Решение задач по теме: «Статистические характеристики. Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Алгебра-

7 класс

Исторические сведения

Среднее арифметическое, размах и мода находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.
Слово «статистика» происходит от латинского слова status, которое означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление
разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п.
Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Среднее арифметическое – частное от деления суммы всех чисел на количество слагаемых

Размах – разность между наибольшим и наименьшим числом этого ряда
Мода – это число, которое встречается в наборе чисел чаще всего
Медиана – упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Среднее арифметическое ,

размах и мода
находят применение в статистике – науке,
которая занимается получением,

обработкой и анализом

количественных данных о разнообразных

массовых явлениях, происходящих

в природе и

Обществе.

Задача № 1

Ряд чисел:
18 ; 13; 20; 40; 35.
Найдите средне арифметическое этого ряда:

Решение:
(18+13+20+40+35):5=25,5
Ответ: 25,5 –среднее арифметическое

Задача № 2

Ряд чисел:
35;16;28;5;79;54.

Найдите размах ряда:

Решение:

Самое большое число 79,
Самое маленькое число 5.
Размах ряда: 79 – 5 = 74.
Ответ: 74

Задача № 3

Ряд чисел:
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

Найдите размах ряда:

Решение:
Наибольший расход времени - 37 мин,
а наименьший – 18 мин.
Найдём размах ряда:
37 – 18 = 19 (мин)

Задача № 4

Ряд чисел:
65; 12; 48; 36; 7; 12
Найдите моду ряда:

Решение:

Мода данного ряда: 12.
Ответ: 12

Задача № 5

Ряд чисел может иметь более одной моды,
а может не иметь.

У ряда: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
две моды - 47 и 52.

У ряда: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – моды нет.

Задача № 5

Ряд чисел:
28; 17; 51; 13; 39
Найдите медиану этого ряда:

Решение:

Сначала поставить числа в порядке возрастания:
13; 17; 28; 39; 51.
Медиана – 28.
Ответ: 28

Задача № 6

В организации вели ежедневный учет поступивших в течение месяца писем.

В результате получили такой ряд данных:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое,

Каков практический смысл этих показаний?

Задача № 7

Записана стоимость (в рублях) пачки сливочного масла «Неженка» в магазинах микрорайона: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Решение.

Упорядочим данный набор чисел по возрастанию:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Так как число элементов ряда нечётное, то медиана – это

значение, занимающее середину числового ряда, то есть M = 31.

Вычислим среднее арифметическое этого набора чисел - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

М – m = 31 – 30 = 1

Творческих

Слепнев Павел

В курсе алгебры 7 класса в учебнике под редакцией Теляковского предлагается материал из статистики "Среднее арифметическое, размах и мода". Учащийся в своей работе предлагает примеры для рассмотрения этой темы, которые предложили его одноклассники.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МУ Отдел образования МО «Тарбагатайский район»

МБОУ «Заводская ООШ»

«Среднее арифметическое, размах и мода»

Выполнил: Слепнев Павел, ученик 7 класса

Научный руководитель:

Улаханова Марина Родионовна,

учитель математики

2012 год

Введение Стр. 3

Основная часть Стр.4-9

Теория вопроса Стр.4-6

Мини-проекты Стр.7-9

Заключение Стр.9

Список литературы Стр.10

Введение

Актуальность

В этом учебном году мы начали изучать два предмета: алгебру и геометрию. При изучении алгебры что-то мне знакомо из курса 5,6 классов, что-то мы изучаем более основательно и углубленно, многое узнаем нового. Вот новое для меня при изучении алгебры – это знакомство с некоторыми статистическими характеристиками: размах и мода. Со средним арифметическим мы встречались уже ранее. Еще интересным оказалось, что эти характеристики применяются не только на уроках математики, но и в жизни, на практике (в производстве, в сельском хозяйстве, в спорте и т.д.).

