Решение некоторых математических задач заставляет находить пересечение и объединение числовых множеств . Мы уже познакомились с принятыми обозначениями числовых множеств , а в этой статье мы тщательно и на примерах разберемся с нахождением пересечения и объединения числовых множеств. Эти навыки пригодятся, в частности, в процессе решения неравенств с одной переменной и их систем.
Навигация по странице.
Простейшие случаи
Под простейшими случаями мы будем понимать нахождение пересечения и объединения числовых множеств, являющихся набором отдельных чисел. В этих случаях достаточно использовать определения пересечения и объединения множеств .
Напомним, что
Определение.
объединением двух множеств является множество, каждый элемент которого является элементом какого-либо из исходных множеств, а пересечением множеств называется множество, состоящее из всех общих элементов исходных множеств.
Из данных определений несложно получить следующие правила нахождения пересечения и объединения множеств:
- Для того чтобы составить объединение двух числовых множеств, содержащих конечное число элементов, нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из второго.
- Для того чтобы составить пересечение двух числовых множеств, надо последовательно брать элементы первого множества и проверять, принадлежат ли они второму множеству, те из них, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.
Действительно, полученное по первому правилу множество будет состоять из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств, поэтому будет объединением этих множеств по определению. А множество, составленное по второму правилу, будет содержать все общие элементы исходных множеств, то есть, будет пересечением исходных множеств.
Рассмотрим на конкретных примерах применение озвученных правил для нахождения пересечения и объединения множеств.
Например, пусть нужно найти объединение числовых множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Записываем все элементы, например, множества A , имеем 3 , 5 , 7 , 12 , и к ним добавляем недостающие элементы множества B , то есть, 2 , 8 , 11 и 13 , в результате имеем числовое множество {3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13} . Не помешает упорядочить элементы полученного множества, в итоге получаем искомое объединение: A∪B={2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13} .
Теперь найдем пересечение двух числовых множеств из предыдущего примера A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Согласно правилу, будем последовательно перебирать элементы первого множества A и проверять, входят ли они во множество B . Берем первый элемент 3 , он не принадлежит множеству B , следовательно, он не будет и элементом искомого пересечения. Берем второй элемент множества A , это число 5 . Оно принадлежит множеству B , поэтому принадлежит и пересечению множеств A и B . Так найден первый элемент искомого пересечения – число 5 . Переходим к третьему элементу множества A , это число 7 . Оно не принадлежит B , значит, не принадлежит и пересечению. Наконец, остался последний элемент множества A – число 12 . Оно принадлежит множеству B , следовательно, оно является и элементом пересечения. Итак, пересечение множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} – это есть множество, состоящее из двух элементов 5 и 12 , то есть, A∩B={5, 12} .
Как Вы заметили, выше мы говорили о нахождении пересечения и объединения двух числовых множеств. Что же касается пересечения и объединения трех и большего числа множеств, то его нахождение можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы найти пересечение трех множеств A , B и D можно сначала найти пересечение A и B , после чего найти пересечение полученного результата с множеством D . А теперь конкретно: возьмем числовые множества A={3, 9, 4, 3, 5, 21} , B={2, 7, 9, 21} и D={7, 9, 1, 3} и найдем их пересечение. Имеем A∩B={9, 21} , а пересечение полученного множества с множеством D есть {9} . Таким образом, A∩B∩D={9} .
Однако на практике для нахождения пересечения трех, четырех и т.д. простейших числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, удобно использовать правила, схожие с указанными выше правилами.
Так, чтобы получить объединение трех и большего числа множеств указанного типа, надо к числам первого числового множества добавить недостающие числа второго, к записанным числам добавляем недостающие числа третьего множества и так далее. Чтобы пояснить этот момент возьмем числовые множества A={1, 2} , B={2, 3} и D={1, 3, 4, 5} . К элементам 1 и 2 числового множества A добавляем недостающее число 3 множества B , получаем 1 , 2 , 3 , и к этим числам добавляем недостающие числа 4 и 5 множества D , в итоге получаем нужное нам объединение трех множеств: A∪B∪C={1, 2, 3, 4, 5} .
