I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

Одним из понятий алгебры 7 класса являются числовые выражения. Они используются для решения задач. Что собой представляют числовые выражения и как их использовать?

Определение понятия

Какое выражение является числовым в алгебре? Так обозначают запись, составленную из цифр, скобок и знаков вычитания, умножения, деления, сложения.

Понятие числового выражения допустимо только в том случае, если запись несет смысловую нагрузку. К примеру, запись 4-) не является числовым выражением, так как она бессмысленна.

Примеры числовых выражений:

  • 25х13;
  • 32-4+8;
  • 12х(25-5).

Характеристики понятия

Числовое выражение имеет несколько свойств, которые используются в решении примеров и задач. Рассмотрим эти свойства подробнее. Для этого возьмем такой пример – 45+21-(6х2).

Значение

Так как числовое выражение содержит знаки различных арифметических действий, их можно выполнить и получить в результате какое-то число. Оно называется значением числового выражения. Как производится вычисление значений числового выражения? Оно соответствует правилам выполнения арифметических действий:

  • в выражениях без скобок выполняют действия, начиная с высших ступеней – умножение, деление, сложение, вычитание;
  • если имеется несколько одинаковых действий, их выполняют слева направо;
  • если есть скобки, сначала выполняют действия в них;
  • при вычислении дробей сначала выполняют действия в числителе и знаменателе, а затем числитель делят на знаменатель.

Применим эти правила к нашему примеру.

  • Сначала найдем значение в скобках: 6х2=12.
  • Затем произведем сложение: 45+21=66.
  • Последним действием найдем разность: 66-12=54.

Итак, число 54 будет являться значением выражения 45+21-(6х2).

Для того, чтобы правильно прочитать числовое выражение нужно определить, какое действие будет являться последним в подсчетах. В выражении 45+21-(6х2) последним действием было вычитание. Соответственно, называть это выражение нужно “разность”. Если бы вместо знака “-” стоял знак “+”, выражение называли бы суммой.

Если у выражения невозможно произвести подсчет значения, его называют не имеющим смысла. Например, смысла не имеет такое выражение: 12:(4-4). В скобках разность равна нулю. А по правилам математики на нуль делить нельзя. Значит, найти значение выражения невозможно.

Равенство

Так называют запись, в которой два числовых выражения разделены знаком “=”. Например, 45+21-(6х2)=66-12. Обе части записи равны числу 54, а значит, они равны друг другу. Такое равенство называют верным.

Если же написать 45+21-(6х2)=35+12, это равенство будет неверным. В левой части равенства значение выражения равно 54, а в правой – 57. эти числа не равны друг другу, значит, и равенство неверное.

Пример задачи

Для того, чтобы лучше понять тему, рассмотрим пример решения задачи. Как решить задачу числовым выражением?

Дано: две машины выезжают из одного пункта в другой. Они поедут по разным дорогам. Одной машине предстоит проехать 35 км., а другой – 42 км. Первая машина едет со скоростью 70 км/ч, а вторая – 84 км/ч Окажутся ли они в конечном пункте в одно и то же время?

Решение: нужно составить два числовых выражения, чтобы найти время в пути у каждой машины. Если они окажутся одинаковыми, значит, машины придут в конечный пункт одновременно. Для того, чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. 35 км:70 км/ч=0,5 ч. 42 км:84 км/ч=0,5 ч.

Итак, обе машины приехали в конечный пункт через полчаса.

Что мы узнали?

Из темы по алгебре, изучаемой в 7 классе, мы узнали, что числовое выражение – это запись из цифр и знаков арифметических действий. С помощью числовых выражений можно решать задачи. Если последним действием в числовом выражении было вычитание, то его называют “разность”. Если вместо знака “-” стоит знак “+”, выражение называется суммой.

Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются в решении задач. Изучим эту тему подробнее и рассмотрим пример решения задачи.

Определение понятия

Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:

  • 4а+5;
  • 6b-8;
  • 5с:6*(8+5).

Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .

Значение выражения

Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.

Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).

Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.

  • 5-3=2.
  • 8*3=24.
  • 14*2=28.
  • 24-28=-4.

Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.

Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1. Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5.

Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.

Тождественные выражения

Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными .
Пример тождественных выражений :
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.

Пример тождественного преобразования .
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

  • 4*5а=20а.
  • 4*14с=64с.
  • 20а+64с.

Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.

Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

Решение задач

Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?

Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.

  • (а+7)-5.
  • ((а+7)-5)*2=28.

Теперь решим полученное уравнение.

Петя загадал число 12.

Что мы узнали?

Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.

УРОК № 3. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения (22 часа)

Тема . Числовые выражения.

Цель. ввести понятия числового выражения, значения числового выражения; формировать умение находить значение числового выражения, выполняя действия над числами и используя скобки.

Ход урока.

    Организационный момент.

    Анализ диагностической работы.

    Актуализация опорных знаний.

Пример 1. Вычислите. (Устно).

а) 13 – 18,5 = –5,5; б) –19 + 21,3 = 2,3; в) –14 – 71,03 = –85,03;

г) 17 – (–21,3) = 38,3; д) – (–3 – 2,8) = 5,8; е) 3 ∙ 15 – 7 = 38;

ж) (15 – 2) ∙ (–3) = – 39; з) ; к) .

    Объяснение нового материала.

1. При решении многих задач приходится над заданными числами производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Определение . Числовые выражения – выражения, состоящие из чисел и знаков действий .

Но часто, прежде чем доводить до конца каждое из этих действий, удобно заранее указать порядок (план), следуя которому надо производить эти действия. Этот план сводится к тому, что по данным задачи с помощью чисел, знаков действий и скобок составляется числовое выражение.

2. Примеры числовых выражений:

3. Если в числовом выражении выполнить все указанные в нем действия, то в результате получим действительное число, про которое говорят, что оно равно данному числовому выражению и называется значением выражения .

Определение . Найти значение числового выражения – это значит выполнить все действия в нем.

Пример 2 . Найдите значение числового выражения:

4. Мы, конечно, предполагаем, что все действия возможно осуществить. Поясним эти слова. Всегда возможно произвести сложение, вычитание и умножение любых чисел. А вот делить числа одно на другое возможно, только если делитель не равен нулю: на нуль делить нельзя. Если в данном выражении на некотором его этапе требуется делить на нуль, то это требование неосуществимо. Такое выражение не имеет смысла.

Пример 3. Имеет ли смысл выражение:

Данные выражения не имеют смысла, т.к. при выполнении указанных в нем действий появляется необходимость делить на нуль.

5. Вспомним, как найти дробь от числа.

Определение. Чтобы найти дробь от числа, надо это число умножить на дробь.

Пример 4. Найдите от 34.

6. Вспомним, как найти число по его дроби.

Определение. Чтобы число по известной величине его дроби, надо поделить эту величину на данную дробь.

Пример 5. Найдите число, которого равны 45.

7. Вспомним, что такое процент.

Определение. Одна сотая часть любой величины или числа называются процентом.

8. Вспомним, как найти процент от данного числа?

Определение. Чтобы найти процент от данного числа, надо записать процент в виде дроби и умножить это число на дробь.

Пример 6. Найдите 8 % от числа 400.

2) 400 ∙ 0,08 = 32.

9. Вспомним, как найти число по его проценту?

Определение. Чтобы найти число по его проценту надо записать процент в виде дроби и разделить эту величину на дробь.

Пример 7. Найдите число, если 16 % этого числа равны 80,

    Формирование умений и навыков.

Уч.с.6 № 5(1стр).

Уч.с.6 № 6(1стр).

Уч.с.7 № 8. На пакете молока написано, что в молоке содержится 3,2% жира, 2,5% белка и 4,7% углеводов. Какое количество каждого из этих веществ содержится в стакане (200 г) молока?

