Римляне приписывают изобретение монеты богам Сатурну, Янусу и царю Помпелию. Главного бога римлян именовали Юпитер, а его жену, покровительницу Земли, звали Юнона-мать, монна. Храмы Юноне были построены по всей Римской империи.
Согласно одной популярной версии, монеты получили свое название по тому, что Римский монетный двор располагался при храме Юноны в Риме, а саму Юнону величали либо Юноной Региной (правительницей), либо Юноной Монетой (провозвестницей).
По другой версии, главное заключалось в том, что на монетах, выпускавшихся в Риме и в провинциях, наиболее часто изображалась Юнона. А слово «монета» является уменьшительным от «монны», поскольку изображение Юноны на монете было обычно небольшим.
С течением времени изображение менялось, а слово «монета» приобретало другой смысл.
В конце I века н. э. на монетах появляется женская фигура, ничего не имеющая общего с Юноной. Это - безымянная покровительница монетного дела. По кругу надпись «Монета Августа». Изображение трех нифм, которые символизируют три монетных металла, появилось век спустя.
Уже в речах великого оратора Цицерона (106-43 гг. до н. э.), мы встречаем слово «монета» как в значении «деньги», так и в значении «монетная фабрика», «монетный двор». В ряде стран слово «монета» стало синонимом слова «деньги». Так, в английском языке money (деньги), monetary (денежный, валютный).
Имеется но крайней мере три версии происхождения слова «монета». Первая - от латинского слова monito, monition - «предвещение, предупреждение», что ряд ученых истолковывает как извещение о платеже. Вторая - от латинского глагола manea, monul, monetum- «советовать». Третья - от древневавилонской денежной единицы... мины, которая позже именовалась «ман» или «ратль».
Данные версии - только гипотезы, однако последняя кажется исследователям наиболее привлекательной, особенно когда выясняется, что ратль на самом деле имеет экономическое отношение к рублю.
Византийский историк Свида (X в.) переход слова «советовать» к названию чеканных монет объяснял следующим образом. В Ш веке до н. э., во время войны с греческим царем Пирром в Риме ощущалась острая нехватка денег. Обратившись за советом к богине Юноне, римляне получили от жрецов ее храма обнадеживающей ответ: «Война начата справедливо, поэтому недостатка в средствах у вас не будет».. В благодарность за удачное пророчество римляне стали почитать Юнону-Монету, иначе Советчицу. Сенат издал декрет, чтобы все чеканные деньги-монеты чеканились в храме Юноны как советчицы и помощницы в денежных затруднительных ситуациях.
В Римской республике первыми металлическими деньгами, заменившими скот, были бесформенные куски грубой меди определенной величины и с определенным весом. Такие куски меди до 12 фунтов весом часто находят в погребениях. По свидетельству древнеримского историка Плиния (23 - 79 гг.), в середине VI века до н. э. царь Сервий Туллий придал кускам меди для удобства определенную форму, удлиненную или квадратную, и выбил на них изображения быка, овцы, слона и других животных. Эта так называемая AES Signatum («эссигнатум») - литая бронзовая монета с изображением принималась на вес. Ее можно считать самой ранней римской монетой.
По мере надобности медные слитки разбивались на куски, более мелкие (доли). Обязанность следить за чеканкой монет в то время возлагалась на трех избираемых ежегодно должностных лиц монетных триумвиров. Каждый из них следил за чеканкой монет из одного какого-нибудь металла: медь, серебро, золото и отвечал за их качество. Триумвиры имели право ставить на монете свое имя в сокращенном виде. Это помогает установить точное время выпуска монеты.
Первая римская монета - асе - не чеканилась, а отливалась из меди в храме Юноны-монеты. Римский литой асе выглядел неуклюжим, грубым. Он мог вызвать у других государств язвительное замечание о дикости римлян.
Чтобы поднять престиж государства и в равной степени для удобства торговли решили приодеть и принарядить монету по греческой моде. В 269 году до н. э. был выпущен знаменитый денарий («десятка»): за денарий давали 10 ассов. Позже за денарий давали 16 ассов, но за ним сохранилось прежнее название.
Эта серебряная монета в 4,55 грамма (при содержании серебра в 97-98 %) изготавливалась при помощи техники чеканки. Один мастер зажимал в щипцах раскаленный слиток металла, находившийся на наковальне - нижнем штемпеле монеты, а другой ударял молотком по стержню - верхнему штемпелю.
Монеты, изготовленные с помощью таких нехитрых приспособлений, и до сего времени восхищают тонкостью работы, изяществом изображений.
На лицевой стороне денария, вычеканенного в I столетии до н. э. римским правительственным чиновником Титом Каризием, изображена голова богини Монеты, созданной, как и все прочие «божественные» обитатели неба и земли, воображением людей. На оборотной стороне монеты мы видим принадлежности для изготовления денег: щипцы, молоток, наковаленку.
Воспроизведение технических приспособлений подобного типа украшает и один из мраморных рельефов, хранящихся в Британском музее. Данный рельеф интересен и тем, что на нем сохранились портреты монетных мастеров - греческих рабов Филоника и Деметрия, отпущенных на волю римским патрицием Публием Лицинием.
Монетные мастера умело воплощали в металле свои замыслы. Например, крупная серебряная монета, выпущенная при римском императоре Галлиене (218 - весна 268 г.) Изображение на ее оборотной стороне выразительно передает могучую власть денег. Возле груд золота, серебра, меди величественно стоят богини Монеты (сразу три богини, сообразно металлам), и каждая держит весы и рог изобилия. Изящная композиция словно иллюстрирует загадку, которую предложил поэт Симфосий: Были мы прежде землей, сокрыты в подземных темнотах. Ныне же дал нам огонь другое имя и цену. Мы - теперь не земля, но за нас ты и землю получишь.