Что же касается нахождения пересечения трех, четырех и т.д. числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, нужно последовательно перебрать числа первого множества и проверять, принадлежит ли проверяемое число каждому из остальных множеств. Если да, то это число является элементом пересечения, если нет – то не является. Здесь лишь заметим, что целесообразно в качестве первого брать множество с наименьшим числом элементов. В качестве примера возьмем четыре числовых множества A={3, 1, 7, 12, 5, 2} , B={1, 0, 2, 12} , D={7, 11, 2, 1, 6} , E={1, 7, 15, 8, 2, 6} и найдем их пересечение. Очевидно, множество B содержит меньше всего элементов, поэтому для нахождения пересечения исходных четырех множеств будем брать элементы множестваB и проверять, входят ли они в остальные множества. Итак, берем 1 , это число является элементами и множества A , и D и E , так что это первый элемент искомого пересечения. Берем второй элемент множества B – это нуль. Это число не является элементом множества A , поэтому не будет является и элементом пересечения. Проверяем третий элемент множества B – число 2 . Это число является элементом всех остальных множеств, поэтому, является вторим найденным элементом пересечения. Наконец, остается четвертый элемент множества B . Это число 12 , оно не является элементом множества D , поэтому, не является и элементом искомого пересечения. В итоге имеем A∩B∩D∩E={1, 2} .
Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей
В нашем примере имеем записи
И
для пересечения и объединения числовых множеств соответственно.
Дальше изображают еще одну координатную прямую, ее удобно расположить под уже имеющимися. На ней будет изображаться искомое пересечение или объединение. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств. При этом эти точки сначала отмечают черточками, позже, когда будет выяснен характер точек с этими координатами, черточки будут заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем случае это точки с координатами −3
и 7
.
Имеем
и
Точки, изображенные на нижней координатной прямой на предыдущем шаге алгоритма, позволяют рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек, о чем мы говорили в . В нашем случае координатную прямую рассматриваем как набор следующих пяти числовых множеств: (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) .
И остается лишь по очереди проверить вхождение каждого из записанных множеств в искомое пересечение или объединение. Все сделанные выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: если промежуток входит в пересечение или объединение, то над ним изображается штриховка, если точка входит в пересечение или объединение, то обозначающий ее штрих заменяем на сплошную точку, если не входит – то делаем ее выколотой. При этом следует придерживаться следующих правил:
- промежуток включается в пересечение, если он одновременно включен и в множество A , и в множество B (другими словами, если есть штриховка над этим промежутком над обеими верхними координатными прямыми, отвечающими множествам A и B );
- точка включается в пересечение, если она одновременно входит и в множество A , и в множество B (другими словами, если эта точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обеих числовых множеств A и B );
- промежуток входит в объединение, если он входит хотя бы в одно из множеств A или B (иными словами, если есть штриховка над этим промежутком хотя бы над одной из координатных прямых, отвечающих множествам A и B );
- точка входит в объединение, если она входит хотя бы в одно из множеств A или B (другими словами, если эта точка невыколотая или внутренняя точка какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).
Проще говоря, пересечение числовых множеств A и B представляет собой объединение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно есть штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих одновременно и A , и B . А объединение двух числовых множеств есть объединение всех числовых промежутков, над которыми есть штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.
