• Симметрия в природе.

  • "Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство"

  • Герман Веель

Симметрия в природе.

    Симметрией обладают не только геометрические фигуры или вещи, сделанные рукой человека, но и многие творения природы (бабочки, стрекозы, листья, морские звезды, снежинки и т. д.). Особенно разнообразны свойства симметрии кристаллов... Одни из них более симметричны, другие — менее. Долгое время ученые-кристаллографы не могли описать всех видов симметрии кристаллов. Решил эту задачу в 1890 г. русский ученый Е. С Федоров. Он доказал, что есть ровно 230 групп, переводящих в себя кристаллические решетки. Это открытие значительно облегчило кристаллографам изучение видов кристаллов, которые могут существовать в природе. Следует, однако, заметить, что многообразие кристаллов в природе настолько велико, что даже использование группового подхода не дало еще способа описать все возможные формы кристаллов.


Симметрия в природе.

    Очень широко используется теория групп симметрии в квантовой физике. Уравнения, которыми описывается поведение электронов в атоме (так называемое волновое уравнение Шредингера), уже при небольшом числе электронов настолько сложны, что непосредственное решение их практически невозможно. Однако, используя свойства симметрии атома (неизменность электромагнитного поля ядра при поворотах и симметриях, возможность некоторых электронов между собой, т.е. симметричное расположение этих электронов в атоме и т.д.), удается исследовать их решения, не решая уравнений. Вообще, использование теории групп является мощным математическим методом исследования и учета симметрии явлений природы.


Симметрия в живой природе.


Зеркальная симметрия в природе.


Золотое сечение.

    ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — теоретически термин сформирован в эпоху Возрождения и обозначает строго определенное математическое соотношение пропорций, при котором одна из двух составных частей во столько же раз больше другой, во сколько сама меньше целого. Художники и теоретики прошлого нередко считали золотое сечение идеальным (абсолютным) выражением пропорциональности, на деле же эстетическое значение этого «непреложного закона» ограниченно в силу известной неуравновешенности горизонтального и вертикального направлений. В практике изобразительного искусства 3. с. редко применяется в его абсолютной, неизменной форме; большое значение имеют здесь характер и мера отклонений от абстрактной математической пропорциональности.


Золотое сечение в природе

  • Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

  • Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

  • Рис.1. Спираль Архимеда.



Принципы формообразования в природе.

    В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.


Золотое сечение в природе


Симметрия в искусстве.

  • В искусстве симметрия 1 играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия. Термин "симметрия" в разные исторические эпохи использовался для обозначения разных понятий.

  • Симметрия - соразмерность, правильность в расположении частей целого.

    • Для греков симметрия означала соразмерность. Считалось, что две величины являются соразмерными, если существует третья величина, на которую эти две величины делятся без остатка. Здание (или статуя) считалось симметричным, если оно имело какую-то легко различимую часть, такую, что размеры всех остальных частей получались умножением этой части на целые числа, и таким образом исходная часть служила видимым и понятным модулем.


Золотое сечение в искусстве.

    Искусствоведы дружно утверждают, что на живописном полотне существуют четыре точки повышенного внимания. Располагаются они по углам четырехугольника, и зависят от пропорций подрамника. Считается, что какими бы ни были масштабы и размеры холста, все четыре точки обусловлены золотым сечением. Все четыре точки (их называют зрительными центрами) расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев Полагают, что это матрица композиции любого произведения изобразительного искусства.

    Вот, к примеру, поступившая в 1785 г. в Государственный Эрмитаж из Академии наук камея «Суд Париса». (Она украшает кубок Петра I.) Итальянские камнерезы не раз повторяли этот сюжет на камеях, инталиях и резных раковинах. В каталоге можно прочитать, что изобразительным прототипом послужила гравюра Маркантонио Раймонди по утраченному произведению Рафаэля.


Золотое сечение в искусстве.

  • И действительно, одна из четырех точек золотого сечения приходится на золотое яблоко в руке Париса. А если точнее, то на точку соединения яблока с ладонью.

  • Предположим, Раймонди сознательно высчитывал эту точку. Но вряд ли можно поверить, что и скандинавский мастер середины VIII века сначала сделал «золотые» вычисления, и по их результату задал пропорции бронзовому Одину.

  • Очевидно, это произошло бессознательно, то есть интуитивно. А если так, значит, золотое сечение не нуждается в том, чтобы мастер (художник или ремесленник) сознательно поклонялся «золоту». Достаточно, чтобы он поклонялся красоте.

  • Рис.2.

  • Поющий Один из Старой Ладоги.

  • Бронза. Середина VIII века.

  • Высота 5,4 см. ГЭ, № 2551/2.



Золотое сечение в искусстве.

  • «Явление Христа народу» Александра Иванова. Явственный эффект приближение Мессии к людям возникает из-за того, что он уже прошел точку золотого сечения (перекрестье оранжевых линий) и сейчас входит в ту точку, которую мы будем называть точкой серебряного сечения (это отрезок, деленный на число π, или отрезок минус отрезок, деленный на число π).


«Явление Христа народу».


    Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них. Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.


Золотое сечение в работах Леонардо да Винчи.

  • А при анализе трех портретов Работы Леонардо да Винчи оказывается, что у них практически идентичная композиция. И построена она не на золотом сечении, а на √2, горизонтальная линия которого на каждой из трех работ проходит через кончик носа.


Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"

    На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.


Золотая спираль в картине Рафаэля"Избиение младенцев"

    В отличии от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру"Избиение младенцев".

    На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.


Золотое сечение в архитектуре.

    Как указывает Г.И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон у места расположения монументальных ворот при входе в город (пропилеи) отношения массива скалы у храма также соответствует золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

  • Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях ее частей золотое сечение. Если принять за единицу ширины торцовый фасад храма, то получим прогрессию, состоящую из восьми членов ряда: 1: j: j 2: j 3: j 4: j 5: j 6: j 7, где j =1,618 .


Золотое сечение в литературе.


Симметрия в повести «Собачье сердце»


Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение

    Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

    Начнем с величины стихотворения, то есть количества строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А.С. Пушкина с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).