Правда, сами мастера-денежники в основном были безземельными бедняками. К ним, своим рядовым подопечным, богиня Монета не очень-то была милостива. Когда, доведенные до отчаяния, монетарии подняли в 271 году в Риме восстание, императорская гвардия жестоко расправилась с ними.
Судьба самого денария в какой-то степени символична для истории Древнего Рима. И в наше время динар - валюта ряда арабских стран, а также Сербии - напоминает об этой древней монете. В других европейских странах он, превратившись в пфенниг, пережил средние века.
Ранние золотые монеты - ауреусы (лат. aureus - « золотой») Рим начала чеканить в 222-205 годах до н. э. Но только при Цезаре ауреус превратился в основную золотую монету.
В период второй Пунической войны (218-201 гг. до н. э.) при Каннах римские легионы были наголову разбиты Ганнибалом. В стране началась всеобщая мобилизация сил, средств и «похудание» монет. Сенат принял решение сократить на одну треть содержание металла в дидрахмах (квадригат, 6,98 г золота) и в весившем к этому моменту 81,9 г ассе. Такая чрезвычайная мера была направлена на то, чтобы максимально использовать монетный металл, который имелся в распоряжении казны. Сенат постановил, чтобы в аэрариум (государственное хранилище металлов, используемых для чеканки монет и других ценностей) было сдано все золото, серебро и медь. В руках у частных лиц могло оставаться не более 1 фунта серебра и 5000 асров. Данное «утончение» монет не являлось прямым обманом. Просто государство превратило свои монеты в разновидность кредитных денег, и все римляне знали об этом.
В 146 году до н. э., когда завершились три Пунические войны, в Риме были восстановлены прежние денежные соотношения. Правда, денарий весил теперь 3,88, а асе - 34,9 грамма. Скорее всего, произошло изменение в стоимостных соотношениях золота и серебра. Подешевело золото, что привело к уменьшению веса серебряных монет. Одержав победу над Карфагеном, римляне присвоили его великие богатства, включая хранилища драгоценных металлов и рудники в Сардинии и Испании. Только в Сардинии месторождение Монтевеккио дало за время разработки римлянам не менее 1 млн. серебросодержащей руды.
В 122 году до н. э. в Риме начинается первый серьезный кризис денежного хозяйства. В огромных количествах на рынок выбрасывались субаэратные денарии. Через некоторое время никто не мог точно определить, какой суммой денег он располагает. В общую сумятицу внесли свой вклад фальшивомонетчики. Вот кто уж отвел свою творческую душу, изготовляя субаэрат. «Субаэрат» - лат. subaeratus - «с медью внутри» (стал с того времени термином для определения фальшивых монет). То время было самое безопасное для фальшивомонетчиков.
Вскоре вспыхнула так называемая Союзническая война (91-89 гг. до н. э.). Из всех восставших италиков наиболее решительна были настроены оски. На языке основ слово «Италия» звучало как «Вителиу». Это нашло отражение на монете, на которой изображен бык, прижавший к земле римскую волчицу и топчущий ее копытами. Бык - символ Италии, поскольку в корне этого названия слово со значением «бычок», «телок» («виттелиус»).
Во время этой войны римский сенат постановил, что каждый восьмой отчеканенный денарий должен быть субаэратным. Война закончилась поражением италийских племен, но италики получили равные с римлянами права.. В подтверждение этого на краях новых денариев появилась насечка. Это должно было вызывать большее доверие к денариям со стороны иностранных торговцев. Наряду с зубчатыми монетами, получившими название «серрат», лат. sewere - «пилить», чеканились и обычные полновесные монеты, Тацит, знаменитый историк Древнего Рима, в своем труде «Германия» пишет, что германцы предпочитали зубчатые монеты другим.
К сожалению, продолжался выпуск фальшивых монет. В 87 году до н. э. борьба между оптиматами (аристократическая партия сената) и популярами (противники господства сенатской аристократии, которые выступили за реформы в целях спасения политической системы) достигла своего апогея. Римская денежная система оказалась в тяжелом кризисе. Описывая эти события, автор предисловия к комедии «Казина» известного поэта Плавта (238-184 гг. до н. э.) так комментирует упадок театрального искусства: «Новые комедии, которые создаются в наши дни, еще хуже, чем новые деньги». Интересно, что именно в этот период появился строгий указ, который предписывал принимать любые деньги. Запрещалось даже проверять их на звук.
Известный историк и писатель Плиний (23-79) сообщает, что Марий Грацидиан-претор (председатель совета присяжных, одна из ступеней карьеры сенатора) в 87 году до н. э. издал эдикт, по которому учреждалась специальная государственная служба контроля за качеством монет. Каждый уличенный в том, что расплатился фальшивой монетой, подвергался наказанию. По свидетельству Цицерона, римляне восприняли эдикт с большим подъемом. Из эдикта следовало, что государство берет на себя замену «плохих» денег на «хорошие». Кровавая гражданская война между тем продолжалась. Когда в 83 году до н. э. Корнелий Сулла, ненавидимый популярами вождь оптиматов, захватил Рим, по его приказу было убито около 10 тыс. сторонников популяров, Сулла не оставил камня на камне от подарка, сделанного римлянам претором Марием Грацидианом - стабильности монеты.
По приказу Суллы снова в силу вступил закон, по которому все деньги, изготовленные в государственных монетных мастерских, обязаны были приниматься к платежу.
