В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционально. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:

а). задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

б). Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

в). задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

Остановимся на рассмотрении задач первого типа.

"За два куска одинаковой ткани в 5 м и 7 м заплатили 36 рублей.. Сколько стоит каждый кусок ткани?"

Составим таблицу:

Устанавливая зависимость между данными и искомыми, обращаем внимание на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.

Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани - в условиях она указана – и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:

    Найдем число метров ткани в двух кусках.

    Узнаем цену 1 м ткани.

    Вычислим стоимость первого куска ткани.

    Вычислим стоимость второго куска ткани.

1). 5+7=12 (м)

2).36:12=3 (руб.)

3).3*5= 15 (руб.)

4).3*7=21 (руб.)

12 м ткани стоят 36 руб.

3 руб. стоит 1 м ткани

15 руб. стоит первый кусок ткани.

21 руб. стоит второй кусок ткани

Проверка решения задачи: 15+21 = 36. Стоимость всей ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в условии.

Для проверки решения такой задачи можно использовать составление и решение обратной задачи. Следует иметь в виду, что обратная задача должна быть также задачей на пропорциональное деление.

§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.

По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей. Например:

“Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила за бумагу девочка и сколько мальчик?”

Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:

Решая эту задачу, можно пойти по такому пути:

1) узнать, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11-7=4);

2). узнать цену листа бумаги (12:4=3);

3). найти, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3*7=21);

4). сколько заплатила за 11 листов девочка (3*11=33).

При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33-21=12, что совпадает с данным из условия.

Или составляют задачу, обратную данной. Обратная задача должна быть задачей того же типа.

Методика ознакомления с действием деление

Основы формирования у младших школьных представлений о смысле деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сведется к разбиению конечного множества на равномощные, попарно непересекающиеся подмножества. Такой подход более доступен учащимся, так как предполагает использование жизненного опыта ребенка по УМК школа России. Раскрытие смысла деления происходит через деление по содержанию.

«12 роз поставили в вазы, по 3 розы. Сколько потребовалось ваз? » Задача решается практически.

Задача решена, ответ найден, но записать решение ребенок не может.

Учитель говорит: Есть ли какие-то предметы деления на равные части, раскладывают поровну, то действие можно записать с помощью деления: 12:3=4(в). Показывает запись(:) и обозначение.

На следующем этапе рассматривается деление на равные части, через решение обратной задачи. Тип задачи такой: «12 роз поставили в 4 вазы поровну. Сколько роз в каждой вазе?»

Чтобы роз было поровну, будем ставить их по 1 в вазу. Для этого сразу возьмем 4 розы и так далее.

Данный фрагмент показывает связь деления на равные части с делением по содержанию. Деление на равные части включает в себя деление по содержанию, а именно деление по одному 12:4=3(р)

На отдельных уроках решаются два вида задач, задачи решаются практически или через схематических рисунок.

П: 12 кусков сахара нужно разложить по 3 в стаканы. Сколько потребуется стаканов? Решаем задачу практически(сахар, стаканы). В тетради делаем рисунок (схематически).

Замечание: у учащихся не должно сформироваться представление о том, что есть два действия деления. Они должны понимать: делим мы по содержанию или на равные части, но если делимое и делитель совпадают, то есть равны он частные будут равны.)

Ознакомление с компонентами деления происходили аналогично компонентам умножения.

Опираясь на смысл деления на действия с предметными множествами устанавливается взаимосвязь между компонентами и результатом деления. Учитель на доске располагает 8 по 2 и предлагает составить задачу на деление.

8:2=4 (делимое:делитель= частное)

Отсюда формулируется правила:

1.Чтобы найти делетиль, нужно делимое разделить на частное.

В четырех группах по 2.Сколько всего?

Из этого следует правило: чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

Особые случаи деления:

1.Деление на 1. Зная, что 1*4=4 ,имеем 4:1=4- нахождение компонента умножения. Рассмотрев несколько таких случаев,делаем вывод: при деление числа на 1 получаем тоже самое число.

2.Деление на 10

20:10- это значит подобрать такое число, которое при умножении на 10=20. Это 2.

Значит найти такое число, при умножениии которого на 5 получим 0-это ноль. Рассмотрев несколько предметов, делаем вывод: при делении 0 на любое число, получается 0.

Задачи на пропорциональное деление

Эти задачи вводятся в 4 классе. Основным признаком задач на пропорциональное деление является содержащееся в задаче требование распределить одно численное значение величины (например, стоимости) соответственно данным числам (например, соответственно числу вещей в одной группе и числу вещей в другой группе).



