Это разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее мат ожидания.
D(X)=M(X^2)-M^2(X)
Дисперсия характеризует степень рассеяния значение случайной величины относительно ее мат ожидания. Если все значения тесно сконцентрированы около ее мат ожидания и больше отклонения от мат ожид, то такая случайная величина имеет малую дисперсию, а если рассеяны и велика вероятность больших отклонений от М, то случ величина имеет большую дисперсию.
Свойства:
1.Дисперсия постоянно равна 0 D(C)=0
2.Дисперсия произведения случ величины на постоянную С равна произ десперсии случ велич Х на квадрат постоянной D(CX)=C^2D(X)
3.Если случ велич X and Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий
D(X Y)=D(X)+D(Y)
4.Дисперсия случ велич не изменится если к ней прибавить постоянную
Теорема:
Дисперсия числа появление соб А в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления соб постоянна и равна p, равна произведению числа испытания на вероятность появления и вероятности непоявления соб в одном испытании
Среднее квадратичское отклонение.
Средним квадрат отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсия
Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства.
Случайная величина, значение которой заполняет некоторый промежуток, называется непрерывной .
Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными.
Функция распред св.
Способы задания ДСВ неприменимы для непрерывной. В этой связи вводиться понятие функции распределение вероятностей.
Функция распределения называют функцию F(x) определяющую для каждого значения х вероятность того что случ велич Х примет значение меньшее х т.е
Функция распределения ДСВ принимающие значение (x1,x2,x3) с вероятностью (p1,p2,p3) определяется
Так, например функция распределения биномиального распределения определяется формулой: 
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, частично-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Свойства:
1.значение функции принадлежит
2. функция распределения есть неубывающая функция F(x2) 3.Вероятность того что случайная величина X примет значение заключенное в интервале (α,β) равна приращению функции распределения на этом интервале P(α Следствие. Вероятность того что случ велич примет одно значение равно 0. 4.Если все возможные значение случ велич Х принадлежит (a,b) то F(x)=0 при x a и F(x)=1 при x b 5.Вероятность того, что случ велич Х примет значение большее чем x равно разности между единицей и функцией распределения Дисперсией
случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания (если последнее существует): D(x) = M((x-M(x)) 2). Для дискретной случайной величины: Если дискретная случайная величина может принимать бесконечное число значений, сумма в правой части будет представлять собой ряд. Для чего подсчитывают дисперсию? Математическое ожидание само по себе не дает нам верного представления о характере исследуемого явления, о том, как может изменяться случайная величина. Мы узнаем только ее среднее значение при большом числе экспериментов, но не можем судить о том, каков в среднем разброс ее значений вокруг этого числа. Судить об этом позволяет дисперсия. Отклонения при ее вычислении берутся в квадрате, так как в противном случае отклонения в разные стороны (значения больше и меньше среднего) компенсировали бы друг друга. Выбор для избавления от знака именно возведения в квадрат, а не какого-либо другого действия (например, взятия по модулю) объясняется тем, что на этом факте основывается доказательство некоторых важных свойств дисперсии, изучаемых математической статистикой. Приведенное выше выражение для дисперсии является неудобным при проведении практических вычислений, поэтому выведем другое. Приведем без доказательства некоторые свойства дисперсии: 1) Дисперсия неотрицательна (по определению): 2) Дисперсия постоянной равна нулю: с – const D(c) = 0 Например, если работник получает постоянную зарплату х = 30 (тыс. руб.), то ее дисперсия будет равна нулю (в самом деле, характеристика рассеяния нулевая). 3) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: с – const D(cx) = c 2 D(x) Например, пусть дисперсия заработной платы работника равна 4 (х –заработная плата, D(х) = 4). Другой работник всегда получает на 20% больше, чем первый, т.е. заработная плата второго работника равна 1,2*х. Тогда дисперсия заработной платы второго работника равна D(1,2*х) = 4) Для независимых случайных величин дисперсия их суммы равна сумме дисперсий: D(x + y) = D(x) + D(y) (для независимых х и y) Например, пусть дисперсия заработной платы одного работника равна 4 (х – его заработная плата, D(х) = 4), а другого – 5 (y – его заработная плата, D(y) = 5). Тогда дисперсия суммарной заработной платы составит D(x + Следует отметить, что дисперсия разности двух случайных величин будет равна тоже сумме дисперсий (а не разности). Это следует из свойств (3) и (4), поскольку при возведении в квадрат сомножителя (-1) получают 1. Свойство (4) будет верным не только для двух, но для любого конечного числа случайных величин. 