Возвращаемся к нашему примеру. Закончим нахождение пересечения множеств. Для этого последовательно будем проверять множества (−∞, −3)
, {−3}
, (−3, 7)
, {7}
, (7, +∞)
. Начинаем с (−∞, −3)
, для наглядности выделим его на чертеже:
Этот промежуток не включаем в искомое пересечение, так как он не включен ни в A
, ни в B
(над этим промежутком нет штриховки). Так на этом шаге ничего на нашем чертеже не отмечаем и он сохраняет свой начальный вид:
Переходим к следующему множеству {−3}
. Число −3
принадлежит множеству B
(это невыколотая точка), но очевидно не принадлежит множеству A
, поэтому не принадлежит и искомому пересечению. Поэтому на нижней координатной прямой делаем точку с координатой −3
выколотой:
Проверяем следующее множество (−3, 7)
.
Оно входит в множество B
(над этим интервалом есть штриховка), но не входит в множество A
(над этим интервалом нет штриховки), поэтому, не будет входить и в пересечение. Следовательно, на нижней координатной прямой ничего не отмечаем:
Переходим к множеству {7}
. Оно включено в множество B
(точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [−3, +∞))
, но не включено в множество A
(эта точка выколотая), поэтому оно не будет включено и в искомое пересечение. Отмечаем точку с координатой 7
как выколотую:
Остается проверить промежуток (7, +∞)
.
Он входит и в множество A
, и в множество B
(над этим промежутком есть штриховка), поэтому входит и в пересечение. Ставим штриховку над этим промежутком:
В результате на нижней координатной прямой мы получили изображение искомого пересечения множеств A=(7, +∞) и B=[−3, +∞) . Очевидно, оно представляет собой множество всех действительных чисел, больших семи, то есть, A∩B=(7, +∞) .
Теперь найдем объединение множеств A и B . Начинаем последовательную проверку множеств (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) на предмет их включения в искомое объединение двух числовых множеств A и B .
Первое множество (−∞, −3)
не входит ни в A
, ни в B
(над этим промежутком нет штриховки), поэтому это множество не будет входить и в искомое объединение:
Множество {−3}
входит в множество B
, поэтому будет входить и в объединение множеств A
и B
:
Интервал (−3, 7)
тоже входит в B
(есть штриховка над этим интервалом), следовательно, он будет составной частью искомого объединения:
Множество {7}
тоже будет входить в искомое объединение, так как оно входит в числовое множество B
:
Наконец, (7, +∞)
входит и в множество A
, и в множество B
, следовательно, будет входить и в искомое объединение:
По полученному изображению объединения множеств A и B заключаем, что A∩B=[−3, +∞) .
Получив некоторый практический опыт, проверку вхождения отдельных промежутков и чисел в состав пересечения или объединения можно будет проводить устно. Благодаря этому, Вы сможете очень быстро записывать результат. Покажем, как будет выглядеть решение примера, если не давать пояснения.
Пример.
Найдите пересечение и объединение множеств A=(−∞, −15)∪{−5}∪∪{12} и B=(−20, −10)∪{−5}∪(2, 3)∪{17} .
Решение.
Изобразим данные числовые множества на координатных прямых, это позволит нам получить изображения их пересечения и объединения:
Ответ:
A∩B=(−20, −15)∪{−5}∪(2, 3) и A∪B=(−∞, −10)∪{−5}∪∪{12, 17} .
Понятно, что при должном понимании озвученный выше алгоритм можно оптимизировать. Например, при нахождении пересечения множеств нет необходимости в проверке всех промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел, на которые разбивают координатную прямую граничные точки исходных множеств. Можно ограничиться проверкой лишь тех промежутков и чисел, которые составляют множество A или B . Остальные промежутки все равно не будут входить в пересечение, так как не принадлежат одному из исходных множеств. Проиллюстрируем сказанное, разобрав решение примера.
Пример.
Каково пересечение числовых множеств A={−2}∪(1, 5) и B=[−4, 3] ?
Решение.
Построим геометрические образы числовых множеств A
и B
:
Граничные точки заданных множеств разбивают числовую прямую на следующие множества: (−∞, −4)
, {−4}
, (−4, −2)
, {−2}
, (−2, 1)
, {1}
, (1, 3)
, {3}
, (3, 5)
, {5}
, (5, +∞)
.
Несложно заметить, что числовое множество A можно «собрать» из только что записанных множеств, объединив {−2} , (1, 3) , {3} и (3, 5) . Для нахождения пересечения множеств A и B достаточно проверить, включены ли последние множества в множество B . Те из них, которые включены в B , и будут составлять искомое пересечение. Выполним соответствующую проверку.
Очевидно, {−2}
входит в множество B
(так как точка с координатой −2
является внутренней точкой отрезка [−4, 3])
. Интервал (1, 3)
тоже входит в B
(над ним есть штриховка). Множество {3}
также входит в B
(точка с координатой 3
является граничной и невыколотой множества B
). А интервал (3, 5)
не входит в числовое множество B
(над ним нет штриховки). Отметив сделанные выводы на чертеже, он примет такой вид
Таким образом, искомое пересечение двух исходных числовых множеств A и B представляет собой объединение следующих множеств {−2} , (1, 3) , {3} , которое можно записать как {−2}∪(1, 3] .
Ответ:
{−2}∪(1, 3] .
Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств.
Пример.
Найдите пересечение и объединение трех числовых множеств A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪{40} .
Решение.
Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:
Так координатная прямая оказывается представлена числовыми множествами (−∞, −3) , {−3} , (−3, 12) , {12} , (12, 25) , {25} , (25, 40) , {40} , (40, ∞) .
Начинаем поиск пересечения, для этого по очереди смотрим, входят ли записанные множества в каждое из множеств A
, B
и D
. Во все три исходных числовых множества входит интервал (−3, 12)
и множество {12}
. Они и составляют искомое пересечение множеств A
, B
и D
. Имеем A∩B∩D=(−3, 12]
.
В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3)
(входит в A
), {−3}
(входит в A
), (−3, 12)
(входит в A
), {12}
(входит в A
), (12, 25)
(входит в B
), {25}
(входит в B
) и {40}
(входит в D
). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40}
.
Ответ:
A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .
В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им.
(10, 27) , {27} , (27, +∞) . Ни одно из записанных множеств одновременно не входит в четыре исходных множества, а это означает, что пересечение множеств A , B , D и E есть пустое множеств.
Ответ:
A∩B∩D∩E=∅.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Пересечение и объединение множеств
Цели: ознакомить учащихся с основными понятиями теории множеств, операциями над множествами (пересечение и объединение множеств); формировать умения задавать множества и проводить над ними основные операции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
b = 5,82 ± 0,01.
2. Представьте каждое из чисел 2 и 14 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до сотых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.
В а р и а н т 2
1. Запишите в виде двойного неравенства u = 6,75 ± 0,01.
2. Представьте каждое из чисел 6 и 18 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.
III. Объяснение нового материала.
Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся с теоретико-множественными понятиями является введение неопределяемых понятий множества, его элемента и принадлежности.
I б л о к.
1. О с н о в н ы е п о н я т и я.
Одно из основных понятий современной математики – множество . Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие.
Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое – множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое».
Множество – это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.
Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом «множество деревьев».
Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и «множества», содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже «множество», не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаем, сколько оно имеет решений.
Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А , В , С , ... Пустое множество , то есть множество, которое не имеет элементов, обозначается символом .
О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а , b , с , ... или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а 1 , а 2 , ... , а п .
Предложение «предмет а принадлежит множеству А », или «предмет а – элемент множества А », обозначают символом а А .
2. С п о с о б ы з а д а н и я м н о ж е с т в:
1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки.
Н а п р и м е р: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления.
Необходимо различать объекты, обозначаемые символами а и {а }. Символом а означается предмет, символом {а} – множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество) . Перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Такие множества, как, например, множество всех натуральных (N ) или всех целых чисел (Z ), нельзя задать таким способом, так как мы не можем перечислить все N и все Z – таких чисел бесконечное множество .
2) Имеется другой (универсальный) способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.
Н а п р и м е р: {x | x – делятся на 10};
A = {a | a – число, которое меньше, чем 100}.
3. У п р а ж н е н и я:
а) Назовите известные вам множества людей (например, команда).
б) Запишите множества, элементами которых являются:
1) планеты Солнечной системы;
2) столицы государств;
3) все двузначные числа;
4) числа, делящиеся на 7.
в) Пусть А – множество чисел, на которые делится 100 без остатка. Верна ли запись:
1) 5 А ; 2) 12 А ; 3) 7 А ; 4) 4 А?
г) Пусть даны множества А
= {а
а
– число, кратное двум} и В
=
= {b
b
– число, кратное шести}.
В ы п и ш и т е:
1) два элемента, принадлежащих множеству А , но не принадлежащих множеству В ;
2) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В ;
3) два элемента не принадлежащих ни множеству А , ни множеству В .
II б л о к.
1. Р а в е н с т в о м н о ж е с т в.
Очень важной особенностью множества является то, что в нём нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколько угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим, что мы записали множество {7, 9, 7, 11, 7}. В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет {7, 9, 11}.
Рассмотрим два множества: {а , b , с } и {b , а , с }. Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны , если содержат одни и те же элементы.
2. П е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в.
Рассмотрим два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим новое множество С , в которое запишем общие элементы А и В . Общими у них являются элементы 5 и 6, значит, С = {5, 6}. Множество С является пересечением множеств А и В , обозначается так:
О п р е д е л е н и е: Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
3. О б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в.
Возьмём те же два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим теперь множество D таким образом, чтобы в него вошли все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В .
Здесь следует ознакомить учащихся с приёмом задания объединения множеств: сперва мы выписываем все элементы множества А , а затем те элементы множества В , которые не принадлежат множеству А . Получим: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество D является объединением множеств А и В , обозначается так:
О п р е д е л е н и е: Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.
4. У п р а ж н е н и я:
а) Верна ли запись:
1) {8, 12, 16, 20} = {12, 20, 16, 18};
2) {m , n , p , q } = {p , m , q , n };
3) {3, 4, 3, 5} = {3, 4, 5}?
б) Запишите множества, равные:
1) {2, 3, 2, 4, 2, 5}; 2) {f , f , f , m , m , m }.
в) Даны множества А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8} и K = {1, 3, 5, 7}. Найдите:
1) А K ; 5) А K ;
2) А С ; 6) А С ;
3) А В ; 7) А В ;
4) А K В ; 8) А K В .
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке отрабатываются умения задавать множества, правильно оформляя запись, а также находить пересечение и объединение множеств, пользуясь введенными определениями.
Р е ш е н и е
х = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
у = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
х у = {11, 13, 17, 19};
х у = {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.В .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие способы задания множеств существуют?
– Какие два множества являются равными?
– Как называется множество, в котором нет ни одного элемента?
– Что называется пересечением двух множеств?
– Что называется объединением двух множеств?
Домашнее задание.
1. № 800, № 801 (б), № 802 (б).
2. Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечётных двузначных чисел.
Множество - совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита - от A до Z .
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N - множество натуральных чисел
Z - множество целых чисел
Элемент множества - это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись
читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 - элемент множества Z .
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество - множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
L = {2, 4, 6, 8}
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми .
Подмножество
Подмножество - это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера . Круги Эйлера - это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае множеств.
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M , значит множество L M . Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :
L ⊂M
Запись L ⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .
Множества состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}
так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M .
Пересечение и объединение множеств
Пересечение двух множеств - это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L ∩M = {3, 11}.
Запись L ∩M читается так: пересечение множеств L и M .
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах .
Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},
то L ∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.
Запись L ∪M читается так: объединение множеств L и M .
При объединении равных множеств, объединение будет равно любому из данным множеств:
если L = M , то L ∪M = L и L ∪M = M .