NN Величины Задачи
цена количество стоимость
Постоянная Даны два или более значений Дана сумма значений, соответствующих количеству. Найти слагаемые Ученица купила по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. Всего она уплатила 20 р. Сколько стоили тетради в клетку и в линейку в отдельности?
Постоянная Даны два или более значений Ученица купила по одинаковой цене тетради в клетку и линейку, всего 10 штук. За тетради в клетку она уплатила 12 р. а за тетради в линейку 18 р. Сколько было куплено тетрадей в клетку и линейку в отдельности?
Даны два или более значений Постоянное Дана сумма значений, соответствующих цене. Найти слагаемые В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка стоила 50 р., а шарф 30 р. За все проданные вещи выручили 160 р. Сколько стоили все шапки и шарфы в отдельности?
Дана сумма значений, соответствующих стоимости. Найти слагаемые Постоянное Даны два или более значений В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка с шарфом стоили 80 р. За все шапки выручили 100 р., а за все шарфы 60 р. Сколько стоили шапка и шарф в отдельности?

Подготовкой к решению задач данного вида является умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. Для ознакомления с задачами на пропорциональное деление в учебнике предлагается одновременно две задачи

1) Детям купили игрушки: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоит 1 стул?

2) Детям купили: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоят 6 стульев, купленных Оле, и сколько стоят 4 стула, купленных Кате?

1) Задача 645 (1) является подготовительной ко второй задаче. Ученики читают задачу и рассматривают рисунок в учебнике. После этого записывают задачу кратко под руководством учителя и решают устно.

Какие величины даны в задаче? (Цена, количество, стоимость.) Запишем. Что известно? (Количество стульев: Оле купили 6 одинаковых стульев, а Кате - 4 таких же стула; известна стоимость - все стулья стоили 500 р.) Что надо узнать? (Цену.) Что известно о цене? (Она одинаковая.) Запишем. Получается запись.

Можно ли сразу узнать цену стула? (Нет.) Почему? (Не знаем, сколько всего стульев купили.) А это можно узнать? (Можно.) Как решим эту задачу? (Сначала узнаем, сколько стульев купили: к 6 прибавим 4, получится 10. Купили 10 стульев. Теперь узнаем цену стула: разделим 500 на 10, получится 50. Цена стула - 50 р.)

Прочитайте задачу 645 (2) и скажите, чем она отличается от предыдущей. (Эта задача отличается вопросом: здесь надо узнать не цену стула, а стоимость 6 стульев и 4 стульев.) Запишем в краткой записи два вопросительных знака:

Здесь два вопроса задачи. Назовите их. (Сколько стоят 6 стульев и сколько стоят 4 стула.) Как узнать, сколько стоят 6 стульев? (Надо цену стула умножить на 6, а как находить цену, мы уже знаем.) Как же решить задачу? (Сначала узнаем, сколько купили всего стульев, затем цену стула, потом стоимость 6 стульев.) Нельзя ли теперь узнать стоимость 4 стульев? (Можно: цену стула умножить на 4.)

Эту первую задачу на пропорциональное деление полезно решить с записью отдельных действий и пояснений к ним или так называемых вопросов:

1) Сколько всего стульев купили?

2) Сколько стоит один стул?

3) Сколько стоят 6 стульев?

4) Сколько стоят 4 стула?

Проверка: 300+200=500 (р.)

Ответ: 6 стульев стоят 300 р., 4 стула - 200 р.

После усвоения таких рассуждений нужно научить учащихся применять для краткой записи чертеж (рис.80):

При первоначальном ознакомлении применять чертеж нецелесообразно, т.к. учащиеся усваивают формальные рассуждения: "считаем маленькие отрезки, (их 10), потом 500:10=5 и 5 6=30, 5 4=20", т.е. происходит преждевременное сокращение рассуждений. Разбор задачи изображать в виде графической схемы тоже нецелесообразно, т.к. она начнется с двух вопросов и вызывает затруднение учащихся.

Для закрепления решения задач на пропорциональное деление в дальнейшем включаются задачи с другими величинами и другие задачи из этой группы. Используются упражнения творческого характера на составление и преобразование задач.

19. Задачи на нахождение четвертого пропорционального

В задачах на нахождение четвертого пропорционального даются три величины, связанные с пропорциональной зависимостью (прямой, обратной) и, исходя из которых, находят четвертую, искомую величину. Эти четыре величины составляют пропорцию, отсюда и название этих задач.

Величинами в этих задачах могут быть цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние; масса одного предмета, количество предметов, общая масса и другие.