5) При увеличении (уменьшении) всех значений случайной величины на константу, ее дисперсия не изменится (это следует из свойств (2) и (4): с – const D(x - с) = D(x) Например, если дисперсия среднемесячной зарплаты равна 4, и из зарплаты каждый месяц вычитают 800 руб. на оплату проездного билета, то дисперсия зарплаты за вычетом оплаты проездного будет все равно равна 4. Например, рассмотрим случайную величину х – количество проданных в день автомобилей. Эта величина измерялась в течение 100 дней, и за это время принимала значения {0; 1; 2; 3; 4} соответственно 18, 15, 28, 15 и 24 число раз. Необходимо определить дисперсию вероятностного распределения х. Будем считать, что число экспериментов – 100 - достаточно велико, чтобы можно было рассматривать относительную частоту в качестве эмпирической оценки вероятности. Поэтому чтобы определить вероятности, разделим каждую из частот на 100. Представим вероятностное распределение в виде табл.2, приписав к ней две строки для вспомогательных вычислений. Таблица 2 6,46-2,12 2 1,97. Использовать полученную оценку все же представляется затруднительным. Ее нельзя сравнить с математическим ожиданием, так как ее единицы измерения не имеют экономического смысла (“автомобили в квадрате”). Поэтому, чтобы определить, действительно ли разброс количества продаж вокруг величины 2,12 так велик, извлечем корень из дисперсии Эту величину называют средним квадратическим отклонением
(СКО) и обозначают СКО = 1,4 (шт.) – много это или мало? Вероятно, если бы объем продаж составлял в среднем, например, 10 машин в день, то такая величина характеризовала бы небольшой разброс. В рассматриваемом случае Отношение СКО к математическому ожиданию случайной величины называют коэффициентом вариации
: Для рассмотренного примера коэффициент вариации равен 1,4/2,12 = Рассмотренные выше математическое ожидание, дисперсия, СКО и коэффициент вариации представляют собой числовые характеристики
случайной величины. Кроме них, существуют и другие числовые характеристики, которые пока рассматривать не будем. Запишите значения выборки.
В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.
Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки.
Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:
Вычислите среднее значение выборки.
Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.
Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке.
Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅, где x i {\displaystyle x_{i}}
– каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.
Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.
Вычислите сумму квадратов разностей.
То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}}
- x̅) 2 {\displaystyle ^{2}}
]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}}
в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}}
- x̅) 2 {\displaystyle ^{2}}
для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}}
в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.
Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке.
Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.
Отличие дисперсии от стандартного отклонения.
Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}}
, а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s}
.
Проанализируйте некоторую совокупность значений.
Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:
Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности.
Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:
Вычислите среднее значение совокупности.
При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.
Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности.
Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.
Возведите в квадрат каждый полученный результат.
Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.
Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещения?
Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа образует полную группу событий?
Монета бросается 2 раза, какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?
Различаются ли понятия «перестановки из трех элементов» и «размещения из трех элементов по три»?
Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (Х-1) ?
Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (-2Х) ?
Чему равно значение среднего квадратического отклонения числа 4?
Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) =5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?
Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (3Х+6) ?
Понятие факториала. Какое из следующих выражений неверно?
Сравните два числа и укажите правильный ответ. Сравните два числа. Какое из них больше? Какое из чисел больше 10! или 1010?
Чему равна сумма противоположных событий?
Чему равно произведение противоположных событий?
Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа очков образует полную группу событий?
Чему равна сумма случайных событий, образующих полную группу?
Сколько элементов содержит множество элементарных событий, описывающих результат бросания игрального кубика?
Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещений?
Различаются ли понятия "перестановки из трех элементов" и "размещения из трех элементов по три" ?