После недолгого правления Суллы опять вспыхнули гражданские войны. Некоторое время спустя после гражданской войны против Помпея властелином Рима стал Гаи Юлии Цезарь (100-44 гг. до н. э.). Этот древнеримский государственный деятель и полководец занимал должности военного трибуна, эдила, претора, диктатора, консула. С 45 года до н. э., стал фактически монархом, сосредоточив в своих руках всю государственную власть. На римской монете появляется профиль Цезаря. Впервые в истории Рима на монете имеется изображение здравствующего политического деятеля. На оборотной стороне монеты фигура женщины. Это богиня Венера. Цезарь и весь его род, род Юлиев, считали ее прародительницей. Став диктатором, Цезарь переименовал посвященный Венере месяц в «юлиус». Он так и поныне называется у всех европейских народов и у нас - июль.
При Юлии Цезаре монетное производство превратилось в самостоятельную отрасль хозяйства. Администрация отвечала за чеканку и полноценность золотых и серебряных монет, а сена - медных. В дальнейшем и медные монеты были поставлены под контроль государственной администрации. Монетное дело возглавлял прокурор, подчинявшийся министру финансов - рационибусу. Монетное производство могло быть предметом откупа. Качество денег мог снижать сам фиск (государственная казна) за счет уменьшения пробы металла. Вот почему обмен монет, а тем более прием складов требовал высокой квалификации и опыта, особенно в Римской империи, где процветали фальшивомонетчики всех степеней и рангов. «Арбитр изящества», древнеримский писатель Петроний писал: «А чье, по-вашему, ... самое трудное занятие, после литературы? По-моему, Лекаря и менялы... Меняла же сквозь серебро медь видит».
Важные задачи, которые стояли перед государством, должны были оправдывать различного рода манипуляции с деньгами. Пустая государственная казна служила причиной того, что императоры прибегали к нечистоплотным инфляционным трюкам. Количество золота или серебра, необходимое для изготовления монет, просто-напросто «растягивали» за счет добавления других металлов, чеканили больше монет.
15 марта 44 года до н. э. страшная весть облетела Рим: Цезарь убит приверженцами партии сената. Обнищавшие крестьяне, ремесленники, имеющие право голоса, возмущены. Именно они становятся опорой нового правительства - триумвирата: Марка Антонин, Октавиана и Лепила.
После смерти Цезаря изобилию денег в Риме наступил конец. Выросли налоги, коррупция и подделка денег стали скорее правилом, нежели исключением. В конечном итоге денежная масса в Риме снизилась на 90 %. Мастера монетных дел получают указание экономнее расходовать серебро. Появляются субаэратные денарии с медной «начинкой».
В Македонии 20 легионов Марка Антония (82-30 гг. до н. э.) все же одерживают победу над войсками убийц Цезаря.
Брут и Кассий также испытывают острую нехватку денег для оплаты своих легионеров. Выход остается один - фальшивомонетничество. Легионер не подозревал, что за посеребренной поверхностью полученного им денария скрывается медь.
Убийцы Цезаря - Брут и Кассий бросились на свои мечи, Марк Антоний с триумфом возвращается в Рим. При разделе империи между членами триумвирата он берет себе?
Балканский полуостров, Малую Азию, Сирию и Египет. Лепид получает Африку. Октавиан становится властителем Италии, северных и западных провинций.
У Юлия Цезаря были большие планы. Римская империя должна была простираться вплоть до Индии. Все золото мира должно было стекаться непрерывным потоком в Рим. Первый удар необходимо было направить против Персии, против парфян Смерть Цезаря прервала подготовку к походу. Марк Антоний возвратился к этим планам. Для поддержания боевого духа в войсках необходимо много денег. Взор Марка Антония обращается к Египту, полуколонии Рима. Полководец знал о громадных суммах денег, притекавших в Рим с берегов Нила. Осенью 41 года до н. э. Марк Антоний прибывает в Александрию.
Антоний рассчитывает на деньги Египта, но обнаруживается, что казна пуста. Денег значительно меньше, чем он рассчитывал. Его поход против парфян в 36 году до н. э. закончился неудачей. Это меняет отношение к Марку Антонию в Риме, Там, наоборот, засияла звезда Октавиана. Между бывшими союзниками начинается вражда. Теперь Октавиап вооружается для похода против неугодного соправителя.
Марку Антонию срочно нужны деньги, и он находит выход… «Триумвир Антоний сплавил денарий с железом», - пишет в 33-м томе «Естественной истории Плиний. Речь идет о денариях, которые Марк Антоний повелел изготовить для своих легионеров в 31 году до н. э. перед морским сражением при Акции - мысе в Адриатическом море. «Железные денарии» на лицевой стороне имели изображение галеры, на оборотней стороне - номер легиона? LEG I и т. д. (до LEG -XXX). Легион в то время состоял из 300 конных и 4200 пеших воинов. Эти денарии на 1/5 состояли из меди. Некоторые экземпляры были субаэратными их ядро состояло из меди, Попадались и с ядром из железа» Плиний не являлся специалистом в монетном деле и поэтому мог перепутать «наполнением со сплавом». Неизвестно, сколько денег Марк Антоний выплатил своим легионерам. Если каждый из воинов получил хотя бы по одному полновесному полноценному денарию (3,88 г), всего понадобилось бы 524 килограмма серебра. Понятно, что ни один легионер не стал бы подвергать себя смертельной опасности за один жалкий денарий.
«Железные денарии» легионеров Марка Антония считались настолько плохими, что еще при императоре Траяне (98-117 гг.) они не принимались даже в переплав для изготовления новых монет. Лишь когда при Марке Аврелии (161-180 гг.) начался закат монетного хозяйства Рима, эти денарии пошли в переработку.
Победитель Октавиан Август (27-14 г. н. э.) стал первым римским императором.
