Дипольный магнитный момент. Понятие о магнитном диполь-дипольном взаимодействии

Электромагнитное излучение возникает во всех случаях, когда в пространстве создается переменное электромагнитное поле. В свою очередь электромагнитное поле будет изменяться во времени, если меняется распределение электрического заряда в системе или является переменной плотность электрического тока. Таким образом, источником электромагнитного излучения являются всякого рода переменные токи и пульсирующие электрические заряды.

Простейшими системами, создающими электромагнитное поле, являются магнитный и электрический диполи (и прежде всего второй из них) с переменным моментом. Таким электрическим диполем является система, состоящая из неподвижного положительного заряда и совершающего около него колебание отрицательного заряда. Если это колебание происходит по гармоническому закону, то дипольный момент будет также меняться по этому закону, т. е. представится формулой Значение этой простой модели излучателя весьма велико по той причине, что множество реальных систем ведут себя с хорошей точностью как идеальные диполи.

Мы должны напомнить содержание § 93, где было указано, что электрические свойства любой системы, у которой «центры тяжести» положительного и отрицательного заряда не совпадают, могут быть описаны, если указан дипольный момент такой системы. А электрически нейтральные системы, у которых способны смещаться друг по отношению к другу доложительные и отрицательные заряды, составляют основную долю излучателей электромагнитной энергии, прежде всего потому, что под эту рубрику попадают молекулярные и атомные системы. Электрон, вращающийся около ядра атома,

представляет собой систему с переменным дипольным, моментом; нейтральная молекула, атомы которой находятся в состоянии колебания, также является зачастую системой с переменным дипольным моментом. Однако этим еще не исчерпывается наш интерес к электрическому диполю. В следующем параграфе будет показано, что радиотехническая линейная антенна может быть уподоблена диполю (аналогичные термины - осциллятор, вибратор - несколько шире точного термина «диполь»).

Что касается магнитных диполей, то мы сталкиваемся с ними тогда, когда распределение электрического заряда, а следовательно, и дипольный момент системы остаются неизменными, но в то же время плотность тока, а значит, и магнитный момент системы меняются во времени. Основным примером является рамка, по которой идет переменный электрический ток. Если ток замкнут, то электрические заряды нигде не скапливаются и не рассасываются, дипольный электрический момент такой рамки равен нулю и неизменен. В то же время магнитное поле рамки, связанное со значением ее магнитного момента, будет меняться и, следовательно, приведет к излучению электромагнитной энергии. Отметим такой результат теории: если система обладает одновременно и электрическим и магнитным моментом, то обычно излучение магнитного диполя на больших расстояниях от источника много меньше, чем излучение электрического диполя.

Если диполь излучает, отдавая при этом свою внутреннюю энергию, или, как это имеет место в антенне, превращая в энергию излучения энергию сторонних источников, то такой диполь можно назвать первичным излучателем. Однако, кроме подобных случаев, значительный интерес представляет и вторичное излучение, т. е. такое явление, при котором диполь приходит в колебание благодаря действию электромагнитной волны и становится излучателем лишь по этой причине. Вторичные колебания будут особо интенсивными в том случае, если первичная волна имеет ту же частоту, что и собственная частота диполя (резонанс).

Приведение диполя в колебательное состояние можно представлять себе как механический процесс - раскачка зарядов внешней силой, равной произведению заряда на напряженность. В то же время для приемной антенны процесс создания в ней вторичных колебаний можно рассматривать как индукционный процесс наведения переменного электрического тока переменным магнитным полем. С той точностью, с которой антенну можно подменять диполем, оба рассмотрения совпадают.

Существование у атома момента импульса и магнитного момента следовало из теории Н.Бора (1913) и подтверждалось обнаруженным еще в 1896 П.Зееманом влиянием магнитных полей на спектральные линии атома. Прямое измерение относительного магнитного момента атома было выполнено впервые в 1922 О.Штерном и В.Герлахом, которые наблюдали расщепление пучка атомов серебра в неоднородном магнитном поле. Первым предположение о существовании спина и магнитного момента у атомного ядра высказал в 1924 В.Паули при попытке объяснить сверхтонкую структуру спектральных линий. В 1925 Д.Уленбек и С.Гаудсмит на основе данных о тонкой структуре спектральных линий сделали вывод о том, что у электрона должны существовать спин и магнитный момент. Первое доказательство существования у ядра электрического квадрупольного момента было получено Х.Шюлером и Т.Шмидтом в 1935. Многочисленные измерения ядерных моментов были выполнены О.Штерном и И.Раби с сотрудниками, исследовавшими спектральные линии методом молекулярных пучков. Затем в 1937 и 1946 эти измерения продолжили И.Раби, Н.Рамзей, Э.Парселл, Ф.Блох и другие исследователи с помощью разработанных ими методов радиочастотного резонанса, потом – парамагнитного резонанса, а еще позднее – методами микроволновой и лазерной спектроскопии.

Спин.

Любое вращающееся тело обладает моментом импульса относительно своего центра масс; это собственный момент тела, или спин. Спиновый момент, или просто, спин атома или атомного ядра является характеристикой, аналогичной моменту импульса вращающегося волчка или гироскопа. Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси, определяется как сумма моментов импульсов всех частиц этого тела относительно той же оси; этот момент равен сумме произведений массы частицы на ее скорость и на кратчайшее расстояние частицы до оси вращения. Вектор момента импульса параллелен оси вращения и направлен в сторону перемещения винта с правой резьбой при таком же вращении. Спин атомов и ядер измеряется в единицах h /2p , где h – постоянная Планка, равная 6,6261Ч10 –34 ДжЧс. Экспериментально установлено, что в этих единицах (в соответствии с правилами квантовой механики) наблюдаемые проекции всех спинов на заданное направление принимают либо целое, либо полуцелое значение, т.е. либо 1, 2, 3,..., либо 1/2, 3/2, 5/2,.... Максимальное значение проекции совпадает с величиной спина; например, если спин ядра j равен 5/2, то измеренное максимальное значение проекции спина составит 5/2 в единицах h /2p ДжЧс.

Магнитный дипольный момент.

Магнитный дипольный момент атома или ядра аналогичен характеристике стрелки компаса. Он представляет собой вращающий момент, действующий на атом или ядро в магнитном поле. Дипольный момент – векторная величина. Магнитный момент атома обычно измеряют в единицах магнетона Бора, m 0 = еh /4pmc = 9,27Ч10 –24 Дж/Тл, где е – заряд электрона, h – постоянная Планка, m – масса электрона и c – скорость света. Магнитные же моменты ядер обычно измеряют в единицах ядерного магнетона mN , который равен магнетону Бора, деленному на отношение масс протона и электрона, а именно mN = 5,051Ч10 –27 Дж/Тл.

Электрический квадрупольный момент.

Электрический квадрупольный момент служит мерой отклонения распределения электрического заряда ядра от сферической симметрии. Количественно он определяется как при условии, что проекция спина ядра максимальна вдоль оси z прямоугольной системы координат, начало которой совпадает с центром ядра. В этом выражении Z – заряд ядра, или его атомный номер, z – координата протона в ядре, r – расстояние от протона до центра ядра, а черта над выражением в скобках означает усреднение плотности заряда по всему ядру. Можно показать, что в сферически симметричном случае Q = 0.

Другие моменты.

В принципе могли бы существовать электрические и магнитные мультипольные моменты любого порядка 2 n , где n – нуль или положительное целое число. Например, у ядер иода, индия и галлия были измерены магнитные октуполи. Можно показать, однако, что вследствие квантовой природы спина атом или ядро со спином j не может иметь мультипольных моментов более высокого порядка, чем n = 2j . Так, атом с j = l/2 не может иметь мультипольных моментов выше дипольного, а атом с j = 0 – даже дипольного момента. Проводились необычайно чувствительные эксперименты по обнаружению у ядер электрических дипольных моментов, но пока что найти их не удалось.

АТОМНЫЕ МОМЕНТЫ

Эффект Зеемана.

Один из первых и наиболее мощных методов исследования атомных моментов был основан на так называемом эффекте П.Зеемана, т.е. на расщеплении спектральных линий во внешних магнитных полях. Если разрядную трубку, в которой возбуждается атомное излучение, поместить во внешнее магнитное поле, то спектральные линии расщепятся на ряд компонент. Расстояние между линиями компонент определяется энергией взаимодействия атомных моментов с внешними магнитными полями. Поскольку энергия взаимодействия зависит от магнитных моментов атомов, измеренное расщепление дает информацию об их величине. Числом спектральных линий определяются значения спина.

Первоначально при изучении оптических спектров атомов последние возбуждались за счет столкновений с электронами в газоразрядных трубках или за счет поглощения электромагнитного излучения, возникающего в таких трубках. В наши дни атомы часто возбуждают лазерным излучением.

Метод молекулярных пучков.

Особенно простой, показательный и прямой метод измерения атомных магнитных моментов предложили О.Штерн и В.Герлах в 1921. Он основан на измерении отклонения атомов, обладающих магнитным моментом, в неоднородном магнитном поле. В однородном магнитном поле магнитный момент не отклоняется, т.к. на северный и южный полюса атомного магнитика поле действует с одинаковой силой. Поэтому центр масс атома не смещается; атом может лишь прецессировать или вращаться вокруг своего центра масс. Если же магнитное поле неоднородно на расстояниях порядка размеров атома, то из-за различий в напряженности магнитного поля на один из полюсов атомного магнитика поле будет действовать сильнее, чем на другой, и атом отклонится под действием разности этих сил.

В эксперименте материал нагревается в печи и его атомы через щель проходят в вакуумную камеру, где коллимируются в пучок и осаждаются на пластинке. Затем включается неоднородное магнитное поле, направленное поперек пучка, и регистрируется отклонение атомов. Каждому из возможных значений проекции магнитного момента и спина на направление поля должно соответствовать свое отклонение. Соответствующее классической физике непрерывное распределение проекций привело бы к сплошному размытию сигнала на регистрирующей пластинке. Но в квантовой механике допустимы лишь определенные дискретные проекции, и поэтому наблюдаемая картина расщепляется на две или несколько линий, число которых равно 2j + 1, где j – момент импульса атома в указанных выше единицах. По числу компонент 2j + 1 можно определить момент импульса – спин j. Расстояние между линиями позволяет вычислить величину магнитного момента.

Для измерения атомных магнитных моментов были приспособлены также рассматриваемые ниже резонансные методы молекулярных пучков, и они дали наиболее точные результаты. Точно так же для измерения атомных магнитных моментов применяется метод электронного парамагнитного резонанса, подобный методу ЯМР.

Выводы из опытов по определению атомных моментов.

Результаты упомянутых выше и других аналогичных экспериментов согласуются со следующими утверждениями относительно спиновых и магнитных моментов атомных структур.

Каждый элемент в атоме имеет соответствующий его движению по беровской орбите орбитальный момент l . Это движение электрона по орбите можно рассматривать как круговой ток, в результате чего возникает магнитный момент, соответствующий такому движению.

Величина магнитного момента, связанного с орбитальным движением, в классической механике была бы пропорциональна величине орбитального момента. Но у электрона есть еще и собственный момент – спин. Со спином также должен быть связан магнитный момент.

В результате магнитный момент частицы оказывается пропорционален полному механическому моменту (сумме орбитального и спинового моментов).

Важно иметь в виду, что моменты – механические и магнитные – векторные величины. В квантовой механике разработаны определенные способы их суммирования и вычисления магнитных моментов атомов.

ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ

Существует ряд методов измерения ядерных моментов; ниже обсуждаются некоторые из них.

Оптическая спектроскопия.

Один из наиболее важных методов измерения ядерных моментов основан на изучении так называемой сверхтонкой структуры атомных спектров, для возбуждения которых в настоящее время часто используют лазеры. Значение спина можно определить по числу компонент спектральных линий или по относительной интенсивности линий. Спин, магнитный момент и электрический квадрупольный момент можно определить по расстоянию между компонентами или по влиянию магнитного поля на линии. Спин можно также определять по полосатым спектрам двухатомных молекул.

Методы молекулярных пучков.

Методы молекулярных пучков, разработанные О.Штерном, И.Раби, Н.Рамзеем, У.Ниренбергом и другими исследователями, особенно эффективны при исследовании ядерных моментов. Известен ряд методов молекулярных пучков. В одном из них, применявшемся Штерном для измерения ядерных моментов водорода и дейтерия, использовались молекулярный водород и установка, в принципе сходная с установкой в опыте Штерна и Герлаха. Поскольку в молекулярном водороде магнитные моменты электронов почти точно компенсируют друг друга, наблюдаемое отклонение обусловлено, главным образом, магнитным моментом ядра. Поэтому измеренное отклонение позволяло определить ядерный магнитный момент. В экспериментах с пучками, проведенных Раби с сотрудниками, использовались атомы с отличным от нуля электронным магнитным моментом, из которых формировался атомный пучок, пропускавшийся через один или два отклоняющих магнитных поля такого же типа, как в опыте Штерна – Герлаха. Путем подбора магнитных полей и исследования картины отклонения или перефокусировки пучка атомов удалось получить сведения о связи ядерных и электронных моментов. Таким путем удалось измерить спины ядер, а также характеристики взаимодействия ядерных магнитных моментов и электрических квадрупольных моментов.

Наиболее эффективным методом изучения ядерных моментов, по-видимому, следует считать измерение поглощения атомами и молекулами электромагнитного излучения радиочастотного и микроволнового диапазонов. Как и в оптической спектроскопии, поглощение излучения молекулой происходит на частоте n , отвечающей значению hn = DE , где DE – разность энергий двух состояний, соответствующих разрешенному переходу. В случае простого магнитного момента m ядра со спином I , находящегося в магнитном поле Н , величину DE можно вычислить теоретически, и оказывается, что резонанс происходит на частоте n , такой, что hn = mH /I , где m – магнитный момент ядра. В этом соотношении h – постоянная Планка, а поэтому, измерив H и n , можно найти отношение магнитного момента к спину. Если же взаимодействие в молекуле оказывается более сложным, то равенство величин DE и mH /I нарушается и поглощение излучения происходит на частотах, отличающихся от соответствующих равенству hn = mH /I. Дополнительное взаимодействие может иметь место в случае ядра, обладающего электрическим квадрупольным моментом, т.к. этот момент может взаимодействовать с неоднородным электрическим полем, создаваемым зарядами других атомов молекулы, в состав которой входит ядро. В этом случае частоты, на которых происходит поглощение, позволяют определить электрический квадрупольный момент ядра.

Описанный выше метод, основанный на поглощении радиочастотного излучения, впервые был успешно применен в 1937 И.Раби с сотрудниками и получил название метода магнитного резонанса на молекулярных пучках. Для регистрации факта поглощения Раби исследовал влияние поглощения на отклонение молекул в молекулярных пучках. Схема его экспериментальной установки приведена на рисунке. Молекулы из «печи» (термического источника) попадают в вакуумную камеру, в которой имеются магниты А и В , создающие неоднородные магнитные поля, направления неоднородностей который противоположны. В магните А молекулы отклоняются так, как это происходит в опыте Штерна и Герлаха, а затем перефокусируются магнитом В на детекторе при условии, что входящие в состав молекулы магнитные моменты одинаково ориентированы в А и В . Но если один из моментов переориентируется в средней области С , то перефокусировка не происходит и интенсивность пучка уменьшается. Поэтому в области С создают однородное магнитное и осциллирующее радиочастотное поля и измеряют поглощение радиочастотного излучения, регистрируя уменьшение интенсивности пучка. Типичные результаты эксперимента, проведенного с молекулами тяжелого водорода, представлены на рисунке. Это – зависимость интенсивности пучка от напряженности однородного магнитного поля в области С . Самый глубокий центральный минимум интенсивности пучка соответствует частоте n и напряженности поля H , которые связаны соотношением hn = mH /I (см. выше ), так что эти данные позволяют определить отношение магнитного момента к спину. Менее глубокие дополнительные минимумы обусловлены электрическим квадрупольным моментом; по их положению можно определить электрический квадрупольный момент ядра тяжелого водорода, или дейтрона. Рамзей показал, что более высокой точности в измерении резонансных частот удается достичь, если создавать осциллирующие поля в двух узких промежутках – в начале и конце области С .

Для изучения полярных молекул Раби и его сотрудники применили метод электрического резонанса на молекулярных пучках не с магнитными, а с электрическими отклоняющими, перефокусирующими и осциллирующими полями. Этот метод оказался особенно ценным для исследования взаимодействия ядерных электрических квадрупольных моментов.

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР).

В 1946 Э.Парселл и Ф.Блох с сотрудниками впервые успешно применили метод магнитного резонанса, при котором не используется молекулярный пучок, но наблюдается резонансное поглощение радиочастотного излучения в образце. Парселл регистрировал непосредственно поглощение излучения, тогда как Блох использовал пару ортогональных катушек: колебания на резонансной частоте, происходившие в одной из катушек, вызывали в образце переориентацию ядер, прецессия которых индуцировала в другой катушке наблюдаемый сигнал.

А.Кастлер и другие экспериментаторы получили значительно более сильные атомные резонансные сигналы, изменяя распределение ориентации ядер посредством оптической накачки и регистрируя резонанс по изменению интенсивности и поляризации испускаемого света.

Другие методы.

Некоторые ядерные моменты определялись методами радиоспектроскопии: ионы захватываются электрическими и магнитными полями, после чего измеряются их магнитные моменты и константы внутренних взаимодействий. Такие методы оказались особенно эффективными с появлением методики лазерного охлаждения, позволившей охлаждать ионы до температур в несколько микрокельвинов, при которых ничтожно малы доплеровские эффекты уширения линий первого и второго порядков. Особенно важный пример – измерения магнитного момента электрона, проведенные Х.Демельтом и его сотрудниками. Эти измерения дали значение

me = 1,001159652193(10)m 0,

которое согласуется с предсказаниями квантовой электродинамики в пределах 10 знаков после запятой.

В настоящее время имеется также возможность захвата и лазерного охлаждения нейтральных атомов, которые затем используются для точных измерений.

Результаты измерений.

С точки зрения теории ядра заслуживают внимания следующие результаты.

Магнитные моменты протона 1 H 1 и нейтрона 0 n 1 отличаются от ядерного магнетона, хотя исходное предсказание заключалось в том, что первый должен быть точно равен ядерному магнетону, а второй – нулю.

Разность магнитного момента дейтрона 1 H 2 и суммы магнитных моментов протона и нейтрона хотя и мала, имеет конечное значение. Это означает, что моменты протона и нейтрона в дейтроне аддитивны лишь приблизительно.

Магнитный момент 1 H 3 отличается от магнитного момента протона на 6,6%, хотя теоретически они должны быть равны.

У дейтрона имеется электрический квадрупольный момент, т.е. он отклоняется от сферической симметрии (имея форму мяча для игры в регби), тогда как теоретически предсказывалось, что он должен был бы обладать сферической симметрией.

Измеренный магнитный момент электрона согласуется с предсказанным квантовой электродинамикой вплоть до десятого знака после запятой. См. также

Пусть в однородное магнитное поле помещена рамка с током (рис. 4.13). Тогда силы Ампера, действующие на боковые стороны рамки, будут создавать вращающий момент, величина которого пропорциональна магнитной индукции, силе тока в рамке, ее площади S и зависит от угла a между вектором и нормалью к площади :

Направление нормали выбирают так, чтобы в направлении нормали перемещался правый винт при вращении по направлению тока в рамке.

Максимальное значение вращательный момент имеет тогда, когда рамка устанавливается перпендикулярно магнитным силовым линиям:

Это выражение также можно использовать для определения индукции магнитного поля:

Величину, равную произведению , называют магнитным моментом контура Р т . Магнитный момент есть вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к контуру. Тогда вращательный момент можно записать

При угле a = 0 вращательный момент равен нулю. Значение вращательного момента зависит от площади контура, но не зависит от его формы. Поэтому на любой замкнутый контур, по которому течет постоянный ток, действует вращательный момент М , который поворачивает его так, чтобы вектор магнитного момента установился параллельно вектору индукции магнитного поля.

Поле магнитного диполя.

Диполь - идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего поля на такие системы. Дипольное приближение , выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя , основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка.

Типичный пример диполя - два заряда, равных по величине и противоположных по знаку, находящихся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.

Магнитный диполь - аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади S {\displaystyle S\,} по которой течёт ток I .{\displaystyle I\,.} При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину {\displaystyle {\vec {\mu }}=IS{\vec {n}},} где {\displaystyle {\vec {n}}}- единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента {\displaystyle {\vec {M}}}, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного U {\displaystyle U}диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент {\displaystyle {\vec {m}}} и вектор магнитной индукции {\displaystyle {\vec {B}}}:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 12

1. Магнитный векторный и скалярный электрический потенциалы.

Магнитный векторный потенциал div B = 0 - уравнение Максвелла для дивергенции В. Из векторного анализа: div(rot A) ≡ 0 -для любой дифференцируемой векторной функции A. Если предположить B = rot A, то уравнение Максвелла будет автоматически выполняться. Полезно вспомнить, что аналогично был получен скалярный потенциал ϕ: так как в электростатике rot E = 0 и rot(grad ϕ) ≡ 0, то ⇒ E = −grad(ϕ). Кстати, отсюда видно, что величина A определена с точностью до градиента произвольной функции: B = rot (A+grad ψ) = rot A +rot(grad ψ) = rot A. Величина, ротор которой равен индукции магнитного поля, называется магнитным векторным потенциалом.

Электри́ческий потенциа́л - временна́я компонента четырёхмерного электромагнитного потенциала, называемый также иногда скалярным потенциалом (скалярным - в трёхмерном смысле; скаляром в релятивистском смысле - инвариантомгруппы Лоренца - он не является, то есть не является неизменным при смене системы отсчёта).

Через электрический потенциал {\displaystyle \varphi } выражается напряжённость электрического поля:

{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},}

где {\displaystyle {\vec {\nabla }}} - оператор градиента (набла), а {\displaystyle {\vec {A}}} - векторный потенциал, через который выражается (также) магнитное поле.

В частном случае постоянных или пренебрежимо медленно меняющихся со временем электрического и магнитного полей (случай электростатики), электрический потенциал носит название электростатического потенциала , а формула для напряжённости электрического поля (называемого в этом случае электростатическим) упрощается, так как второй член (производная по времени) равен нулю (или достаточно мал по сравнению с первым - и его можно приравнять нулю в рамках принятого приближения):

{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\varphi .}

В этом случае, как нетрудно увидеть, пропадает (отсутствует) вихревое электрическое поле , поле {\displaystyle {\vec {E}}} - потенциально, а отсюда следует возможность определить электростатический потенциал через работу, совершаемую электрическим полем, так как она в этом случае полностью определяется разностью потенциалов в начальной и конечной точке .

2.Численные методы расчета магнитного поля.

Наибольшей универсальностью обладают численные методы. Они обладают следующими достоинствами: простотой алгоритмизации и автоматизации вычислений, возможностью рассчитать нелинейные и неоднородные поля, легкость построения графиков, нормируемая (управляемая) точность вычислений. К их недостаткам можно отнести: невозможность вывести общие соотношения, которые можно применить во всем диапазоне решаемых задач, ограниченный объем вычислений (ограничен временем, выделенным для решения задачи), обязательно присутствует некоторая погрешность, связанная с дискретизацией величин.

Численные методы можно поделить на метод прямой подстановки и методы интегрирования уравнений. При прямой подстановке используется аналитическое выражение (если оно известно) и ряд значений координат и времени. При этом результатом является распределение магнитного поля в пространстве и времени. Численные методы решения дифференциальных уравнений можно разделить на метод прямого интегрирования и итерационного интегрирования. При прямом интегрировании непрерывное пространство заменяется (квантуется) массивом точек, а время - массивом моментов времени. Далее интеграл заменяется на сумму, а приращение (дифференциал) - на шаг квантования. При этом выбор шага квантования зависит от требуемой точности. Шаг квантования может быть как постоянным для всех переменных, так и различным. Получаемый результат - распределение поля в пространстве и времени даже при сложных эллиптических интегралах. Итерационные методы основаны на произвольном первоначальном распределении магнитного поля в пространстве (задается) и дальнейшем анализе отклонений (погрешностей) в каждой точке.

Билет

1. Поле точечного заряда в однородной среде.

Для облегчения решения задач магниторазведки вводится понятие магнитного потенциала точечной магнитной массы:

где r - расстояние от центра магнитной массы до точки наблюдения.

В теории магнетизма пользуются понятием магнитного диполя, т.е. двух равных, близко расположенных магнитных масс противоположного знака. Диполем можно считать такие связанные заряды, у которых расстояние между зарядами на порядок меньше расстояния до точки наблюдения. Потенциал диполя U в точке Р выражается формулой:

где r 1 и r 2 - расстояния от центра магнитных масс до точки наблюдения P. Для диполя магнитный момент равен M = ml, следовательно, при значении dl dM = mdl, а значение потенциала - dU

Окончательное выражение для потенциала диполя в точке Р будет:

По определению, градиент магнитного потенциала равен напряженности магнитного поля Н, тогда:

(4)

Магнитным моментом может обладать не только диполь, представляющий собой постоянный магнит, но и замкнутый электрический контур площадью S. Такой замкнутый ток создает магнитный момент M = iS, где i – ток в контуре.

Интенсивность намагничения элементарного объема (J), согласно определению, равна отношению магнитного момента (dM) к его объему (dV). Поэтому выражение для потенциала магнитного диполя перепишется в следующем виде: dU = (Jcosθ/μr 2)dV, где вектор J направлен вдоль оси диполя.

Mагнитный потенциал любого тела можно представить в виде интеграла по объему этого тела от потенциалов элементарных диполей, из которых состоит данное тело:

(5)

а напряженность поля, создаваемое этим телом будет:

(6)

где интегрирование ведут по всему объему тела V.

Уравнения (5) и (6) лежат в основе всей теории магниторазведки. Аналитические выражения при решении уравнения (6) получаются лишь для тел простой геометрической формы и однородной (постоянной) намагниченности. Для тел более сложной формы, да еще при разной намагниченности, возможны численные решения с помощью ЭВМ.

Магнитное поле Земли Элементы земного магнетизма

В любой точке земной поверхности существует магнитное поле, которое определяется полным вектором напряженности Т. Вдоль вектора Т устанавливается подвешенная у центра тяжести магнитная стрелка. Проекция этого вектора на горизонтальную поверхность и вертикальное направление, а также углы, составленные этим вектором с координатными осями, носят название главных элементов магнитного поля.

Если ось Х прямоугольной системы координат направить на географический север, осьY - на восток, а ось Z - по отвесу вниз, то проекция полного вектора Т на ось Z называется вертикальной составляющей и обозначается Z . Проекция полного вектора T на горизонтальную плоскость называется горизонтальной составляющей (H ). Направление H совпадает с магнитным меридианом. Проекция H на ось X называется северной (или южной) составляющей; проекция H на ось Y называется восточной (западной) составляющей. Угол между осью X и составляющей H называется склонением и обозначается D . Принято считать восточное склонение положительным, западное - отрицательным. Угол между вектором T и горизонтальной плоскостью называется наклонением и обозначается J . При наклоне вниз наклонение положительное, при наклоне вверх отрицательное. Взаимосвязь полученных элементов магнитного поля Земли выражается с помощью формул:

H = T * cosJ; Z = T * sinJ; Z = H * tgJ; T 2 = H 2 + Z 2 .

Элементы земного магнитного поля можно выразить через любые три составляющие. При магнитной разведке измеряют лишь две составляющие поля Z или T , в особых случаях – Н .

Единицы измерений .

В магниторазведке измеряемым параметром магнитного поля является магнитная индукция (или плотность магнитного потока) В. Единицей магнитной индукции в системе Си является тесла (Тл). В магниторазведке используется более мелкая единица нанотесла (нТл), равная 10-9 Тл. Для большинства сред, в которых изучается магнитное поле (воздух, вода, громадное большинство немагнитных осадочных пород), близко по значению к проницаемости вакуума (μ 0 = 4π * 10 -7 Гн/м). Поэтому количественно магнитное поле Земли можно измерять либо в единицах магнитной индукции (в нТл), либо в соответствующей ей напряженности поля – гамма (γ). (В = μμ 0 Н, где μ – относительная магнитная проницаемость среды).

Единицей напряженности геомагнитного поля (Н) в системе Си является ампер на метр (А/м). В магниторазведке применялась и другая единица Эрстед (Э) (СГС) или гамма (γ), равная 10 -5 Э (1Э = 80 A/m).

Магнитный диполь - аналог электрического, который можно представить себе как систему двух«магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики , не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую(по сравнению с расстояниями, на которых изучается генерируемое диполем магнитное поле ) плоскуюзамкнутую проводящую рамку площади , по которой течёт ток . При этом магнитным моментом диполя (всистеме СГСМ ) называют величину , где - единичный вектор, направленный перпендикулярноплоскости рамки в том направлении, с которого ток в рамке течёт против часовой стрелки.

Поле колеблющегося диполя

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем находящимсяв заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях

Эволюция поляколеблющегосяэлектрического диполяв реальном времени.Диполь находится вточке (60,60) иколеблется повертикали с частотой 1рад/с (~0.16 Гц)

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

где - единичный вектор в рассматриваемом направлении, c - скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что является функцией одной переменной. Тогда

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне)

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемойволны, то есть скорости зарядов много меньше c , а поле рассматривается на расстояниях много больших,чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной . Распространяющуюся волну можно в этойобласти считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для и существенными оказываютсятолько члены, содержащие вторые производные от , так как

Выражения для полей принимают вид

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол do равна

поэтому для дипольного излучения

где θ - угол между векторами и . Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что , проинтегрируем выражение по d θ от 0 до π. Полное излучение равно

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора на его Фурье -компоненту иодновременным умножением выражения на 2. Таким образом:

Нестационарные электромагнитные поля.

Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца, практическое применение в технике.

Явление электромагнитной индукции было открыто выдающимся английским физиком М. Фарадеем в 1831 г. Оно заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении во времени магнитного потока , пронизывающего контур.

Магнитным потоком Φ через площадь S контура называют величину

где B – модуль вектора магнитной индукции, α – угол между вектором и нормалью к плоскости контура (рис. 1.20.1).

Определение магнитного потока нетрудно обобщить на случай неоднородного магнитного поля и неплоского контура. Единица магнитного потока в системе СИ называется вебером (Вб). Магнитный поток, равный 1 Вб, создается магнитным полем с индукцией 1 Тл, пронизывающим по направлению нормали плоский контур площадью 1 м 2:

Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции инд, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:

Эта формула носит название закона Фарадея .

Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение, сформулированное в 1833 г., называетсяправилом Ленца .

Рис. 1.20.2 иллюстрирует правило Ленца на примере неподвижного проводящего контура, который находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого увеличивается во времени.

Рисунок 1.20.2.

Иллюстрация правила Ленца. В этом примере а инд < 0. Индукционный ток I инд течет навстречу выбранному положительному направлению обхода контура

Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что инд и всегда имеют противоположные знаки (знак «минус» в формуле Фарадея). Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам.

1. Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле. Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Рассмотрим в качестве примера возникновение ЭДС индукции в прямоугольном контуре, помещенном в однородное магнитное поле перпендикулярное плоскости контура. Пусть одна из сторон контура длиной l скользит со скоростью по двум другим сторонам (рис. 1.20.3).

На свободные заряды на этом участке контура действует сила Лоренца. Одна из составляющих этой силы, связанная с переносной скоростью зарядов, направлена вдоль проводника. Эта составляющая указана на рис. 1.20.3. Она играет роль сторонней силы. Ее модуль равен

По определению ЭДС

Для того, чтобы установить знак в формуле, связывающей инд и нужно выбрать согласованные между собой по правилу правого буравчика направление нормали и положительное направление обхода контура как это сделано на рис. 1.20.1 и 1.20.2. Если это сделать, то легко прийти к формуле Фарадея.

Если сопротивление всей цепи равно R , то по ней будет протекать индукционный ток, равный I инд = инд /R . За время Δt на сопротивлении R выделится джоулево тепло

Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь сила Лоренца работы не совершает! Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только одной составляющей силы Лоренца. При протекании индукционного тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды действует еще одна составляющая силы Лоренца, связанная с относительной скоростью движения зарядов вдоль проводника. Эта составляющая ответственна за появление силы Ампера. Для случая, изображенного на рис. 1.20.3, модуль силы Ампера равен F A = I B l . Сила Ампера направлена навстречу движению проводника; поэтому она совершает отрицательную механическую работу. За время Δt эта работа A мех равна

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытываетмагнитное торможение . Полная работа силы Лоренца равна нулю . Джоулево тепло в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не является потенциальным . Его называют вихревым электрическим полем . Представление о вихревом электрическом поле было введено в физику великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1861 г.

Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея. Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково , но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

На использовании законов электромагнитной индукции основано действие многих двигателей и генераторов тока. Принцип их работы понять довольно просто.

Изменение магнитного поля можно вызвать, например, перемещением магнита. Поэтому, если каким-либо сторонним воздействием передвигать магнит внутри замкнутой цепи, то в этой цепи возникнет ток. Так можно создать генератор тока.

Если же наоборот, пустить ток от стороннего источника по цепи, то находящийся внутри цепи магнит начнет двигаться под воздействием магнитного поля, образованного электрическим током. Таким образом можно собрать электродвигатель.

Описанными выше генераторами тока преобразовывают механическую энергию в электрическую на электростанциях. Механическая энергия - это энергия угля, дизельного топлива, ветра, воды и так далее. Электричество поступает по проводам к потребителям и там обратным образом преобразовывается в механическую в электродвигателях.

Электродвигатели пылесосов, фенов, миксеров, кулеров, электромясорубок и прочих многочисленных приборов, используемых нами ежедневно, основаны на использовании электромагнитной индукции и магнитных сил. Об использовании в промышленности этих же явлений и говорить не приходится, понятно, что оно повсеместно.

Взаимная индукция двух контуров, коэффициенты взаимной индукции, явление самоиндукции, индуктивность L .

Переходим к рассмотрению явления взаимной индукции. Оно состоит в том, что при изменении силы электрического тока в каком-нибудь контуре меняющееся магнитное поле этого тока индуцирует ЭДС в соседних контурах. Возьмем два контура 1 и 2 (рис.).

Предположим, что сила тока в первом контуре равна I 1 . Поток магнитной индукции Ф , создаваемый этим током, пропорционален I 1 . Обозначим через Ф 21 ту часть потока Ф , которая пронизывает контур 2 , тогда мы можем положить:

На рисунке поток Ф 21 изображается теми линиями магнитной индукции, которые пронизывают оба контура (1 и 2 ). При изменении силы тока I 1 в первом контуре будет меняться поток Ф 21 , и во втором контуре возникает ЭДС индукции величина которой определяется соотношением

Если размеры и положения контуров остаются неизменными, то коэффициент L 21 в формуле (1) постоянен и

Коэффициент L 21 2 и контура 1 . Очевидно, все сказанное можно повторить для того случая, когда меняется ток в контуре 2 , а индуцируется ток в контуре 1 . Тогда, обозначая силу тока во втором контуре через I 2 возникающую ЭДС в первом контуре через E 1 получим:

Коэффициент L 12 называется коэффициентом взаимной индукции контура 1 и контура 2 . Как будет показано ниже,

Таким образом, можно просто говорить о коэффициенте взаимной индукции двух контуров. Пользуясь соотношением (1) , мы можем формулировать: коэффициент взаимной индукции двух контуров L 12 численно равен потоку магнитной индукции, создаваемому единичным током в одном из контуров и пронизывающему второй контур . Из соотношения (2) получим второе (динамическое) определение: коэффициент взаимной индукции L 12 двух контуров численно равен ЭДС индукции, возникающей в одном из контуров при изменении силы тока в другом контуре на единицу силы тока за единицу времени. Величина коэффициента взаимной индукции определяется только геометрической формой и размерами контуров и их относительным расположением. Лишь при наличии ферромагнитных тел коэффициент взаимной индукции зависит от сил токов (благодаря зависимости μ от напряженности магнитного поля H ). Единицы коэффициента взаимной индукции носят те же названия, что и коэффициента самоиндукции. Абсолютной электромагнитной единицей коэффициента взаимной индукции служит взаимная индукция двух контуров, обладающих тем свойством, что если в одном из контуров идет ток в одну электромагнитную единицу силы тока, то он создает поток, пронизывающий второй контур, равный одному максвеллу. Практической единицей коэффициента взаимной индукции служит генри, равный 10 9 абсолютных электромагнитных единиц коэффициента взаимной индукции. Из динамического определения коэффициента взаимной индукции следует, что генри равен коэффициенту взаимной индукции таких контуров, в одном из которых возникает ЭДС в 1 В , если в другом ток меняется на 1 А в 1 c .

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

Собственный магнитный потокΦ, пронизывающий контур или катушку с током, пропорционален силе тока I :

В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида, имеющего N витков, площадь сечения S и длину l . Магнитное поле соленоида определяется формулой (см. § 1.17)

Следовательно, индуктивность соленоида равна

ЭДС самоиндукции , возникающая в катушке с постоянным значением индуктивности, согласно закона Фарадея равна

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1.21.1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление цепи, то за время Δt выделится количество теплоты ΔQ = I 2 R Δt .

Ток в цепи равен

В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно убывает от первоначального значения I 0 до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I 0 до 0. Это дает

Таким образом, энергия W м магнитного поля катушки с индуктивностью L , создаваемого током I , равна

где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина

равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной плотностью магнитной энергии . Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых магнитных полей.

Энергия магнитного поля катушки, выраженная через индуктивность. Плотность энергии магнитного поля, выраженная через вектора B и H .