Монета бросается два раза. Какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?
Монета бросается три раза. Какова вероятность P выпадения подряд трех гербов?
Чему равна вероятность суммы противоположных событий?
Чему равна вероятность произведения противоположных событий?
Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность события Р (А+А) ?
Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность произведения событий Р (А*А) ?
Чему равна вероятность Р суммы событий , образующих полную группу?
Каковы причины использования асимптотических приближений формулы Бернулли?
Что означает в этой формуле P?
Что означает в этой формуле P?
Какая характеристика случайной величины имеет смысл ее среднего значения?
Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (X-1) ?
Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (-2X) ?
Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (3X+6) ?
Какая характеристика случайной величины определяет степень ее рассеяния?
Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1) ?
Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?
Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6) ?
Чему равно значение дисперсии числа 5: D (5) = ?
Какое значение непрерывной случайной величины Х определяет ее медиана Ме (Х) ?
Функция распределения. Вероятность какого события определяет функция распределения F (X) cлучайной величины X?
Каким из перечисленных ниже свойств обладает функция распределения случайной величины?
Какие значения может принимать случайная величина Х, описываемая законом распределения Пуассона?
К чему стремится частость наблюдаемого события при неограниченном увеличении числа испытаний в схеме Бернулли?
Как называется варианта, характеризующая наибольшую частоту в выборке?
Уровень значимости при проверке статистической гипотезы задан в 10%. Какова возможность ошибки первого рода?
Какая из следующих числовых характеристик выборки является смещенной оценкой?
К каким соединениям относится свойство симметрии?
Чему равно значение математического ожидания числа 5: M (5) = ?
Пусть производится п
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А
постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема.
Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D
(X
) = npq.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину X
- число появлений события А
в п
независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях: X = Х
1 + X
2 + …+ Х п,
где Х
1 - число наступлений события в первом испытании, Х
2 - во втором, ..., Х п
- в п-
м.
Величины Х
1 , Х
2 ,
..., Х п
взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5): D
(X
) = D
(X
1) + D
(X
2)+ ...+D
(Х п
).
(*) Вычислим дисперсию X
1 по формуле D
(X
1)=M
(
)-
[M
(X
1)] 2 .
(**) Величина Х
1 -число появлений события А
в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М
(Х
1)=р
. Найдем математическое ожидание величины ,
которая может принимать только два значения, а именно: 1 2 c вероятностью р
и О
2 с вероятностью q:
M
(
)=
1 2 *p+
0 2 *q=p.
Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем D
(X
1)=p-p
2 =p
(1-p
)=pq
Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq.
Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq,
окончательно получим D
(X
) = npq.
Замечание. Так как величина X
распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и
так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.
Пример.
Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X
-числа появлений события в этих испытаниях. Решение. По условию, n
=10, р
= 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события q =
1-
0,
6 =
0,
4. Искомая дисперсия D
(X
) = npq
= 10
0,
6
0,
4 =
2,
4.
Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением
случайной величины X
называют квадратный корень из дисперсии: Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность s(X
)совпадает сразмерностью X.
Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X
выражается влинейных метрах, то а (X
)будет выражаться также влинейных метрах, a D
(X
)- в квадратных метрах. Пример.
Случайная величина X
задана законом распределения Найти среднее квадратическое отклонение s(X
).
Решение. Найдем математическое ожидание X:
М
(Х
) =
2*
0,
1 +
3*
0,
4+
10*
0,
5 =
6,
4.
Найдем математическое ожидание X
2 :
М
(Х
2) =
2 2 *
0,
1+
3 2 *
0,
4+
10 2 *
0,
5 =
54.
Найдем дисперсию: D
(X
)= М
(X
2) -
[М
(X
)] 2 =
54 -
6,
4 2 =
13,
04.
Искомое среднее квадратическое отклонение s(X)= =
Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
= 1,2 2 *D(х) = 1,44*4 = 5,76.
+ y) = D(x) + D(y) = 4 + 5 = 9. Однако, выполнить расчет таким образом можно лишь в случае, когда заработные платы этих работников не зависят друг от друга. Если они зависимы, воспользоваться формулой нельзя.
