| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Свойства дисперсии |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
1.Дисперсия постоянной C равна 0,DC = 0, С = const .
Доказательство . DC = M (С – MC ) 2 = М (С – С ) = 0.
2. D (CX ) = С 2 DX .
Доказательство. D (CX ) = M (CX ) 2 – M 2 (CX ) = C 2 MX 2 – C 2 (MX ) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X ) = С 2 DX .
3. В случае если X и Y – независимые случайные величины , то
Доказательство .
4. В случае если Х
1 , Х
2 , … не зависимы, то
.
Это свойство можно доказать методом индукции, используя свойство 3.
Доказательство . D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).
6. 
Доказательство . D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X–MX) 2 = DX.
Пусть – независимые случайные величины, причем, .
Составим новую случайную величину , найдем математическое ожидание и дисперсию Y .
; 
.
То есть при n ®¥ математическое ожидание среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин остается неизменным, равным математическому ожиданию а, в то время как дисперсия стремится к нулю.
Это свойство статистической устойчивости среднего арифметического лежит в базе закона больших чисел.
Свойства дисперсии - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Свойства дисперсии" 2017, 2018.
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 4) Дисперсия разности двух независимых случайных... .
1. Дисперсия постоянной равна 0. Доказательство D[с]=0 D[с]=M-M2[c]=c2-c2=0 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат. Доказательство: D=c2D[x] D-M-M2=c2M-c2M[x]=c2(2-M[x]])=c2D[x] 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин D[х+у]=D[х]+D[у] ... .
1.Дисперсия постоянной величины равна нулю. 2.Если у всех значений вариантов отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений (дисперсия) от этого не изменится. (2.14) Это значит, что дисперсию можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их... .
Свойство 1.Дисперсия постоянной величины равна нулю: . Доказательство. . С другой стороны постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . Доказательство.... .
1) (под интегралом стоит квадрат функции). 2) (. 3) (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла). Средним квадратическим отклонением называется. Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии, эксцесс – мера островершинности... .
1). Дисперсия неслучайной величины равна 0. D[X]=0 Þ следует из определения. D[X]=M(C-M[C])2=M(0)=0 2). D[X]³0 Это следует из того, что D[X]=M[(X-mx)]2³0 3). Если a и b постоянные, то D=b2·D[X]. Это следует из определения дисперсии. 4). Дисперсия обладает аддитивностью, действительно...
Тема 8.12. Дисперсия случайной величины.
О. Дисперсия случайной величины - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.
Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:
Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.
Свойства дисперсии.
Это свойство оставим без доказательства.
Биномиальный закон распределения.
Пусть заданы числа n принадлежит N и p (0 <p < 1). Тогда каждому целому числу из промежутка можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины (назовём её B(бетта))
Будем говорить, что случайная величина распределена по закону Бернулли. Такой случайной величиной является частота появления события А в n повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А происходит с вероятностью p .
Рассмотрим отдельное i - е испытание. Пространство элементарных исходов для него имеет вид
Закон распределения случайной величины рассматривался в предыдущей теме
Для i
= 1,2, ... , n
получаем систему из n
независимых случайных величин, имеющих одинаковые законы распределения.
Пример.
Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр продукции не отвечает стандарту отношением р * = 4/20 = 0,2.
Так как х случайная величина, р * – тоже случайная величина. Значения р * могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случае экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров продукции). Каково математическое ожидание р * ? Поскольку х есть случайная величина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, М( x ) = np . Для математического ожидания случайной величины р * по определению получаем: M (p *) = M(x/n) , но n здесь является константой, поэтому по свойству математического ожидания
M (p *) = 1/n*M(x)=1/n np=p
Таким образом, “ в среднем” получается истинное значение р , чего и следовало ожидать. Это свойство оценки р* величины р имеет название: р* является несмещённой оценкой для р . Отсутствие систематического отклонения от величины оцениваемого параметра р подтверждает целесообразность использования величины р* в качестве оценки. Вопрос о точности оценки пока оставляем открытым.
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание M x , то дисперсией случайной величины x называется величина D x =M (x - M x ) 2 .
Легко показать, что D x = M (x - M x ) 2 = M x 2 - M (x) 2 .
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M x 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
, 
.
Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение ,связанное с дисперсией соотношением .