Постановка проблемы

Когда мы в классе на уроке решали задачи к этому пункту, то возникла идея составить самим задачи и подготовить к ним презентации, то есть как бы начать создавать свой задачник. Каждый придумывает задачу, делает к ней презентацию, как бы каждый работает над своим мини-проектом, а на уроке все вместе решаем, обсуждаем. Если допущены ошибки, то их исправляем. А в конце провести публичную защиту этих мини-проектов.

Цель моей работы: изучение статистики.

Задачи: начать разработку задачника по статистике в виде компьютерных презентаций.

Предмет исследования: статистика.

Объект исследования: статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Методы исследования:

Изучение литературы по данной теме.
Анализ данных.
Использование Интернет-ресурсов.
Использование программы Power Point.
Обобщение собранных материалов по данной теме.

Основная часть.

Теория вопроса

В ходе изучения раздела «Статистические характеристики» мы познакомились с такими понятиями: среднее арифметическое, размах, мода. Эти характеристики находят применение в статистике. Эта наука изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т.п.

“Статистика знает всё”, – утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе “Двенадцать стульев” и продолжали: “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок… Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..” Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status – состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий.

Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный).

А еще есть статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая.

В школьном курсе алгебры мы рассматриваем понятия и методы описательной статистики, которая занимается первичной обработкой информации и вычислением наиболее показательных числовых характеристик. По словам английского статистика Р. Фишера: “Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях”. Всю совокупность числовых данных, полученных в выборке можно (условно) заменить несколькими числовыми параметрами, некоторые из них мы уже рассматривали на уроках – это среднее арифметическое, размах, мода. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь определять эти статистические характеристики.

Статистические характеристики в наше время встречаются везде. Например, перепись населения. Благодаря этой переписи, государство узнает сколько нужно денег на строительство жилья, школ, больниц, сколько людей нуждаются в жилье, сколько детей в семье, количество безработных, уровень зарплаты и т.д. Результаты этой переписи сравнят с прошлой, посмотрят поднялась ли страна за это время или положение стало хуже, можно будет сравнить данные с результатами в других странах. В промышленности большое значение имеет мода. Например, товар, который имеет большой спрос - будут всегда продавать, а фабрики будут иметь большие деньги. И таких примеров множество.

Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Определение 1. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Пример: При изучении учебной нагрузки выделили группу из 12 учащихся 7 класса. Просили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и полученную сумму разделить

на 12: ==27.

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел но иногда полезно рассматривать и другие средние.

Определение 2. Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Пример: При анализе сведений о времени, затраченном учащимися на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут заинтересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Например, интересно знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что в нашем примере это число 25. говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа – менее трех раз.

В ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Мода-показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода - наиболее часто встречающийся заказ.

Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных. если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе, помимо средних значений, надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах.

Определение 3. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Пример: В рассмотренном выше примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 минут. Однако анализ проведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 минут, т.е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 минут, а наименьший – 18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 минут. Вот в этом случае рассматривается еще одна статистическая характеристика – размах. Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

Мини-проекты

А теперь хочу представить результаты нашей работы: мини-проекты для создания задачника по статистике.

Я работаю в салоне-магазине «Супер-авто» главным менеджером отдела продаж. Наш салон предоставлял автомобили для участия в игре «полный привод». В прошлом году на выставке-продаже наши машины имели успех! Результаты продаж следующие:

Продано машин в первый день	Продано машин во второй день	Продано машин в третий день	Продано машин в четвертый день	Продано машин в пятый день

Отделу продаж необходимо подвести итоги выставки:

Сколько в среднем продавалось машин в день?
Каков разброс количества машин за период выставки-продажи?
Сколько чаще всего продавалось машин в день?

Ответ: в среднем было продано по 150 машин в день, разброс количества проданных машин составил – 150, в день чаще всего продавалось 100 машин.

