Дифференциальные уравнения высших порядков
Основная терминология дифференциальных уравнений высших порядков (ДУ ВП).
Уравнение вида , где n >1 (2)
называется дифференциальным уравнением высшего порядка, т. е. n -го порядка.
Область определения ДУ, n -го порядка есть область .
В данном курсе будут рассматриваться ДУ ВП следующих видов:
Задача Коши ДУ ВП:
Пусть дано ДУ , и начальные условия н/у: числа .
Требуется найти непрерывную и n раз дифференцируемую функцию:
1)
является решением данного ДУ на , т. е.
;
2) удовлетворяет заданным, начальным условиям: .
Для ДУ второго порядка геометрическая интерпретация решения задачи заключается в следующем: ищется интегральная кривая, проходящая через точку (x 0 , y 0 ) и касающаяся прямой с угловым коэффициентом k = y 0 ́ .
Теорема существования и единственности (решения задачи Коши для ДУ (2)):
Если 1) непрерывна (по совокупности (n
+1)
аргументов) в области
; 2)
непрерывны (по совокупности аргументов
) в , то
! решение задачи Коши для ДУ , удовлетворяющее заданным начальным условиям н/у:
.
Область называется областью единственности ДУ.
Общее решение ДУ ВП
(2) – n
-параметрическая
функция , , где
– произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим требованиям:
1) – решение ДУ (2) на ;
2) н/у из области единственности !
:
удовлетворяет заданным начальным условиям.
Замечание .
Соотношение вида , неявно определяющее общее решение ДУ (2) на называется общим интегралом
ДУ.
Частное решение
ДУ (2) получается из его общего решения при конкретном значении .
Интегрирование ДУ ВП.
Дифференциальные уравнения высших порядков, как правило, не решаются точными аналитическими методами.
Выделим некоторого вида ДУВП, допускающих понижения порядка и сводящихся к квадратурам. Сведем в таблицу эти виды уравнений и способы понижения их порядка.
ДУ ВП, допускающие понижения порядка
Способ понижения порядка |
||
ДУ неполное, в нём отсутствуют | И т.д. После n кратного интегрирования получится общее решение ДУ. |
|
Уравнение неполное; в нём явно не содержится искомая функция Например, | Подстановка понижает порядок уравнения на k единиц. |
|
Неполное уравнение; в нём явно не содержится аргумента | Подстановка понижается порядок уравнения на единицу. |
|
Уравнение в точных производных, оно может быть полным и неполным. Такое уравнение можно преобразовать к виду (*) ́= (*)́, где правая и левая части уравнения есть точные производные некоторых функций. | Интегрирование правой и левой части уравнения по аргументу понижает порядок уравнения на единицу. |
|
Подстановка понижает порядок уравнения на единицу. |
Определение однородной функции:
Функция называется однородной по переменным
, если
в любой точке области определения функции
;
– порядок однородности.
Например, – функция однородная 2-го порядка относительно , т.е. .
Пример 1 :
Найти общее решение ДУ .
ДУ 3-го порядка, неполное, не содержит явно . Последовательно интегрируем уравнение три раза.
,
– общее решение ДУ.
Пример 2 :
Решить задачу Коши для ДУ при
.
ДУ второго порядка, неполное, не содержит явно .
Подстановка и ее производная
понизит порядок ДУ на единицу.
. Получили ДУ первого порядка – уравнение Бернулли. Для решения этого уравнения применим подстановку Бернулли:
,
и подставим в уравнение.
На этом этапе решим задачу Коши для уравнения :
.
– уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
В последнее равенство подставляем начальные условия:
Ответ: – решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям.
Пример 3:
Решить ДУ.
– ДУ 2-го порядка, неполное, не содержит явно переменную , и поэтому допускает понижение порядка на единицу с помощью подстановки или
.
Получим уравнение (пусть
).
– ДУ 1-го порядка с разделяющими переменными. Разделим их.
– общий интеграл ДУ.
Пример 4 :
Решить ДУ.
Уравнение есть уравнение в точных производных. Действительно,
.
Проинтегрируем левую и правую части по , т. е. или . Получили ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными т. е.
– общий интеграл ДУ.
Пример5 :
Решить задачу Коши для при .
ДУ 4-го порядка, неполное, не содержит явно . Заметив, что это уравнение в точных производных, получим
или
,
. Подставим в это уравнение начальные условия:
. Получим ДУ
3-го порядка первого вида (см. таблицу). Проинтегрируем его три раза, и после каждого интегрирования в уравнение будем подставлять начальные условия:
Ответ: - решение задачи Коши исходного ДУ.
Пример 6 :
Решить уравнение.
– ДУ 2-го порядка, полное, содержит однородность относительно
. Подстановка
понизит порядок уравнения. Для этого приведем уравнение к виду
, разделив обе части исходного уравнения на
. И продифференцируем функцию p
:
.