Для укрепления денежной системы Август ввел новый монетный порядок, продолжавшийся до конца III века. Аурей - золотая монета весом 7,79 грамма - равнялся 25 денариям, каждый по 3,9 грамма при чистом содержании серебра в 97 %, или 100 сестерциям (латунным монетам по 27 г.). Один сестерций равнялся четырем ассам (медным монетам, каждая по 10,8 г).
Фальшивомонетничество искоренить не удавалось. Оно даже закрепляло свои позиции.
Хитрые банкиры Древнего Рима не слишком-то препятствовали росту фальшивомонетничества. Недаром Цицерон в «Речи за Квинта Расция - актера» отзывается о банкире неуважительно: «Разве одна его голова и брови, тщательновыбритые, не говорят об его нравственной испорченности, не показывают хитрого человека? Разве он... не соткан весь, с ног до головы, из лжи, плутней, обмана? Он для того и бреет всегда голову и брови, чтобы о нем молено было сказать, что на нем нет ни волоска честного человека». И дальше Цицерон поносит банкира в еще более резких выражениях. Римское законодательство того времени допускало столь недозволенные обличения.
Специалисты, занимающиеся монетным делом, создавали круговую поруку. Особенно хорошо она действовала при контрольных проверках. Часто инспекции были внезапными, но система своевременного оповещения действовала безотказно. В данном отношении интересно частное письмо-предупреждение от II века н.э.
«Привет. Я досылал тебе письмо о шести мантиях…, и двух плащах..., чтобы ты послал их мне по любой цене, и сейчас я пишу в поспешности..., так как вижу, что ты не беспокоишься. Ты должен знать, что прибывает финансовый инспектор по храмам и намеревается идти в твой отдел. Не беспокойся на этот счет, так как я с тобой в хороших отношениях. Потому, если у тебя есть время, заполни подробно книги и приходи ко мне, так как он очень суровый человек... он становится моим другом... я его задержу. У него есть инструкции к неподчиняющимся - от сторожей до жрецов высокого ранга. Но не делай неосторожности сам ни в чем... если у тебя есть что-нибудь еще..., доставь мне..., в чем я нуждаюсь. До свидания, почтенный друг».
Прибыль, которую присваивал себе фальшивомонетчик, была весомой. Для изготовления одного субаэратного денария требовалось всего 0,45 грамма серебра. Из одного полновесного денария можно было изготовить 10, а позднее - 8 субаэратных денариев. При соотношении, сложившемся в последние годы существования Римской республики и в первые два года столетия Римской империи, - это довольно крупная сумма денег.
Легионер получал годичное жалованье в I веке н. э. в размере 225 денариев. Но и кара за фальшивомонетничество была жесточайшей.. На лбу таких людей выжигалась буква «К» - первая буква латинского слова «калюмниатор» - клеветник. Теперь эта мера наказания применялась и к фальшивомонетчикам. После этого раба-фальшивомонетчика убивали; фальшивомонетчика - свободного гражданина Рима отдавали на растерзание зверям в цирк. Только патриции могли откупиться.
Средство против оттока золота имелось.
Плиний писал, что один вольноотпущенник I века н. э., бывший сборщиком податей, попал в бурю на корабле и был прибит к берегам Индии. Он явился к местному царю и показал ему чудом уцелевшие при нем римские денарии, битые разными императорами и имевшие потому разные портреты. Все они имели один вес. Царь был так поражен этим обстоятельством, что решил тут же послать в Рим своих послов, чтобы завязать связь с этой самой сильной и могущественной державой. Так показалось ему, привыкшему к непрерывному снижению веса монет, к которому он прибегал из-за бесконечных финансовых затруднений. И его послы прибыли ко двору римского императора Клавдия.
Это была пропагандистская сказка.
В той лее Индии было обнаружено много субаэратных золотых монет, отчеканенных во времена императора Августа. Правда, происходили эти монеты из императорских или частных мастерских, неизвестно. Император Нерон, известный в раннехристианской литературе под числом дьявола «666», не скрывал того, что при нем государственное фальшивомонетничество работает в полную силу. Нерон даже доносчикам сократил вчетверо награды. О его поддельных деньгах и так все знали. Расширять и увеличивать державу у Нерона не было охоты и посему он предался роскошной жизни.
Римский историк Светоний рассказывает о так называемом «Золотом доме», который построили для Нерона: «Beстибюль был таким, что в нем размещался 35-метровый великан - статуя Нерона. Величина дворца была настолько чудовищна, что его портик, колонны в котором стояли в три ряда, растянулся на полтора километра... В самом здании кругом была позолота, драгоценные камни и перламутр». Дворец был оснащен по последнему слову античной техники. Все было предназначено для исполнения любой прихоти императора. «Когда он въехал в свой роскошный дворец по завершении строительства, то бросил фразу: «наконец-то я начинаю жить, как человек».
Непомерная роскошь требовала непомерных расходов. Безумная надежда найти в Африке сокровища карфагенской царицы Дидоны рухнула. Государственная казна была так опустошена, что Нерон вынужден был «отложить даже выплаты легионерам и пенсии ветеранам, прибегнув к надуманным обвинениям и грабежам», - свидетельствует Светоний.
Перед лицом глобальной нехватки денег Нерон решился на ухудшение монетного стандарта, установленного Августом. Было уменьшено содержание золота и серебра в выпускаемых монетах. Отныне средний вес у аурея составлял 7,29 грамма, денария - 3,43 грамма. К тому же на 5-10 % масса денария состояла из меди. Поначалу римляне не заметили подмены.
Простому римлянину, чтоб не испытывать чувства голода еще хватало пары ассов. Столпы общества тоже еще не испытывали финансовых ограничений для своего благополучия. Только Индия, не стала принимать в оплату своих товаров римские денарии, а германцы предпочитали монеты донероновского времени.