Основные свойства дисперсии:
- дисперсия константы равна нулю, D c =0;
- для произвольной константы D (cx ) = c 2 D (x);
- дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D (x ± h ) = D (x) + D (h).
51) Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.
Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0 F(x) 1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2) F(x 1), если x 2 >x 1
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a X Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения: Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при x a; 2) F(x)=1 при x b. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При x a ординаты графика равны нулю; при x b ординаты графика равны единице: Функцией распределения
случайной величины Х
называется функция F(x)
, выражающая для каждого х
вероятность того, что случайная величина Х
примет значение, меньшее х
: Функцию F(x)
называют интегральной функцией распределения
или интегральным законом распределения. Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям p i
для дискретной случайной величины в непрерывном случае. Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности
(плотностью распределения, дифференциальной функцией
) случайной величины Х
называется функция f(x),
являющаяся первой производной интегральной функции распределения. Многие случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание, но различные возможные значения. Поэтому одного математического ожидания недостаточно для характеристики случайной величины. Пусть доходы Х
и Y
(в долларах) двух фирм заданы распределениями: Иногда удобно пользоваться другой формулой, которую можно получить, если воспользоваться свойствами математического ожидания, Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) сходится. Неотрицательное число Случайная величина называется центрированной
, если . Случайная величина называется нормированной
(стандартной), если . Продолжим пример
. Вычислим дисперсию доходов двух фирм: Сравнивания дисперсии, видим, что доход второй фирмы варьирует больше, чем первой. Свойства дисперсии
. 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. , если
константа. Это очевидно, так как постоянная величина имеет математическое ожидание, равное постоянной величине, т.е. . 2. Постоянный множитель C
можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат. Действительно, 3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией, т.е. Выражение называется ковариацией величин Х и Y
(см. Тема 4, §2). Для независимых случайных величин ковариация равна нулю, т.е. Используя это равенство, можно пополнить список свойств математического ожидания. Если случайные величины Х и Y независимы
, то математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий, а именно: Если случайная величина преобразована линейно, т.е. , то Пример
1. Пусть производится n
независимых испытаний, вероятность появления события А
в каждом из которых постоянна и равна p
. Чему равна дисперсия числа появлений события А
в этих испытаниях? Решение. Пусть – число появления события А
в первом испытании, – число появления события А
во втором испытании и т.д. Тогда общее число наступления события А
в n
испытаниях равно Воспользовавшись свойством 3 дисперсии, получим Здесь мы воспользовались тем, что Пример
2. Пусть Х –
сумма вклада (в долларах) в банке – задана распределением вероятностей Найти среднюю сумму вклада и дисперсию. Решение. Средняя сумма вклада равна математическому ожиданию Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой D(X) = 8196 – 7849,96 = 348,04 . Среднее квадратическое отклонение Моменты.
Для того, чтобы учесть влияние на математическое ожидание тех возможных значений случайной величины Х
, которые велики, но имеют малую вероятность, целесообразно рассматривать математические ожидания целой положительной степени случайной величины. В качестве меры рассеивания значений случайной величины используется дисперсия
Дисперсия (слово дисперсия означает "рассеяние") есть мера рассеивания значений случайной величины
относительно ее математического ожидания. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Если случайная величина - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то если ряд в правой части равенства сходится. Это свойство является следствием второго и третьего свойств. Дисперсии могут только складываться.
Дисперсия всегда величина положительная
. Дисперсия имеет размерность
квадрата размерности самой случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину Средним квадратическим отклонением
(стандартным отклонением или стандартом) случайной величиныназывается арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии Бросают две монеты достоинством 2 и 5 рублей. Если монета выпадает гербом, то начисляют ноль очков, а если цифрой, то число очков, равное достоинству монеты. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков. Решение.
Найдем вначале распределение случайной величины Х - числа очков. Все комбинации - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - равновероятны и закон распределения: Математическое ожидание: Дисперсию найдем по формуле для чего вычислим Пример 2.
Найти неизвестную вероятность р
, математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения вероятностей Находим математическое ожидание и дисперсию: M
(X
) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8 Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (19.4) D
(X
) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 - Пример 3.
Два равносильных спортсмена проводят турнир, который длится или до первой победы одного из них, или до тех пор, пока не будет сыграно пять партий. Вероятность победы в одной партии для каждого из спортсменов равна 0,3, а вероятность ничейного исхода партии 0,4. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа сыгранных партий. Решение.
