Два куска одинаковой ткани стоят 360 рублей. В одном из них 5 метров, а в другом 4 метра. Сколько стоит каждый кусок ткани?
Составим краткую запись к задаче в виде таблицы.
Поскольку в задаче указана одинаковая ткань, значит, и цена у нее одинаковая.
Нужно узнать стоимость каждого куска ткани. Чтобы найти стоимость куска ткани, надо знать цену и количество метров ткани.
В данной задаче не известна цена ткани. Чтобы знать цену, нам нужно знать стоимость и количество ткани.
Мы знаем стоимость 2 кусков ткани - 360 р. И можем узнать, за сколько метров заплатили 360 р.
Решение
1. Сколько метров ткани было куплено на 360 р. (рис. 1)?
5 м 4 м
Рис. 1. Схема к задаче 1
5 + 4 = 9 (м)
2. Сколько стоит 1 м ткани?
360: 9 = 40 (р.)
3. Найдем стоимость каждого куска ткани, так как уже знаем количество ткани и стоимость 1 м.
40 * 5 = 200 (р.)
40 * 4 160 (р.)
Ответ: один кусок ткани стоит 200 рублей, другой кусок ткани - 160 рублей.
В одном мешке было 56 кг муки, а в другом - 24 кг муки. Эту муку расфасовали в 40 пакетов поровну. Сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка?
Составим краткую запись в виде таблицы.
В задаче сказано, что муку расфасовали поровну, значит, в каждом пакете одинаковое количество килограммов. Известно, что муку расфасовали в 40 пакетов.
Чтобы узнать, сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка, сначала нужно узнать массу одного пакета.
Чтобы узнать массу одного пакета, нужно знать массу всей муки и количество всех пакетов. Нам известно количество пакетов, и можем найти массу всей муки.
1. Какова масса всей муки (рис. 2)?
56 кг 24 кг
Рис. 2. Схема к задаче 2
56 + 24 = 80 (кг)
2. Сколько муки в 1 пакете?
80: 40 = 2 (кг)
В одном пакете 2 кг муки, а в мешке 56 кг.
3. Сколько пакетов необходимо для расфасовки 56 кг муки?
56: 2 = 28 (пак.)
4. Сколько пакетов муки необходимо для расфасовки 24 кг муки?
24: 2 = 12 (пак.)
Ответ: потребовалось 28 пакетов для расфасовки муки из одного мешка, и 12 пакетов - из другого мешка.
Сравним краткую запись двух задач для их решения.
В первой задаче дана общая стоимость всей ткани и первым действием мы нашли общее количество метров ткани, затем смогли найти стоимость одного метра ткани.
Во второй задаче было дано общее количество пакетов и первым действием мы нашли общую массу всей муки, затем смогли найти массу одного пакета.
Список литературы
- Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 4 класс. - М.: Просвещение, 2014.
- Моро М.И. Математика. 4 класс. Учебник в 2 частях. - М.: Просвещение, 2011.
- Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 частях. - М.: Ювента, 2013.
Дополнительные р екомендованные ссылки на ресурсы сети И нтернет
- Metodmat.narod.ru ().
- Tak-to-ent.net/ ().
- Mat-zadachi.ru ().
Д омашнее задание
- Детям купили игрушки: Оле 6 одинаковых стульев, а Кате 4 таких же стула. Все стулья стоили 500 р. Сколько стоит 1 стул?
- Две девочки зашли в магазин. Всего они купили 22 одинаковые конфеты. Одна девочка заплатила 60 рублей, а вторая - 72 рубля. Сколько конфет купила каждая девочка?
Цель
Решить задачи. Сделать выводы, ответив на вопросы.
Выполнение работы
Методические указания.
Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.
Для получения зачета необходимо решить все задачи и сделать выводы, если работа не зачтена, требуется взять ее на доработку и сдать на проверку снова.
Задача 1. Число 2 500 000, разделить прямо пропорционально ряду чисел: 35, 15 и 10.
Решение: Правило: При делении числа на части пропорционально одному ряду величин следует разделить это число на сумму этих величин и полученное частное (коэффициент пропорциональности) умножить на каждую из них.
Разделим 2 500 000 руб. пропорционально ряду чисел:
35, 15 и 10.
найдем их сумму 35+15+10=60
найдем коэффициент пропорциональности (число делим на сумму)
41 667*35=1 458 000 руб.
41 667*15=625 000 руб.
41 667*10=417 000 руб.
найдем прибыль каждого:
Ответ: 1 458 000, 625 000, 417 000.
Задача 2. Число 680 разделить обратно пропорционально числам 0,5 0,75 и .
Решение:
Чтобы разделить число обратно пропорционально ряду чисел, нужно числа заменить обратными (перевернуть). И разделить прямо пропорционально новому ряду чисел.
Найдем числа обратные денным: 0,5 = - обратное 2,
0,75 - 
- обратное , - обратное .
1) найдем сумму чисел: 
,
2) найдем коэффициент пропорциональности: 
.
3) найдем каждую часть
Ответ: 300, 200, 180.
Задача 3.
Дневная заработная плата трех рабочих бригады составила, 1000 руб, 1200 руб и 1250 руб. определите средний заработок по бригаде за 22 рабочих дня.
Решение: Среднее арифметическое: 
, применяется в том случае, если показатели встречаются по одному разу. Х – средняя величина, х 1 , х 2 , х 3, … - показатели, на которых выводится средняя величина, n
– число вариантов.
Найдем средний заработок за 1 день: 
.
Найдем средний заработок за 22 дня. руб.
Ответ: 25 520.
Среднее арифметическое взвешенное: применяется тогда, когда показатели, из которых выводится среднее значение, встречаются неодинаковое число раз. 
Т.е. Х – среднее арифметическое взвешенное, х 1 , х 2 , х 3 … - показатели, р 1 , р 2 , р 3, … - числа, показывающие, сколько раз повторяется каждый показатель.
Пример: При выполнении контрольной работы по математике были получены следующие результаты:
Оценка
Число повторений
Найдите средний бал за контрольную работу по математике.
.
Ответ: 3,17
Задача 4.. Чтобы сварить сироп, взяли 2кг сахара, 3,5 кг ягод и 4,5кг воды. Сколько процентов от массы сиропа составляет сахар?
Решение: Найдем массу сиропа: 2+3,5+4,5=10 кг. 10 кг – это 100%, 2 кг – это х%
Ответ: 20%.
Задачи для самостоятельного решения.
Вариант 1.
Задание 1. Число 580 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 0,2 и 0,7
Задание 2. Разделите число 800 обратно пропорционально числам 2, 0,2 и 0,4.
Задание 3. Купили 3 кг конфет по цене 300 рублей за килограмм, 5 кг - по 230 рублей; 6 кг - по 460 рублей и 8 к - по 160рублей определите среднюю стоимость килограмма конфет.
Задание 4. Решите задачу на проценты. Хлеб теряет при остывании 4% массы в результате испарения воды. Сколько килограмм воды испарится при остывании 12т. Хлеба
Вариант 2.
Задание 1. Число 440 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 0,3; 0,2 и 0,6
Задание 2. Разделите число 790 обратно пропорционально числам: 5; 0,8 и 0,4.
Задание 3. Ателье закупили 20м ситца по цене 40 рублей за метр, 15 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 12 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.
Задание 4. Решите задачу на проценты: Банк выплачивает 10% годовых. Какая сумма будет на счету через два года, если вкладчик вложил 10 000 рублей.
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант 3
Задание 1. Число 372 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 5, 0,4; 0,8
Задание 2. Разделите число2700 обратно пропорционально числам 2; 0,2 и 0,5
Задание 3. При выполнении контрольной работы были получены следующие результаты: оценку «5» получили трое учащихся, «4» – 12 человек; «3» - 20 человек, «2» - 3 человека. Найдите средний балл группы.
Задание 4. Решите задачу на проценты: Стоимость покупки вместе с доставкой 23000 руб. причем стоимость доставки составляет 15% от стоимости товара. Найдите стоимость товара.
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант 4
Задание 1. Число 1564 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 2, 0,8
Задание 1. Разделите число 462 обратно пропорционально числам: 2; 5; и 2,5
Задание 3. В аттестате ученика следующие результаты: шесть пятерок, две четверки и десять троек. Найдите средний балл аттестата.
Задание 4. Решите задачу на проценты: Цену билета в кинотеатре – 200 руб, повысили на 15%, но в связи с низкой посещаемостью новую цену снизили на 10%. На сколько рублей изменилась первоначальная цена
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант 5.
Задание 1. Число 1140 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 4 и 0,6
Задание2 Разделите число 600 обратно пропорционально числам: 2; 4; и 0,8
Задание 3. При испытании приборов в лаборатории, было установлено что прибор А работает без подзарядки 12 часов, прибор В – 11 часов, прибор С – 19 часов, прибор D – 8 часов, прибор F – 15 часов. Найдите среднюю продолжительность работы прибора.
Задание 4. Решите задачу на проценты: В первый день велосипедист проехал 32% пути, во второй в 1,5 раза больше чем в первый, а в третий оставшиеся 60 км. Найдите продолжительность маршрута.
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант 6.
Задание 1. Число 697 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 0,7 и 0,4
Задание 2. Разделите число 864 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,4
Задание 3. В бригаде 10 человек получают заработную плату 15000 рублей, 12 человек по 24000 рублей, 15 человек по 20000 рублей и 13 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.
Задание 4. Решите задачу на проценты. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант 7
Задание 1. Число 2725 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 7, 0,9 и 3
Задание 2. Разделите число 325 обратно пропорционально числам: 8; 0,8 и 4
Задание 3 Ученик, засекая время которое он тратит на дорогу от дома до техникума, получил следующие результаты: понедельник - 24 минуты, вторник – 25 минут, среда - 23 минуты, четверг – 20 минут, пятница – 25 минут. Определите, сколько времени в среднем тратится на путь?
Задание 4. Решите задачу на проценты. Клиент взял в банке кредит 300 000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант 8.
Задание 1. Число 325 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2; 4 и 0,5
Задание 2. Разделите число 2280 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,2
Задание 3. На оплату мобильной связи за месяц ушло: январь - 230 рублей; февраль – 200 рублей; март - 250 рублей; апрель – 200 рублей; май – 300 рублей; июнь – 600 рублей; июль – 100 рублей; август – 300 рублей; сентябрь – 220 рублей; октябрь – 200 рублей; ноябрь – 400 рублей; декабрь – 560 рублей. Определите сколько в среднем за месяц уходит на оплату мобильной связи
Задание 4. Решите задачу на проценты. Железнодорожный билет для взрослого стоит 840 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант9.
Задание 1. Число 732 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 0,6 и 1,5
Задание 2. Разделите число 1045 обратно пропорционально числам: 8; 10 и 0,2
Задание 3. Ателье для пошива детской одежды закупили 30м ситца по цене 40 рублей за метр, 25 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 40 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.
Задание 4. Решите задачу на проценты. В городе N живет 100000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Вариант 10.
Задание 1. Число 936 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 2,5 и 0,7
Задание2. Разделите число 910 обратно пропорционально числам: 0,1; 2 и 0,4
Задание 3. В бригаде 35 человек получают заработную плату 25000 рублей, 12 человек по 22000 рублей, 35 человек по 20000 рублей и 18 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.
Задание 4. Решите задачу на проценты. Килограмм товара стоил 64 рубля. После снижения цены он стал стоить 60 рублей. На сколько процентов снижена цена?
Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Что такое среднее арифметическое?
По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?
Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?
Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?
Какие три вида задач на проценты вы знаете?
Пропорциональное деление
деление какой-либо величины в данном отношении. Если данная величина есть a
, a отношение есть n
, то надо разделить a
на две части x
и (а-х
) так, чтобы отношение x
к (a-x
) равнялось бы n.
Выразив это уравнением и решив его относительно x
, получим: x
= an
/(1 + n
). К числу вопросов о пропорциональном делении относятся две известные геометрические задачи: найти длину x
, среднепропорциональную двум данным длинам a
и b
; разделить данную длину в крайнем и среднем отношении. Построения, с помощью которых получаются решения этих и подобных задач, приводятся в начальных учебниках геометрии.
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .
Смотреть что такое "Пропорциональное деление" в других словарях:
Правило товарищества, арифметич. способ деления числа на части, пропорциональные данным числам; находит частое применение при делении прибыли между товарищами пропорционально (соответственно) внесенным ими в предприятие капиталам или… …
- (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением … Толковый словарь Ушакова
История науки … Википедия
Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия
Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия
История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия
Петров (Иван) русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 году в крестьянской крепостной семье в Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В… … Биографический словарь
Русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 г. в крестьянской крепостной семье, Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В возрасте 11 лет… …
Феноменальный счетчик, родился в 1823 году в дер. Рагозино Кологривского у. Костромской губ.; родители его были крепостными крестьянами помещицы Волтатис. Несмотря на свою неграмотность, П. еще в самом раннем возрасте поражал своими способностями … Большая биографическая энциклопедия
Книги
- Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
- Арифметика , Киселев А.. Целые числа. О делимости чисел. Измерения величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины. Вниманиючитателей…
- Арифметика. Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины , Киселев А.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.
2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.
2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.
Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.
2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.
3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:
4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.
Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно
В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционально. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.
К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:
а). задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;
б). Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;
в). задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.
Остановимся на рассмотрении задач первого типа.
"За два куска одинаковой ткани в 5 м и 7 м заплатили 36 рублей.. Сколько стоит каждый кусок ткани?"
Составим таблицу:
Устанавливая зависимость между данными и искомыми, обращаем внимание на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.
Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани - в условиях она указана – и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:
Найдем число метров ткани в двух кусках.
Узнаем цену 1 м ткани.
Вычислим стоимость первого куска ткани.
Вычислим стоимость второго куска ткани.
|
1). 5+7=12 (м) 2).36:12=3 (руб.) 3).3*5= 15 (руб.) 4).3*7=21 (руб.) |
12 м ткани стоят 36 руб. 3 руб. стоит 1 м ткани 15 руб. стоит первый кусок ткани. 21 руб. стоит второй кусок ткани |
Проверка решения задачи: 15+21 = 36. Стоимость всей ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в условии.
Для проверки решения такой задачи можно использовать составление и решение обратной задачи. Следует иметь в виду, что обратная задача должна быть также задачей на пропорциональное деление.
§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.
По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей. Например:
“Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила за бумагу девочка и сколько мальчик?”
Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:
Решая эту задачу, можно пойти по такому пути:
1) узнать, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11-7=4);
2). узнать цену листа бумаги (12:4=3);
3). найти, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3*7=21);
4). сколько заплатила за 11 листов девочка (3*11=33).
При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33-21=12, что совпадает с данным из условия.
Или составляют задачу, обратную данной. Обратная задача должна быть задачей того же типа.
