Числовой интервал
Промежуток , открытый промежуток , интервал - множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a < x < b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .
В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток - все числа меньшие a и промежуток - все числа большие a .
Термин промежуток используется в составе сложных терминов:
- при интегрировании - промежуток интегрирования ,
- при уточнении корней уравнения - промежуток изоляции
- при определении сходимости степенных рядов - промежуток сходимости степенного ряда .
Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Числовой интервал" в других словарях:
От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия
Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия
Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия
ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий - Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия
Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
Среди числовых множеств, то есть множеств , объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки . Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.
В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.
Навигация по странице.
Виды числовых промежутков
Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:
- название числового промежутка,
- отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
- обозначение,
- и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.
Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).
Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.
Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч . Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.
Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa , где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a (в случае неравенства xa ).
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa , как (a, +∞) .
Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:
Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.
Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3
задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞)
. А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3
, не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x<2,3
, как и запись (−∞, 2,3)
, задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой
Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам . В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.
Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a
или x≥a
. Для них приняты обозначения (−∞, a]
и
. А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:
Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.
Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами
. Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a
Таблица числовых промежутков
Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:
- открытый числовой луч;
- числовой луч;
- интервал;
- полуинтервал.
Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков :
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Виды числовых промежутков
| Название | Изображение | Неравенство | Обозначение |
|---|---|---|---|
| Открытый луч | x > a | (a ; +∞) | |
| x < a | (-∞; a ) | ||
| Замкнутый луч | x ⩾ a | [a ; +∞) | |
| x ⩽ a | (-∞; a ] | ||
| Отрезок | a ⩽ x ⩽ b | [a ; b ] | |
| Интервал | a < x < b | (a ; b ) | |
| Полуинтервал | a < x ⩽ b | (a ; b ] | |
| a ⩽ x < b | [a ; b ) |
В таблице a и b - это граничные точки, а x - переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.
Граничная точка - это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие - закрашенным кругом.
Открытый и замкнутый луч
Открытый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.
Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а значит расположенных правее точки 2:
Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок - (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.
Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Замкнутый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.
Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x ⩾ 2 и x ⩽ 2 можно изобразить так:
Обозначаются данные замкнутые лучи так: , читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.
Отрезок
Отрезок - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 ⩽ x ⩽ 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.
Интервал и полуинтервал
Интервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 < x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Полуинтервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:
Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3), читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.
План урока
Дата ________ Урок №______
Тема Числовые промежутки.
Учебно-воспитательные задачи:
1.Ознакомить учащихся с записью решения неравенств с помощью промежутков.
2. Способствовать развитию мышления, речи учащихся, умения анализировать, обобщать, выделять главное, упрощать.
3. Воспитывать аккуратность, последовательность, самостоятельность, интерес к предмету.
Цель: Научить учащихся решению неравенств с помощью промежутков.
Наглядные пособия: книга, ноутбук.(презентация 91479 )
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Методы: Словесный, наглядный, практический.
Ход урока:
1. Организационный момент:
Приветствие учеников.
2.Проверка домашнего задания:
У доски
3. Этап усвоения новых знаний:
Промежутки на числовой (координатной) прямой.
Рассмотрим координатную прямую, в этот раз координатная прямая изображена без указания начала отсчета и величины единичного отрезка.
На координатной прямой отметили точку а . Все точки, расположенные правее, отмечены штриховкой- это числа большие числа а. Такое множество точек наз. открытым лучом и обозначают - символическая запись. Читается так: «От а до плюс бесконечности». Для любого числа х из этого множества верно неравенство xa
Дать учащимся возможность самим догадаться, как обозначают такой открытый лучи и какое неравенство будет верным для всех чисел, принадлежащих ему.
Проверка: такой открытый луч обозначают , знак читается «минус бесконечность»/ Для любого числа х из этого множества верно неравенствоxa.
Рассмотреть рисунки и сравнить их с предыдущими рисунками. В чем сходство. В чем отличие? Зачем точку, соответствующую точке а закрасили черным цветом?
Так на рисунке обозначают обычный луч. Для обозначения луча при записи используют квадратную скобку [a ;), (;a ].
Такие неравенства называются нестрогими в отличие от неравенств видаxa,xa которые называют строгими.
Определите, на каких рисунках изображены лучи, а на каких – открытые лучи, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и используя знаки неравенства). Слайд
На этом рисунке штриховкой отмечены точки(числа), расположенные между точками a и b. Такое множество точек называют интервалом и обозначают(а; b ) .Неравенство имеет вид axb
На этом рисунке изображен тот же интервал, но на этот раз к нему присоединили его концы, точки a и b. Такое множество называется отрезком , который обозначают . Неравенство имеет вид axb
Определите, на каких рисунках изображены отрезки, а на каких – интервалы, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и используя знаки неравенства). Слайд11
5. Закрепление:
Слайд 9-11
4.Работа по учебнику.
№ 990 устно,
№ 991-992 у доски «цепочкой»,
5. Самостоятельная работа
6. Итог урока:
А теперь давайте подведем итог нашей работы. Какие новые понятия вы узнали сегодня на уроке? Что обозначает не закрашенный (закрашенный) кружок на числовой прямой? Когда при обозначении числового промежутка пишутся круглые (квадратные) скобки?
Что сегодня на уроке вам показалось сложным? Есть ли вопросы по новому материалу?
Выставление отметок за урок.
7. Домашнее задание:
Выучить правила № 9 94-№995
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
7 класс Числовые промежутки Учитель математики: Бахвалова Г.С. Гимназия №52
Цели урока: 1.Ввести понятие числового промежутка; 2.Привить навыки изображения числовых промежутков на числовой прямой и умение их обозначать. 3.Развивать логическое мышление: анализировать, сравнивать. План урока: 1.Актуализация знаний: «Координатная ось». 2.Новая тема: «Числовые промежутки». 3.Обучающая самостоятельная работа. 4.Итоги урока.
Выполните задание: 1.Отметьте на числовой прямой точки с координатами: А(-2); В(5); О(0); С(5); D (-3).
Ответ: 1. А(-2); В(5); О(0); С(3); D (- 3). 0 А В С 1 0 D
Выполните задание: 2.Сравните числа: -2 и 5; 5 и 0; -2 и –3; 5 и 3; 0 и –2.
Ответ: -2 0; -2 > –3; 5 > 3; 0 > –2. Проверь себя
Выполните задание устно: 3.Какое из данных чисел на числовой прямой находится левее: -2 или 5; 5 или 0; -2 или –3; 5 или 3; 0 или –2. ВЫВОД: из двух чисел на числовой прямой меньшее число расположено левее, а большее – правее.
Отметим на координатной прямой точки с координатами – 3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше –3 и меньше 2 . Верно и обратное: если число х удовлетворяет условию – 3Слайд 9
Множество всех чисел, удовлетворяющих условию 3Слайд 10
Число х, удовлетворяющее условию -3 ≤х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит между точками с координатами –3 и 2, либо совпадает с одной из них. Множество таких чисел обозначают [-3;2]. - 3 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь
Число х, удовлетворяющее условию х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит левее точки с координатой 2, либо совпадает с ней. Множество таких чисел обозначают (-∞;2]. 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь
Число х, удовлетворяющее условию х >-3 , изображается точкой, которая либо лежит правее точки с координатой -3. Множество таких чисел о бозначают (-3; +∞). - 3 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь
3 5 3 5 3 5 3 5 5 -7 3
Самостоятельная работа ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 4 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ 3 ВЫБЕРИ ВАРИАНТ Помоги мне! А мне, а мне. Выбери меня! Ты ведь мне поможешь?
ВАРИАНТ 1 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). ; б). (-2; + ∞); в). [ 3;5) ; г).(- ∞ ;5 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку: а). [-1,5;6,5]; б).(3; + ∞); в). (- ∞ ;1]. 3 7 -5 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17). СПАСИБО!
ВАРИАНТ 2 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ - 3; 0) ; б). [ - 3 ; + ∞); в). (- 3; 0) ; г).(- ∞ ; 0) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел - 2 , 2 ; - 2 , 1 ; -1; 0; 0,5 ; 1; 8 , 9 принадлежат промежутку: а). (- 2 , 2 ; 8 , 9 ]; б).(- ∞ ;0 ] ; в). (1 ;+ ∞) . -5 6 3 7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). [ -1;17 ] . 2 Помоги мне!
ВАРИАНТ 3 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). (-0,44 ;5) ; б). (10 ; + ∞); в). [ 0 ; 13) ; г).(- ∞ ; -0,44 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 3 ; 1 ]; б).(- 3; 1); в) [- 3 ; 1) ; г). (- 3 ; 1 ]; . 7 20 -8 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17 ] . Спасибо, я очень рад!
ВАРИАНТ 4 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ -4 ; -0,29 ]; б). (- ∞ ;+ ∞); в). [ 1,7 ;5 ,9) ; г).(0,01;+ ∞) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 4 ; 3 ]; б).(-4 ; 3); в) [- 4 ; 3) ; г). (- 4 ; 3 ]; . -4 -1 -5 25 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). (-1;17 ] . -8 Молодец!
Вызываем тестовую программу Если у тебя остались свободные минуты,вызови тестовую программу, нажав на слово «ВЫЗЫВАЕМ» Домашняя работа Можно решить другой ВАРИАНТ
Домашняя работа 1). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они имели общие точки (2 примера). 2). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они не имели общих точек (2 примера). Завершение работы
СПАСИБО ЗА РАБОТУ!!!
