5 платоновых тел. Платоновы тела. Единое поле сети

Платону принадлежит разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начала математических наук "суть предположения", может вызвать сомнение в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, "пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания", предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге "Пир" выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.

ТЕЛА ПЛАТОНА.

Тела Платона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

ТАБЛИЦА№1

ТАБЛИЦА№2

Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис.1).

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.2).

Октаэдр-восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3).

Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.4).

Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.5).

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен- ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют также платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание его по латыни стали называть quintaessentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб-монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр-монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KalSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.

Список литературы

1.«Советская Энциклопедия» Москва 1979г.

2.Математический энциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия», 1988г.

3.Математика: Школьная энциклопедия /Гл. ред. М 34 С.М. Никольский. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996,-527 С.: ил

Названия пяти выпуклых правильных многогранников:тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Многогранники названы по имени Платона, к рый в соч. Тимей (4 в. до н. э.) придавал им мистич. смысл; были известны до Платона … Математическая энциклопедия

То же, что правильные Многогранники … Большая советская энциклопедия

- … Википедия

Федон, или О бессмертии души названный по имени ученика Сократа, Федона (см.), диалог Платона, один из самых выдающихся. Это единственный диалог Платона, который называет Аристотель, и один из немногих, которые признаются подлинными по… …

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Один из лучших в художественном и философском отношении диалогов Платона, признаваемый подлинным по единогласному приговору как древности, так и современной науки. В новейшей платоновской критике спорили лишь о времени его написания: одни ставили … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Философские идеи в сочинениях Платона - кратко Философское наследие Платона обширно, Оно составляет 34 произведения, которые почти.целиком сохранились и дошли до нас. Эти произведения написаны в основном в форме диалога, а главным действующим лицом в них по большей части является… … Малый тезаурус мировой философии

Додекаэдр Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его… … Википедия

Тела Платона, выпуклые многогранники, все грани к рых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (рис. 1a 1д). В евклидовом пространстве Е 3 существуют пять П. м., данные о к рых приведены в … Математическая энциклопедия

ДУША - [греч. ψυχή], вместе с телом образует состав человека (см. статьи Дихотомизм, Антропология), будучи при этом самостоятельным началом; Д. человека заключает образ Божий (по мнению одних отцов Церкви; по мнению других образ Божий заключен во всем… … Православная энциклопедия

Книги

• Тимей (изд. 2011 г.) , Платон. Платоновский Тимей является единственным систематическим очерком космологии Платона, которая до сих пор выступала у него только в разбросанном и случайном виде. Это создало славу Тимею по…
• Дискуссионные вопросы о душе. Исследования 6 , Аквинский Ф.. Жанр`дискуссионных вопросов`(quaestiones disputatae) представляет собой особый схоластический жанр, используемый в средневековых университетах.`Дискуссионные вопросы о душе`являются одним из…

Многогранники, двойственные архимедовым телам. Как и архимедовых тел, их 13. Ромбододекаэдр … Википедия

Додекаэдр Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его… … Википедия

Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

Полуправильные многогранники в общем случае это различные выпуклые многогранники, имеющие определённые признаки правильных, такие как одинаковость всех граней или являемость всех граней правильными многоугольниками, а также пространственная … Википедия

Или Архимедовы тела выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани правильные многоугольники одного типа, это правильный многогранник); Для любой пары… … Википедия

Тип Правильный многогранник Грань Правильный пятиугольник Граней 12 Рёбер 30 Вершин 20 … Википедия

Анимация Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Граней 20 … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Куб (значения). Куб Тип Правильный многогранник Грань квадрат … Википедия

Книги

• Сакральная геометрия, нумерология, музыка, космология, или КВАДРИВИУМ , Мартино Д., Ланди М. и др.. «Всюду познаешь, насколько возможно, единство природы»(«Золотые стихи» Пифагорейцев)«Мир (космос) был создан не для тебя – но ты для него»(Ямвлих, античный философ)Данная иллюстрированная…
• Волшебные грани, № 11, 2015 , . Создание моделей многогранников из картона очень увлекательное и доступное занятие, это "магия превращения" листа бумаги в объемную фигуру. Самые простые модели многогранников могут быть…

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА [П. - от греч. Platon (427–347 гг. до н. э. / Т. - происх. см. ТЕЛО), совокупность всех правильных многогранников [т. е. объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками] трехмерного Мира, впервые описанных Платоном (им также посвящена заключительная, XIII-я книга «Начал» Платонова ученика Евклида); // при всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П.т. (см. Табл. 6), в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий Мироздания; любопытна связь, существующая между гексаэдром и октаэдром, а также между додекаэдром и икосаэдром: геометрические центры граней каждого первого являются вершинами каждого второго.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В "Началах Евклида" мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Наименование Кол-во граней Стихия
Тетраэдр 4 Огонь
Гексаэдр/Куб 6 Земля
Октаэдр 8 Воздух
Икосаэдр 10 Вода
Додекаэдр 12 Эфир

Платоновы тела

Мир звездчатых многогранников

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Звездчатый додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Еще в далекой древности люди заметили, что некоторые объемные фигуры обладают особыми свойствами. Это так называемые правильные многогранники - все грани у них одинаковые, все углы при вершинах равны. Каждая из этих фигур обладает устойчивостью и может быть вписана в сферу. При всем многообразии различных форм существуют всего лишь 5 видов правильных многогранников (рис. 1).

Тетраэдр - правильный четырехгранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1а).

Куб - правильный шестигранник, грани представляют собой квадраты (рис. 1б).

Октаэдр - правильный восьмигранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1в).

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, грани представляют собой правильные пятиугольники (рис. 1г).

Икосаэдр - правильный двадцатигранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1д).

Древнегреческий философ Платон полагал, что каждый из правильных многогранников соответствует одному из 5 первичных элементов. Согласно Платону, куб соответствует земле, тетраэдр - огню, октаэдр - воздуху, икосаэдр - воде, додекаэдр - эфиру. Кроме этого греческие философы выделяли еще один первоэлемент - пустоту. Ему соответствует геометрическая форма сферы, в которую могут быть вписаны все платоновы тела.

Все шесть первоэлементов являются строительными блоками Вселенной. Некоторые из них встречаются часто - земля, вода, огонь и воздух. Сегодня доподлинно известно, что правильные многогранники, или платоновы тела, составляют основу строения кристаллов, молекул различных химических веществ.

Энергетическая оболочка человека также представляет собой пространственную конфигурацию. Внешняя граница энергетического поля человека - сфера, самая близкая к ней фигура додекаэдр. Затем фигуры энергетического поля сменяют друг друга в определенном порядке, повторяясь в разных циклах. Например, в молекуле ДНК чередуются икосаэдры и додекаэдры.

Обнаружено, что платоновы тела способны оказывать благотворное воздействие на человека. Эти формы обладают свойством видоизменять, организовывать энергию в чакрах человеческого тела. Причем каждая кристаллическая форма благотворно воздействует на ту чакру, первоэлементу которой она соответствует.

Дисбаланс энергий в Муладхаре исчезает при использовании куба (элемент земля), Свадхистхана реагирует на воздействие икосаэдра (элемент вода), на Манипуру благотворно влияет тетраэдр (элемент огонь), функции Анахаты восстанавливаются с помощью октаэдра (элемент воздух). Эта же фигура способствует нормальной работе Вишудхи. Обе верхние чакры - Адж-на и Сахасрара - поддаются коррекции додекаэдром.

Для того чтобы использовать свойства платоновых тел, необходимо изготовить из медной проволоки эти фигуры (размер от 10 до 30 см в поперечнике). Можно нарисовать их на бумаге или склеить из картона, но каркасы из медной проволоки действуют эффективнее. Модели платоновых тел нужно прикрепить на проекции соответствующих чакр и полежать немного в глубоком расслаблении.