КА́НТОР Георг (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ; 1845, Петербург, - 1918, Галле, Германия), немецкий математик и мыслитель.

С 1856 г. жил в Германии . Окончил гимназию в Берлине , изучал математику в университетах Цюриха, Геттингена и Берлина. В 1867–1913 гг. работал в университете в Галле: ассистент, с 1872 г. - экстраординарный, а с 1879 г. - ординарный профессор. Научная деятельность Кантора прервалась в 1897 г. из-за тяжелой болезни.

Кантор - создатель теории множеств и теории трансфинитных чисел. В 1874 г. он установил существование неэквивалентных, то есть имеющих разные мощности бесконечных множеств, в 1878 г. ввел общее понятие мощности множеств (в предложенном им и принятом в математике обозначении мощностей множеств буквами еврейского алфавита , возможно, сказалось его еврейское - по отцу - происхождение). В главном труде «О бесконечных линейных точечных образованиях» (1879–84) Кантор систематически изложил учение о множествах и завершил его построением примера совершенного множества (так называемое множество Кантора).

В начале 20 в. на основе теории множеств была построена вся математика и возник ряд новых научных дисциплин - топология, абстрактная алгебра, теория функций действительного переменного, функциональный анализ и другие.

Теория множеств открыла новую страницу также в исследованиях оснований математики - работы Кантора позволили впервые отчетливо сформулировать современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики и понятии изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями. Важный толчок исследованиям логических оснований математики дали обнаруженные в теории множеств парадоксы, в частности, открытая Кантором проблема мощности множества всех множеств (которое неизбежно оказалось бы больше самого себя). Кантор развил также теорию действительных чисел, которая (наряду с теориями К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда) кладется в основание построения математического анализа.

В философии математики Кантор анализировал проблему бесконечности. Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Кантор, в отличие от предшественников, настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, Кантор в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии.

В проблеме существования в математике Кантор различал интрасубъективную, или имманентную (то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную, или транзистентную (то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Л. Кронекеру , отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем. Плодотворность этого подхода была подтверждена развитием математики в 20 в.

Признание пришло к Кантору лишь к концу творческого периода его жизни. В 1890 г. он был избран первым президентом Математического общества Германии.

В русском переводе ряд статей Кантора вошли в сборник «Новые идеи в математике», №6, СПб., 1914.

КАНТОР Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв. Окончил Университет Берлина (1867), профессор Университета Халле (1879-1913). Главный труд: "Основы общего учения о многообразиях" (1902). Исследования К., инициированные необходимостью решения насущных проблем теории бесконечных рядов Фурье, стали основой для дальнейших фундаментальных исследований в направлении теории числовых множеств, где им были введены: общее определение множества, трансфинитные числа, общее понятие "мощность множества" (как количество элементов множества), мощности различных трансфинитных множеств. Под множеством К. понимал "...вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...". Основополагающим в понятии множества является акт объединения различных объектов в единое целое, определяемое как множество. Элементами множеств могут быть любые объекты реальной дейсвительности, человеческой интуиции или интеллекта. Наличие в определении К. словосочетания "...совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона..." полностью определяет множество его элементами или законом (характеристическими признаками, свойствами), согласно которому происходит акт объединения различных объектов в единое целое - множество. Поэтому фундаментальным понятием теории множеств является не само понятие множества, а отношение принадлежности объектов множеству. К Аристотелю восходит традиция разделения бесконечности на актуальную и потенциальную: "Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование... Актуально бесконечное не существует" (Аристотель, "Физика"). Эта традиция продолжалась Декартом ("Бесконечность распознаваема, но не познаваема") и даже во времена К.Гаусса ("В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность - не более чем facon de parle /манера выражаться - С.С /, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают"). К., как писал М.Клайн, отошел от давней традиции "уже тем, что рассматривал бесконечные множества как единые сущности, притом сущности, доступные человеческому разуму". Резко расходясь со своими коллегами-математиками во взглядах на математическую бесконечность, К. мотивировал необходимость введения актуально бесконечных множеств тем, что "потенциальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечности". Классическим примером актуально бесконечного множества по К. являются десятичные разложения иррациональных чисел, т.к. каждый "конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу". К 1873 относится начало исследований К. по классификации актуально бесконечных множеств. Немного позднее К. определил бесконечное множество как множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с его собственным подмножеством (т.е. отличным от всего множества). Одним из следствий такого подхода стала, например, возможность установления взаимно однозначного соответствия между точками прямой линии и точками многообразия любой размерности. Основываясь на собственном определении бесконечных множеств, К. смог установить для каждой пары из них отношение эквивалентности (равномощности). В 1874 К. доказал несчетность множества всех действительных чисел, установив при этом существование пар бесконечных множеств, имеющих различные мощности (неэквивалентных множеств). Систематически основы своей теории математической бесконечности К. изложил в 1879-1884. Основанием иерархии бесконечностей К. стала доказанная в первой половине 1890-х широко известная теорема К.-Бернштейна: "если два множества А и В таковы, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством А и подмножеством множества В и между множеством В и подмножеством множества А, то возможно установить также и взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством В", т.е. установить равномощность (эквивалентность) множеств А и В. При этом, К. определял, что если множество А возможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством В, а множество В невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие с собственным подмножеством А, то множество В по определению больше множества А. По мнению М.Клайна, такое определение обобщает на случай бесконечных множеств то, что "непосредственно очевидно в случае конечных множеств". Следуя данному подходу, К. доказал, что для любого "заданного множества всегда найдется множество, большее исходного" (например, множество всех подмножеств данного множества больше первоначального множества). То, что между двумя мощностями возможно установление отношений "равенство", "больше" и "меньше", дало К. основание назвать "числами" символы обозначения мощностей бесконечных множеств (для конечных множеств символы обозначения их мощности суть числа натурального ряда, определяющие количество элементов в каждом из эквивалентных конечных множеств). В отличие от чисел натурального ряда [ординальных чисел /от нем. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - числительные порядковые - C.C.I, К. назвал кардинальными числами (от нем. Die Kardinalzahl - числительные количественные)] "числа" обозначения мощности бесконечных множеств. К. считал, что область определенных величин не исчерпывается конечными величинами, т.к. об "актуальном бесконечном также возможно доказательное знание". Если понятие мощности было расширенным понятием "количество" для бесконечных множеств, то понятие кардинального числа стало расширенным обобщением понятия "числа вообще". Расширение К. понятия "числа" в область Бесконечного ознаменовало переход математики на качественно новый уровень мышления. Фактически, мощность множеств по К. отражает в сознании человека-исследователя определенные отношения множеств, т.е. мощность множеств по К. - это наиболее общая характеристика эквивалентных бесконечных множеств. Больцано еще в начале 19 в. пришел к понятию взаимно однозначного соответствия между множествами (а, следовательно, и к понятию мощностей множеств и выражению их кардинальными числами). Однако под "количеством" до середины 19 в. понималась величина. А так как каждую величину посредством избранной единицы измерения возможно выразить числом, то представление о количестве ассоциировалось с понятием числа. Поэтом Больцано был вынужден отступить перед серьезными затруднениями, вытекавшими из понятия "количество". Математика того времени вообще определялась как наука , исследующая зависимости между величинами и выражающими их числами. Однако, как пишет В.А.Волков, "как бы ни были важны различные виды величин и зависимости между ними для практических приложений математики, они охватывают далеко не все богатства различных количественных отношений и пространственных форм действительного мира". К. также было введено в математику понятие "предельная точка производного множества", построен пример совершенного множества ("множество К."), сформулирована одна из аксиом непрерывности ("аксиома К."). Следствия из теории К. выявили противоречия в достаточно серьезно изученных областях оснований математики. Эти противоречия лидеры математики того времени назвали парадоксами (антиномиями) по одной той причине, что парадокс "может быть объяснен, а математиков не покидала надежда, что все встретившиеся трудности им в конце концов удастся разрешить". Теорию математической бесконечности К., в отличие от большинства ведущих математиков того времени, поддерживали Рассел и Гильберт. Рассел, считая К. одним из великих мыслителей 19 в., писал в 1910, что решение К. проблем, "издавна окутывающих тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век /20 в. - С.С./". Гильберту в 1926 представлялось, что теория К. - это "самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления". А Э.Борель и А.Лебег уже в самом начале 20 в. обобщили понятие интеграла и развивали теории меры и измерений, в основании которых лежала теория К. К 1897 К. был вынужден прекратить активные математические исследования вследствие резкого сопротивления его идеям (в частности, со стороны Л.Кронекера, называвшего К. шарлатаном), выдвинув так называемый "закон сохранения невежества": "нелегко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро к нему пришли и оно получило достаточно широкое распространение, причем, чем менее оно понятно, тем более упорно его придерживаются". К. всегда разделял философские идеи Платона и верил в то, что в окружающем нас Мире "идеи существуют независимо от человека. И чтобы осознать реальность этих идей, необходимо лишь задуматься над ними". К., будучи в соответствии с давней религиозной традицией своей семьи ревностным лютеранином, в своих высказываниях часто применял и теологическую аргументацию. Особенно это проявилось после отхода его от занятий математикой.

История Философии: Энциклопедия. - Минск: Книжный Дом . А. А. Грицанов, Т. Г. Румянцева, М. А. Можейко . 2002 .

Смотреть что такое "КАНТОР Георг (1845-1918)" в других словарях:

    Кантор, Георг - КАНТОР (Cantor) Георг (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы так называемой теории множеств совокупностей объектов произвольной природы, рассматриваемых как одно целое. Идеи Кантора оказали большое влияние на развитие математики. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    - (Cantor) (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей большое влияние на развитие математики. * * * КАНТОР Георг КАНТОР (Cantor) Георг (1845 1918), немецкий математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей… … Энциклопедический словарь

Он был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов, все выше - и ближе к Богу. Этой задаче он посвятил жизнь. Ученый твердо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями.


Семья Георга Кантора (1845-1918) переехала из России в Германию, когда он еще был ребенком. Именно там он начал изучать математику. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. В 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую общее решение очень сложной математической проблемы - и идеи, выросшие впоследствии в его знаменитую теорию - теорию множеств. В 1878 г. он ввел и сформулировал значительный ряд новых понятий, дал определение множества и первое определение континуума, развил принципы сравнивания множеств. Систематическое изложение принципов своего учения о бесконечности он дал в 1879-1884 гг.

Настойчивое стремление Кантора рассмотреть бесконечность как нечто актуально данное было для того времени большой новостью. Кантор мыслил свою теорию как совершенно новое исчисление бесконечного, "трансфинитную" (то есть "сверхконечную") математику. По его идее, создание такого исчисления должно было произвести переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора едва ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов, все выше - и ближе к Богу. Этой задаче он посвятил жизнь. Ученый твердо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями. Титаническая попытка Георга Кантора, впрочем, закончилась странно: в теории были обнаружены трудно преодолимые парадоксы, ставящие под сомнение и значение любимой идеи Кантора - "лестницы алефов", последовательного ряда трансфинитных чисел. (Эти числа широко известны в принятом им обозначении: в виде буквы алеф - первой буквы еврейского алфавита.)

Неожиданность и своеобразие его точки зрения, несмотря на все преимущества подхода, обусловили резкое неприятие его работ большей частью ученых. Десятилетиями он вел упорную борьбу почти со всеми современниками-философами и математиками, отрицавшими законность построения математики на фундаменте актуально-бесконечного. Некоторые приняли это как вызов, поскольку Кантор предполагал существование множеств или последовательностей чисел, имеющих бесконечно много элементов. Знаменитый математик Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел "болезнью", от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Л. Кронекер - учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии - даже нападал на Кантора, называя его "шарлатаном", "ренегатом" и "растлителем молодежи"! Только к 1890 г., когда были получены приложения теории множеств к анализу и геометрии, теория Кантора получила признание в качестве самостоятельного раздела математики.

Важно отметить, что Кантор способствовал созданию профессионального объединения - Немецкого математического общества, которое содействовало развитию математики в Германии. Он считал, что его научная карьера пострадала от предубежденного отношения к его трудам, и надеялся, что независимая организация позволит молодым математикам самостоятельно судить о новых идеях и заняться их разработкой. Он же был инициатором созыва первого Международного математического конгресса в Цюрихе.

Кантор тяжело переживал противоречия своей теории и сложности с ее принятием. С 1884 г. он страдал глубокой депрессией и через несколько лет отошел от научной деятельности. Умер Кантор от сердечной недостаточности в психиатрической лечебнице в Галле.

Кантор доказал существование иерархии бесконечностей, каждая из которых "больше" предшествующей. Его теория трансфинитных множеств, пережив годы сомнений и нападок, в конце концов, выросла в грандиозную революционизирующую силу в математике 20 в. и стала ее краеугольным камнем.

Происхождение и образование

В философии математики анализировал проблему бесконечности . Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Георг Кантор настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, он в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии. Некоторые христианские богословы, преимущественно представители неотомизма, увидели в трудах Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм.

В вопросе существования в математике различал интрасубъективную (имманентную, то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную (транзистентную, то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Кронекеру, отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Георг Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем.

Возражения философского плана идеям Кантора высказал Людвиг Витгенштейн .

Последние годы

В 1897 году научная деятельность Кантора прервалась из-за тяжёлой болезни. Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца его дней приступы депрессии некоторое время ставили в вину современникам Кантора, занявшим слишком агрессивную позицию, эти приступы, как считают, были проявлением биполярного расстройства и маниакально-депрессивного психоза.

Был женат на Валли Гутман, с которой имел шестеро детей, последний из которых родился в 1886 году . Несмотря на скромное академическое жалование, математик оказался в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству.

Умер 6 января 1918 года в Галле (Заале).

Его именем был ударный кратер на обратной стороне Луны.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) - один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне))

Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств .

Понятие множества сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка в математике или информация в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое» .

Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества . Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности - тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.

Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" - учение о множествах.

Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.

Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.

Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.

Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):

Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.