Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Доказательство: Обозначим АВ = с, ВС = а, АС = b. Из вершины А опустим перпендикуляр АD. Тогда АD = b sin C, CD = b cos C, BD = a – b cos C. По теореме Пифагора имеем c 2 = (a – b cos C) 2 + (b sin C) 2 = a 2 – 2ab cos C + b 2 cos 2 C + b 2 sin 2 C = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Самостоятельно рассмотрите случаи прямого и тупого угла С.
Упражнение 12 Ответ: а) острый; При каких значениях угла А квадрат стороны треугольника, лежащей против этого угла: а) меньше суммы квадратов двух других сторон; б) равен сумме квадратов двух других сторон; в) больше суммы квадратов двух других сторон? б) прямой;в) тупой.
Упражнение 17 Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Доказательство. По теореме косинусов имеем Складывая эти равенства и учитывая, что косинус угла ADC равен минус косинус угла BAD, получим требуемое утверждение.
Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что для медианы m c, проведенной из вершины C, имеет место формула Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Складывая эти равенства, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 19
Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для биссектрисы l c, проведенной из вершины C, имеет место формула где c, c – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Умножим первое равенство на a, второе на b и вычтем из первого равенства второе. Делая тождественные преобразования, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 22
Упражнение 27 Можно ли описать окружность около четырехугольника со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см? Более точная формулировка: существует ли четырехугольник со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, около которого можно описать окружность? Решение. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность в случае, если По теореме косинусов Откуда Следовательно, такой четырехугольник существует.
Вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b , равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log 2 8 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .
С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения , вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы - это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами .
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a (x 1 . x 2 . x 3 ... x k ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k .
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a 1= 0, следовательно,
log a 1 / b = log a 1 - log a b = - log a b .
А значит имеет место равенство:
log a 1 / b = - log a b.
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.
Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .
Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .
Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .
К примеру, log 2 2 7 =7
, lg10 -4 =-4
и .
Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.
Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3
и .
Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .
Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .
Логарифм частного двух положительных чисел
x
и y
равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0
, a≠1
, x
и y
– некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .
Приведем пример использования этого свойства логарифма: .
Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .
Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .
Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3
.
Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня
: логарифм корня n
-ой степени равен произведению дроби 1/n
на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0
, a≠1
, n
– натуральное число, большее единицы, b>0
.
Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b
, и свойстве логарифма степени: .
Вот пример использования этого свойства: .
Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма
вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a
. Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b
представить как a log a b
, тогда log c b=log c a log a b
. Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a
. Так доказано равенство log c b=log a b·log c a
, а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .
Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .
Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.
Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b
вида . Отсюда видно, что log a b
и log b a
– . К примеру,
.
Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем
. Для доказательства формулы
достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a
:
.
Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.
Докажем, что для любых положительных чисел b 1
и b 2
, b 1 log a b 2
, а при a>1
– неравенство log a b 1 Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b>log a 2 b
. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b≤log a 2 b
. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и
соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2
и log b a 1 ≥log b a 2
соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2
и b log b a 1 ≥b log b a 2
, то есть, a 1 ≥a 2
. Так мы пришли к противоречию условию a 1
Список литературы.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
-
Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида log b (x) log b (a) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}} . Однако он не годится для некоторых особых случаев:
- Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, log (− 3) {\displaystyle \log(-3)} или log 4 (− 5) {\displaystyle \log _{4}(-5)} ). В этом случае напишите "нет решения".
- Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался ln (0) {\displaystyle \ln(0)} , запишите "нет решения".
- Логарифм единицы по любому основанию ( log (1) {\displaystyle \log(1)} ) всегда равен нулю, поскольку x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} для всех значений x . Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
- Если логарифмы имеют разные основания, например l o g 3 (x) l o g 4 (a) {\displaystyle {\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}} , и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.
-
Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: log b (x) log b (a) = log a (x) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)} .
- Пример 1: рассмотрим выражение log 16 log 2 {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}}
.
Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: log 16 log 2 = log 2 (16) {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)} . - Эта формула "замены основания" логарифма выводится из основных свойств логарифмов.
- Пример 1: рассмотрим выражение log 16 log 2 {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}}
.
-
При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти log a (x) {\displaystyle \log _{a}(x)} , представьте себе выражение " a ? = x {\displaystyle a^{?}=x} ", то есть задайтесь следующим вопросом: "В какую степень необходимо возвести a , чтобы получить x ?". Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.
- Пример 1 (продолжение): Перепишите в виде 2 ? = 16 {\displaystyle 2^{?}=16}
. Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака "?". Это можно сделать методом проб и ошибок:
2 2 = 2 ∗ 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=2*2=4}
2 3 = 4 ∗ 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=4*2=8}
2 4 = 8 ∗ 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=8*2=16}
Итак, искомым числом является 4: log 2 (16) {\displaystyle \log _{2}(16)} = 4 .
- Пример 1 (продолжение): Перепишите в виде 2 ? = 16 {\displaystyle 2^{?}=16}
. Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака "?". Это можно сделать методом проб и ошибок:
-
Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:
- пример 2: чему равно log 3 (58) log 3 (7) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}} ?
- Преобразуем данное выражение в один логарифм: log 3 (58) log 3 (7) = log 7 (58) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)} . Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание 3 исчезает; это справедливо для любого основания.
- Перепишем выражение в виде 7 ? = 58 {\displaystyle 7^{?}=58}
и попробуем найти значение?:
7 2 = 7 ∗ 7 = 49 {\displaystyle 7^{2}=7*7=49}
7 3 = 49 ∗ 7 = 343 {\displaystyle 7^{3}=49*7=343}
Поскольку 58 находится между этими двумя числами, не выражается целым числом. - Оставляем ответ в логарифмическом виде: log 7 (58) {\displaystyle \log _{7}(58)} .