Непомерное распутство извращенного императора, его «свадьба» с мальчиком-кастратом, сексуальная связь со своей матерью Агриппиной и ее убийство, женоподобные манеры Нерона - все это переполнило чашу терпения. Началось волнение в войсках. Нерон всего этого не замечал.. Действительно, большого труда стоило с ликованием аплодировать карикатуре на Геркулеса, которому Нерон уподоблял себя. Раздутый от неумеренного чревоугодия живот, тонкие ноги, голова, покрытая редкими светлыми волосами, серо-голубые глаза, лишенные всякого выражения. Таково точное описание человека, который на протяжении 14 лет правил Римской империей.
Все слои населения были недовольны Нероном. В стране начались восстания. Когда Нерон узнал о восстании войск в Испании и Галлии, то приказал мобилизовать в свою армию, готовящуюся к походу против изменников, рабов и даже проституток. «Одновременно все слои общества должны были сдать в казну часть своего имущества, кроме того, даже те, кто не имел своего жилья, арендовал его, должны были выплатить в качестве налога годовую арендную плату. При этом казна принимала только полноценные серебряные и золотые монеты, на этом основании отклонялись многие платежи...», - рассказывает Светоний. Император Нерон требовал подлинных монет, которые давно уже ушли с рынка в частные хранилища. Плохие монеты не годились для оплаты иностранным наемным войскам, в которых больше всего нуждался теряющий власть правитель.
Но и войска наместника Галлии Юлия Виндекса и наместника Испании Сульпиция Виндекса, объединившиеся против Нерона под девизом «За спасение рода человеческого», также сильно нуждались в деньгах.
В Галлии и Испании самостоятельно и анонимно начинают чеканку золотых и серебряных монет во многих полевых монетных мастерских. Мастеров хватает, ведь, например, в Испании фальшивомонетничество было распространено уже несколько веков. Из провинции Новый Карфаген поступала достаточно большая часть драгоценных металлов, из которых чеканились римские монеты. Правда, в Испании некоторым мастерам, работавшим только по медным монетам, пришлось переучиваться.
Надписи на монетах являются в известной степени и лозунгами борьбы. Наряду с лозунгом «За спасение рода человеческого» появились и другие: «Общественная свобода», «Восстановленная свобода», «Гению римского народа», «Марс-мститель». В настоящее время известны около 520 монет, которые были отчеканены в основном в лагере Гальбы. Бросается в глаза обилие субаэратных монет, примерно 12%.
Известный между народный авторитет в области нумизматики М. X. Крауфорд утверждает, что все субаэратные монеты происходят из частных фальшивомонетных мастерских периода гражданских войн. Тезис Крауфорда резко оспаривается. Государство довольно часто прибегает к подделке монет. Сомнения высказываются и по поводу гипотезы П.-Х. Мартина, руководителя монетного кабинета в Карлсруэ. Он считает, что неполноценные монеты из числа монет Гальбы периода гражданской войны были произведены по указанию свыше. П.-Х. Мартин делает ссылку на «идентичность штампов» на полноценных и субаэратных монетах. Подобная схожесть - не доказательство. Действительно, субаэратные монеты могли произвести те, кто обладал достаточным опытом в монетном деле: профессиональные фальшивомонетчики, которых привлек Гальба на свою сторону.
Фальшивые деньги не помогли ни Нерону, ни его противникам, а только удешевили монету на 7 %.
В конце II века начинается распад римского монетного хозяйства. В конце III века денарий, который наряду с ауреем претендовал на роль мировых денег, превратился в белую медную монету, содержание серебра в которой колебалось от 2 до 5 %. Скорее всего, технология производства этих монет была изобретена римлянами. Было выяснено, что раствор поваренной соли и винного камня вступает в реакцию с медью, но не с серебром. Медная заготовка для монет, в которой присутствовало небольшое количество серебра, погружалась в раствор до тех пор, пока серебро на незначительную глубину не освобождалось от меди. Из заготовок, прошедших обработку, чеканились монеты. Поскольку тонкая поверхность монеты быстро снашивалась, позднее ока укрепилась цинком и свинцом.
Цены выросли почти в тысячу раз. С учетом растущих государственных расходов римские императоры предприняли так называемое «бегство вперед». При Александре Севере (208-235 гг.) серебряный денарий, например, содержал лишь одну пятидесятую часть серебра, что как нельзя лучше символизировало хаотическое финансово-экономическое положение Римской империи.
Монеты конца II и большей части III века служат показателем жесточайшего упадка Римской империи. Падает стоимость денег и одновременно увеличивается число монет, обращающихся на внутреннем рынке. Их не успевали штамповать. Следы спешки отражались на качестве монет. Портреты императоров утрачивают сходство с оригиналом. Конечно, в этом виновата не только спешка, но и то, что императоры не слишком долго удерживались на троне. Лишь только заготовят чекан с портретом императора, а его уже сменил другой. Вот почему создавался обобщенный портрет для трех-пяти монархов, сменяющих друг друга в императорской чехарде.
Чтобы справиться с экономическими неурядицами, императоры продолжили ухудшение монет.
В середине III века добавка в серебряные монеты меди, достигала 80-95 %, но монеты продолжали считаться серебряными. На них почти ничего нельзя было купить. Императоры посадили солдат и чиновников на натуральный паек. За службу государство платило зерном, мясом, яйцами.
Император Диоклетиан (245-316 гг.), обеспокоенный ростом «черного» (самодеятельного) рынка, в 301 году издал указ. В нем Диоклетиан назначил предельные цены на товары жизненной необходимости и предметы роскоши, а также максимальные размеры оплаты труда ремесленников и поденщиков.