Случайная величина Х
- количество сыгранных партий, принимает значения от 1 до 5, т. е. Определим вероятности окончания матча. Матч закончится на первой партии, если кто-то их спортсменов выиграл. Вероятность выигрыша равна Р
(1) = 0,3+0,3 =0,6. Если же была ничья (вероятность ничьей равна 1 - 0,6 = 0,4), то матч продолжается. Матч закончится на второй партии, если в первой была ничья, а во второй кто-то выиграл. Вероятность Р
(2) = 0,4 0,6=0,24. Аналогично, матч закончится на третьей партии, если было подряд две ничьи и опять кто-то выиграл Р
(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. Р
(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384. Пятая партия в любом варианте последняя. Р
(5)= 1 - (Р
(1)+Р
(2)+Р
(3)+Р
(4)) = 0,0256. Сведем все в таблицу. Закон распределения случайной величины "число выигранных партий" имеет вид Математическое ожидание Дисперсию вычисляем по формуле (19.4) Стандартные дискретные распределения. Биномиальное распределение.
Пусть реализуется схема опытов Бернулли: проводится n
одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие A
может появиться с постоянной вероятностью p
и не появится с вероятностью (см. лекцию 18). Число появлений события A
в этих n
опытах есть дискретная случайная величина X
, возможные значения которой: 0; 1; 2; ...
; m
; ... ; n.
Вероятность появления m
событий A в конкретной серии из n
опытов с и закон распределения такой случайной величины задается формулой Бернулли (см. лекцию 18) Числовые характеристики случайной величины X
распределенной по биномиальному закону: Если n
велико (), то, при, формула (19.6) переходит в формулу а табулированная функция Гаусса (таблица значений функции Гаусса приведена в конце 18 лекции). На практике часто важна не сама вероятность появления m
событий A
в конкретной серии из n
опытов, а вероятность того, что событие А
появится не менее раз и не более раз, т. е. вероятность того, что Х принимает значения Для этого надо просуммировать вероятности Если n
велико (), то, при, формула (19.9) переходит в приближенную формулу табулированная функция. Таблицы приведены в конце лекции 18. При использовании таблиц надо учесть, что Пример 1
. Автомобиль, подъезжая к перекрестку, может продолжить движение по любой из трех дорог: A, B или C с одинаковой вероятностью. К перекрестку подъезжают пять автомобилей. Найти среднее число автомашин, которое поедет по дороге A и вероятность того, что по дороге B поедет три автомобиля. Решение.
Число автомашин проезжающих по каждой из дорог является случайной величиной. Если предположить, что все подъезжающие к перекрестку автомобили совершают поездку независимо друг от друга, то эта случайная величина распределена по биномиальному закону с n
= 5 и p
= . Следовательно, среднее число автомашин, которое проследует по дороге A, есть по формуле (19.7) а искомая вероятность при Пример 2.
Вероятность отказа прибора при каждом испытании 0,1. Производится 60 испытаний прибора. Какова вероятность того, что отказ прибора произойдёт: а) 15 раз; б) не более 15 раз? а.
Так как число испытаний 60, то используем формулу (19.8) По таблице 1 приложения к лекции 18 находим б
. Используем формулу (19.10). По таблице 2 приложения к лекции 18 Распределение Пуассона) закон редких явлений).
Если n
велико, а р
мало (), при этом произведение пр
сохраняет постоянное значение, которое обозначим л, то формула (19.6) переходит в формулу Пуассона Закон распределения Пуассона имеет вид: Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, т.к. основное свойство ряда распределения выполнено, т.к. сумма ряда В скобках записано разложение в ряд функции при Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е. Доказательство.
Пример.
Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по почтовым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 10 000 рекламных листков поступит хотя бы один заказ, среднее число поступивших заказов и дисперсию числа поступивших заказов. Решение
. Здесь Вероятность того, что поступит хотя бы один заказ, найдем через вероятность противоположного события, т.е. Случайный поток событий.
