сделать вывод о присутствии гетероскедастичности; если , нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Суть и причины автокорреляции

Автокорреляция остатков (отклонений) в подавляющем большинстве случаев встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция (т.е. когда ), нежели отрицательная.

3 Проверка автокорреляции остатков

При наличии автокорреляции в остатках et оценки коэффициентов регрессии модели, полученные МНК, не будут иметь оптимальные статистические свойства (стандартная ошибка уравнения регрессии и построенные на ее основе доверительные интервалы ненадежны). Автокорреляция в остатках свидетельствует о неудачном подборе модели, о ее несовершенстве. Классические методы математической статистики лишь тогда применимы, когда отдельные члены статистического ряда независимы (некоррелированы). Но и при предпосылке нормального распределения и отсутствия автокорреляции в генеральной совокупности, из которой временной ряд взят, нельзя, к сожалению, разработать точной проверки автокорреляции при малых выборках. Ниже рассмотрены три приема проверки автокорреляции.

1. Один из возможных путей приближенной оценки автокорреляции основывается на использовании первого эмпирического нециклического коэффициента автокорреляции . К сожалению, распределение этого коэффициента для выборок из нормально распределенной, не автокоррелированной генеральной совокупности неизвестно. Поэтому мы пользуемся введенным Р.Л. Андерсоном циклическим коэффициентом автокорреляции, который определяется следующим образом:


(4.14)

Циклическим коэффициентом автокорреляции для сдвига является коэффициент автокорреляции между рядами и . При этом мы предполагаем, что временной ряд повторяется, т.е. что за последним членом xn снова следуют члены x1,x2,... Для циклический коэффициент автокорреляции первого порядка будет коэффициентом корреляции между рядами и x2 ,x3 ,...,xn , x1 . Для больших выборок циклический коэффициент автокорреляции и нециклический коэффициент автокорреляции практически совпадают, для малых выборок их равенство приблизительно. Расчетное значение сравнивается при данной численности наблюдений n с граничными значениями (табл. П.5 Приложения). При положительной автокорреляции оно признается существенным для , если выполняется неравенство > , в противном случае, если , она отсутствует. При отрицательной автокорреляции оно признается существенным, если < , а несущественной - при . Изложенный выше метод может быть использован и для проверки автокорреляции остатков . В последнем случае автокорреляционная функция принимает более простой вид:

(4.15)

2. Для проверки значимости автокорреляции чаще всего используют критерий Дарбина-Уотсона (иногда его обозначают DW). Построенный на основе гипотезы о существовании автокорреляции первого порядка: (4.16)

Где n - длина временного ряда. Величина d имеет симметрическое распределение со средней, равный 2. При отсутствии автокорреляции значение , при полной положительной - d=0 , при полной отрицательной - d=4 .
Расчетное значение d сравнивают с граничными его значениями dL и dU , при этом возможны следующие случаи:

Таблица 4.3


Значение d

Суждение

0 £ d < dL

имеется положительная автокорреляция



неопределенность
автокорреляция отсутствует
неопределенность
имеется отрицательная автокорреляция

Значения dL и dU табулированы (табл. П.7 Приложения) для значений n в интервале 7-100. В этой таблице v означает число независимых переменных в уравнении регрессии. Для функции вида xt =x (t) , v=1 .

3. Иногда вместо статистики Дарбина-Уотсона используется средняя Неймана Q:
(4.17)

(4.18)

(4.19)

Если вычисленное по формуле (4.17) значение Q меньше некоторого критического для данного числа наблюдений n значения (для ), то мы говорим о положительной автокорреляции остатков, если больше значения - то об отрицательной автокорреляции. Эти значения приводятся в табл. П.8 Приложения.

Пример 20. Проверим наличие автокорреляции остатков, полученных в результате моделирования временного ряда примера 1 (см. пример 18).
Прием 1. (через циклический коэффициент автокорреляции).
Первый эмпирический нециклический коэффициент автокорреляции рассчитываем по следующим данным:

1
2
3
4
5
6
7

9
10
11
12
13
14
15

12,051
10,977
-4,097
0,829
-8,245
-6,319
-1,393

8,541
-2,615
4,311
1,237
2,163