За спекулянтами должны были следить специальные агенты секретной службы. Agentus inrebus (действующий в тайне) - так назывался подобный агент. Наделенные полнотой власти они вызывали страх всего населения. Во исполнение воли императора на многих рынках империи были сооружены плахи, и дежурные палачи отсекали головы спекулянтам, фальшивомонетчикам тут нее. Но и эта мера не смогла ликвидировать спекуляцию и фальшивомонетничество. Хотя и тяжело было терять свои головы преступникам, но еще труднее было отказаться от баснословных барышей. Вскоре указ был отменен. «Черный» рынок победил. Обесцененные и фальшивые монеты остались в обращении.
Император Константин I (272-337 гг.) в начале IV века ввел в оборот знаменитую золотую монету солид, вес которой составлял 4,55 грамма, и в 330 году перенес столицу Римской империи в Константинополь. Поэт Кверул воспел эту монету в стихах:
Хотя ничто так не похоже друг на друга,
как солид на солид,
однако и в них ищут разницу: различия
в изображениях,
цвете, благородстве и надписях, происхождении,
тяжести
и во всем, вплоть до мельчайших черточек,
ищут в солиде
тщательнее, чем в человеке.
Наверное, так оно и следовало делать при контроле солида. При Константине фальшивомонетничество стало рассматриваться как государственное преступление и наказывалось смертной казнью посредством сожжения. Считалось, что, подделывая монету, преступник посягает на изображенный на ней «священный» лик Цезаря.
В 409 году римский монетный двор выпустил денарий с надписью «Непобедимый вечный Рим». По трагической иронии судьбы не прошло и года, как Рим был захвачен и разрушен варварами во главе с Аларихом. С этого времени римские императоры стали игрушками в руках варварских вождей.
4 сентября 476 года вождь германцев Одоакр сместил последнего римского императора Ромула Августула.. В этот же день император, соединивший в своем двойном имени имя основателя Рима Ромула и имя основателя империи Августа (Ромул Августул), вынужден был отказаться от власти, увековечив, однако, себя незадолго перед тем на монете. Естественно, она была субаэратная.
Фальшивомонетчики древнего мира, словно по эстафете, передавали свой опыт наступающему средневековью.
В конце XIX века в теории вероятностей возникло направление исследований, которое получило название: предельные теоремы теории вероятностей. В этом направлении, начало которого было положено П.Л.Чебышевым, А.А.Марковым, А.М.Ляпуновым, по сей день ведутся интенсивные исследования. Предельные теоремы теории вероятностей можно разбить на две большие группы.
- 1. Одна группа теорем составляет «закон больших чисел». Закон больших чисел формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату почти не зависящему от случая (т.е. практически постоянный результат).
- 2. Вторая группа теорем связана с выяснением вопроса о распределении сумм большого числа случайных величин. В этих теоремах выясняется, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин, если число слагаемых неограниченно увеличивается, и какие условия при этом нужно наложить на сами величины. В частности, центральная предельная теорема посвящена установлению сумм, при которых возникает нормальный закон распределения.
Центральная предельная теорема
Первый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым. В настоящее время имеется несколько формулировок этой теоремы, различающихся условиями, которые накладываются на случайные величины. Приведём простейший вариант центральной предельной теоремы для одинаково распределённых независимых случайных величин.
Пусть последовательность одинаково распределённых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями.
Теорема. Если случайные величины независимы и, то при достаточно большом n закон распределения суммы будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения.
Так как в условиях теоремы случайные величины независимы, то
т.е. в условиях теоремы сумма имеет закон распределения близкий к. Так как na и с ростом n , возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы, а нормированные суммы. Такие суммы при имеют закон распределения.
Доказательства теоремы не приведены потому, что оно требует введения многих дополнительных понятий и утверждений. Было потрачено немало усилий, чтобы ослабить условия, налагаемые на случайные величины в центральной предельной теореме. В частности, оказалось, что утверждение теоремы остаётся в силе и для слабо зависимых случайных величин. Как уже отмечалось, существует много вариантов и соответственно формулировок центральной предельной теоремы, но во всех этих вариантах суть условий одна: Если случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой, то эта сумма имеет закон распределения близкий к нормальному.
Пример 1. Наглядной иллюстрацией действия центральной предельной теоремы является рассеивание снарядов при артиллерийской стрельбе. На траекторию снаряда действует большое количество независимых факторов, влияние каждого из которых невелико. Этими факторами являются отклонения в размере заряда, в размере и весе снаряда, сила и направление ветра на разных высотах, плотность воздушных вихрей, зависящая от температуры и влажности воздуха, и т.д.
В результате отклонение снаряда от цели имеет приблизительно нормальный закон распределения.
Пример 2. Другими широко известным примером может служить ошибка, возникшая при измерениях. Ошибка, как правило, является суммой малых ошибок возникающих из-за действия случайных факторов таких, как температура окружающей среды, состояние наблюдателя, состояние измерительного прибора и т.д.
Как уже говорилось, при достаточно большом количестве испытаний, поставленных в одинаковых условиях, характеристики случайных событий и случайных величин становятся почти неслучайными. Это позволяет использовать результаты наблюдений случайных событий для предсказания исхода того или иного опыта.
Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом количестве испытаний.
В рассмотренном выше законе больших чисел нечего не говорилось о законе распределения случайных величин.
Поставим задачу нахождения предельного закона распределения суммы
когда число слагаемых п неограниченно возрастает. Эту задачу решает центральная предельная теорема Ляпунова, которая была сформулирована выше.
В зависимости от условий распределения случайных величин , образующих сумму, возможны различные формулировки центральной предельной теоремы.
Допустим, что случайные величины взаимно независимы и одинаково распределены.
Теорема . Если случайные величины взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием т и дисперсией , причем существует третий абсолютный момент , то при неограниченном увеличении числа испытаний п закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.
При доказательстве этой теоремы Ляпуновым использовались так называемые характеристические функции .
Характеристической функцией случайной величины Х называется функция
Эта функция представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины , являющейся функцией от случайной величины Х . При решении многих задач удобнее пользоваться характеристическими функциями, а не законами распределения.
Зная закон распределения, можно найти характеристическую функцию по формуле (для непрерывных случайных величин):
Как видим, данная формула представляет собой не что иное, как преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно, что с помощью обратного преобразования Фурье можно по характеристической функции найти закон распределения.
Введение характеристических функций позволяет упростить операции с числовыми характеристиками случайных величин.
В случае нормального распределения характеристическая функция имеет вид:
Сформулируем некоторые свойства характеристических функций:
1) Если случайные величины Х и Y связаны соотношением
где а – неслучайный множитель, то
2) Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Случайные величины , рассмотренные в центральной предельной теореме, могут обладать произвольными распределениями вероятностей.
Если все эти случайные величины одинаково распределены, дискретны и принимают только два возможных значения 0 или 1, то получается простейший случай центральной предельной теоремы, известный как теорема Муавра – Лапласа .
Теорема (теорема Муавра – Лапласа) . Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р , то для любого интервала справедливо соотношение:
где Y – число появлений события А в п опытах, , – функция Лапласа, - нормированная функция Лапласа.
Теорема Муавра – Лапласа описывает поведение биноминального распределения при больших значениях п .
Данная теорема позволяет существенно упростить вычисление по формуле биноминального распределения.
Расчет вероятности попадания значения случайной величины в заданный интервал 
при больших значениях п
крайне затруднителен. Гораздо проще воспользоваться формулой:
Теорема Муавра – Лапласа очень широко применяется при решении практических задач.
Пример 53.1. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение относительной частоты появления события А от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.
Решение .
В соответствии с неравенством Чебышева вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет меньше некоторого числа , ограничена в соответствии с неравенством 
.
Надо определить математическое ожидание и дисперсию числа появления события А при одном опыте. Для события А случайная величина может принимать одно из двух значений: 1- событие появилось, 0 - событие не появилось. При этом вероятность значения 1 равна вероятности , а вероятность значения 0 - равна вероятности ненаступления события А .
По определению математического ожидания имеем:
Дисперсия:
В случае п
независимых испытаний получаем 
Эти формулы уже упоминались выше.
В нашем случае получаем:
Вероятность отклонения относительной частоты появления события А в п испытаниях от вероятности на величину, не превышающую равна:
Выражение полученное в результате этих простых преобразований представляет собой не что иное, как вероятность отклонения числа т появления события А от математического ожидания на величину не большую, чем .
В соответствии с неравенством Чебышева эта вероятность будет не меньше, чем величина 
Пример 53.2. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,98, не превысит 0,02.
Решение .
Условие задачи фактически означает, что выполняется неравенство:
Здесь п - число годных деталей, т - число проверенных деталей. Для применения неравенства Чебышева преобразуем полученное выражение:
После домножения выражения, стоящего в скобках, на т получаем вероятность отклонения по модулю количества годных деталей от своего математического ожидания, следовательно, можно применить неравенство Чебышева, т.е. эта вероятность должна быть не меньше, чем величина , а по условию задачи еще и не меньше, чем 0,96.
Таким образом, получаем неравенство 
. Как уже говорилось в предыдущей задаче, дисперсия может быть найдена по формуле .
Итого, получаем:
.
Т.е. для выполнения требуемых условий необходимо не менее 1225 деталей.
Пример 53.3. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/час, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 кВт/час.
Решение .
Требуется найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:
Крайние значения интервала отклоняются от математического ожидания на одну и ту же величину, а именно – на 500. Тогда можно записать с учетом неравенства Чебышева:
Отсюда получаем:
Т.е. искомая вероятность будет не меньше, чем 0,99.
Пример 53.4. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,3.
Решение .
Требуется найти вероятность
Неравенство Чебышева в случае суммы случайных величин имеет вид:
Если среднее квадратическое отклонение не превосходит 3, то, очевидно, дисперсия не превосходит 9. Величина e по условию задачи равна 0,3.
Тогда 
. Отсюда получаем при n=
2500:
.
Пример 53.5. Выборочным путем требуется определить среднюю длину изготавливаемых деталей. Сколько нужно исследовать деталей, чтобы с вероятностью, большей, чем 0,9, можно было утверждать, что средняя длина отобранных изделий будет отличаться от математического ожидания этого среднего (средняя длина деталей всей партии) не более, чем на 0,001 см.? Установлено, что среднее квадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см.
Решение .
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Муавра - Лапласа найдем математическое ожидание и дисперсию количества бракованных деталей в 50 – ти отобранных:
Фактически в задаче требуется определить вероятность того, что бракованных деталей будет не менее шести, но и, очевидно, не более 50- ти.
Значения функции Лапласа находятся по таблице (см. приложение 2). Конечно, значения функции Лапласа в таблице нет, но т.к. в таблицах указано, что , то все значения от величин, превышающих 3 также равны 1.
Пример 53.7. Известно, что 60% всего числа изготавливаемых заводом изделий являются изделиями первого сорта. Приемщик берет первые попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них окажется из от 120 до 150 изделий первого сорта?
Решение .
Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна, очевидно, 0,6.
Математическое ожидание числа изделий первого сорта равно:
По теореме Муавра - Лапласа получаем:
Пример 53.8. Проверкой установлено, что 96% изделий служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 изделий. Найти вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет от 570 до 630 изделий.
Решение .
Вероятность того, что срок службы изделия будет менее гарантированного равна:
Математическое ожидание числа таких изделий равно .
По теореме Муавра - Лапласа получаем.
Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию . Обозначим последние μ {\displaystyle \mu } и σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} , соответственно. Пусть также
. S n − μ n σ n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)} по распределению при ,где N (0 , 1) {\displaystyle N(0,1)} - нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением , равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n {\displaystyle n} величин, то есть X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i {\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}} , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) {\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри - Эссеена .
Замечания
- Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n {\displaystyle n} независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N (n μ , n σ 2) {\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^{2})} . Эквивалентно, X ¯ n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}} имеет распределение близкое к N (μ , σ 2 / n) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n)} .
- Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна , сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив Z n = S n − μ n σ n {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}} , получаем F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R {\displaystyle F_{Z_{n}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb {R} } , где Φ (x) {\displaystyle \Phi (x)} - функция распределения стандартного нормального распределения.
- Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
- Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей . Тем не менее в данном классическом случае это имеет место.
Локальная Ц. П. Т.
В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин { X i } i = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }} абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того,
f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 {\displaystyle f_{Z_{n}}(x)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ,где f Z n (x) {\displaystyle f_{Z_{n}}(x)} - плотность случайной величины Z n {\displaystyle Z_{n}} , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.
Обобщения
Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.
Ц. П. Т. Линдеберга
Пусть независимые случайные величины X 1 , … , X n , … {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots } определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии : E [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 {\displaystyle \mathbb {E} =\mu _{i},\;\mathrm {D} =\sigma _{i}^{2}} .
Пусть S n = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}} .
Тогда E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 {\displaystyle \mathbb {E} =m_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}\mu _{i},\;\mathrm {D} =s_{n}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}} .
И пусть выполняется условие Линдеберга :
∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 { | X i − μ i | > ε s n } ] = 0 , {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[{\frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,\mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0,}где 1 { | X i − μ i | > ε s n } {\displaystyle \mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}} функция - индикатор.
по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .Ц. П. Т. Ляпунова
Пусть выполнены базовые предположения Ц. П. Т. Линдеберга. Пусть случайные величины { X i } {\displaystyle \{X_{i}\}} имеют конечный третий момент . Тогда определена последовательность
r n 3 = ∑ i = 1 n E [ | X i − μ i | 3 ] {\displaystyle r_{n}^{3}=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3}\right]} .Если предел
lim n → ∞ r n s n = 0 {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0} (условие Ляпунова ), S n − m n s n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .Ц. П. Т. для мартингалов
Пусть процесс (X n) n ∈ N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что
E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , {\displaystyle \mathbb {E} \left=0,\;n\in \mathbb {N} ,\;X_{0}\equiv 0,}и приращения равномерно ограничены, то есть
∃ C > 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 − X n | ≤ C {\displaystyle \exists C>0\,\forall n\in \mathbb {N} \;|X_{n+1}-X_{n}|\leq C} τ n = min { k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n } {\displaystyle \tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right.\right\}} . X τ n n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {X_{\tau _{n}}}{\sqrt {n}}}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Как и любая другая наука, теория вероятностей предназначена для того, чтобы возможно точнее предсказать результат того или иного явления или эксперимента. Если явление носит единичный характер, то теория вероятностей способна предсказать лишь вероятность исхода в весьма широких пределах. Закономерности проявляются только при большом числе случайных явлений, происходящих в однородных условиях.
Группа теорем, устанавливающих соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин и случайных событий при большом числе испытаний над ними, а также касающихся предельных законов распределения, объединяются под общим названием предельных теорем теории вероятностей .
Есть два типа предельных теорем: закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Закон больших чисел , занимающий важнейшее место в теории вероятностей, является связующим звеном между теорией вероятностей как математической наукой и закономерностями случайных явлений при массовых наблюдениях над ними.
Закон играет очень важную роль в практических применениях теории вероятностей к явлениям природы и техническим процессам, связанным с массовым производством.
Предельные законы распределения составляют предмет группы теорем – количественной формы закона больших чисел. Т.е. закон больших чисел – ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным, т.е. устанавливают факт сходимости по вероятности некоторых случайных величин к постоянным. Это теоремы Бернулли, Пуассона, Ляпунова, Маркова, Чебышева.
1. а ) Теорема Бернулли – закон больших чисел (была сформулирована и доказана ранее в п. 3 § 6 при рассмотрении предельной интегральной теоремы Муавра-Лапласа.)
При неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов частота события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности события в отдельном опыте. Иначе, вероятность того, что отклонение относительной частоты наступления события А от постоянной вероятности р события А очень мало при стремится к 1 при любом :
.b) Теорема Чебышева.
При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию иначе, если независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием и ограниченной дисперсией , то при любом справедливо:
.Теорема Чебышева (обобщенная). Если случайные величины в последовательности попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию
, то для любого положительного ε > 0 справедливо утверждение:
или, что то же 
.c) Теорема Маркова. (закон больших чисел в общей формулировке)
Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательности удовлетворяют условию:
, то для любого положительного ε > 0 имеет место утверждение теоремы Чебышева: .d) Теорема Пуассона.
При неограниченном увеличении числа независимых опытов в переменных условиях частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому его вероятностей при данных испытаниях.
Замечание. Ни в одной из форм закона больших чисел мы не имеем дела с законами распределения случайных величин. Вопрос, связанный с отысканием предельного закона распределения суммы , когда число слагаемых неограниченно возрастает, рассматривает центральная предельная теорема. одинаково распределены, то придем к интегральной теореме Муавра-Лапласа (п. 3 § 6), представляющей собой простейший частный случай центральной предельной теоремы.
