Преобразования неопределенных интегралов Подобно тому, как в алгебре даются правила, позволяющие преобразовывать алгебраические выражения с целью их упрощения, так и для неопределенного интеграла существуют правила, позволяющие производить его преобразования. I. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого члена в отдельности, т. е. S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" постоянный множитель можно " вынести="" за="" знак="" интеграла, е.="" (с-постоянная величина формула интегрирования по частям, а именно: Докажем формулу (III). Возьмем дифференциал от правой части равенства (III) Применяя формулу 4 из таблицы § 2 гл. IX, получим x. Член преобразуем по формуле 5 той же таблицы: а член d J /" (д:) ф (л;) dx по формуле (Б) § 1 этой главы равен d\f (*)ф = =/ (х) ф" (л:) dx + ф (х) /" (х) dx -/" (х) ф (*) dx = =f(x)y"(x)dx, т. е. мы получили то, что получается при дифференцировании левой части равенства (III). Аналогично проверяются формулы (I) и (II). Пример 1. ^ (лг* - Применяя правило инте- грирования I и формулы 1 и 5 из таблицы интегралов, получаем J (х1-- sin л:) dx= ^ хг dx-^ sin xdx = х* х9 = (-cosх) + С= y + cos х + С. Пример 2. I ^ dx. Применяя правило II и формулу J COS X 6 из таблицы интегралов, получаем J cos2* J COS2* to 1 Пример 3. ^ Inx dx. В таблице ицтегралов, приведенных в § 1, такого интеграла нет. Вычислим его, интегрируя по частям; для этого перепишем данный интеграл следующим образом: J In xdx= ^ In л: 1 dx. Положив /(х) = In л: и <р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

Cтраница 1


Применение интегрального преобразования к первой группе данных, очевидно, сводится к замене функций переменной Ау.  

Применение интегральных преобразований (4) сводит решение вязкоупругой задачи (3) к решению чисто упругой задачи (5) в изображениях. Принимая во внимание приведенное ранее решение (16) разд.  

Применение интегральных преобразований по пространственным координатам на конечных интервалах и других строгих аналитических методов к краевым задачам для дифференциальных уравнений переноса дает решения в виде бесконечных функциональных рядов. При этом из полученного решения для практических расчетов используется только главная часть этого ряда. Поэтому простой способ определения приближенного решения, эквивалентного главной части точного решения, бесспорно должен иметь большое прикладное значение.  

Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой.  

Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой. Определение интегрального преобразования Фурье и общая схема применения к решению краевых задач даны в гл.  

Применение интегральных преобразований дает полезный метод решения прежде всего плоских, а также пространственных задач теории упругости. Существенно при этом, что может быть уменьшено число независимых переменных в дифференциальных уравнениях с частными производными. Роль соответствующих независимых переменных переходит к параметрам, и, таким образом, удается привести дифференциальные уравнения с частными производными относительно многих переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.  

Применение интегральных преобразований к построении точных решения задач фильтрации в трещиновато-порис тих средех / / Мртеметический анализ и его приложения: С.  

Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье; для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единственной функции p (z) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрены в § 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований.  

После применения интегральных преобразований задача сведена к парным интегральным уравнениям, строится приближенное решение путем разложения в ряд по косинусам, обращение преобразования по времени выполняется методом трапеций. Приведены численные результаты, иллюстрирующие влияние коэффициента Пуассона на осадки штампа.  

После применения интегральных преобразований Ханкеля по координате и Лапласа по времени строится приближенное решение задачи путем разложения по системе кусочно-постоянных функций с выделением статической особенности под краем штампа. Обращение преобразования Лапласа выполняется численно. Приведены некоторые результаты численных расчетов для равномерно распределенной нагрузки на плиту, исследовано влияние проницаемости и жесткости плиты и коэффициента Пуассона грунта на степень консолидации.  

Преимущество применения интегральных преобразований перед другими аналитическими методами исследования тепловых процессов, связанными с интегрированием дифференциальных уравнений переноса энергии, состоит прежде всего в стандартности и простоте нахождения решений.  

При применении интегрального преобразования Меллина к общим решениям уравнений плоской теории упругости (6.1.1) - (6.1.5) в форме Папковича-Нейбера (6.5.34) и (6.5.35) возникают вопросы общего и частного характера.  

Аналогична идея применения интегральных преобразований и в задачах для уравнений с частными производными: стремятся выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной.  

Основным условием для применения интегральных преобразований является наличие теоремы обращения, позволяющей найти исходную функцию, зная ее образ. В зависимости от весовой функции и области интегрирования рассматриваются преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля, Мейера, Гильберта и др. С помощью этих преобразований могут быть решены многие задачи теории колебаний, теплопроводности, диффузии и замедления нейтронов, гидродинамики, теории упругости, физической кинетики.  

Кратко изложим схему применения указанного интегрального преобразования.  

Преобразование, которым функции вещественных переменных сопоставляется функция

Вещественных переменных, и переменной 7, вообще говоря комплексной, называют интегральным преобразованием по переменной Переменную называют переменной преобразования. Ради большей наглядности ниже переменную преобразования будем обозначать символом Интегральное преобразование (1) определяется пределами преобразования , ядром и весовой функцией Пределы могут быть и бесконечными; свойства функций будут установлены ниже. Функцию называют интегральным преобразованием, а также интегральной трансформацией, изображением или образом функции Ниже будет применяться преимущественно первый из этих равнозначащих терминов. Функцию часто называют оригиналом или прообразом функции

Возможны интегральные преобразования сразу по нескольким или по всем переменным. Обобщение на этот случай данного выше

определения очевидно. Ниже будут рассматриваться преобразования только по одной переменной. Последовательное применение таких преобразований, однако, эквивалентно некоторому преобразованию по нескольким переменным.

Преобразованные функции будем обозначать теми же символами, что и до преобразования, но с каким-либо значком над символом: чертой, волнистой чертой и По какой переменной осуществлено преобразование, будет ясно из того, от каких аргументов зависит преобразованная функция. Например, интегральное преобразование функции по переменной Аргументы в тех случаях, когда это не может повести к недоразумениям, явно выписывать не будем.

Преобразование, которым функция снова преобразуется в функцию называют обратным интегральному преобразованию (1) или просто обратным преобразованием. При этом само преобразование (1) называют прямым.

Интегральное преобразование определено, когда интеграл в правой части (1) существует. Для практического применения интегральных преобразований, однако, важно, чтобы существовали также обратные преобразования, которые, совместно с (1), устанавливали бы взаимно однозначное соответствие между двумя классами функций: исходным классом функций и классом функций являющихся их интегральными преобразованиями. При этом условии можно установить соответствие также между операциями на обоих классах функций и решение задачи, заданной для функций одного класса, привести к задаче для функций другого класса, которая может быть проще. Решив эту последнюю, с помощью обратного преобразования находят решение первоначальной задачи. Хорошо известным читателю примером является операционное исчисление, основанное на использовании интегрального преобразования Лапласа. Здесь дифференцированию функций исходного класса функций соответствует умножение на независимую переменную функций, являющихся преобразованиями Лапласа. Благодаря этому задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводятся к алгебраическим задачам для преобразованных функций.

Аналогична идея применения интегральных преобразований и в задачах для уравнений с частными производными: стремятся выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной. Основным отличием от операционного исчисления в применении интегральных преобразований к уравнениям с

частными производными является использование более широкого набора интегральных преобразований, что важно, когда коэффициенты уравнений переменны.

    Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном уравнении.… … Википедия

    Уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить… … Большая советская энциклопедия

    ГОСТ 24736-81: Преобразователи интегральные цифроаналоговые и аналого-цифровые. Основные параметры - Терминология ГОСТ 24736 81: Преобразователи интегральные цифроаналоговые и аналого цифровые. Основные параметры оригинал документа: Время преобразования Интервал времени от момента изменения сигнала на входе аналого цифровых преобразователей до… …

    Время преобразования - Интервал времени от момента изменения сигнала на входе аналого цифровых преобразователей до появления на выходе соответствующего устойчивого кода, мкс Источник: оригинал документа Смотри также родственные термины: 13 время преобразования… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… … Википедия

    Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия

    Преобразование Фурье операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … … Википедия

    Интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 го года. Важнейшее свойство преобразования Радона обратимость, то есть возможность… … Википедия

Книги

  • Интегральные преобразования
  • Интегральные преобразования , Князев П.Н.. В настоящей книге излагаются вопросы теории интегральных преобразований, тесно связанные с краевыми задачами теории аналитических функций (преобразования Фурьеаналитических функций,…

Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привела к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье-Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения - ее «стандартность» - дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций.

Впервые идея метода конечных интегральных преобразований типа

была предложена Н.С. Кошляковым. Наиболее полно теория таких интегральных преобразований была разработана Г.А. Гринбергом, который дал обобщение этих методов на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование. Детальная разработка интегральных преобразований с конечными пределами была проведена Снеддоном, Трантером, Дейчем и др.

Если граница интегрирования заключается между 0 и l , ядра конечных синус- и косинус-преобразований Фурье, а также преобразования Хенкеля соответственно имеют вид :

(при граничных условиях первого и второго родов, а при граничных условиях третьего рода являются корнями уравнения);

где - корень уравнения (граничные условия первого рода), при граничных условиях третьего рода определяется из уравнения

Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма - Луивилля. Поэтому решения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами.

В целях преодоления упомянутых выше трудностей были разработаны различные методы приближенных интегральных преобразований, в которых прямое преобразование и обратный переход осуществлялись по приближенным формулам. Вместе с тем возникла идея разработки метода так называемых конечных интегральных преобразований Лапласа, или правильнее, конечных интегральных преобразований Грина. Остановимся на последнем вопросе несколько подробнее.

Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана-Меллина. Эта формула позволяеь получать решения в интересующей нас форме. Идея метода состоит в том, чтобы выбор ядра интегрального преобразования осуществлялся в соответствии дифференциальным уравнением и граничными условиями, т. е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодействия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции f(x) получается с помощью интегрального преобразования

а обратное преобразование по формуле (2.24), где вместо следует подставить.

Такой способ интегрального преобразования имеет свое физическое обоснование. Дело в том, что любое интегральное преобразование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естественно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером процесса и формой тела (видом дифференциального уравнения), но и в соответствии с граничными условиями. В этом случае решение для изображения функции будет представлять самостоятельный интерес, поскольку такое преобразование в физическом отношении будет представлять переход от анализа актуальных значений исследуемых функций (дифференциальное уравнение, условия однозначности) к усредненным значениям, сделанным в соответствии с конкретной постановкой той или иной задачи. Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма существенное преимущество перед классическими методами, так как они дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на основе анализа решения для усредненных значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия.

Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и осуществляется рядом последовательных операций. Например, для одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо:

1) на основе анализа дифференциального уравнения и краевых условий выбрать подходящее интегральное преобразование или группу интегральных преобразований;

2) умножить дифференциальное уравнение и граничные условия на выбранное ядро преобразования и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по переменной, подлежащей исключению; в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображений функций;

3) решить обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованных функций;

4) уточнить выражения произвольных постоянных, содержащихся в решении уравнения, для чего используются краевые условия;

5) найти оригиналы преобразованных функций, а следовательно, и окончательное решение задачи.