ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакочередующимся рядом называют числовой ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки.

Если первый член ряда положительный, то знакочередующийся ряд можно записать в виде:

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и общий член ряда стремится к нулю , то

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит абсолютной величины первого члена ряда;

Модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Построим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с четными индексами:

Поскольку любая скобка в этой сумме положительна, то последовательность возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:

Здесь также каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания из положительных чисел получаем число, меньше чем , т.е. для любого .

Итак, последовательность - возрастающая, ограниченная сверху, значит, она имеет конечный предел. Обозначим его через S , т.е. , причем .

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечетными индексами:

Согласно условию , поэтому

Таким образом, предел частичных сумм равен S как для сумм с четными индексами, так и для сумм с нечетными индексами.

Следовательно, а это значит, что ряд сходится и его сумма равна S .

Рассмотрим остаток ряда: Он также является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится и его сумма меньше абсолютной величины первого члена т.е.

ПРИМЕР. Пользуясь признаком Лейбница исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ. Выпишем члены ряда: и применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий этого признака:

Легко убедится, что с возрастанием n , члены ряда убывают по абсолютной величине и . Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд называют знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные числа.

Достаточный признак сходимости

Если ряд , составленный из абсолютных величин знакопеременного ряда, сходится, то ряд (1) тоже сходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим через - частичную сумму ряда (1). Выберем из этих слагаемых положительные члены и их сумму обозначим . Сумму оставшихся отрицательных членов, взятых по абсолютной величине, обозначим . Тогда .

Частичную сумму ряда (2) обозначим . По условию ряд (2) сходится, значит, имеет конечный предел , () причем .

Так как можно записать то и . Таким образом - возрастающие и ограниченные последовательности и, следовательно, они имеют предел, если . Тогда последовательность тоже имеет предел, а это значит, что ряд (1) сходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда, сходится.

Сходящийся знакопеременный ряд называют условно сходящимся , если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка следования его членов.

Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены этого ряда, что сумма ряда изменится. Более того, можно так переставить члены ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

ПРИМЕР . Исследовать на сходимость ряд .

Этот ряд знакопеременный, т.к. при различных значениях n может быть как положительным, так и отрицательным.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему первый признак сравнения.

Так как при любом n то для каждого слагаемого можно записать оценку: .

Таким образом, члены ряда из абсолютных величин не превосходят соответствующие члены сходящегося ряда . Согласно первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Из этого следует сходимость ряда с произвольными членами, т. е. ряд сходится абсолютно.

ПРИМЕР . Исследовать на сходимость ряд .

Запишем ряд в виде

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (1):

Это числовой ряд с положительными членами, общий член которого имеет вид . Обобщенный гармонический ряд расходится.

Таким образом, исследуемый ряд (1) не может быть абсолютно сходящимся. Проверим его на условную сходимость.

Так как ряд (1) знакочередующийся, то к нему применим признак Лейбница. Проверим два условия:

- члены ряда по модулю убывают, .

Следовательно, ряд (1) сходится условно.

Степенные ряды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Функциональным рядом называют выражение

члены которого являются функциями от x, определенными на некотором множестве X.

Если задать переменной числовое значение , то получится числовой ряд ,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Множество значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от переменной и определяется как

Например, ряд

сходится, если (члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ), и расходится, если .

Областью сходимости ряда служат два промежутка и .

Одним из видов функциональных рядов являются степенные ряды , которые записывают:

где - последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда; - центр области сходимости ряда.

Если степенной ряд принимает вид:

Рассмотрим свойства степенных рядов на примере ряда (*), т.к. любой степенной ряд общего вида легко преобразовать к виду (*) подстановкой .

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале , т.е. при всех x, удовлетворяющих условию .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию теоремы в точке степенной ряд сходится. Общий членсходящегосячислового ряда , в силу необходимого признака, стремится к нулю: , поэтому все члены ряда ограничены некоторым числом : . То есть

Представим степенной ряд в виде

и составим ряд из абсолютных величин его членов:

Сравним его с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии: . Этот ряд сходится, если и знаменатель прогрессии

В силу неравенств , члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , по первому признаку сравнения, ряд также сходится.

Мы показали, что при любом из интервала степенной ряд сходится, значит, ряд внутри этого интервала сходится абсолютно.

Следствие . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится при любом x , по модулю, большем, чем b , т.е. если

Таким образом, можно сказать, что для любого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R , что для всех x, по модулю меньших R () , ряд сходится абсолютно, а для всех x , по модулю больших R(), ряд расходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Радиусом сходимости степенного ряда называют такое число R, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится. Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание. Для степенного ряда областью сходимости служит интервал симметричный относительно точки . и запишем полученное неравенство в виде двойного неравенства:

1). Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.

2). Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны , где - сумма ряда.

3). Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия:

1. Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,

2.

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е.

Если в знакочередующемся ряде члены ряда монотонно убывают по абсолютным значениям и imU n =0 (nà∞), то ряд сходится.

Дано: U 1 >U 2 >U 3 >... ; imU n =0 (nà∞); U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +... , U i >0

Доказательство: S 2 n ¾ чётная частичная сумма:

S 2n =+U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +...-U 2n ;

S 2n =(U 1 -U 2)+(U 3 -U 4)+...+(U 2n-1 -U 2n);

S 2n >0 ¾ возрастает.

S 2n =U 1 -(U 2 -U 3)-(U 4 -U 5)-...-U 2n ; S 2n 0; imS 2n =S {nà∞}

imS 2n+1 {nà∞} = im(S 2n +U 2n+1)=S;

Чётные и нечётные суммы с одним пределом => ряд сходится.

1) Заметим, что S>0, т.е. знак суммы совпадает со знаком первого члена.

38. Абсол и условная сходимость.

О. Ряд вида (1)

наз знакочеред-ся.

Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).

Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.

О. Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся.

Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения

Рассм-м ряд - ряд из абсол значений величин

Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.

О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.

39. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует | a n +1 / a n |=L, то R=1/L= | a n / a n +1 |. (Док-во. Рассмотрим ряд a n x n . Применим к нему признак Даламбера. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.) Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x 0 =0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда a n x n есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд a n x n сходится при x=x 0 , то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Док-во 1)Так как числовой ряд a n x 0 n сходится, то a n x 0 n =0. Это означает, что числовая последовательность {a n x 0 n } ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) +…+…= a n x 0 n (x/x 0) 2 . Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |> x 1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

Следствие

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычесления неполной суммы ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда R n = S − S n будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

Источники

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. - Изд. 7-е, стереотипное. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. - С. 296.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Признак Лейбница" в других словарях:

    Признак Дирихле теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле. Содержание … Википедия

    Признак Дини признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из сходится к ней в смысле нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых… … Википедия

    Признак сравнения утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия

    Признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836. Пусть есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом … Википедия

    Признак сходимости рядов Фурье: если периодическая функция имеет ограниченную вариацию на отрезке, то её ряд Фурье сходится в каждой точке к числу; если при этом функция непрерывна на отрезке … Википедия

    - (признак Раабе Дюамеля) признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) и независимо Жан Мари Дюамелем. Содержание 1 Формулировка 2 Формул … Википедия

    Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Жозефом Бертраном. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

    Общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1812 году Карлом Гауссом, при исследовании сходимости гипергеометрического ряда. Формулировка Пусть дан ряд и ограниченная числовая последовательность. Тогда если… … Википедия

    Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей чувствительностью. Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория… … Википедия

    Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.

Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знаменателями.

Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующего ряда

образуют монотонно невозрастающую последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если

то ряд (4.32) сходится.

Доказательство. Мы имеем для любого

или, объединяя члены в группы (сумма содержит только конечное число слагаемых, и потому основные законы действий справедливы здесь без каких-либо ограничений),

На основании невозрастания последовательности абсолютных величин членов ряда во всех скобках стоят неотрицательные числа. Следовательно,

Поэтому частичные суммы ряда (4.32) с четными номерами составляют ограниченную последовательность.

С другой стороны, в силу той же монотонности

и поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами является неубывающей. Следовательно, эта последовательность имеет предел

Оба предела справа существуют, причем второй из них по условию равен нулю. Следовательно, существует и предел слева, и для него

Вместе с (4.35) это дает нам

что и требовалось.

Следствие. Для знакочередующегося ряда удовлетворяющего признаку сходимости Лейбница, остаток можно сверху оценить по абсолютной величине:

В самом деле, остаток можно рассматривать как сумму ряда

которая, как следует из доказанной теоремы, не превосходит по абсолютной величине своего первого члена, которым в данном случае является

Пример. В применении к ряду

признак Лейбница дает

что означает сходимость ряда. (Непосредственными выкладками эта сходимость была установлена в § 2.)

Мы видим, что признак сходимости Лейбница является довольно широким по применимости, весьма практичным и идеально чувствительным. Это не противоречит сказанному в конце § 5 главы 3: условная сходимость знакочередующегося ряда является «в среднем», если можно так выразиться, более широким фактом, чем сходимость ряда с положительными членами; поэтому и распознать ее оказывается в каком-то смысле легче.

Заметим, наконец, что признак Лейбница является не только достаточным, но и необходимым признаком сходимости для знакочередующихся рядов с монотонно убывающими членами: если то на основании необходимого признака сходимости из § 6 главы 2 ряд

сходиться не может.