Я, Анастасия Волочкова, была приглашена в жюри на финал конкурса «Лёд и пламя». Конкурс проходил в городе Санкт –Петербурге. В финал вышли три пары самых сильных фигуристов: 1пара. Батуева Алина и Хлебодаров Кирилл, 2 пара. Селянская Юлия и Кушнарев Павел, 3пара. Заиграева Анастасия и Афанасьев Дмитрий. Жюри: Анастасия Волочкова, Елена Малышева, Алексей Далматов. Жюри выставили следующие оценки:

Найдите среднее арифметическое, размах моду в рядах оценок каждой пары.

Ответ:

Итоги	Среднее арифметическое	Размах	Мода
1 пара	5.43
2 пара	5.27
3 пара	5.23		нет

В этом году я побывала в г. Санкт-Петербург на соревнованиях по бальным танцам. В конкурсе принимали участие три красивые пары: Сушенцова Елена и Хлебодаров Кирилл, Батуева Алина и Слепнев Павел, Джаниашвили Виктория и Ткачев Валерий.

За выступления пары получили следующие оценки:

Найти среднюю оценку, размах и моду.

Ответ:

Пары	Среднее арифметическое	Размах	Мода
№1	4,42
№2	4,37
№3	4,37

Я директор магазина модной одежды и аксессуаров «Fashion». Магазин приносит хорошую прибыль. Показатели продаж за прошлый год:

915т.р.

1млн 150т.р.

1 млн.

980т.р.

2 млн.

3т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

950т.р.

3 млн.

100т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

750т.р.

2млн.

950т.р.

4 млн.

250т.р.

Первые 2-3 месяца прибыль доходила до 2 миллионов за месяц. Уже после прибыль возрастала до 4 миллионов. Самыми удачными месяцами были: декабрь и май. В мае в основном покупали платья для выпускных баллов, а в декабре для новогоднего торжества.

Вопрос моему главному бухгалтеру: каковы результаты нашей работы за год?

Ответ:

Среднее арифметическое	2 745 000 руб
Размах	4 158 500 руб
Мода	2 950 000 руб

Мы организовали тюнинг-мастерскую «Turbo». За первую неделю нашей работы мы заработали: в первый день – 120 000 $, во второй день – 350 000 $, в третий день – 99 000$, в четвертый день – 120 00$. Подсчитайте каков наш средний доход в день, коков разрыв между наибольшим и наименьшим заработком и какая сумма чаще повторяется?

Ответ: среднее арифметическое – 172 250 $, размах – 251 000 $, мода – 120 000 $.

Заключение

В заключении я хочу сказать, что мне нравится эта тема. Статистические характеристики очень удобны, их можно применять везде. В общем, они сравнивают, стремятся к прогрессу и помогают узнать мнение народа. В ходе работы над этой темой я познакомился с наукой статистикой, узнал некоторые понятия (среднее арифметическое, размах и мода), где эта наука может быть применима, расширил свои познания и в информатике. Я, думаю, что наши задачки как примеры для освоения этих понятий пригодятся и другим! Будем продолжать знакомство в этой наукой и создавать свои задачки!

Вот и закончилось мое путешествие в мир математики, информатики и статистики. Но я, думаю, что не последнее. Я еще многое хочу познать! Как сказал Галилео Галилей: «Природа формулирует свои законы языком математики». И я хочу овладеть этим языком!

Список литературы

Бунимович Е.А., Булычев В.А. « Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы», М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2005
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра, 7 класс», М: «Просвещение», 2009
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. « Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей», 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2005.

Рецензия

Предметом исследования учащегося является статистика.

Объектом исследования – статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Ученик для ознакомления с теорией вопроса изучил научные источники, Интернет-ресурсы.

Выбранная тема актуальна для учащегося, проявляющего интерес к математике, информатике, статистике. Для его возраста проанализирован достаточный материал, произведен отбор данных, обобщен. Учащийся достаточно владеет ИКТ.

Работа оформлена в соответствии с требованиями.

В конце исследования сделан вывод, представлен практический продукт: презентации задач по статистике. Радует, что человек так увлечен математикой.

Научный руководитель: Улаханова МР,

учитель математики

Начальный уровень

Статистика. Основные понятия и определения (2019)

Людмила Прокофьевна Калугина (или просто “Мымра”) в замечательном фильме «Служебный роман» поучала Новосельцева: «Статистика - это наука, она не терпит приблизительности». Чтобы не попасть под горячую руку строгой начальнице Калугиной (а заодно и запросто решать задания из ЕГЭ и ГИА с элементами статистики), постараемся разобраться с некоторыми понятиями статистики, которые могут пригодиться не только в тернистом пути покорения экзамена по ЕГЭ, но и просто в повседневной жизни.

Так что же такое Статистика и зачем она нужна? Слово «статистика» происходит от латинского слова «status» (статус), что означает «состояние и положение дел/вещей». Статистика занимается изучением количественной стороны массовых общественных явлений и процессов в числовой форме, выявляя особые закономерности. На сегодняшний день статистика применяется практически во всех сферах общественной жизни, начиная от моды, кулинарии, садоводства и заканчивая астрономией, экономикой, медициной.

Перво-наперво, при знакомстве со статистикой необходимо изучить основные статистические характеристики, применяемые для анализа данных. Ну вот, с этого и начнем!

Статистические характеристики

К основным статистическим характеристикам выборки данных (какая еще такая «выборка»!? Не пугайся, все под контролем, это непонятное слово лишь для запугивания, на самом деле, под словом «выборка» подразумевается просто данные, которые ты собираешься исследовать) относятся:

объем выборки,
размах выборки,
среднее арифметическое,
мода,
медиана,
частота,
относительная частота.

Стоп-стоп-стоп! Сколько новых слов! Давай обо всем по порядку.

Объем и Размах

Например, в таблице ниже приведен рост игроков сборной по футболу:

Данная выборка представлена элементами. Таким образом, объем выборки равен.

Размах представленной выборки составляет см.

Среднее арифметическое

Не очень понятно? Давай смотреть на наш пример .

Определите средний рост игроков.

Ну что, приступим? Мы уже разбирались, что; .

Можем сразу смело все подставлять в нашу формулу:

Таким образом, средний рост игрока сборной составляет см.

Ну или вот такой пример:

Ученикам 9 класса на неделю было задано решить как можно больше примеров из задачника. Количество примеров, решенных учениками за неделю, приведены ниже:

Найдите среднее количество решенных задач.

Итак, в таблице нам представлены данные по ученикам. Таким образом, . Ну что ж, найдем для начала сумму (общее количество) всех решенных задач двадцатью учениками:

Теперь можем смело приступать к расчету среднего арифметического решенных задач, зная, что, а:

Таким образом, в среднем ученики 9 класса решили по задач.

Вот еще один пример для закрепления.

Пример.

На рынке помидоры реализуются продавцами, причем цены за кг распределены следующим образом (в руб.): . Какова средняя цена килограмма помидоров на рынке?

Решение.

Итак, чему в данном примере равно? Все верно: семь продавцов предлагают семь цен, значит, ! . Ну вот, со всеми составляющими разобрались, теперь можем приступить к расчету средней цены:

Ну что, разобрался? Тогда посчитай самостоятельно среднее арифметическое в следующих выборках:

Ответы: .

Мода и медиана

Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:

Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке? Все верно, это число, так как два игрока имеют рост см; рост же остальных игроков не повторяется. Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?

Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») - отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Ключевое слово СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.

Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?

Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»! Наведем порядок в ряду? Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому). Вот, что у меня получилось:

Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке. Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить - сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное? Все верно - игроков, значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке. Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:

Ну вот, чисел у нас, значит, по краям остается по пять чисел, а рост см будет медианой в нашей выборке. Не так уж и сложно, правда?

А теперь разберем пример с нашими отчаянными ребятами из 9 класса, которые решали примеры в течение недели:

Готов искать в этом ряду моду и медиану?

Для начала, упорядочим этот ряд чисел (расположим от самого маленького числа к самому большому). Получился вот такой вот ряд:

Теперь можно смело определить моду в данной выборке. Какое число встречается чаще других? Все верно, ! Таким образом, мода в данной выборке равна.

Моду нашли, теперь можем приступать к нахождению медианы. Но прежде, ответь мне: каков объем рассматриваемой выборки? Посчитал? Все верно, объем выборки равен. А - это четное число. Таким образом, применяем определение медианы для ряда чисел с четным количеством элементов. То есть нам надо в нашем упорядоченном ряду найти среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Какие два числа располагаются посередине? Все верно, и!

Таким образом, медианой этого ряда будет среднее арифметическое чисел и:

- медиана рассматриваемой выборки.

Частота и относительная частота

То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.

Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:

Частота - это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост? Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом в нашей выборке равна. Сколько игроков имеет рост? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом в нашей выборке равна. Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:

Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки). То есть в нашем примере:

Перейдем к следующей характеристике - относительная частота.

Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем. Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:

А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.

Графическое изображение данных

Очень часто для наглядности данные представляются в виде диаграмм/графиков. Остановимся на рассмотрении основных из них:

столбчатая диаграмма,
круговая диаграмма,
гистограмма,
полигон

Столбчатая диаграмма

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят продемонстрировать динамику изменения данных во времени или распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Например, у нас есть вот такие данные об оценках написанной контрольной работы в одном классе:

Количество получивших такую оценку - это у нас и есть частота . Зная это, мы можем составить вот такую вот табличку:

Теперь мы можем построить наглядные столбчатые графики на основе такого показателя как частота (на горизонтальной оси отражены оценки на вертикальной оси откладываем количество учеников, получивших соответствующие оценки):

Или же можем построить соответствующий столбчатый график на основе относительной частоты:

Рассмотрим пример по типу задания В3 из ЕГЭ.

Пример.

На диаграмме показано распределение добычи нефти в странах мира (в тоннах) за 2011 год. Среди стран первое место по добыче нефти занимала Саудовская Аравия, седьмое место - Объединенные Арабские Эмираты. Какое место занимали США?

Ответ: третье.

Круговая диаграмма

Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой выборки удобно использовать круговые диаграммы.

По нашей табличке с относительными частотами распределения оценок в классе мы можем построить круговую диаграмму, разбив круг на секторы, пропорциональные относительным частотам.

Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом числе частей совокупности. В нашем случае, таких частей четыре (в соответствии с возможными оценками), поэтому применение такого типа диаграммы достаточно эффективно.

Рассмотрим пример по типу задания 18 из ГИА.

Пример.

На диаграмме показано распределение расходов семьи во время отдыха на море. Определите, на что семья потратила больше всего?

Ответ: проживание.

Полигон

Динамику изменения статистических данных во времени часто изображают с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами - соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном.

Вот, к примеру нам даны среднемесячные температуры воздуха в Москве.

Сделаем приведенные данные более наглядными - построим полигон.

На горизонтальной оси отражены месяцы, на вертикальной - температура. Строим соответствующие точки и соединяем их. Вот, что получилось:

Согласись, сразу стало наглядней!

Полигон, используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Вот построенный полигон на основе нашего примера с распределением оценок:

Рассмотрим типовое задание В3 из ЕГЭ.

Пример.

На рисунке жирными точками показана цена алюминия на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с по августа года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны алюминия в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена алюминия на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.

Ответ: .

Гистограмма

Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограммы. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота - частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольника выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Вот, к примеру, у нас есть следующие данные о росте игроков, вызванных в сборную:

Итак, нам дана частота (количество игроков с соответствующим ростом). Мы можем дополнить табличку, рассчитав относительную частоту:

Ну вот, теперь можем строить гистограммы. Сначала построим на основании частоты. Вот, что получилось:

А теперь на основании данных об относительной частоте:

Пример.

На выставку по инновационным технологиям приехали представители компаний. На диаграмме показано распределение этих компаний по количеству персонала. По горизонтали представлено количество сотрудников в компании, по вертикали - количество компаний, имеющих данное число сотрудников.

Какой процент составляют компании с общим числом сотрудников больше человек?

Ответ: .

Краткие итоги

Объем выборки - количество элементов в выборке.

Размах выборки - разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.

Среднее арифметическое ряда чисел - это частное от деления суммы этих чисел на их количество (объем выборки).

Мода ряда чисел - число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Медиана упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов - число, которое окажется посередине.

Медиана упорядоченного ряда чисел с четным числом членов - среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Частота - число повторений определенного значения параметра в выборке.

Относительная частота

Для наглядности удобно представлять данные в виде соответствующих диаграмм/графиков

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ.

Статистическая выборка - выбранное из всего числа объектов конкретное число объектов для исследования.

Объемом выборки - количество элементов, попавших в выборку.

Размах выборки - разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.

Или, размах выборки

Среднее арифметическое ряда чисел - это частное от деления суммы этих чисел на их количество

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.

Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.

Относительная частота - это отношение частоты к общему числу данных в ряду.

Цели: дать понятия, алгоритмы нахождения среднего арифметического и медианы, размаха и моды ряда чисел, показать значимость этой темы в практической деятельности человека; приобретение практических навыков выполнения этих заданий; повышение уровня математической подготовки, предъявляемой новыми стандартами.

вооружить учащихся системой знаний по теме "Определение вероятности событий, среднего арифметического и медианы набора чисел";
сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;
подготовить учащихся к сдаче ГИА;
сформировать навыки самостоятельной работы.

Ход урока

1. Теоретическая часть.

1). Нахождение вероятности событий.

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдают те или иные явления, проводят определенные эксперименты.

В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями , т. е. такими событиями, которые могут произойти или не произойти. Например, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, поражение мишени или промах при выстреле, выигрыш спортивной команды во встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат- все это случайные события.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей . Методы теории вероятностей применяются во многих областях знаний.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то, или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами.

Для того чтобы оценить вероятность интересующего нас события необходимо провести большое число опытов или наблюдений, и только после этого можно определить вероятность этого события.

Например, бросание игрального кубика. При бросании кубика шансы выпадения на его верхней грани каждого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика: выпадение 1,2,3,4,5, и 6 очков.

Исходы в этом опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Определение: отношение числа благоприятных исходов N (A) события A к числу всех равновозможных исходов N этого события называется вероятностью события A.

Схема нахождения вероятности события.

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует:

найти число N всех равновозможных исходов данного испытания;
найти количество N(A) тех благоприятных исходов испытания, в которых наступает событие А;
найти отношение N(A)/N; это и есть вероятность события A

Например: 1 . В коробке лежат 10 красных, 7 желтых и 3 синих шара. Какова вероятность, что взятый наугад шар окажется желтым?

Решение. Равновозможные исходы- (10+7+3)=20

Благоприятные исходы-7

2. В коробке лежит 5 черных шаров. Какое наименьшее число белых шаров нужно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки черный шар была не больше 0,15?

Решение: Пусть x-белые шары.

2) Определение и нахождение среднего арифметического и медианы ряда чисел.

Определение: средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Среднее арифметическое набора чисел x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 принято обозначать x.

Например, среднее арифметическое пяти чисел запишется так:

X = (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5)/5

Пример: найти среднюю оценку учащегося по математике, если за истекший период он получил: 3,4,4,5,3,2,4,3.

Решение: (3+4+4+5+3+2+4+3)/8=3,5

Определение: медианой называется число, разделяющее набор чисел на две части, равные по численности, так что с одной стороны от этого числа все значения больше медианы, а с другой меньше. Вместо "медиана" можно было бы сказать середина.

Схема нахождения медианы набора чисел:

Для нахождения медианы набора чисел следует:

упорядочить числовой набор (записать в порядке возрастания);
одновременно зачеркиваем "самое большое" и "самое маленькое" числа данного набора чисел до тех пор, пока не останется одно число или два числа;
если останется одно число, то оно и есть медиана (для нечетного набора чисел);
если останется два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел (для четного набора чисел).

Медиану принято обозначать буквой М.

Пример: найти медиану набора чисел: 9,3,1,5,7.

Решение: запишем числа в порядке возрастания: 1,3,5,7,9.

Вычеркнем 1 и 9, 3 и 7. Оставшееся число 5 и есть медиана. М=5

Пример: найти медиану набора чисел 2,3,3,5,7,10.

Решение: вычеркнем 2 и 10, 3 и 7. Для нахождения М нужно: (3+5)/2= 4. М=4

Определение и нахождение размаха и моды.

Определение: размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

Определение: модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.

Пример: На уроке физкультуры 14 школьников прыгали в высоту, а учитель записывал их результаты. Получился такой ряд данных (в см):

125, 110, 130, 125, 120, 130, 140, 125, 110, 130, 120, 125, 120, 125.

Найти медиану, размах и моду измерения.

Решение: выпишем все варианты измерения в порядке возрастания, разделяя пробелами группы одинаковых результатов:

110, 110, 120, 120, 120, 125, 125, 125, 125, 125, 130, 130, 130, 140.

Размах измерения равен 140-110=30.

125-встретилось наибольшее число раз, т. е. 5 раз; это мода измерения.

2. Практическая часть.

1). Задачи для самостоятельного решения на теорию вероятностей.

1. На 100 электрических лампочек в среднем приходится 4 бракованных. Какова вероятность, что взятая наугад лампочка окажется исправной? Ответ: 0,96.

2. На 400 компакт-дисков в среднем приходится 8 бракованных. Какова вероятность, что взятый наугад компакт-диск окажется исправным? Ответ: 0,98.

3. 17 точек из 50 покрашены в синий цвет, а 13 точек из оставшихся покрашены в оранжевый цвет. Какова вероятность того, что случайно выбранная точка окажется окрашенной? Ответ: 0,6.

4. Из слова "математика" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что выбранная буква встречается в этом слове только 1 раз? Ответ: 0,3.

5. Из слова "аттестация" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что выбранная буква окажется буквой "а"? Ответ: 0,2

6. Из 30девятиклассников 4 выбрали экзамен по физике, 12 - по обществознанию, 8- по иностранному языку, а остальные по литературе. Какова вероятность, что выбранный ученик будет сдавать экзамен по литературе. Ответ: 0,2.

7. Контрольная работа по математике состоит из 15 задач: 4 задачи по геометрии, 2 задачи по теории вероятностей, остальные по алгебре. Ученик ошибся в одной задаче. Какова вероятность, что ученик ошибся в задаче по алгебре? Ответ: 0,6.

8. На 1000 автомобилей, выпущенных в 2007-2009 г. г., 150 имеют дефект тормозной системы. Какова вероятность купить неисправную машину? Ответ: 0,15.

9. В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют: 3 гимнастки из России, 3 гимнастки из Украины и 4 гимнастки из Белоруссии. Порядок выступления определятся жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России. Ответ 0,3

10. На чемпионате по художественной гимнастике выступает 18 гимнасток, среди них 3 гимнастки из России, 2 гимнастки из Китая. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последней будет выступать гимнастка или из России, или из Китая? Ответ: 5/18.

11. Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию 1 дежурного. Какова вероятность того, что это будет мальчик? Ответ: 0,6.

12. Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут 2 решки? Ответ 0,25.

2) Задачи на нахождение среднего арифметического и медианы, размаха и моды набора чисел.

Фрезеровщики бригады затратили на обработку одной детали разное время (в мин.), представленное в виде ряда данных: 40; 37; 35; 36; 32; 42; 32; 38; 32. На сколько медиана этого набора отличается от среднего арифметического? Ответ: 0.