Потоком событий называется последовательность событий, происходящие в случайные моменты времени. Типичными примерами потоков являются сбои в компьютерных сетях, вызовы на телефонных станциях, поток заявок на ремонт оборудования и т. д. Поток
событий называется стационарным
, если вероятность попадания того или иного числа событий на временной интервал длины зависит только от длины интервала и не зависит не зависит от расположения временного интервала на оси времени. Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Поток
событий называется потоком с отсутствием последействия
, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Условие отсутствия последействия - наиболее существенное для простейшего потока - означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящие на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой. Поток
событий называется ординарным
, если вероятность попадания на малый интервал времени t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события (в этой связи закон Пуассона называют законом редких событий). Условие ординарности означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. дисперсия отклонение распределение бернулли Например, поток клиентов, входящих в парикмахерскую, может считаться практически ординарным. Если в неординарном потоке заявки поступают только парами, только тройками и т. д., то неординарный поток легко свести к ординарному; для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рассмотреть поток пар, троек и т. д. Сложнее будет, если каждая заявка случайным образом может оказаться двойной, тройной и т. д. Тогда уже приходится иметь дело с потоком не однородных, а разнородных событий. Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название "пуассоновский" связано с тем, что при соблюдении перечисленных условий число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона
Здесь - среднее число событий A
, появляющихся за единицу времени. Этот закон однопараметрический, т.е. для его задания требуется знать только один параметр. Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия в законе Пуассона численно равны: Пример
. Пусть в середине рабочего дня среднее число запросов равняется 2 в секунду. Какова вероятность того, что 1) за секунду не поступит ни одной заявки, 2) за две секунды поступит 10 заявок? Решение.
Поскольку правомерность применения закона Пуассона не вызывает сомнения и его параметр задан (= 2), то решение задачи сводится к применении формулы Пуассона (19.11) 1) t
= 1, m
= 0: 2) t
= 2, m
= 10: Закон больших чисел.
Математическим основанием того факта, что значения случайной величины группируются около некоторых постоянных величин, является закон больших чисел. Исторически первой формулировкой закона больших чисел стала теорема Бернулли: "При неограниченном увеличении числа одинаковых и независимых опытов n частота появления события A сходится по вероятности к его вероятности", т.е. где частота появления события A в n опытах, Содержательно выражение (19.10) означает, что при большом числе опытов частота появления события A
может заменять неизвестную вероятность этого события и чем больше число проведенных опытов, тем ближе р* к р. Интересен исторический факт. К. Пирсон бросал монету 12000 раз и герб у него выпал 6019 раз (частота 0.5016). При бросании этой же монеты 24000 раз он получил 12012 выпадений герба, т.е. частоту 0.5005. Наиболее важной формой закона больших чисел является теорема Чебышева: при неограниченном возрастании числа независимых, имеющих конечную дисперсию и проводимых в одинаковых условиях опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию
. В аналитической форме эта теорема может быть записана так: Теорема Чебышева кроме фундаментального теоретического значения имеет и важное практическое применение, например, в теории измерений. Проведя n измерений некоторой величины х
, получают различные несовпадающие значения х
1, х
2, ..., хn
. За приближенное значение измеряемой величины х
принимают среднее арифметическое наблюденных значений При этом, чем больше будет проведено опытов, тем точнее будет полученный результат.
Дело в том, что дисперсия величины убывает с возрастанием числа проведенных опытов, т.к. D
(x
1) = D
(x
2)=…= D
(xn
) D
(x
) , то Соотношение (19.13) показывает, что и при высокой неточности приборов измерения (большая величина) за счет увеличения количества измерений можно получать результат со сколь угодно высокой точностью. Используя формулу (19.10) можно найти вероятность того, что статистическая частота отклоняется от вероятности не более, чем на Пример.
Вероятность события в каждом испытании равна 0,4. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,8 ожидать, что относительная частота события будет отклоняться от вероятности по модулю менее, чем на 0,01? Решение.
По формуле (19.14) следовательно, по таблице два приложения следовательно, n
3932.
Справедливы следующие предельные соотношения: 
.Дисперсия случайной величины и ее свойства.
называется средним квадратическим отклонением
случайной величины Х.
Оно имеет размерность случайной величины Х
и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. Величину иногда называют стандартным отклонением.
.
, i
= (см. примеры 1 и 2, п.3.3.1.). Х
i
=
0,01
0,03
0,10
0,30
0,5
0,06
Решение.
Свойства дисперсии.
Дисперсия разности случайных величин равна сумме дисперсий
Дисперсию удобно вычислять по формуле, которую легко получить, используя свойства дисперсии