. Полученный результат имеет те же единицы измерения, что и рассматриваемая случайная величина (в данном случае он измеряется в количестве автомобилей, т.е. в штуках).
.
М = 2,12 (шт.). Чтобы оценить полученный результат, необходимо подсчитать относительный показатель, который позволит сравнить СКО с математическим ожиданием.
. Он представляет собой безразмерную величину (можно перевести его в проценты, умножив на 100%).
= 0,66 или 66%.Шаги
Вычисление дисперсии выборки
Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
Выборочное среднее x̅ = 14.
x 1 {\displaystyle x_{1}}
- x̅ = 17 - 14 = 3
x 2 {\displaystyle x_{2}}
- x̅ = 15 - 14 = 1
x 3 {\displaystyle x_{3}}
- x̅ = 23 - 14 = 9
x 4 {\displaystyle x_{4}}
- x̅ = 7 - 14 = -7
x 5 {\displaystyle x_{5}}
- x̅ = 9 - 14 = -5
x 6 {\displaystyle x_{6}}
- x̅ = 13 - 14 = -1
( x 1 {\displaystyle x_{1}}
- x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
(x 2 {\displaystyle (x_{2}}
- x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
9 2 = 81
(-7) 2 = 49
(-5) 2 = 25
(-1) 2 = 1
Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=}
33,2
Вычисление дисперсии совокупности
x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}
x 1 {\displaystyle x_{1}}
- μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 2 {\displaystyle x_{2}}
- μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 3 {\displaystyle x_{3}}
- μ = 8 - 10,5 = -2,5
x 4 {\displaystyle x_{4}}
- μ = 12 - 10,5 = 1,5
x 5 {\displaystyle x_{5}}
- μ = 15 - 10,5 = 4,5
x 6 {\displaystyle x_{6}}
- μ = 18 - 10,5 = 7,5
( x i {\displaystyle x_{i}}
- μ) 2 {\displaystyle ^{2}}
для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}}
= 30,25
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}}
, где x n {\displaystyle x_{n}}
– последнее значение в генеральной совокупности.
Пусть событие А={1,2,3},а событие В={1,2,3,4,5,6}. Укажите верное высказывание.
Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X)
При обследовании отдельного региона фирмой , предоставляющей интернет-услуг, выявлено, что (в среднем) из каждых 100 семей, 80 имеют компьютер, подключенный к интернет. Оценить вероятность того , что из 400 семей данного микрорайона, от 300 до 360 семей имеют компьютер, поключенный к интернет.
Рассматриваются две случайные величины X и Y. Их математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М (X) =3; D (X) =2; M (Y) =2; D (Y) =1. Укажите верные соотношения.
Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется дисперсия D (X).
Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X)
На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их математического ожидания.
На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их дисперсии.
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения
Установить последовательность ответов
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, соответственно,равны М (Х) =3; D (X) =2. Расположите следующие выражения в порядке возрастания их значений.
Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1)
Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y,а если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) =3; M (Y) =4?
Укажите названия вероятностей, входящих в формулу Байеса.
Пусть событие А={1,2.3.4,5}, а событие В={5,4,3,2,1}. Укажите верное высказывание.
Что значат записанные ниже формулы.
Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6)
В серии из n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли , наблюдается наступление события А. Что означают указанные ниже компоненты формулы Бернулли? Pm,n=Cmnpmqn-m, где q=1-p. Что означают в этой формуле: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p
Пусть А –случайное событие, вероятность которого отлична от нуля и 1; ? –достоверное и O – невозможное событие. События B, C, и D определены как: B=A+A; C=A+ ?; D=A* O
Сравните два числа и укажите правильный ответ.
Охарактеризуйте событие: 2х2=5
События образуют полную группу если они:
Пусть событие А=1, 2, 3, а событие B=1, 2, 3, 4, 5, 6. Укажите верное высказывание.
Пусть событие А=1,2,3,4,5, а событие B=5,4,3,2,1. Укажите верное высказывание.