Величины Задачи
цена количество стоимость
Постоянная Даны два значения За 2 кг моркови уплатили 4 р. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови по такой же цене?
Постоянная Дано одно значение, а другое является искомым Даны два значения За 6 кг моркови уплатили 12 р. Сколько килограммов моркови по такой же цене можно купить на 4 руб.
Даны два значения Постоянное Дано одно значение, а другое является искомым За кусок льняного полотна ценой по 20 р. за метр уплатили 80 р. Сколько уплатят за кусок шелкового полотна такой же длины, если его цена 40 р. за метр?
Дано одно значение, а другое является искомым Постоянное Даны два значения За кусок шелкового полотна ценой по 40 р. за метр уплатили 160 р., а за кусок льняного полотна такой же длины уплатили 80 р. По какой цене покупали льняное полотно?
Даны два значения Дано одно значение, а другое является искомым Постоянная За 6 детских костюмов ценой по 120 р. уплатили столько же, сколько за детские пальто ценой по 360 р. Сколько купили детских пальто?
Дано одно значение, а другое является искомым Даны два значения Постоянная За 2 детских пальто ценой по 360 р. уплатили столько же, сколько за 6 детских костюмов. По какой цене покупали костюмы?

Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвертого пропорционального с величинами цена, количество и стоимость начинается с ознакомления со связью между ними. Это можно провести через игру в "магазине" (прием М.И. Моро, М.А. Бантовой).

На доску прикрепляются "товары": тетради, карандаши, блокноты и т.д. На них обозначены цены (прикреплены этикетки: "Цена 3 руб.", "Цена 5 руб." и т.д.).

Сегодня будем играть в "магазин" и решать задачи о покупках. Вот это магазин. (Показывает на доску.) Что продается в магазине? (Называют.) На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради. (3 руб.) Цену блокнота. (5 руб.) Что же показывает цена? (Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот и т.д.) Я куплю 3 тетради. Что обозначает число 3? (Сколько вы купили тетрадей.) Иначе говорят: это число тетрадей, или количество тетрадей. Я купила 8 блокнотов. Что обозначает число 8? (Число блокнотов или количество блокнотов.) Сколько денег я должна уплатить за 2 блокнота? (10 руб.) Как вы узнали? (5 2=10.) 10 руб. – это стоимость 2 блокнотов.

На доске в таблице учитель записывает:

Далее один из учеников назначается продавцом, а несколько учеников - покупателями. Покупатели по очереди подходят к продавцу и покупают несколько вещей. Ученики из класса составляют задачи на эти покупки, решают их и записывают в таблице. После решения 2-3 задач учащиеся делают вывод: если известны цена и количество, то можно найти стоимость, умножив цену на количество.

На других уроках решаются простые задачи на нахождение цены, количества по известным двум другим величинам. Для работы у доски учителю очень удобна опорная схема

При ознакомлении с задачами данного вида учителю сразу следует начинать приучать учащихся к разбору от вопроса к числовым данным, используя графическую схему. В задаче 1 таблицы это выглядит так

Запись решения таких вначале выполняется по действиям с пояснениями, а после по указанию учителя.

При закреплении решения этих задач полезно показать и другой способ их решения (через коэффициент пропорциональности - термин учащимся не сообщается). Для закрепления далее постепенно вводятся аналогичные задачи с другими величинами. Используются различные ранее рассмотренные нами приемы закрепления.

Пропорциональное деление

деление какой-либо величины в данном отношении. Если данная величина есть a , a отношение есть n , то надо разделить a на две части x и (а-х ) так, чтобы отношение x к (a-x ) равнялось бы n. Выразив это уравнением и решив его относительно x , получим:

x = an /(1 + n ).

К числу вопросов о пропорциональном делении относятся две известные геометрические задачи: найти длину x , среднепропорциональную двум данным длинам a и b ; разделить данную длину в крайнем и среднем отношении. Построения, с помощью которых получаются решения этих и подобных задач, приводятся в начальных учебниках геометрии.


Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Пропорциональное деление" в других словарях:

    Правило товарищества, арифметич. способ деления числа на части, пропорциональные данным числам; находит частое применение при делении прибыли между товарищами пропорционально (соответственно) внесенным ими в предприятие капиталам или… …

    - (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка

    ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением … Толковый словарь Ушакова

    История науки … Википедия

    Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия

    Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

    История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

    Петров (Иван) русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 году в крестьянской крепостной семье в Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В… … Биографический словарь

    Русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 г. в крестьянской крепостной семье, Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В возрасте 11 лет… …

    Феноменальный счетчик, родился в 1823 году в дер. Рагозино Кологривского у. Костромской губ.; родители его были крепостными крестьянами помещицы Волтатис. Несмотря на свою неграмотность, П. еще в самом раннем возрасте поражал своими способностями … Большая биографическая энциклопедия

Книги

  • Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
  • Арифметика , Киселев А.. Целые числа. О делимости чисел. Измерения величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины. Вниманиючитателей…
  • Арифметика. Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины , Киселев А.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…

1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.

2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.

Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.

2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.

3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:

4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.

Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно