Муниципальное образовательное учреждение.

Вознесенская средне образовательная школа.

Реферат по математике

на тему «Аксиоматика и аксиоматический метод»

ученика 7 класса Каера Евгения Викторовича.

Руководитель Пузикова Н. В.

с. Вознесенка, 2007 г.

изучение аксиоматического метода и его применений в различных областях знаний.

· Выяснить, что такое аксиоматика.

· Рассмотреть применения аксиоматического метода в геометрии

· Научиться применять аксиоматический метод.

1. Введение. Что такое аксиоматика.

2. Аксиоматический метод - важнейший научный метод.

3. Аксиоматический метод в геометрии.

4. Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.

6. Литература.

1. Введение. Что такое аксиоматика.

Аксиома-это некоторые утверждения о свойствах вещей, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых далее доказываются теоремы и, вообще, строится вся теория.

Аксиоматика – система аксиом той или иной науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом. аксиоматика числового поля-9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств и др.

Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей. Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т.е. на базе соответствующей системы аксиом.

2. Аксиоматический метод – важнейший научный метод

Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира. Большинство правлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строится на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения и в естествознании.

Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области знаний заключается в следующем:

1. Перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;

2. Указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;

3. С помощью определений вводятся дальнейшие понятия;

4. Исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты – теоремы.

Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.

Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода.

3. Аксиоматический метод в геометрии

При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первые основные понятия, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.

Для примера рассмотрим аксиому параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

4.Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.

Чтобы объяснить подробнее, как применяется аксиоматический метод, приведем пример. Допустим, несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно четыре партии с кем-либо из остальных участников (а белыми или черными фигурами –по жребию).Чтобы составить расписание турнира, нужно сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:

Аксиома 1. Число игроков нечетно.

Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях .

Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока .

Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.

Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.

Теорема 1.Число игроков не меньше пяти .

Доказательство. Так как нуль- четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок А. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в четырех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме А, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть В,С,Д,Е - игроки, отличные от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки В,С,Д,Е различны (если бы, например, было В=С, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок А и игрок В=С).Итак, мы нашли уже пятерых игроков: А,В,С,Д,Е. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.

Теорема.2. Число всех выступлений игроков четно .

q- некоторая партия, введем новое понятие - (q,А)- выступление игрока.

Доказательство. Каждая партия дает два выступления игроков (q,А),(q,В),(по аксиоме 3), число всех выступлений 2n, где n число игроков (А 4). Следовательно, число всех выступлений игроков кратно 2, т.е. четно.

Теорема3.Число выигрышей в турнире не превышает число игроков.

Доказательство. Пусть п - число игроков, тогда 2п - число выступлений игроков (А), п - число сыгранных партий(А3). Рассмотрим два случая:

1. Во всех партиях были победитель и проигравший. Тогда число выигрышей будет равно числу партий, т.е. п.

2. Некоторые партии закончились вничью, пусть таких партий будет к. Тогда в оставшихся п - к партиях был выявлен победитель, т.е. число выигрышей не превышает число партий. Теорема доказана.

Прочитав литературу, я узнал, что такое аксиома, что такое аксиоматический метод и, как он применяется в геометрии. Изучив аксиоматический метод я применил его к исследованию шахматного турнира.

Литература.

Энциклопедический словарь юного математика

/Сост. Э- 68 А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.

Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. Учереждений /Л.С. Атанасян и др. Просвещение, 2004.

Аксиоматический метод

Наименование параметра Значение
Тема статьи: Аксиоматический метод
Рубрика (тематическая категория) История

Аксиомой называют отправное, исходное положение какой-либо теории, находящееся в базе доказательств других положений (к примеру, теорем) этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств. В обыденном сознании и языке аксиомой называют некую истину, настолько бесспорную, что она не требует доказательств.

Итак, аксиоматический метод - ϶ᴛᴏ один из способов дедуктивного построения научной теории, при котором выбирается неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ множество принимаемых без доказательства положений, называемых ʼʼначаламиʼʼ, ʼʼпостулатамиʼʼ или ʼʼаксиомамиʼʼ, а всœе остальные предложения теории получается как логическое следствие этих аксиом.

Аксиоматический метод в математике берет начало по меньшей мере от Евклида, хотя термин ʼʼаксиомаʼʼ часто встречается и у Аристотеля: ʼʼ… Ибо невозможны доказательства для всœего: ведь доказательство должно даваться исходя из чего-то относительно чего-то и для обоснования чего-то. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выходит, что всœе, что доказывается, должно принадлежать к одному роду, ибо всœе доказывающие науки одинаково пользуются аксиомами. <…> Аксиома обладает наивысшей степенью общности и суть начала всœего. <…> Началами доказательства я называю общепринятые положения, на основании которых всœе строят свои доказательства. <…> О началах знания не нужно спрашивать ʼʼпочемуʼʼ, а каждое из этих начал само по себе должно быть достоверным. Правдоподобно то, что кажется правильным всœем или большинству людей или мудрым – всœем или большинству из них или самым известным и славнымʼʼ. (См., к примеру, Аристотель. Сочинœения в четырех томах. Т. 2. Топика. М.: Мысль, 1978. С. 349).

Как видно из последнего фрагмента ʼʼТопикиʼʼ Аристотеля, основанием принятия аксиомы служит некая ʼʼдостоверностьʼʼ и даже авторитет ʼʼизвестных и славныхʼʼ людей. Но в настоящее время это не считается достаточным основанием. Современные точные науки, в т.ч. сама математика, не прибегают к очевидности как к аргументу истинности: аксиома просто вводится, принимается без доказательств.

Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик и физик, указывал, что термин аксиоматический употребляется иногда в более широком, а иногда и в более узком смысле слова. При самом широком понимании этого термина построение какой-либо теории мы называем ʼʼаксиоматическимʼʼ. В этом отношении Д. Гильберт различает содержательную аксиоматику и формальную аксиоматику .

Первая ʼʼ…вводит свои основные понятия со ссылкой на имеющийся у нас опыт, а свои основные положения либо считает очевидными фактами, в которых можно непосредственно убедиться, либо формулирует их как итог определœенного опыта и тем самым выражает нашу уверенность в том, что нам удалось напасть на след законов природы, а заодно и наше намерение подкрепить эту уверенность успехом развиваемой теории. Формальная аксиоматика тоже нуждается в признании очевидности за вещами определœенного рода - ϶ᴛᴏ крайне важно как для осуществления дедукции, так и для установления непротиворечивости самой аксиоматики – однако с тем существенным различием, что данный род очевидности не основывается на каком-либо особом гносœеологическом отношении к рассматриваемой конкретной области науки, а остается одним и тем же в случае любой аксиоматики: мы имеем здесь в виду столь элементарный способ познания, что он вообще является предварительным условием любого точного теоретического исследования. <…> Формальная аксиоматизация по крайне важно сти нуждается в содержательной как в своем дополнении, поскольку именно эта последняя поначалу руководит нами в процессе выбора соответствующих формализмов, а затем, когда формальная теория уже имеется в нашем распоряжении, она подсказывает нам, как эта теория должна быть применена к рассматриваемой области действительности. С другой стороны, мы не можем ограничиться содержательной аксиоматикой по той простой причинœе, что в науке – если не всœегда, то всœе же по преимуществу – мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное положение вещей, а являются лишь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не должна быть обоснована путем ссылки на очевидность ее аксиом или опыт. Более того, ее обоснование и должна быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализации, ᴛ.ᴇ. той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения переступают границы наглядно очевидного или данных опытаʼʼ (курсив мой, – Ю.Е.). (Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979. С. 23.)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, современно понимаемый аксиоматический метод сводится к следующему: а) выбирается множество принимаемых без доказательств аксиом; б) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; в) фиксируются правила определœения и правила вывода данной теории, позволяющие логически выводить одни предположения из других; г) всœе остальные теоремы выводятся из ʼʼаʼʼ на базе ʼʼвʼʼ. Таким методом в настоящее время построены различные разделы математики (геометрия, теория вероятностей, алгебра и др.), физики (механика, термодинамика); делаются попытки аксиоматизации химии и биологии . Гёделœем доказана невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (к примеру, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания. При исследовании естественнонаучного знания аксиоматический метод выступает в форме гипотетико-дедуктивного метода . Употребление в обыденной речи понятия ʼʼаксиомаʼʼ как некоей априорной очевидности уже не отражает сути этого понятия. Такое аристотелœевское понимание данного термина в математике и естествознании в настоящее время преодолено. Обсуждение аксиоматики уместно сопроводить фрагментом классического сочинœения Карла Раймунда Поппера:

ʼʼТеоретическую систему можно назвать аксиоматизированной, в случае если сформулировано множество высказываний-аксиом, удовлетворяющее следующим четырем фундаментальным требованиям: (а) система аксиом должна быть непротиворечивой (то есть в ней не должно быть ни самопротиворечивых аксиом, ни противоречий между аксиомами). Это эквивалентно требованию, что не всякое произвольное высказывание выводимо в такой системе. (b) Аксиомы данной системы должны быть независимыми, то есть система не должна содержать аксиом, выводимых из остальных аксиом. (Иными словами, неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ высказывание можно назвать аксиомой только в том случае, в случае если оно не выводимо в оставшейся после его удаления части системы). Эти два условия относятся к самой системе аксиом. Что же касается отношения системы аксиом к основной части теории, то аксиомы должны быть: (c) достаточными для дедукции всœех высказываний, принадлежащих к аксиоматизируемой теории, и d) необходимыми в том смысле, что система не должна содержать излишних предположений. <…> Я считаю допустимыми две различные интепретации любой системы аксиом. Аксиомы можно рассматривать либо (1) как конвенции , либо (2) как эмпирические, или научные гипотезы ʼʼ (Поппер К. Р. Логика научного исследования. М.: Республика, 2005. С. 65).

В истории науки можно найти ряд примеров перехода на аксиоматический способ изложения теории. Более того, последовательное применение этого метода к логике доказательства теорем в геометрии позволило переосмыслить эту древнюю науку, открыв мир ʼʼнеевклидовых геометрийʼʼ (А. И. Лобачевский, Я. Бойаи, К.Гаусс, Г. Ф. Б. Риман и др.). Этот метод оказался удобным и продуктивным, позволяющим выстраивать научную теорию буквально как монокристалл (так, в частности, излагается сейчас теоретическая механика и классическая термодинамика). Несколько позже, уже в 30-х годах XX столетия отечественный математик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей, которая, как уверенно полагают историки науки, до этого опиралась на эмпирические образы азартных игр (ʼʼорлянкаʼʼ, кости, карты). В связи с этим есть смысл предложить вниманию читателя два фрагмента из текстов классиков науки и педагогики, которые умели писать, как говорил Бердяев, не только ʼʼо чем-тоʼʼ, но и ʼʼчто-тоʼʼ.

Р. Курант и Г. Роббинс: ʼʼВ системе Евклида имеется одна аксиома, относительно которой – на базе сопоставления с эмпирическими данными, с привлечением туго натянутых нитей или световых лучей – никак нельзя сказать, является ли она ʼʼистиннойʼʼ. Это знаменитый постулат о параллельных , утверждающий, что через данную точку, расположенную вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Своеобразной особенностью этой аксиомы является то, что содержащееся в ней утверждение касается свойств прямой на всœем ее протяжении , причем прямая предполагается неограниченно продолженной в обе стороны: сказать, что две прямые параллельны, – значит утверждать, что у них нельзя обнаружить общей точки, как бы далеко их ни продолжать, Вполне очевидно, что в пределах некоторой ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была обширна, напротив, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. Так как максимально возможная длина линœейки, нити, даже светового луча, прослеживаемого с помощью телœескопа, непременно конечна и так как внутри круга конечного радиуса существует много прямых, проходящих через данную точку и в пределах круга не встречающихся с данной прямой, то отсюда следует, что постулат Евклида никогда не должна быть проверен экспериментально. <…> Венгерский математик Бойаи и русский математик Лобачевский положили конец сомнениям, построивши во всœех деталях геометрическую систему, в которой аксиома параллельности была отвергнута. Когда Бойаи послал свою работу ʼʼкоролю математикиʼʼ Гауссу, от которого с нетерпением ждал поддержки, то получил в ответ уведомление, что самим Гауссом открытие было сделано раньше, но он воздержался в свое время от публикации результатов, опасаясь чересчур шумных обсуждений.

Посмотрим, что же означает независимость аксиомы параллельности. Эту независимость следует понимать в том смысле, что возможно свободное от внутренних противоречий построение ʼʼгеометрическихʼʼ предложений о точках, прямых и т.д., исходя из системы аксиом, в которой аксиома параллельности заменена противоположной. Такое построение принято называть неевклидовой геометрией (курсив мой, – Ю.Е.). Нужно было интеллектуальное бесстрашие Гаусса, Бойаи и Лобачевского, чтобы осознать, что геометрия, основанная не на евклидовой системе аксиом, должна быть абсолютно непротиворечивой (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Мы умеем теперь строить простые ʼʼмоделиʼʼ такой геометрии, удовлетворяющие всœем аксиомам Евклида, кроме аксиомы параллельностиʼʼ (Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. С. 250).

Различные варианты неевклидовых геометрий (к примеру, геометрия Римана, а также геометрия в пространстве более чем трех измерений) позже нашли применение в построении теорий, относящихся к микромиру (релятивистская квантовая механика, физика элементарных частиц) и, напротив, к мегамиру (общая теория относительности).

Наконец, мнение отечественного математика Андрея Николаевича Колмогорова: ʼʼТеория вероятностей или математическая дисциплина может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всœе дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений (курсив мой, – Ю.Е.). <…> Всякая аксиоматическая (абстрактная) теория допускает, как известно, бесконечное число конкретных интерпретаций. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, и математическая теория вероятностей допускает наряду с теми интерпретациями, из которых она возникла, также много других. <…> Аксиоматизация теории вероятностей должна быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора базовых понятий и базовых соотношений. В случае если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения из нее дальнейшей теории, то представляется наиболее целœесообразным аксиоматизирование понятий случайного события и его вероятности. Существуют также другие системы аксиоматического построения теории вероятностей, а именно такие, в которых понятие вероятностей не относится к числу базовых понятий, а само выражается через другие понятия [сноска: Ср., к примеру, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig u. Wien, Fr. Deuticke, 1931; Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 2-е изд., Москва, ГТТИ, 1934.]. При этом стремятся, однако, к другой цели, а именно, по возможности к наиболее тесному смыканию математической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятностиʼʼ (Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. С. 9).

Аксиоматический метод - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Аксиоматический метод" 2017, 2018.

В математике АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим, остававшимся единственным вплоть до ХIХ века образцом применения АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА была геометрическая система, известная под названием «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА (около 300 лет до новой эры)

Среди аксиом Евклида была так называемая «аксиома о параллельных прямых» (она же - «пятый постулат Евклида»). Сегодня она формулируется так: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной» (у Евклида была несколько иная формулировка, но эквивалентная этой, как показали более поздние ученые).

По своему характеру эта аксиома сильно отличалась от остальных его аксиом, была сложнее их. Многие математики в течение почти двух тысяч лет предпринимали попытки доказать этот постулат, исходя из остальных аксиом. И лишь в 19 веке было окончательно выяснено (и в чем состоял выдающийся вклад русского математика Николая Лобачевского), что данную аксиому нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

Наконец, на рубеже 19–20 веков немецкий математик Давид Гильберт, во-первых, записал евклидову геометрию в виде формальной аксиоматической теории (дописав, в том числе, некоторые недостающие аксиомы), а во-вторых, показал, что эта теория полна, то есть всякое утверждение можно в данной теории либо доказать, либо опровергнуть (то есть доказать его

отрицание). Это было одним из величайших вкладов в развитие аксиоматического метода и подтолкнуло к последовавшей формализации всей математики.

Аксиоматический метод - это способ построения и систематизации научного знания в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые утверждения выбираются в качестве исходных положений (аксиом), а все остальные утверждения (теоремы) этой теории доказывают (или выводят), исходя лишь из аксиом с помощью чисто логических рассуждений.

И аксиомы, и теоремы - это высказывания (утверждения) на некотором языке о некоторых понятиях (или терминах). Поэтому, прежде чем формулировать аксиомы и доказывать теоремы, мы должны договориться, о каких именно понятиях пойдет речь. Понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие

обозначают отношения между ними.

Одни понятия можно определять через другие. В какой-то момент необходимо остановиться и объявить некоторые понятия неопределяемыми (или исходными), и через них определять все остальные понятия (определяемые или производные), о которых говорится в данной теории.

Итак, чтобы пользоваться аксиоматическим методом построения теории, нужно:

(1) выбрать исходные понятия;


(2) сформулировать аксиомы («исходные» утверждения) об этих понятиях;

(3) выводить новые утверждения (теоремы) о них, пользуясь логикой и аксиомами.

В пунктах (2) и (3) можно вводить новые понятия (определяемые) через исходные и определенные ранее. Ввод новых понятий не добавляет новой информации, так как всегда можно заменить употребление этих понятий на их определение через исходные. Однако их использование позволяет сделать формулировки утверждений и доказательств короче и понятней. При этом надо следить, чтобы понятия вводились «последовательно» - каждое «следующее» новое понятие определялось через «ранее» определенные, то есть чтобы не возникал «порочный круг» (одно понятие определяется через второе, второе - через третье, и т.д., последнее - через первое).

Аналогично, в пункте (3) можно опираться не только на выбранные аксиомы, но и на доказанные «ранее» теоремы. Это позволяет делать доказательства более краткими, не доказывая одни и те же утверждения повторно.


Аксиоматический метод применяется не на этапе нового знания, а на этапе систематизации уже добытого знания. Аксиоматический метод можно образно представить как метод «шлифовки» уже добытого, но еще не оформленного, не систематизированного достаточно полно знания. Однако это только одна сторона дела. В результате «шлифовки», т.е. применения аксиоматического метода, теория приобретает логическую завершенность и такую форму, которая необходимо ведет к поиску нового зна-ния, выводит на конструирование новых математических теорий. Соответствующая функция аксиоматизации проявляется не сразу, так как она сама как метод формализации тоже развивается, т.е. аксиоматизация выступает в двух аспектах: и как результат формализации и как средство познания

Как полуформальная, так и формальная аксиоматизация в качестве предмета изучения использует интерпретацию. Метод интерпретации позволяет выработать способы истолкования, определения исходных понятий одной системы средствами другой, уже известной системы. Интерпретация как метод познания действительности применялся математикой давно. При интерпретации первоначальных объектов математики происходит соотнесение их с реальными объектами, благодаря чему знание о них становится более содержательным. Однако такая соотнесенность имеет опосредованный характер и ограниченное число интерпретаций, вплоть до единичной, что связано со спецификой объектов определенной конкретной области. При интерпретации более высоких уровней абстрактных объектов, образующих уже систему формализованную, возможна целая совокупность, множество интерпретаций, среди которых выделяются математические и естественнонаучные. Одни математические структуры интерпретируются другими математическими структурами.

Для формальной теории истинность теоремы означает, прежде всего, её доказуемость. Для содержательной теории утверждение истинно, если оно истинно в любой модели данной теории. Таким образом, и для любой формальной теории возникают a’ priori два понимания “истинности” формулы: доказуемость и тождественная истинность (истинность при любой интерпретации рассматриваемой теории).

Интерпретация формальной теории (или модель теории )определяется понятию интерпретации для множества формул исчисления предикатов. Не вдаваясь в формальности, ограничимся только намёком: модель теории (или интерпретация) – это некоторое множество вместе с зафиксированными на нём конкретными константами, предикатами и функциями для всех выделенных константных, предикатных и функциональных символов, участвующих в аксиомах теории. При этом требуется, чтобы все аксиомы теории в любой интерпретации этой теории представляли собой истинные в этой модели утверждения .


17. Метод интерпретации. Формальная аксиоматическая теория.

Интерпретация в математике, логике - совокупность значений (смыслов), придаваемых тем или иным способом элементам (выражениям, формулам, символам и т. д.) какой-либо естественнонаучной или абстрактно-дедуктивной теории. В тех же случаях, когда такому «осмыслению» подвергаются сами элементы этой теории, то говорят также об интерпретации символов, формул и т. д.

Конец XIX – начало XX вв.

Стремление к формальному построению аксиоматических теорий;

Поиск новых средств и методов обоснования математики в связи с парадоксами теории множеств;

Понимание того, что метод доказательства с помощью моделей и интерпретаций имеет лишь относительный характер (аксиоматика Пеано, непротиворечивость арифметики целых чисел)

Вариант формализованной аксиоматики осуществляется путем замены содержательных исходных положений (аксиом) и исходных объектов формулами и символами.

Знаки и формулы этого языка не несут никакого содержательного смысла.

Вывод: Математическая теория, непротиворечивость которой требовалось доказать, стала предметом другой математической теории, которую Гильберт назвал математикой или теорией доказательств.

К. Гёдель – математик и логик.

Выводы из теории Гёделя:

Любая формула, отношение которой невыводимо, является выполнимой;

Непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте.

Любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел заведомо неполна. Для любых систем доказательств существуют истинные утверждения, которые даже в таком определенном направлении математики остаются недоказуемыми.

Гёдель делает вывод об ограниченности аксиоматического метода.


18. История возникновения фрактальной геометрии. Значение фрактальной геометрии.

Понятие фрактал, появилось в конце 70-х годов 20 в.. Оно было введено в обращение в 1975 году французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Важную роль в широком распространении идей фрактальной геометрии сыграла книга Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В работах Б. Мандельброта использованы научные результаты, полученные многими учеными. Это объясняется тем, что самому факту появления фракталов более ста лет. Однако появление их в математической литературе было встречено с неприязнью. Общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей математических причуд, а не для подлинных ученых. Заслуга Б. Мандельброта в том, что ему удалось собрать разрозненные сведения, объединить их в единую систему, увидеть общее в многообразии, указать на важность своего открытия.

История развития идей фрактальной геометрии тесно связана с именами таких известных математиков, как К. Вейерштрасс, Г. Кантор, Дж. Пеано, Ф. Хаусдорф, А.С. Безикович, Х. Кох, В. Серпинский и др. Так К. Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде не дифференцированную функцию. Ф. Хаусдорф в 1919 г. ввел понятие о дробной размерности множеств и привел примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие математические объекты. Идеи Ф. Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты А.С. Безиковичем.

Большой вклад в будущую фрактальную геометрию внесли работы французских математиков Г. Жулиа и П. Фату, которые в начале ХХ века занимались теорией рациональных отображений в комплексной плоскости. Практически полностью забытая, их деятельность получила неожиданное развитие в начале восьмидесятых годов, когда с помощью компьютеров математикам удалось получить прекрасные картины, показывающие примеры таких отображений.

В настоящее время язык фрактальной геометрии широко используется

в физике:

– при изучении поглощения или рассеяния излучения в пористых средах;

– для характеристики сильно развитой турбулентности;

– при моделировании свойств поверхности твердых тел;

– для описания диэлектрического пробоя и молнии;

– при анализе процессов усталостного разрушения материалов;

– при исследовании различных стадий роста вещества за счет диффузии;

в астрономии :

– при описании процессов кластеризации галактик во Вселенной;

в картографии:

– при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел;

в биологии:

– при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.


Вопрос 19 Геометрические фракталы: триадная кривая Кох.

Геометрические фракталы самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором . За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 1.6) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент , обозначенный на рис.1 через n=1 . В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3 . Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n -го поколения при любом конечном n называется предфракталом . На рис. 1.6 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом.


20. Геометрические фракталы: салфетка Серпинского.

Рассмотрим самоподобную фигуру, придуманную польским математиком В.Серпинским (1882–1969).

Она получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. Проследим построения нового квартала более подробно. Разделим данный квадрат на девять равных квадратов и квадрат, расположенный в середине, вырежем. Получим квадрат с пустотой (рис . 10а). Для оставшихся восьми квадратов вновь повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты удалим (рис . 10б). Повторяя похожие построения, будем получать все более “дырявую” фигуру (рис . 10в). То, что остается после всех вырезаний, и будет ковром Серпинского.

Рис . 10

Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре (салфетке) Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без «дырки».

Начиная не с квадрата, а с равностороннего треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим еще одну самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского. Она носит название «салфетки Серпинского» (рис. 11).

Рис . 11


21. Фрактал Кантора.

Георг Кантор (1845-1918) явился одним из основателей теории множеств. Он также придумал один из старейших фракталов - множество Кантора (описано им в 1883) (называют иногда пылью). Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого фрактала.

Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Способ построения этого множества следующий. Берётся отрезок прямой единичной длины. Затем он делится на три равные части, и вынимается средний отрезок. Это первый шаг итерационной процедуры. На втором шаге подобной процедуре деления на три равные части и последующего удаления середины подвергается каждый из двух оставшихся отрезков. Так продолжая до бесконечности, получим множество Кантора. Нетрудно заметить, что суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю, так кам мы исключили в результате длину, равную 1:

Проведём построение более формально на множестве. Берём отрезок единичной длины . Удаляем из него открытый интервал , получая . На следующем и всех остальных шагах вы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Т. о. на втором шаге мы имеем . Предельное множество , которое представляет собой пересечение множеств , , и представляет собой пыль Кантора.

Множество Кантора имеет мощность континуума. Для этого необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из множества Кантора и точками отрезка . Будем представлять все точки отрезка в виде двоичной дроби, а точки пыли Кантора в виде троичной дроби. В случае, когда точка имеет два представления, мы будем всегда выбирать то, которое заканчивается всеми единицами в двоичном виде и всеми двойками в троичном. Заметим, что точка попадает в множество Кантора тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении присутствуют только нули и двойки, поэтому искомое соответствие осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении на единицы. Описанная процедура и определяет ваимно однозначное соответствие между множеством Кантора и отрезком .

Непосредственно с множеством Кантора связана чёртова лестница .


22. Фрактальная размерность. Примеры вычисления размерности фракталов.

Фрактал – множество с дробной размерностью.

Фрактал – множество, размерность Хайсдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности.

Типы размерности:

1) Евклидова: минимальное число координат, необходимых для однозначного определения положения точки;

2) Тополог.: размерность любого множества на 1 больше размерности разреза, делящего его на две несвязнае части (тополог.размерность отрезка-1, топол.разм. квадрата-2, плоскости-2);

3) Размерность самоподобия . Размерность самоподобия – один из частных случаев фрактальной размерности.

Размерность Хаусдорфа - естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве.

Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой - единице, размерность гладкой поверхности - двум и размерность множества ненулевого объёма - трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.


23. Алгебраические фракталы: метод построения алгебраических фракталов.

Свое название эти фракталы получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Примеры: множество Мандельброта, множество Жюлиа, фрактал Ньютона.

Метод:

1. Выбирается формула (функция), в нее подставляется число и получается результат.

2. Полученный результат подставляется в эту же формулу и получается следующее число.

3. Повторение процедуры.

4. Получается набор чисел, являющихся точками фрактала.

Функция для разных точек может иметь разное поведение:

1. Стремится к бесконечности.

2. Стремится к 0.

3. Принимает несколько фиксированных значений.

4. Хаотичное поведение.


24 вопрос. Множество Мандельброта (один из самых известных фрактальных объектов) впервые было построено (визуально с применением ЭВМ) Бенуа Мандельбротом весной 1980 г. в исследовательском центре фирмы IBM им. Томаса Дж. Уотсона. И хотя исследования подобных объектов начались ещё в прошлом веке, именно открытие этого множества и совершенствование аппаратных средств машинной графики в решающей степени повлияли на развитие фрактальной геометрии и теории хаоса. Итак, что же такое множество Мандельброта.

Рассмотрим функцию комплексного переменного . Положим и рассмотрим последовательность , где для любого . Такая последовательность может быть ограниченной (т.е. может существовать такое r, что для любого ) либо "убегать в бесконечность" (т.е. для любого r > 0существует ). Множество Мандельброта можно определить как множество комплексных чисел c, для которых указанная последовательность является ограниченной. К сожалению, не известно аналитического выражения, которое позволяло бы по данному c определить, принадлежит ли оно множеству Мандельброта или нет. Поэтому для построения множества используют компьютерный эксперимент: просматривают с некоторым шагом множество точек на комплексной плоскости, для каждой точки проводят определённое число итераций (находят определённое число членов последовательности) и смотрят за её "поведением". (Рис. 4).

Доказано, что множество Мандельброта размещается в круге радиуса r=2 с центром в начале координат. Таким образом, если на некотором шаге модуль очередного члена последовательности превышает 2, можно сразу сделать вывод, что точка, соответствующая c, определяющему данную последовательность, не принадлежит множеству Мандельброта.

Уменьшая шаг, с которым просматриваются комплексные числа, и увеличивая количество итераций, мы можем получать сколь угодно подробные, но всегда лишь приближённые изображения множества.

Пусть в нашем распоряжении имеется N цветов, занумерованных для определённости от 0 до N-1. Будем считать, опять же для определённости, что черный цвет имеет номер 0. Если для данного c после N-1 итераций точка не вышла за круг радиуса 2, будем считать, что c принадлежит множеству Мандельброта, и покрасим эту точку c в чёрный цвет. Иначе, если на некотором шаге k (k Є ) очередная точка вышла за круг радиуса 2 (т.е. на k-ом шаге мы поняли, что она "убегает"), покрасим её в цвет k.

Красивые изображения получаются при удачном выборе палитры и окрестности множества (а именно вне множества мы и получим "цветные точки). (Рис. 5, 6).

Рис. 5 Рис. 6


25. Основные понятия теории узлов

Модель узла - замкнутая, несамопересекающаяся кривая в пространстве.

Узел – это замкнутая линия в пространстве, гладкая или ломаная, которая может быть как угодно закручена и переплетена.

Под развязыванием узла будем понимать выпрямление этого отрезка путем деформации его в трехмерном пространстве.

тривиальный узел (окружность)

Изображение узла называется диаграммой узла.

Зацеплением называется конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве.

Два узла называются изотопными (эквивалентными), если от одного к другому можно перейти последовательно выполняя преобразования, которые называются элементарными изотопиями.

Два узла изотопны, если один узел можно перевязать в другой, не разрезая его и не допуская самопересечений.

Математика - это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.

П.Дирак

Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.

Евклид

1.1 Сущность аксиоматического метода

Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.

Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.

Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.

Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.

Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.

К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.

Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .

Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.

Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .

Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.

Пример 2.

Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».

Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».

Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:

      перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);

      формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;

      предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;

      предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.

способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.

Отличное определение

Неполное определение ↓

Аксиоматический метод

от греч. axioma – принятое положение) – способ построения научной теории, в качестве ее основы априори принимающий положения, из которых все остальные утверждения теории выводятся логическим путем. Полная аксиоматизация теорий невозможна (К.Гедель, 1931).

Отличное определение

Неполное определение ↓

Аксиоматический метод

от греч. axi?ma - принятое положение) - способ построения теории, основанный на принятых (или доказанных ранее) исходных положениях (аксиомах и постулатах), из которых логическим путем, посредством доказательств выводятся остальные знания. Философскую интерпретацию аксиоматический метод как применение дедукции получил в учении Р. Декарта. В той или иной степени аксиоматический метод был использован в различных науках - в философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), биологии (Дж. Вуджер) и др. Однако основной сферой его применения остаются математика и символическая логика, а также ряд областей физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (аксиомы), или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем посредством доказательства. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Этот метод начали использовать при построении геометрии в Древней Греции. Наиболее успешно он реализуется для организации математического знания, где огромный вес в познании принадлежит конструктивно-созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно-технических науках этот метод занимает подчиненное положение по сравнению с другими когнитивными методами.

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически следовали бы все остальные истинные высказывания (теоремы и единичные истинные высказывания). Идеал аксиоматического построения научного знания, начало реализации которого было положено построением геометрии в Древней Греции (VII - IV вв. до н. э.), оказался наиболее подходящим для организации систем математического знания, где огромный вес в познании принадлежит не только эмпирически-абстрагирующей деятельности рассудка, но и конструктивно-созидательной деятельности разума. В естествознании, социально-гуманитарных и инженерно-технических науках аксиоматический метод организации знания занимает подчиненное положение по сравнению с другими формами когнитивной организации. (См. доказательство, дедукция, теория, метод).

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ построения науч. теории, при к-ром в ее основе лежат нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться логич. путем, посредством доказательства. Назначение А.м. состоит в ограничении произвола при принятии науч. суждений в кач-ве истин данной теории. Построение науки на основе А.м. обычно называется дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А.м., применяются во мн. науках. Но несмотря на попытки систематич. применения А.м. в философии (Спиноза), социологии (Вико), политэкономии (Родбертус-Ягецов), биологии (Вуджер) и др. науках, гл. обл. его приложения остаются математика и символич. логика, а также нек-рые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.). Одним из первых примеров применения А.м. явл. «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.). Б.Н.Махутов

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

А. м. - особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.

А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря "Началам" Евклида, появившимся около 330 - 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его "аксиомах и постулатах" все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. "Скрытые" допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.

A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал известный математик и логик К. Гедель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Геделя теорема).

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ построения науч. теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путем, посредством доказательств. Построение науки на основе А. м. обычно наз. дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введенные понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во мн. науках, однако гл. область его приложения - математика, логика, а также нек-рые разделы физики.

Идея А. м. впервые была высказана в связи с построением геометрии в Др. Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для совр. стадии развития А. м. характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального А. м., к-рая ставит задачу точного описания логич. средств вывода теорем из аксиом. Осн. идея Гильберта - полная формализация языка науки, при к-рой ее суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при нек-рой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) - это нек-рая последовательность формул, каждая из к-рых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Осн. требования, предъявляемые к аксиоматич. формальным системам - непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Геделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых науч. теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности А. м. Осн. принципы А. м. были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления. См. также Формализм в математике и логике, Теория.

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в, в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. 20 в - как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Геделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др, включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные ("принципы") и требующие доказательства ("доказываемые"). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат "Начала" Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. - требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие "аксиома". Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как "полуаксиоматический") и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики "во всех мирах"; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т. и. постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояяя, для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, или интуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., /»-адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» - все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении «Начал» Евклида с «Основаниями геометрии» Д. Гильберта-новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в. К концу того же века Дж. Пеано дал аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс -логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико-модельным.

Отличное определение

Неполное определение ↓

аксиоматический метод

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) - принятое положение - способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы и постулата упоминаются уже Аристотелем. У древних греков аксиомой называлось ясно сформулированное положение, настолько самоочевидное, что его не доказывают и кладут в основу других доказательств. Постулат - утверждение о возможности выполнить некоторое построение. Поэтому «Целое больше части» - аксиома, а «Из данной точки данным радиусом можно описать окружность» - постулат. В дальнейшем понятие аксиомы поглотило понятие постулата, поскольку не были осознаны понятия дескриптивности и конструктивности (аксиома описывает, постулат строит). Почти все аксиомы эллинской геометрии были сформулированы настолько четко и удачно, что не вызывали сомнений. Однако одно из положений Евклида, а именно пятый постулат, эквивалентный утверждению «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну», с самого начала вызывало сомнения. Более того, до Евклида эллины исследовали все три возможные гипотезы: 1) нельзя провести ни одной параллельной прямой, 2) можно провести больше одной и 3) можно провести лишь одну параллельную прямую; но Евклид осознанно выбрал одну формулировку, поскольку лишь в таком случае существовал квадрат и понятие подобия фигур. В дальнейшем наличие альтернатив было забыто, и пятый постулат неоднократно пытались доказать. Вплоть до 17 в. А. м. мало развивался. Евклид и Архимед сформулировали аксиомы статики и оптики, а в дальнейшем, в связи с общей тенденцией к комментаторству и канонизации, исследования перелагали, либо, в лучшем случае, анализировали старые системы аксиом. Неудивительно, что новая математика начала с отказа от А. м., и анализ бесконечно малых развивался как неформализованная теория. Была понята сомнительность аксиомы «Целое меньше части», поскольку Николай Кузанский и вслед за ним Галилей показали, что для бесконечных совокупностей целое может быть изоморфно части. Но это открытие было недооценено, потому что слишком хорошо согласовывалось с христианской религией (с концепциями различных ипостасей бесконечного Бога). Далее, неудача Спинозы в попытках вывести геометрическим, чисто рассудочным методом систему этики и метафизики показала неприменимость существующего А. м. к гуманитарным понятиям. Возвращение к А. м. произошло в 19 в. Оно базировалось на двух открытиях - неевклидовой геометрии (переоткрывшей то, что было известно до Евклида, но потом напрочь забыто), и абстрактной алгебре. В неевклидовой геометрии (Г а у с с, Лобачевский, Бойяи) было показано, что одно из отрицаний пятого постулата - а именно то, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной - совместимо с остальными аксиомами геометрии. Таким образом, те аксиомы и постулаты, которые создавались, чтобы описать «единственно истинное» пространство, на самом деле описывают целый класс различных пространств. В абстрактной алгебре появились новые числовые системы, причем сразу целые их семейства (напр., р-адические числа) и переменные структуры типа групп. Свойства переменных структур естественно было описывать при помощи аксиом, но теперь уже никто не настаивал на их самоочевидности, а рассматривали их просто как способ описания класса математических объектов. Напр., полугруппа определяется единственной аксиомой - ассоциативности умножения: а° (Ь о с) = (а о Ь) о С. В самой геометрии наступил черед критического переосмысления классических аксиом. Э. Паш показал, что Евклид не усмотрел еще один постулат, столь же интуитивно очевидный, как и описанные им: «Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересечет и другую». Далее было показано, что один из признаков равенства треугольников нужно принять в качестве аксиомы, иначе теряется строгость доказательств, поскольку из остальных аксиом не следует возможность перемещения фигур. Была отброшена аксиома «Целое меньше части», как не имеющая смысла с точки зрения новой математики, и заменена на несколько положений о соотношении мер фигур. И, наконец, Д. Гильберт сформулировал новую аксиоматику геометрии, базирующуюся на высших достижениях математики 19 в. В эллинские времена и позже понятие числа не описывалось аксиоматически. Только в конце 19 в. Дж. Пеано (Италия) дал аксиоматику натуральных чисел. Аксиоматики Пеано и Гильберта содержат по одному принципу высшего порядка, говорящему не о фиксированных понятиях, а о произвольных понятиях либо совокупностях. Напр., в арифметике - это принцип математической индукции. Без принципов высших порядков однозначное описание стандартных математических структур невозможно. А. м. был использован для спасения теории множеств после нахождения связанных с нею парадоксов. Спасение само по себе производилось не лучшим способом - латанием парадигмы. Те из принципов теории множеств, которые казались не приводящими к парадоксам и обеспечивали необходимые для математики построения, были приняты в качестве аксиом. Но при этом А. м. был обобщен на логику. Д. Гильберт явно сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс - логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. Современный А. м. отличается от традиционного тем, что явно задаются не только аксиомы, но и язык, а в логике - еще и правила вывода описываемой теории либо системы. Пересмотренный и усиленный А. м. стал мощным оружием в таких новых областях знания, как когнитивная наука и математическая лингвистика. Он позволяет низводить семантические проблемы на уровень синтаксических и тем самым помогать их решению. В последние десятилетия по мере развития теории моделей А. м. стал в обязательном порядке дополняться теоретико-модельным. Формулируя аксиоматическую систему, нужно описать и совокупность ее моделей. Минимально необходимым обоснованием системы аксиом служит ее корректность и полнота на заданном классе моделей. Но для применений недостаточно такого формального обоснования - нужно также показать содержательный смысл построенной системы и ее выразительные возможности. Основным математическим ограничением А. м. служит то, что логика высших порядков неформализуема и неполна, а без нее описать стандартные математические структуры нельзя. Поэтому в тех областях, где есть конкретные числовые оценки, А. м. не может быть применен к полному математическому языку. В таких областях возможна лишь неполная и непоследовательная, так называемая частичная либо содержательная, аксиоматизация. Неформализуемость понятий сама по себе, как ни странно, не препятствует применению А. м. к данным понятиям. Все равно при работе в фиксированной обстановке есть смысл переходить к гораздо более эффективным формальным моделям. В данном случае положительной чертой формализмов часто может являться их несоответствие реальной ситуации. Формализмы не могут полностью соответствовать содержанию понятий, но если эти несоответствия спрятаны, то формализмами часто продолжают пользоваться и после того, как обстановка перестала быть подходящей для их применения, и даже в ситуации, с самого начала не подходящей для их использования. Подобные опасности существуют и для частичных формализации. Я Н. Непейвода

Отличное определение

Неполное определение ↓