Размещения и перестановки. Пусть P – число возможных перестановок из n элементов, и А- число размещений из n элементов по m (n>m). Каково соотношение между величинами P и А? Укажите верный ответ:
Свойства сочетаний. Пусть C – число сочетаний из n элементов по m
Пусть А и В - случайные события. Сравните величины P (A+B) и Р (А) +Р (В) и укажите правильный ответ.
Вероятность произведения достоверного и случайного событий. Пусть
Вероятность суммы невозможного и случайного событий. Пусть
Вероятность произведения невозможного и случайного событий. Пусть
Вероятность суммы достоверного и случайного событий. Пусть
Формула Бернулли. Формула Бернулли имеет вид:
Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется дисперсия D (X):
Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X):
Законом редких явлений называют:
Укажите свойство функции Гаусса. (см. ниже):
Укажите критерий использования интегральной теоремы (формулы) Муавра-Лапласа. Интегральная формула Муавра-Лапласа имеет вид:
Свойства функции Лапласа (см. ниже):
Чему равно математическое ожидание M (X+Y) суммы двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?
Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?
Чему равна дисперсия суммы D (X+Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?
Среднее квадратическое отклонение равно:
Охарактеризуйте множество значений дискретной случайной величины (укажите наиболее полный ответ):
Задача: Случайная величина X принимает три возможных значения x=2; x=5; x=8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p=0,4 и p=0,15. Найти вероятность значения x; p=?
Множество значений непрерывной случайной величины является:
Мода Mo (X) случайной величины Х характеризует (укажите верный ответ):
Наименьшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->
Наибольшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->-? (укажите верный ответ среди ниже перечисленных) ?
Какие значения может принимать биномиально распределенная случайная величина Х? P (X=m) =Cpq, где: 0
Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0
Чему равна дисперсия D (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей Пуассоновский закон распределения, равно 4: M (X) = 4. Чему равна дисперсия D (X) этой случайной величины?
Геометрическое распределение дискретной случайной величины. Согласно распределению: случайная дискретная величина X, имеет геометрическое распределение с параметром p, принимает бесконечное (но счетное) множество значений 1,2, …, m, … с вероятностями: P (X=m) =pq, где 0
Равномерное распределение. Охарактеризуйте плотность вероятности случайной величины, равномерно распределенной на отрезке :
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Какова вероятность - P того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты?
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Определить математическое ожидание M (X) случайной величины X - времени ожидания поезда.
Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке . Чему равно ее математическое ожидание M (X) ?
Смысловое значение параметра "a" нормального закона распределения случайной величины (см. ниже) это:
Смысловое значение параметра "сигма квадрат" нормального распределения (закона Гаусса).
Влияние математического ожидания (параметра "a") на график плотности вероятности нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) характеризуется:
Сравнение математических ожиданий. M (X) и М (Х) нормально распределенных случайных величин Х и Х (см. рисунок ниже).
Уменьшение дисперсии (параметра "сигма квадрат") нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) приводит к следующему изменению графика кривой распределения:
Сравнение дисперсий D (X) и D (X) нормально распределенных случайных величин X и X (см. рисунок ниже).
Стандартным (нормированным) законом распределения N (0; 1) называется:
Правило трех сигм.
Значение закона больших чисел.
Значение несобственного интеграла от плотности вероятности. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен:
Из генеральной совокупности отобраны десять элементов по принципу: брался каждый восьмой по порядку элемент генеральной совокупности. Как называется такой способ отбора?
Укажите, какое из перечисленных ниже свойств числовых характеристик случайной величины записано неправильно (предполагая, что X и Y - независимые случайные величины) ?
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной следующим законом распределения:
Чему равна дисперсия разности D (X-Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?
Распределение Пуассона. Математическое ожидание. Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины X
распределенной по закону Пуассона:
Распределение Пуассона. Дисперсия. Чему равно D (X) случайной величины X распределенной по закону Пуассона:
Укажите какова смысловая интерпретация такой случайной величины Х:
Найти моду для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:
Найти генеральную среднюю генеральной совокупности , заданной следующим вариационным рядом:
Найти медиану для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:
Определить выборочную среднюю для следующей выборки:
Найти выборочную среднюю следующей выборки из генеральной совокупности: X
p
0,
1
0,
4
0,
5