Золотое сечение в стихотворении А.С. Пушкина.

  • Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник":


Золотые пропорции в литературе.

  • Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права..." состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк.


Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №37 Ростовской области

2 слайд

Описание слайда:

Задачи Симметрия относительно точки Симметрия относительно прямой Математика и симметрия Треугольник Паскаля Чудеса треугольника Симметрия многогранников Симметрия и биология Типы симметрий Двусторонняя (билатеральная)симметрия Аксиальная симметрия Сферическая симметрия Симметрия в химии Симметрия кристаллов Симметрия в физике Симметрия в истории Симметрия в музыке Симметрия в искусстве Симметрия в архитектуре Симметрия и уфология Влияние симметрии на двигательную функцию животных Пирамиды Итог работы

3 слайд

Описание слайда:

1.Изучить понятие симметрии. 2.Рассмотреть примеры осевой и центральной симметрии из мира растений и животных. 3.Cделать вывод о том, какое значение имеет симметрия в жизни растений и животных.

4 слайд

Описание слайда:

«Симметрия – есть идея, с помощью которой, человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.» (Герман Вейль)

5 слайд

Описание слайда:

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) – это преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки O.

6 слайд

Описание слайда:

Симметрия относительно прямой (осевая симметрия) – это преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой a.

7 слайд

Описание слайда:

Многочлен от x и y называют симметричным, если он не изменяется при замене x на y, а y на x . Приведём важнейшие примеры симметричных многочленов. Как известно из арифметики, при перестановке мест слагаемых сумма не меняется: x + y = y + x Теория симметрических многочленов очень проста и позволяет решать многие алгебраические задачи: решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители, решение систем алгебраических уравнений, и т. д. С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приёмом.

8 слайд

Описание слайда:

Всем известны простые формулы (a + b)2= a2+2ab + b2 (a + b)3 = a3+3a2b+3ab2+ в Таблица позволяет находить коэффициенты в формуле (а+b) . Устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.

9 слайд

Описание слайда:

Рассмотрите треугольник, построенный "относительно" числа 7, то есть, числа, не делящиеся на 7 без остатка, нарисованы черным цветом, делящиеся – белым. Попробуйте увидеть закономерности.

10 слайд

Описание слайда:

В приведенном рисунке красный цвет показывает четности числа, зеленый - делимости числа на 9, а синий – делимости числа на 11 .

11 слайд

Описание слайда:

Серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников. Вершины + Грани - Рёбра = 2.

12 слайд

Описание слайда:

Благодаря симметричности, в листьях происходит равномерный процесс фотосинтеза и образования органических веществ. Листья многих растений обладают свойством симметричности относительно центральной жилки. При нарушении симметрии листьев растение не в состоянии полноценно развиваться, в результате чего происходит отмирание этих листьев.

13 слайд

Описание слайда:

1) двусторонняя (билатеральная)симметрия; 2) сферическая симметрия; 3) аксиальная симметрия; 4) трансляционная симметрия; 5) триаксиальная асимметрия;

14 слайд

Описание слайда:

Билатеральная симметрия - схожесть или полная идентичность левой и правой половин тела. При этом, допускаются несущественные отличия во внешнем строении и отличия в расположении внутренних органов. Например, сердце у млекопитающих только одно, но размещено несимметрично, со смещением влево. Мозг человека поделен на две половины- два полушария, плотно прилегающие друг к другу, и каждое полушарие почти точное зеркальное отображение другого. Однако физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая и левая сторона равноценны во всех отношениях. Очень немногие люди одинаково хорошо владеют обеими руками. Например, женщины более склонны к леворукости, чем мужчины. У них хорошо развита интуиция, за которую отвечает правое полушарие, но слабее пространственная функция. Среди мужчин много композиторов, художников, что говорит о развитии левого полушария.

15 слайд

Описание слайда:

В случае несимметричного развития животного поворот в одну из сторон был бы для него затруднен и естественным для животного стало бы не прямолинейное, а круговое движение. Хождение же по кругу рано или поздно закончится трагически для животного. Жук - навозник Жук - усач

16 слайд

Описание слайда:

Это симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси. В биологии об аксиальной симметрии идёт речь, когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются в прямой. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе. Такая симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих.

17 слайд

Описание слайда:

Сферический - шарообразный, шаровидный. Сферическая симметрия – это симметрия в шарообразных телах.

18 слайд

Описание слайда:

Симметрия в химии Проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами.

19 слайд

Описание слайда:

Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии.

20 слайд

Описание слайда:

Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, построенной по принципу комплементарности.

21 слайд

Описание слайда:

Молекула воды имеет симметричную V-образную форму, так как два небольших атома водорода располагаются с одной стороны от сравнительно крупного атома кислорода. Это сильно отличает молекулу воды от линейных молекул, например Н2Ве, в которой все атомы располагаются цепочкой. Именно такое странное расположение атомов в молекуле воды и позволяет ей иметь множество необычных свойств. Если внимательно рассмотреть геометрические параметры молекулы воды, то в ней обнаруживается определенная гармония. Чтобы увидеть ее, построим равнобедренный треугольник Н-О-Н с протонами в основании и кислородом в вершине. Такой треугольник схематично копирует структуру молекулы воды.

22 слайд

Описание слайда:

В ней есть симметрия, которая играет основную роль в попытках всестороннего объяснения физического мира, и асимметрия, наделяющая эту молекулу возможностью движения и связью с золотой пропорцией. "Золотой треугольник". Соотношение его сторон OA:AB = OB:AB =0,618, угол при верши не α = 108°. Исследователи золотой пропорции с античных времен до наших дней всегда восхищались и продолжают восхищаться ее свойствами, которые проявляются в строении различных элементов физического и биологического мира. Золотая пропорция обнаруживается везде, где соблюдены принципы гармонии.

23 слайд

Описание слайда:

24 слайд

Описание слайда:

подтвержденных впоследствии обширным экспериментальным материалом и оказавших большое влияние на развитие препаративной органической химии принцип утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция. Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д.

25 слайд

Описание слайда:

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали в штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные. Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали наглядные и запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но без особого труда представить его себе по названию.. Когда же минералогия превратилась в науку, было открыто великое множество пород и минералов. И при этом все чаще возникали трудности с изобретением для них наименований. Музеи пополнялись грандиозными коллекциями камней, которые становились уже необозримыми.

26 слайд

Описание слайда:

В 1850 г. французский физик Опост Браве (1811-1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц - атомов и молекул. Но Браве оперировал в своих представлениях крошечным «кирпичиком» кристалла и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких соотношениях его стороны могли находиться между собой.

27 слайд

Описание слайда:

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии, электрическое поле должно быть направлено по радиусу.

28 слайд

Описание слайда:

Биполярный мир: СССР и США Так называемая холодная война - состояние военно-политической конфронтации между СССР и его союзниками, с одной стороны, и США и их союзниками, с другой - эта биполярность, это равновесие сил гарантировали все послевоенные годы относительно мирное существование на Земле

29 слайд

Описание слайда:

1. Смена государственного устройства в Германии связана с циклом в 15-16 лет, в который укладываются создание Германской Империи в 1871, революция и республика в 1918, приход к власти Гитлера в 1933 и распад на ГДР и ФРГ в 1949, хотя 1886/87 и 1902/03 годы прошли для Германии относительно спокойно. 2. Важный цикл для США составляет 20 лет и связан с т. н. "проклятием Текумсе»: все президенты, избранные в годы, заканчивающиеся на ноль (начиная с избранного в 1840 году Генри Гаррисона, к которому изначально и было обращено проклятие), умирали на своём посту. Единственным исключением был пока Рональд Рейган, но на него было совершено покушение, он был ранен и выжил только чудом.

30 слайд

Описание слайда:

ДУША МУЗЫКИ И ПОЭЗИИ - РИТМ! В поэзии мы имеем дело диалектическим единством симметрии и асимметрии. «Душа музыки – ритм – состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения, - писал в 1908 году известный русский физик Г.В. Вульф. – Правильное же повторение одинаковых частей в целом и составляет сущность симметрии. Мы с тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т.е. получает пространственный геометрический образ, части которого мы можем обозревать». Он же писал: «Подобно музыкальным произведениям, могут быть симметричны и произведения словесные, в особенности стихотворения».

31 слайд

Описание слайда:

32 слайд

Описание слайда:

Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. РАФАЭЛЬ Сикстинская мадонна

33 слайд

Описание слайда:

Орнаментальность - первооснова народного декоративного искусства, а симметрия в ней - закономерность организации цветных рисунков.

34 слайд

Описание слайда:

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. С чем это связано? Во-первых, все мы с вами живем в симметричном мире, который обусловлен условиями жизни на планете Земля, прежде всего существующей здесь гравитацией. И, скорее всего, подсознательно человек понимает, что симметрия это форма устойчивости, а значит существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах он интуитивно стремится к симметрии. Во-вторых, окружающие человека люди, растения, животные и вещи симметричны. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что природные объекты (в отличие от рукотворных) только почти симметричны. Но это не всегда воспринимает глаз человека. Глаз человека привыкает видеть симметричные объекты. Они воспринимаются как гармоничные и совершенные.

«Движение в геометрии» - Математика красива и гармонична! Группа теоретиков. К каких науках применяется движение? Что называется движением? Как движение используется в различных сферах деятельности человека? Движение в геометрии. В какую фигуру при движении переходит отрезок, угол и др.? Можем ли мы видеть движение в природе?

«Орнамент» - Примеры русского орнамента. Виды орнамента. Плоскостной. Одной из разновидностей орнамента является сетчатый орнамент. в) С двух сторон полосы. Крестьянские избы украшались резным узором. Цвет в узоре имел особое значение. Осевая симметрия. б) На полосе. Поворот.

«Симметрия в природе» - Тема выбрана не случайно, ведь в следующем году нам предстоит начать изучение нового предмета – геометрии. Работу выполнили: Жаворонкова Таня Николаева Лера Руководитель: Артёменко Светлана Юрьевна. Мы занимаемся в школьном научном обществе потому, что любим познавать что-то новое и неизвестное. Учение о различных видах симметрии представляет большую и важную ветвь геометрии, тесно связанную со многими отраслями естествознания и техники, начиная от текстильного производства и кончая тонкими вопросами строения вещества.

«Точка симметрии» - Симметрия плоских фигур. Все твердые тела состоят из кристаллов. Кристаллы каменной соли, кварца, арагонита. Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Симметрия в архитектуре. Две точки А и А1 называются симметричными относительно О, если О середина отрезка АА1.

«Математическая симметрия» - Типы симметрии. Тайна зеркального мира. Симметрия в химии и физике. Например: действие – противодействие, материя – антиматерия, и т. д. и т. п. Осевая симметрия. ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ В МАТЕМАТИКЕ. Симметрия в биологии. Симметрия в химии. Палиндромы. Простейший пример проявления физической симметрии – действие равно противодействию.

«В мире симметрии» - Симметрия в природе Симметрия в технике Симметрия в архитектуре. Симметрия наблюдалась в строении живых организмов уже 500 млн. лет назад. В переводе с греческого термин "симметрия"- соразмерность (однородность, пропорциональность, гармония). Во всем ли в жизни должна быть симметрия? Зачем надо знать о симметрии, изучая технические науки?

Всего в теме 11 презентаций

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 55

СОВЕТСКОГО РАЙОНА ГОРОД ВОРОНЕЖ

Научно-исследовательская работа

на тему:

«Симметрия в жизни человека»

Выполнил ученик

8 «Б» класса:

Митин Алексей

Руководитель:

учитель математики

Беляева М.В.

Воронеж, 2015г.

Оглавление:


  1. Актуальность темы.

  2. Симметрия и её виды.

  3. Симметрия в искусстве.

    1. Архитектура;

    2. Живопись;

    3. Литература и музыка.

  4. Симметрия и техника.

  5. Симметрия в разных науках.

    1. Биология;

    2. Физика;

    3. Химия.

  6. Выводы.

  7. Используемая литература.

Актуальность темы.

В основе красоты многих форм лежит симметрия или её виды. Эта тема очень обширна и затрагивает помимо математики многие другие области наук, искусства, техники. Именно симметрия преобладает в природе над асимметрией. Представить или вспомнить какое-нибудь асимметричное животное сможет не каждый, ведь их не много и в основном это различные бактерии или простейшие организмы, а так же животные, которые получили свойство асимметрии из-за необходимости. Познание природы и жизни – первая задача человека. И одной из главных ступеней к этой цели является познание симметрии.

Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Герман Вейль

Цели исследования:


  • изучить понятия симметрии и её видов (центральная, осевая, поворотная, зеркальная и др.),

  • провести исследования по изучению явлений симметрии в биологии, физике, архитектуре, живописи, литературе, транспорте и технике;

  • приобретение навыков самостоятельной работы с большими объемами информации.

Симметрия и её виды.

Понятие симметрии начало складываться очень давно. Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Сейчас она широко используется во многих направлениях современной науки.

Симметрия – это соразмерность, пропорциональность в расположении частей чего-нибудь по обе стороны от центра.

На протяжении веков симметрия остается предметом, который очаровывает философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были совершенно одержимы ею – и даже сегодня мы, как правило, сталкиваемся с симметрией во всем от расположения мебели до стрижки волос.

Различают три основных вида симметрии: зеркальная, осевая и центральная. Так же есть скользящая, винтовая, точечная, поступательная, фрактальная и другие виды симметрии.

Осевая симметрия: две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки и перпендикулярна к нему. Каждая точка этой прямой считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Также говорят, что фигура обладает осевой симметрией. Классическими фигурами с такой симметрией будут круг, прямоугольник, ромб, квадрат, причём они будут иметь по несколько осей симметрии. Под осевой симметрией так же в естественных науках принимают вращательную или радиальную симметрию - форма симметрии, при которой фигура совпадает сама с собой при вращении объекта вокруг определённой прямой. Центром симметрии объекта называют прямую, на которой пересекаются все оси двусторонней симметрии. Радиальной симметрией обладают такие геометрические объекты, как круг, шар, цилиндр или конус.

Центральная симметрия: две точки A и A 1 называются симметричными относительно точки O, если O – середина отрезка AA 1 . Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки O также принадлежит этой фигуре. Точка O называется центром симметрии фигуры. Это означает, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих этой симметрией, будут окружность и параллелограмм. Центр симметрии окружности является центр этой окружности, а центром параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Самый простой пример, который я могу привести - растения, почти в любых растениях можно найти часть, обладающую центральной или осевой симметрией, но при этом сам цветок будет обладать центральной симметрии только в случае чётного количества лепестков.

Зеркальной симметрией называют такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей относительно этой плоскости α точку M 1. Когда мы смотрим в зеркало, мы наблюдаем в нём своё отражение – это пример «зеркальной» симметрии. Зеркальное отражение - это пример так называемого «ортогонального» преобразования, изменяющего ориентацию. Я думаю, отражение в реке также будет хорошим примером зеркальной симметрии. Эту симметрию так же называют в других науках билатеральной и двусторонней. Она особенно заметна в архитектуре, а так же в животном мире. Человек так же обладает ей и если мысленно провести линию по центру, то правая часть будет соответствовать левой.

Симметрия в искусстве.

Мы восхищаемся красотой окружающего мира и не задумываемся, что лежит в основе этой красоты. Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. Симметрия в искусстве играет огромную роль и почти не в одном архитектурном сооружении не обходится без неё.

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. В ней тесно связанны и строго уравновешены наука, техника, искусство. Люди всегда стремились достичь гармонии в архитектуре. Благодаря этому стремлению на свет появлялись всё новые изобретения, конструкции и стили. Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счёт хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура XX века» он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимность. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит, внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота. Зеркальной симметрии подчинены постройки Древнего Египта, амфитеатры, триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры. Симметрия сооружения связывается с организацией его функций. Проекция плоскости симметрии - ось здания - определяет обычно размещение главного входа и начало основных потоков движения. Школа, в которой я учусь, так же обладает этим типом симметрии.

В искусстве существует математическая теория живописи. Это теория перспективы. Перспектива - это учение о том, как передать на плоском листе бумаги ощущение глубины пространства, то есть передать окружающим мир таким, как мы его видим. Она основано на соблюдении нескольких законов. Законы перспективы заключаются в том, что чем дальше от нас находится предмет, тем он нам кажется меньше, совсем нечетким, на нем меньше деталей, основание его выше. Симметричная композиция легко воспринимается зрителем, сразу привлекая внимание к центру картины, в котором и находится то главное, относительно которого разворачивается действие. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

В музыке и литературе так же наблюдается симметрия и определённые пропорции. Например, во второй половине XIX века анализируя произведения Баха, Э.К. Розенов пришёл к выводу, что в них «господствуют закон золотого сечения и закон симметрии». В его исследовании золотое сечение рассматривается как условие соразмерности музыкального произведения, при этом золотое сечение должно решать три задачи: 1) Устанавливать соразмерное отношение между целым и его частями; 2) быть особым местом удовлетворения подготовленного ожидания по отношению к целому и его частям; 3) направлять внимание слушателя на те места музыкального произведения, которым автор придаёт наиболее большее значение в связи с основной идеей произведения. В работе М.А. Марутаева золотое сечение, на ряду с так называемыми качественной и нарушенной симметрией, расценивается как предпосылка гармонии к музыке. Работы, посвящённые исследованию золотого сечения в музыке, играют важную роль в постижении специфики музыкального искусства. Самый распространённый вид симметрии в музыке - это трансляционный вид. В этом случае музыкальная фраза, мелодия или более крупные отрывки музыкального произведения повторяются, оставаясь неизменными. Все песни, в которых припев повторяется несколько раз, будут иметь этот вид симметрии.

Пропорция и симметрия объекта всегда необходима нашему зрительному восприятию, для того чтобы мы могли считать этот объект красивым. Баланс и пропорция частей, относительно целого, обязательны для симметрии. Смотреть на симметричные изображения приятней, нежели на асимметричные. Трудно найти человека, не любовавшегося орнаментами. В них можно обнаружить затейливое сочетание разных типов симметрии.

Симметрия в технике.

Технические объекты – самолёты, автомашины, ракеты, молотки, гайки – практически все они от самых малых технических приборов до громадных ракет обладают той или иной симметрией и это не случайно. В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. Любой станок, машина, прибор, механизм, узел должны компоноваться вокруг установленной симметрии. На заре развития авиации наши знаменитые учёные Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин исследовали полёт птиц, чтобы сделать выводы относительно лучшей формы крыла и условий его полёта. Большую роль в этом сыграла, конечно, симметрия. Даже современные боевые истребители, такие как Су-27, МиГ-29 и Т-50 в основе своей спроектированы по законам симметрии.



Симметрия в разных науках.

Все представители животного царства – млекопитающие, птицы, рыбы, насекомые, черви, паукообразные и др. в своих внешних формах и строении своего скелета демонстрируют нам зеркальную симметрию, т. е. равенство правого и левого. Рассматривая любое из этих живых существ, мы можем мысленно провести через него вертикальную плоскость, относительно которой то, что расположено справа будет зеркальным отражением того, что расположено слева, и наоборот. Равенство это выполняется не с точностью до долей миллиметра, может быть, и не до миллиметра, но, тем не менее, с некоторой степенью приближения, зеркальная симметрия налицо. Зрительно мы воспринимаем живые организмы как симметричные. Под отражениями понимают любые зеркальные отражения - в точке, линии, плоскости. Воображаемая плоскость, которая делит фигуры на две зеркальные половины, называется плоскостью симметрии. Бабочка, лист растения – самые простые примеры фигур обладающих лишь одной плоскостью симметрии, делящей ее на две зеркально равные части. Поэтому данный вид симметрии в биологии называется двусторонней или билатеральной. Полагают, что такая симметрия связана с различиями движений организмов вверх - вниз, вперед - назад, тогда как их движения направо - налево совершенно одинаковы. Нарушение билатеральной симметрии неизбежно приводит к торможению движения одной из сторон и изменению поступательного движения. Поэтому не случайно активно подвижные животные двусторонне симметричны. Но такой вид симметрии встречается и у неподвижных организмов и их органов. Она возникает в этом случае вследствие неодинаковости условий, в которых находятся прикрепленная и свободная стороны. По-видимому, так объясняется билатеральность некоторых листьев, цветков и лучей коралловых полипов. Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Поворотная симметрия – это такая симметрия, при котором объект совмещается сам с собой при повороте на 360°/n. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы. Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой". Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Дальнейшие наши поиски были сосредоточены на центральной симметрии. Она наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, но мы остановились на ягодах: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки.

Симметрия – одно из фундаментальных понятий в современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных физических теорий. Симметрии, учитываемые в физике, довольно разнообразны, некоторые из них в современной физике считаются точными, другие – лишь приближёнными. В 1918 году немецкий математик Нётер доказала теорему, согласно которой каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Наличие этой теоремы позволяет проводить анализ физической системы на основе имеющихся данных о симметрии, которой эта система обладает. Из неё, например, следует, что симметричность уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии; симметричность относительно сдвигов в пространстве - к закону сохранения импульса; симметричность относительно вращений - к закону сохранения момента импульса. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях, которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией относительно данных преобразований.


Симметрия в физике

Преобразования

Соответствующая
инвариантность

Соответствующий закон
сохранения

↕ Трансляция времени

Однородность
времени

…энергии

⊠ С, Р, СР и Т - симметрии

Изотропность
времени

…чётности

↔Трансляции пространства

Однородность
пространства

…импульса

↺ Вращения пространства

Изотропность
пространства

…момента
импульса

⇆ Группа Лоренца

Относительность
Лоренц-инвариантность

…4-импульса

~ Калибровочное преобразование

Калибровочная инвариантность

…заряда

Суперсимметрия - гипотетическая симметрия, связывающая бозоны и фермионы в природе. Абстрактное преобразование суперсимметрии связывает бозонное и фермионное квантовые поля, так что они могут превращаться друг в друга. Образно можно сказать, что преобразование суперсимметрии может переводить вещество во взаимодействие (или в излучение), и наоборот. По состоянию на 2015 год суперсимметрия является физической гипотезой, не подтверждённой экспериментально. Совершенно точно установлено, что наш мир не является суперсимметричным в смысле точной симметрии, так как в любой суперсимметричной модели фермионы и бозоны, связанные суперсимметричным преобразованием, должны обладать одинаковыми массой, зарядом и другими квантовыми числами. Данное требование не выполняется для известных в природе частиц. Независимо от существования суперсимметрии в природе, математический аппарат суперсимметричных теорий оказывается полезным в самых различных областях физики. В частности, суперсимметричная квантовая механика позволяет находить точные решения весьма нетривиальных уравнений Шрёдингера. Суперсимметрия оказывается полезной в некоторых задачах статистической физики.

Симметрия в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул. Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. Обычный способ изображения молекул в органической химии - это структурные формулы. В 1810 году Д.Дальтон, желая показать своим слушателям как атомы, комбинируясь, образуют химические соединения, построил деревянные модели шаров и стержней. Эти модели оказались превосходным наглядным пособием. Молекула воды и водорода имеет плоскость симметрии. Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения.

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией. Кристалл - это твердое тело, имеющее естественную форму многогранника. Соль, лед, песок и т.д. состоят из кристаллов. Прежде всего, Ромэ-Делиль подчёркивал правильную геометрическую форму кристаллов исходя из закона постоянства углов между их гранями. Он писал: «К разряду кристаллов стали относить все тела минерального царства, для которых находили фигуру геометрического многогранника…» Правильная форма кристаллов возникает по двум причинам. Во-первых, кристаллы состоят из элементарных частичек - молекул, которые сами имеют правильную форму. Во-вторых, «такие молекулы имеют замечательное свойство соединяться между собой в симметричном порядке». Почему же так красивы и привлекательны кристаллы? Их физические и химические свойства определяются их геометрическим строением.

Вывод.

Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всём многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт ещё раз подчеркивает гармоничность нашего мира. Человеческое представление о красивом формируется под влиянием того, что человек видит в живой природе. В своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И человек в живописи, скульптуре, архитектуре, музыке применяет эти же принципы. Основополагающими принципами красоты при этом являются пропорции и симметрия. Без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому. Ведь это именно на симметрии основаны многие законы. Почти во всём, что нас окружает, есть та или иная симметрия. О ней можно говорить бесконечно. Симметрия, проявляясь в самых различных объектах природного мира, несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Поэтому изучение симметрии и сопоставление с результатами является удобным и надежным инструментом познания гармонии мира.

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель

Используемая литература.


  • ru.wikipedia.org

  • www.allbest.ru

  • www.900igr.net

  • Тарасов Л. В. Этот удивительный симметричный мир – М.: Просвещение, 1982.

  • Урманцев Ю.А. Симметрия в природе и природа симметрии – М.: Мысль, 1974.

  • Ожегов С.И. Словарь русского языка – М.: Рус. Яз., 1984.

  • Л.С. Атанасян Геометрия, 7-9 – М.: Просвещение, 2010.

  • Л.С. Атанасян Геометрия, 10-11 – М.: Просвещение, 2013.

  • Вейль Г. Симметрия. Перевод с английского Б.В. Бирюкова и Ю.А. Данилова – М.: Издательство «Наука», 1968.

Федеральное агенство по образованию

РЫБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВИАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ им. П.А. Соловьева

Факультет: СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Кафедра: физики

РЕФЕРАТ

по дисциплине:

«Концепции современного естествознания»

«Симметрия в естествознании»

Студент группы ЗКП-09 Большаков Д.Н.

Преподаватель: Гурьянов А.И.

Рыбинск 2009

Введение ………………………………………………………………….3

Понятие симметрии………………………………………………………5

Виды симметрии………………………………………………………….6

Симметрия кристаллов…………………………………………………...8

Симметрия пространства……………………………………………… 14

Симметрия времени…………………………………………………… 15

Заключение………………………………………………………………17

Список литературы……………………………………………………...18

Введение

Симметрия – это такая особенность природы, про которую принято говорить, что она охватывает все формы движения и организации материи. Истоки понятия симметрии восходят к древним. Наиболее важным открытием древних было осознание сходства и различия правого и левого. Здесь природными образцами им служили собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб.

Вот что написал русский исследователь, ученый ломоносовского склада, энциклопедист В.И. Вернадский в своей работе «Химическое строение биосферы Земли и ее окружения»: «…чувство симметрии и реальное стремление его выразить в быту и в жизни существовало в человечестве с палеолита или даже с эолита, то есть самых длительных периодов в доистории человечества, который длился для палеолита около полмиллиона лет, а для эолита – миллионы лет. Это чувство и связанная с ним работа, еще резко и интенсивно меняясь, сказывались и в неолите 25 000 лет тому назад».

Можно вспомнить также великолепные памятники архитектуры глубокой древности, где пространственные закономерности проявляются особенно ярко. Это храмы древнего Вавилона и пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре. Итак, с глубокой древности, начиная, по-видимому с неолита, человек постепенно осознал и пытался выразить в художественных образах тот факт, что в природе, кроме хаотического расположения одинаковых предметов или их частей, существуют некоторые пространственные закономерности. Они могут быть совсем простыми – последовательное повторение одного предмета, более сложными – повороты или отражения в зеркале. Для того, чтобы точно выразить эти закономерности, нужны были специальные термины. По преданию, их придумал Пифагор Регийский.

Термином «симметрия», что в буквальном смысле значит соразмерность (пропорциональность, однородность, гармония), Пифагор Регийский обозначил пространственную закономерность в расположении одинаковых частей фигуры или самих фигур. Симметрия может проявляться в перемещениях, поворотах или отражениях в зеркале.

Понятие симметрии

Симметрия – от греческого symmetria, что значит соразмерность – отражает универсальные взаимосвязи объектов мира, выражающиеся одновременно в соотношениях их тождества и различия.

Истоки представлений о симметрии своими глубокими корнями уходят в духовный мир народов Древнего Востока, Греции и Рима.

Одним из важных открытий современного естествознания является тот факт, что все многообразие окружающего нас физического мира связано с тем или иным нарушением определенных видов симметрий. Чтобы это утверждение стало более понятным, рассмотрим подробнее понятие симметрии. «Симметричное обозначает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия – тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», - писал Г. Вейль в своей книге «Этюды о симметрии». Он ссылается при этом не только на пространственные соотношения, т.е. геометрическую симметрию. Разновидностью симметрии он считает гармонию в музыке, указывающую на акустические приложения симметрии.

Зеркальная симметрия в геометрии относится к операциям отражения или вращения. Она достаточно широко встречается в природе. Наибольшей симметрией в природе обладают кристаллы (например, симметрия снежинок, природных кристаллов), однако не у всех из них наблюдается зеркальная симметрия. Известны так называемые оптически активные кристаллы, которые поворачивают плоскость поляризации падающего на них света. В общем случае симметрия выражает степень упорядоченности какой-либо системы или объекта. Например, круг более упорядочен и, следовательно, симметричен, чем квадрат. В свою очередь, квадрат более симметричен, чем прямоугольник. Другими словами, симметрия – это неизменность (инвариантность) каких-либо свойств и характеристик объекта по отношению к каким-либо преобразованиям (операциям) над ним. Например, окружность симметрична относительно любой прямой (оси симметрии), лежащей в ее плоскости и проходящей через центр, она симметрична и относительно центра. Операциями симметрии в данном случае будут зеркальное отражение относительно оси и вращение относительно центра окружности.

В широком смысле симметрия – это понятие, отображающее существующий в объективной действительности порядок, определенное равновесное состояние, относительную устойчивость, пропорциональность и соразмерность между частями целого. Противоположным понятием является понятие асимметрии, которое отражает существующее в объективном мире нарушение порядка, равновесия, относительной устойчивости, пропорциональности и соразмерности между отдельными частями целого, связанное с изменением, развитием и организационной перестройкой. Уже отсюда следует, что асимметрия может рассматриваться как источник развития, эволюции, образования нового. Симметрия может быть не только геометрической. Различают геометрическую и динамическую формы симметрии (и, соответственно, асимметрии). К геометрической форме симметрии (внешние симметрии) относятся свойства пространства – времени, такие как однородность пространства и времени, изотропность пространства, эквивалентность инерциальных систем отсчета и т.д.

К динамической форме относятся симметрии , выражающие свойства физических взаимодействий, например, симметрии электрического заряда, симметрии спина и т.п. (внутренние симметрии). Современная физика, однако, раскрывает возможность сведения всех симметрий к геометрическим симметриям.

Виды симметрии

В отличие от искусства или техники, красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается. Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. К числу таких образов относятся некоторые кристаллы, многие растения.

В конформной (круговой) симметрии главным преобразованием является инверсия относительно сферы. Для простоты возьмём круг радиуса R с центром в точке O. Инверсия этого круга определяется как такое преобразование симметрии, которое любую точку P переводит в точку P", лежащую на продолжении радиуса, проходящего через точку P на расстоянии от центра:

Конформная симметрия обладает большой общностью. Все известные преобразования симметрии: зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии.

Главная особенность конформного преобразования состоит в том, что оно всегда сохраняет углы фигуры и сферу и всегда переходит в сферу другого радиуса.

Известно, что кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны.

Зеркальной симметрии . Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

Винтовая симметрия. В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т.е. совмещаемые со своим первоначальным положением после поворота на какой-либо угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси. Если данный угол поделить на 360 градусов - рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

Симметрия кристаллов

Твердые тела природы существуют в двух формах: аморфной и кристаллической. Аморфные тела представлены стеклами, смолами, пластмассами, к ним могут быть причислены также вар, битумы, воск и т.д. Кристаллические тела – большинство тел природы – пески, глины, базальты, граниты, металлы, большинство минералов природы и химических соединений. Часть из них может существовать в виде монокристаллов - тел с правильной геометрической огранкой (каменная соль, горный хрусталь, медный купорос и др.), значительная часть минералов природы - поликристаллические тела.

Результаты исследований свидетельствуют о том, что в основе структуры у аморфных тел и жидкостей лежит так называемый ближний порядок. Расположение частиц тела обнаруживает определенную тенденцию к упорядочению, тогда как структура кристаллических тел обусловлена наличием дальнего порядка. Расположение частиц тела геометрически упорядочено в пределах всего объема. Его принято отображать с помощью геометрической модели - кристаллической решетки.

Рассмотрение кристаллической структуры твердых тел убеждает, что можно произвольно выделить некоторый наименьший объем (элементарную ячейку), параллельными трансляциями которого можно получить весь кристалл. Таким образом, на первое место в структуре кристаллических тел мы поставим трансляционную симметрию.

В качестве примера рассмотрим простую элементарную ячейку (см. рис.4.2). Она определяется тремя векторами а, в, с элементарных трансляций и тремя углами a , b , g .

Рис.4.2. Задание элементарной ячейки

Другие свойства симметрии кристаллов отображаются с помощью так называемой решетки Браве.

Решётка Браве выявляет характерные элементы симметрии в расположении одинаковых и одинаково расположенных атомов. Именно этот геометрический образ характеризует симметрию кристаллов относительно операции зеркальной, осевой, центральной, зеркально-поворотной симметрий. Следует иметь в виду, что часто элемент ячейки представляется не одной решеткой Браве, а суперпозицией двух и более. Ниже (рис.4.3–4.9) представлены все возможные типы решеток Браве. Казалось бы, их может быть значительное множество. Однако это не так. Дело в том, что все операции симметрии должны быть совместны с операцией трансляционной симметрии, и это обстоятельство существенно сужает число возможных решеток, ограничивая их количество до 14 типов, объединенных в 7 пространственных групп (сингоний).

Наиболее существенным является то обстоятельство, что в кристаллах исключаются поворотные симметрии пятого порядка, а также поворотные симметрии порядка выше шестого. Исключение симметрии пятого порядка (пентагональной) представляет замечательный факт природы, который обсудим несколько позже.

Следствием симметрии кристаллов является анизотропия их свойств, другими словами, их асимметрия относительно разных направлений внутри кристалла. Поэтому все свойства кристаллов следует разделить на скалярные, которые не зависят от выбора направления, и векторные. К первым можно отнести теплоемкость, теплоту плавления, температуру плавления и т.д.; ко вторым – электропроводность, теплопроводность, механические, оптические, магнитные свойства. Мы видим, что симметрия тесно связана с асимметрией. Тела, более асимметричные по одному физическому свойств, могут оказаться более симметричными по другом.

Рис.4.3. Решетки кубической системы (a=b=c ; a = b = g =90 o):

а) простая; б) объемноцентрированная (ОЦК);

в) гранецентрированная (ГЦК)

Рис.4.4. Решетки тетрагональной системы (a=b ¹ c ; a = b = g =90 o):

а) простая; б) объемноцентрированная

Рис.4.5. Решетки ромбической системы (а ¹ b ¹ с , a = b = g =90 о): а) простая; б) ОЦК; в) ГЦК; г) базоцентрированная

Рис.4.6. Решетка ромбоэдрической системы

Рис.4.7. Решетки моноклинной системы (a ¹ b ¹ c ; a = g =90 o ¹b ):

а) простая; б) базоцентрированная

Рис.4.8. Решетка триклинной системы(a ¹ b ¹ c ; a ¹ b ¹ g ¹90 o)

Рис. 4.9. Решетка гексогональной системы (a=b ¹ c ; a = g =90 o ; b =120 0)

Естественно, возникает законный вопрос: какова же природа симметрии кристаллов? Закономерному расположению частиц в кристалле соответствует минимум энергии частиц, составляющих его, а, следовательно, и состояние устойчивого равновесия. Как известно, устойчивость в диалектике мироздания играет огромную роль, формируя конкретное состояние развивающегося мира. Аморфное состояние вещества является неустойчивым, метастабильным, оно обнаруживает тенденцию к переходу в кристаллическое состояние. Таким образом, симметрия кристаллов выступает как форма, в которой неживая природа выражает тенденцию к своему самосохранению посредством фактора структурности со свойствами симметрии.

Симметрия пространства

Представления о симметрии пространства связаны с непосредственным мироощущением человека, которое формирует представления об эквивалентности всех инерциальных систем отчета и эквивалентности направлений в пространстве. Симметрия пространства в житейских представлениях ассоциируется с его безграничностью, неисчерпаемостью, а реализуется она в форме однородности и в форме изотропности. Однородность пространства выражает инвариантность физических явлений и процессов относительно выбора места их наблюдения. Одинаковый физический эксперимент, поставленный в одинаковых условиях, но в разных лабораториях, приведет к тождественным результатам. Таким образом, однородность пространства предлагает физическую инвариантность процессов, явлений относительно пассивного или активного параллельного переноса системы отсчета. Эквивалентность всех точек пространства предполагает, что при преобразовании , где – вектор трансляции, механические свойства любой замкнутой механической системы остаются неизменными.

Пусть материальные точки с массами m 1 , m 2 , .... , m n составляют замкнутую механическую систему; – импульсы каждого из тел, составляющих эту систему; – силы, с которыми тела системы действуют на отдельное тело m 1 , m 2 и т.д. соответственно. Вследствие однородности пространства расстояния между телами системы , относительные скорости остаются неизменными при преобразовании, а, следовательно, остаются неизменными и внутренние силы . Именно поэтому , откуда и следует известный закон сохранения импульса для замкнутой механической системы:

Сохранение импульса – отображение однородности пространства. Другой аспект симметрии пространства связан с изотропностью пространства. Это фундаментальное свойство пространства выражается в эквивалентности всех направлений в нем. Действительно, мы наблюдаем системы двойных звезд, плоскости движения которых некоторым образом ориентированы относительно плоскости эклиптики, однако физические законы, действующие во всех случаях, одни и те же.

Представим себе однородное массивное сферическое тело. Его гравитационное поле будет обладать сферической симметрией. Любые возможности движения другой материальной частицы в нем описываются одним математическим аппаратом и характерной ситуацией для такой задачи является сохранение векторной величины , называемой моментом импульса. В этом выражении – радиус-вектор частицы относительно центрального тела, – ее импульс. Сохранение момента импульса является отображением изотропности пространства.

Симметрия времени

Симметрия пространства, пожалуй, наиболее противоречивая из всех возможных симметрий. Она отражает сложную логику взаимоотношений прошлого, настоящего, будущего. Эта симметрия определяет мотивацию нашей деятельности сегодня, определяет границы жизненности прошлого опыта и его переноса в настоящее, а также переноса настоящего в будущее. Она так же как и симметрия пространства имеет 2 аспекта. Первый из них - однородность времени - выражается в том, что один и тот же эксперимент, поставленный в разных исторических условиях, приводит к одному и тому же результату. Мы можем воспроизвести любой опыт Ньютона или Фарадея и воспроизвести их результаты. Физически такая возможность обусловлена фундаментальным законом движения материи – законом сохранения энергии. Другой аспект симметрии проявляется в симметрии законов развития процессов относительно инверсии времени t ®- t . Так, в задачах динамики, когда сила зависит только от относительных расстояний между телами системы, основное уравнение движения тела инвариантно относительно преобразования t ®- t . Именно это обстоятельство позволяет нам восстановить хронологию событий по известным документальным данным астрономических явлений: затмений Луны, Солнца, вспышек сверхновых звезд и т.д.

Другие примеры симметрии связаны, в частности, с волновым уравнением Даламбера

,

где j – параметр, определяющий волновой процесс (сдвиговое смещение, давление, мгновенное значение плотности в точке с координатой х в момент времени t ); – скорость процесса. Замена t на - t не влияет на характер процесса. Аналогичный случай – колебания упругой балки , где – коэффициент упругости. Но как показывает нам жизненный опыт, нет симметрии между прошлым и будущим, процессы, как правило, необратимы. Таким образом, симметрии времени сопутствует его асимметрия. Единство симметрии и асимметрии, их взаимопроникновение является всеобщим, универсальным.

Заключение

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира

Еще одним интересным проявлением симметрии жизненных процессов являются биологические ритмы (биоритмы), циклические колебания биологических процессов и их характеристик (сокращения сердца, дыхание, колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности, численности растений и животных), зачастую связанные с приспособлением организмов к геофизическим циклам. Исследованием биоритмов занимается особая наука - хронобиология.

Помимо симметрии существует также понятие ассиметрии:

Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.

Список литературы:

1. Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания.М.:”ЮНИТИ”,1997

2. «Симметрия в природе», И.И. Шафрановский, Ленинград «недра», 1985г.

3. «Кристаллы», М.П. Шаскольская, Москва «наука», 1978г.

4. Грядовой Д.И. Концепции современного естествознания. Структурный курс основ естествознания. – М.: Учпедгиз, 1999.

5. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания. – Новосибирск: ЮКЭА, 1997.

6. Концепции современного естествознания./ под ред. проф. С.А. Самыгина, 3-е изд. – Ростов н/Д: «Феникс», 2002.

7. Найдыш В.М. Концепции современного естествознания.- М.: АЛЬФА-М, ИНФРА-М.-2003

8. «Концепция современного естествознания» под ред. проф. Лаврененко. Москва, «Просвещение», 1997г.

9. Миронов А. В. «Концепции современного естествознания». – ПЗ Пресс, 2003.

10. Солопов «Концепция современного естествознания» Москва, «Владас», 1997-2002г.