Подставим и
в ДУ:
. Это уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными .
Учитывая, что , получим ДУ или
– общее решение исходного ДУ.
Теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка.
Основная терминология.
– НЛДУ -го порядка, где – непрерывные функции на некотором промежутке .
Называется интервалом непрерывности ДУ (3).
Введем (условный) дифференциальный оператор -го порядка
При действии его на функцию , получим
Т. е. левую часть линейного ДУ -го порядка.
Вследствие этого ЛДУ можно записать
Линейные свойства оператора :
1) – свойство аддитивности
2) – число – свойство однородности
Свойства легко проверяются, т. к. производные этих функций обладают аналогичными свойствами (конечная сумма производных равна сумме конечного числа производных; постоянный множитель можно вынести за знак производной).
Т. о. – линейный оператор.
Рассмотрим вопрос существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ .
Разрешим ЛДУ относительно : ,
, – интервал непрерывности.
Функция непрерывная в области , производные непрерывны в области
Следовательно, область единственности , в которой задача Коши ЛДУ (3) имеет единственное решение и зависит только от выбора точки , все остальные значения аргументов
функции
можно брать произвольными.
Общая теория ОЛДУ .
– интервал непрерывности.
Основные свойства решений ОЛДУ:
1. Свойство аддитивности
( – решение ОЛДУ (4) на )
(
– решение ОЛДУ (4) на ).
Доказательство:
– решение ОЛДУ (4) на
– решение ОЛДУ (4) на
Тогда
2. Свойство однородности
( – решение ОЛДУ (4) на ) ((
– числовое поле))
– решение ОЛДУ (4) на .
Доказывается аналогично.
Свойства аддитивности и однородности называются линейными свойствами ОЛДУ (4).
Следствие:
( – решение ОЛДУ (4) на )(
– решение ОЛДУ (4) на ).
3. ( – комплексно-значное решение ОЛДУ (4) на )( – действительно-значные решения ОЛДУ (4) на ).
Доказательство:
Если – решение ОЛДУ (4) на , то при подстановке в уравнение обращает его в тождество, т. е. .
В силу линейности оператора , левую часть последнего равенства можно записать так: .
Это значит, что , т. е. – действительно-значные решения ОЛДУ (4) на .
Последующие свойства решений ОЛДУ связаны с понятием “линейная зависимость ”.
Определение линейной зависимости конечной системы функций
Система функций называется линейно зависимой на , если найдётся нетривиальный
набор чисел такой, что линейная комбинация
функций
с этими числами тождественно равна нулю на , т. е.
.n
, что неверно. Теорема доказана.дифференциальные
уравнения
высших
порядков
(4 час...
Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Примеры решений.
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка .
У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка . А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.
Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка
. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно
входит вторая производная и не входят
Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:
Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.
В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно
входит третья производная и не входят
производные более высоких порядков:
Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.
Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.
Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.
1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка . Налетайте!
2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами . Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение .
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет следующий вид:, где и – константы (числа), а в правой части – строго
ноль.
Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение .
Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение
будет иметь два различных действительных корня, например:
, то общее решение запишется по обычной схеме:
.
В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде . Что делать, ответ придется записать так:
С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие тоже никаких проблем, общее решение:
То есть, общее решение в любом случае существует . Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.
В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:
Линейные однородные уравнения высших порядков
Всё очень и очень похоже.
Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:, и оно в любом случае
имеет ровно три
корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:
Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:
Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:
Пример 9
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение:
Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.
Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n
раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием > > >
Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде
Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь - функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде > > >
Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде
.
Считаем, что является функцией от .
Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде > > >
Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...
Для решения этого уравнения, делаем подстановку
,
где - функция от .
Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков > > >
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка
:
(1)
,
где - функции от независимой переменной .
Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2)
,
где - произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений
линейного однородного уравнения n-го порядка - это n
линейно независимых решений этого уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка
:
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где - общее решение однородного уравнения (1).
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида:
(3)
.
Здесь - действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений ,
которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2)
.
Ищем решение в виде .
Получаем характеристическое уравнение
:
(4)
.
Если это уравнение имеет различные корни
,
то фундаментальная система решений имеет вид:
.
Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень .
Этим двум корням соответствуют решения и ,
которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .
Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .
Кратным комплексным корням
кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:
.
Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью
Рассмотрим уравнение вида
,
где - многочлены степеней s1
и s2
;
- постоянные.
Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень
,
то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s
- наибольшее из s1
и s2
.
Если характеристическое уравнение (4) имеет корень
кратности ,
то ищем частное решение в виде:
.
После этого получаем общее решение:
.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Здесь возможны три способа решения.
1)
Метод Бернулли
.
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где - функция от переменной x
.
Получаем дифференциальное уравнение для u
,
которое содержит только производные от u
по x
.