Молоко – 200 г

Жир – ? г, 3,2%от всего

Белок – ? г, 2,5%от всего

Углеводы – ? г, 4,7%от всего

2) 200 ∙ 0,032 = 6,4 (г) – жиры;

4) 200 ∙ 0,025 = 5 (г) – белка;

6) 200 ∙ 0,047 = 9,4 (г) – углеводы. Ответ : 6,4 г, 5 г, 9,4 г.

4.Цена изделия сначала возросла на 20 %, а затем на столько же процентов снизилась. Как и на сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Решение.

1) ,

2) 1а 0 – 0,96а 0 = 0,04а 0 ;

3) 0,04 = 4%. Ответ : уменьшилась на 4%.

    Подведение итогов урока.

    Для чего в записи числового выражения присутствуют скобки?

    Когда числовое выражение имеет смысл? Приведите пример такого выражения.

    Когда числовое выражение не имеет смысла? Приведите пример такого выражения.

    Что называется значением числового выражения?

    Каков порядок выполнения действий при нахождении значения числового выражения?

    Как выразить 15% в виде обыкновенной и десятичной дроби?

    Домашнее задание. п. 1 (выучить теорию). № 5(2стр), 6(2стр), 10, 13(2,4), 15.

АЛГЕБРА
Уроки для 7 классов

Урок № 12

Тема. Выражения. Числовые выражения

Цель: систематизировать и обобщить знания о числовые и буквенные выражения, приобретенные учащимися в 5-6 классах.

Тип урока: систематизация и обобщение знаний.

Ход урока

И. Анализ тематической контрольной работы

О результатах предыдущего урока (тематическая контрольная работа № 1) ученики узнают к уроку (учитель может раздать тетради с тематической контрольной работы № 1); анализ тематической контрольной работы учащиеся сделали дома (получив разрешение работы в виде раздаточного материала), поэтому единственное, что может сделать учитель во время проверки тематической контрольной работы - выписать для каждого ученика те вопросы, над которыми надо поработать отдельно, и затем эти рекомендации в начале урока.

II . Организационный момент

Учитель инструктирует учащихся по направлениям дальнейшей работы (начинаем изучать новую тему «Выражения»), сообщает учащимся срок следующей тематической контрольной работы и напоминает, что подготовка к ней начинается уже на этом уроке - сообщает тему и цель урока.

III . Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Выполните действия: 1) 1,6 + 3,4; 2) 5 - 6,5; 3) 4,2 - 6,2; 4) 3 · ; 5) 18: ;6) (-4) · ; 7) (-20) · ; 8) 6: ; 9) 0,52.

2. Среди записей (см. ниже) один лишний. Найдите его и объясните, чего вы считаете его лишним:

1) 17 · 2 + 8; 2) (14,2 - 11,4) : 4; 3) 42 - ; 4) (42 - b ) · 0,4.

3. Рассмотрите записи. Установите порядок действий и выполните действия:
1) ; 2) ; 3) .

Какое противоречие с условием задачи вы получили? Почему?

IV . Систематизация и обобщение знаний

Вариант 1 . Фронтальная работа с учащимися

@ Теоретические сведения о числовые выражения, сообщаются ученикам в этой теме, в основном уже известные им. С понятиями «числовое выражение», «значение числового выражения» учащиеся встречались в курсе математики 5- 6 классов. Принципиально новым для них есть понятие числового выражения, что не имеет смысла. Это понятие будет использовано позже во время изучения выражений с переменными, не имеют смысла при некоторых значениях переменных.

Не лишним будет вспомнить о существовании 5-й арифметического действия (возведение в степень, с которым учащиеся познакомились еще в 5 классе) и о порядке выполнения действий в числовом выражении; не забываем про использование свойств действий в вычислениях значений числовых выражений.

Записи в конспектах учащихся могут иметь такой вид:

Конспект 3

Числовые выражения

1. Числовые выражения образуются из чисел, скобок и знаков действий.

Пример: 17 · 2 + 8, (14,2 - 11,4) · 4, - числовые выражения.

Замечания. Одно число также считают числовым выражением.

Пример: 7,5; 1 - числовые выражения.

2. Значение числового выражения - число, которое приобретается после выполнения всех

действий в числовом выражении

Пример: значением выражения 17 · 2 + 8 является число 42.

Замечания. Не для всех числовых выражений существует их значение; в этом случае говорят, что выражение не имеет смысла.

Пример: - числовое выражение, но во время выполнения действий имеем:

, что вычислить невозможно, поэтому выражение не имеет смысла

Вариант 2. Работа с опережающим домашним заданием

Учитывая условие опережающего домашнего задания, работу можно организовать так:

На доске записано таблицу, которую заполняем во время фронтальной работы или после самостоятельной работы учащихся, комментируя записи в тетрадях:

Известное

Неизвестно

После заполнения таблицы повторяем содержание известных понятий и, используя приемы работы с текстом, добиваемся сознательного восприятия содержания новых понятий.

В любом случае после проведенной работы выполняем записи в тетрадях (конспект 3).

V . Систематизация знаний, усвоение навыков

@ В системе упражнений основное внимание уделяем повторение алгоритмов действий с рациональными числами; использованию законов действий в ходе вычисления значений выражений и упражнения, в которых продолжается работа над формированием важного математического умение переходить от записи числового выражения или выражения с переменными к его формулировки с помощью слов и наоборот. Дополнительные задачи (№ 4* и 5*) предусматривают усвоение навыков составления числового выражения по определенным условиям.

Выполнение письменных упражнений

1. Найдите значения выражений:

1) ;

2) (-31,7: 63,4 - 23,4: (-1,7)) · (-2,4);

3) ;

4) .

2. Запишите числовое выражение и найдите значение каждого из них:

1) произведение суммы чисел 15 и -22 и числа 2,1;

2) доля разности чисел 10 и 6,4 и числа - 1,2;

3) доля числа 27 и произведения чисел - 0,06 и 0,5;

4) произведение суммы и разности чисел 2,7 и 0,3;

5) разность квадратов чисел 5 и - 9;

6) квадрат разности чисел 1,2 и - 0,8.

3. Используя термины «сумма», «разность», «произведение» и «доля», прочитайте выражение:

1) 8,5 - 7,3; 2) 4,7 · 12,3; 3) 65: 1,3; 4) 5,6 + 0,9; 5) 2 · 9,5 + 14;

6) (10 - 2,7) : 5; 7) 2,5 - (3,2 + 1,8); 8) 6,1 · (8,4: 4).

4. Имеют ли смысл выражения: 1) 6,3: (2,5 · 9 - 22,5); 2) (1 5 - 2,5 · 6 ) : 4,2?

5*. Используя три раза цифру 2, составьте выражение, значение которого равно: 1) 6; 2) 8; 3) 3; 4) 1.

6*. Составьте числовое выражение для решения задачи:

1) Из двух городов, расстояние между которыми 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Какое расстояние будет между ними через 3 часа после выхода, если известно, что скорость одного пешехода 4 км/ч., а второго 5 км/ч.?

2) Один рабочий изготавливает за час 7 деталей, а второй - 9 деталей. Сколько деталей они изготавливают вместе за 4 ч?

VI . Рефлексия. Контрольные вопросы

1. Приведите пример числового выражения и укажите, в каком порядке нужно выполнить действия, чтобы найти его значение?

2. Приведите пример числового выражения, что не имеет смысла.

3. Установите соответствие между элементами левого и правого столбиков.

1) 3 + 2; 1) сумма 3 и 2;

2) 3 - 2; 2) разница 3 и 2;

3) 3 - 2; 3) квадрат числа 3;

1) Длина прямоугольного участка 42 м, а ширина на 10 м меньше. Запишите выражение для нахождения площади участка.

2) Длина прямоугольного участка 42 м, а ширина най м меньше. Запишите

выражение для нахождения площади участка.