В саду посадили 5 саженцев яблони, высота которых в сантиметрах следующая: 168, 13, 156, 165, 144. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Ответ: 3, 8

Растущие в саду 6 деревьев груши дали урожай, масса которого (в кг) для каждого из деревьев следующая: 29, 35, 26, 28, 32, 36. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Ответ: 0,5

Время обслуживания кассиром каждого из нескольких покупателей магазина образовало следующий ряд данных: 2 мин. 42 сек., 3мин. 2 сек., 3 имн. 7сек., 2 мин. 54 сек., 2 мин. 48 сек. Найдите среднее значение и медиану этого ряда данных. Ответ: 2 мин. 55 сек., 2 мин. 54 сек.

Время между семью звонками, поступившими в службу такси образовало следующий ряд данных: 34 сек., 45 сек., 1 мин. 16 сек., 38 сек., 43 сек., 52 сек. Найдите среднее значение и медиану этого ряда данных. Ответ: 48 сек., 44 сек.

Литература: Мордкович, А. Г. ,И. М. Смирновой. Учебнок для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2009. - 164 с.

Макарычев Ю. Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Под ред. С. А. Теляковского - М.: Просвещение. - 2003.

Макарычев Ю. Н. , Миндюк Н. Г. Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. - 2004. - №5.

Макарычев Ю. Н. , Миндюк Н. Г. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. // Математика в школе. - 2004. - №7.

Мордкович А. Г, Семенов П. В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.

О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В. А. Болотов // Математика в школе - 2003. - №9.

Ткачева М. В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова. - М.: Просвещение, 2004.

Федосеев В. Н. Элементы теории вероятностей для 7-9 классов средней школы / Математика в школе. -2002, №3

Студенецкая В. Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7-9 классы, Волгоград, Учитель, 2009.

Дата проведения __________

Тема урока: Среднее арифметическое, размах и мода.

Цели урока: повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах и мода, формировать умение находить средние статистические характеристики различных рядов; развить логическое мышление, память и внимание; воспитать в детях исполнительность, дисциплинированность, усидчивость, аккуратность; развить в детях интерес к математике.

Ход урока

Организация класса

Повторение ( Уравнение и его корни)

Дайте определение уравнения с одной переменной.

Что называют корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение:

6х + 5 =23 -3х 2(х - 5) + 3х =11 -2х 3х - (х - 5) =14 -2х

Актуализация знаний повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах, мода и медиана.

Статистика - это наука, занимающаяся сбором, обработкой, анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Среднее арифметическое - это сумма всех чисел разделенная на их количество. (Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.)

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Слово статистика переводится с латинского языка status- состояние, положение вещей.

Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана.

Усвоение нового материала

Задание №1: 12 семиклассников попросили отметить время (в минутах) затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Сколько минут в среднем учащиеся потратили на выполнение домашнего задания?

Решение: 1) найдем среднее арифметическое:

2) найдем размах ряда: 37-18=19 (мин)

3) мода 25.

Задание №2: В городе Счастливом ежедневно измеряли в 18 00 температуру воздуха (в градусах Цельсия в течении 10 дней в результате чего была заполнена таблица:

Т ср = 0 С,

Размах = 25-13=12 0 С,

Задание №3: Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Решение: Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет: 33 – 2 = 31.

Задание №4: Найдите моду ряда распределения:

а) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (мода 23);

б) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (моды: 22 и 26);

в) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (моды нет).

Задание №5 : Найти среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Решение: 1) Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Решение упражнений

А) Найдите среднее арифметическое, медиану, размах и моду ряда чисел:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

Б) Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел.

В) В ряду чисел 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 одно число оказалось стертым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 14.

Г) Каждый из 24 участников соревнований по стрельбе произвел по десять выстрелов. Отмечая всякий раз число попаданий в цель, получили следующий ряд данных: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5. Найдите для этого ряда размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей.

Подведение итогов

Что такое среднее арифметическое? Мода? Медиана? Размах?

Домашнее задание:

№164(задание на повторение), стр36-39 читать

№167(а,б), №177, 179