Выполняя подстановку ,
получаем уравнение n - 1
- го порядка.
2)
Метод линейной подстановки
.
Сделаем подстановку
,
где - один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка .
Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.
3)
Метод вариации постоянных Лагранжа
.
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2)
.
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x
.
Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где - неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .
Уравнение Эйлера
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Уравнение вида: называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка, гдеa 0 ,а 1 ,…а n -функции переменной х или константы, причём a 0 ,а 1 ,…а n и f(x) считаются непрерывными.
Если a 0 =1(если
то
на него можно разделить)
уравнение примет вид:
Если
уравнение
неоднородное.
уравнение однородное.
Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n
Уравнение вида: называются линейными однородными дифференциальными уравнениями порядкаn.
Для этих уравнений справедливы следующие теоремы:
Теорема 1:
Если
-
решение
, то сумма
-
тоже решение
Доказательство:
подставим сумму в
Т.к производная любого порядка от суммы равна суме производных, то можно перегруппироватся, раскрыв скобки:
т.к y 1 и y 2 – решение.
0=0(верно)сумма
тоже решение.
теорема доказана.
Теорема 2:
Если
y 0 -решение
,
то
- тоже решение
.
Доказательство:
Подставим
в
уравнение
т.к С выносится за знак производной, то
т.к решение,
0=0(верно)
Сy 0 -тоже
решение.
теорема доказана.
Следствие из Т1
и Т2:
если
-
решения (*)
линейеая комбинация-тоже
решение (*).
Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства
Определение:
Система функций
-
называется линейно независимой, если
линейная комбинациякоэффициенты
.
Определение:
Систему
функций
-
называют линейно зависимой, еслии
есть коэффициенты
.
Возьмём
систему двух линейно зависимых функцийт.к
или
-
условие линейной независимости двух
функций.
1)линейно независимы
2)линейно зависимы
3)линейно зависимы
Определение:
Дана система
функций
-
функций переменной х.
Определитель
-определитель
Вронского для системы функций
.
Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:
Свойства определителя Вронского:
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/832/html_OmyNQJ4paF._GNh/img-NYSU3X.png)
Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.
Если y 1 и y 2 – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то
общее решение имеет вид:
Доказательство:
-
решение по следствию из Т1 и Т2.
Если даны начальные
условия то
и
должны находится однозначно.
-
начальные условия.
Составим систему
для нахождения
и
.
Для этого подставим начальные условия
в общее решение.
определитель этой
системы:
-
определитель Вронского, вычисленный в
точке х 0
т.к
и
линейно
независимы
(по
2 0)
т.к определитель
системы не равен 0, то система имеет
единственное решение и
и
находятся из системы однозначно.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n
Можно показать
что уравнение имеет n
линейно независимых решений
Определение:
n
линейно независимых решений
линейного однородного дифференциального
уравнения порядкаn
называется фундаментальной
системой решения.
Общее
решение линейного однородного
дифференциального уравнения порядкаn
, т.е (*) – линейная комбинация фундаментальной
системы решений:
Где
-
фундаментальная система решения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Это
уравнения вида:, гдеp
и g
– числа(*)
Определение:
Уравнение
-
называетсяхарактеристическим
уравнением
дифференциального
уравнения (*) – обычное квадратное
уравнение, решение которого зависит от
D,
возможны следующие случаи:
1)D>0
- два действительных различных решения.
2)D=0- один действительный корень кратности
2.
3)D<0-
два комплексно сопряжённых корня.
Для каждого из
этих случаев укажем фундаментальную
систему решений, составленную из 2
функций
и
.
Будем показывать что:
1)
и
-
ЛНЗ
2)
и
-
решение (*)
Рассмотрим 1
случай
D>0
- 2 действительных различных корня.
Характеристическое
уравнение:
В качестве ФСР
возьмём:
а) покажем ЛНЗ
б) покажем, что
- решение
(*), подставим
+p
+g
=0
верное
равенстворешение
(*)
аналогично показывается для y 2 .
Вывод:
-
ФСР (*)
общее
решение
Рассмотрим
2случай:
D=0- 1 действительный корень кратности 2.
В качестве ФСР
возьмём:
ЛНЗ:
ЛНЗ
есть.
-решение уравнения
(см. 1 случай). Покажем что
-
решение.
подставим в ДУ
-решение.
Вывод:
ФСР
Пример:
3 случай
:
D<0-
2 комплексно сопряжённых корня.
подставим в характ. уравнение
комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.
- будем использовать.
Покажем, что
-
образуют ФСР.
А)ЛНЗ:
Б)-решение ДУ
верное равенство-
решение ДУ.
Аналогично
показывается, что тоже
решение.
Вывод:
ФСР:
Общее решение:
Если заданы н.у.
-
то сначала находят общее решение
,
его производную:
,
а потом в эту систему подставляют н.у и
находят
и
.
Н.у: