Простое гармоническое движение. Гармоническое движение. Энергия простого гармонического движения

Чертеж 1. Чертеж 2.

Проекция M точки N на направление прямой Х 1 ОХ будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:

x = a sin(2 π t/T) (I)

x = a sin(2 π t/T- ε ) (II)

где е есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а - амплитуда и Т - период, или продолжительность, двойного качания точки М.

На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t ; так, длина АР изображает время Т ,""" а длина Ар - время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р , откладывают ординату рК, равную соответственному расстоянию ОМ . Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.

Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а 1 , а 2 , а 3 , ... суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ε 1 , ε 2 , ε 3 , ... - их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:

a тангенс фазы этого движения равен отношению β к α, где α и β суть следующие суммы:

α = a 1 cos ε 1 + a 2 cos ε 2 +....

β = a 1 sin ε 1 + a 2 sin ε 2 +....

Из соединения нескольких простых Г. движений различного периода по одной и той же прямой получаются сложные прямолинейные гармонические движения, а из соединения двух простых Г. движений, совершающихся по двум взаимно перпендикулярным или наклонным одна к другой прямым, получаются криволинейные Г. движения. На черт. 3 графически представлено сложное прямолинейное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin ω t + sin2 ω t ,

Чертеж 3

а на черт. 4 - другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin2 ω t + sin(3 ω t + 3 π / 8), где ω = 2 π /T.

Черт. 4

При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу . Полную теорию Г. движений можно найти в "Treatise on natural philosophy by T homson and Tait" (Vol. I. Part I, kinematics).

Гармоническое отношение . Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге "Математический сборник" говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.

Две точки a и а 1 делят длину bс в Г. отношении, если длины ас , аа 1 и ab находятся в Г. отношении, т. е.:

ac /ab = (ac - aa 1)/(aa 1 - ab ), или

ac /ab = -(ac - aa 1)/(ab - aa 1) (III)

ab /ac : a 1 b /a 1 c = - 1.

Гармоническому отношению между тремя длинами ас , аа 1 ,ab можно придать еще следующий вид:

2/aa 1 = 1/ab + 1/ac

что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии ; см. Chasles "Trait é de géometrie supérieure".

Гармонические сферические функции . Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y , z , удовлетворяющие дифференциальному уравнению:

d 2 V /dx 2 + d 2 V /dy 2 + d 2 V /dz 2 = 0

См . Сферические функции.

Д. Б. Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством - изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон , струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно

Ускорение же движения пропорционально двигающей силе и обратно пропорционально двигаемой массе. Этим и пользуются на практике: при настройке музыкальных инструментов изменяют натяжение струн; для изменения скорости хода карманных часов изменяют длину пружинки маятника и т. д.

План:

1 Свободные колебания
- 1.1 Консервативный гармонический осциллятор
  - 1.1.1
    - 1.1.1.1 Динамика простого гармонического движения
    - 1.1.1.2 Энергия простого гармонического движения
    - 1.1.1.3 Примеры
      - 1.1.1.3.1 Груз на пружине
      - 1.1.1.3.2 Универсальное движение по окружности
      - 1.1.1.3.3 Груз как простой маятник
- 1.2 Затухающий гармонический осциллятор
2 Вынужденные колебания

Введение

Гармонический осциллятор (в классической механике) - это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению (согласно закону Гука):

где k - положительная константа, описывающая жёсткость системы.

Если - единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором . Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором . Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение - синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами смещения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

1. Свободные колебания

1.1. Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы , закреплённый на пружине жёсткостью .

Пусть - это смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

Используя второй закон Ньютона, запишем

Обозначая и заменяя ускорение на вторую производную от координаты по времени , напишем:

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент ω 0 называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на 2π )

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Здесь - амплитуда, - частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), - начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое - это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t . И остаётся условие на частоту колебаний:

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

движение по кругу и движение гармоническое

Общее решение уравнения записывается в виде:

где амплитуда A и начальная фаза - произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Кинетическая энергия записывается в виде

и потенциальная энергия есть

тогда полная энергия имеет постоянное значение

1.1.1. Простое гармоническое движение

Простое гармоническое движение - это движение простого гармонического осциллятора , периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна перемещению x , и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же как и предыдущее, и период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то перемещение x тела в любой момент времени даётся формулой:

A - это амплитуда колебаний, f - частота, φ - начальная фаза.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями - перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение. На этой анимированной картинке по вертикальной оси отложена координата частицы (x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (t ).

Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Простое гармоническое движение, показанное одновременно в реальном пространстве и в фазовом пространстве. Здесь ось скорости и ось положения показаны иначе по сравнению с обычным изображением осей координат - это сделано для того, чтобы оба рисунка соответствовали друг другу. Real Space - реальное пространство; Phase Space - фазовое пространство; velocity - скорость; position - положение (позиция).

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

F = − k x , F - возвращающая сила, x - перемещение груза (деформация пружины), k - коэффициент жёсткости пружины.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.
Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.

1.1.1.1. Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x /dt ² ) и закон Гука (F = −kx , как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

m - это масса тела, x - его перемещение относительно положения равновесия, k - постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:

где A , ω , и φ - это постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A - это амплитуда, ω = 2πf - это круговая частота, и φ - начальная фаза.

Положение, скорость и ускорение гармонического осцилятора

Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:

Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости

Ускорение может быть также выражено как функция перемещения:

Поскольку ma = −mω ²x = −kx , то

Учитывая, что ω = 2πf , получим

и поскольку T = 1/f , где T - период колебаний, то

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

1.1.1.2. Энергия простого гармонического движения

Кинетическая энергия K системы в функции времени t такова:

и потенциальная энергия есть

Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение

1.1.1.3. Примеры

Система груз-пружина без затухания, в которой происходит простое гармоническое движение.

Простое гармоническое движение представлено в различных простых физических системах, и ниже приведены некоторые примеры.

1.1.1.3.1. Груз на пружине

Масса m , прикреплённая к пружине с постоянной жёсткостью k является примером простого гармонического движения в пространстве. Формула

показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и ускорения свободного падения.

1.1.1.3.2. Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерная проекция универсального движения по окружности. Если объект движется с угловой скоростью ω по окружности радиуса r , центром которой является начало координат плоскости x -y , то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω .

1.1.1.3.3. Груз как простой маятник

Движение маятника, не имеющего затуханий, можно приближённо рассматривать как простое гармоническое движение, если амплитуда колебаний очень мала в сравнении с длиной стержня.

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g , поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет вращаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

I - момент инерции; в данном случае I = m ℓ 2 .

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ , а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

1.2. Затухающий гармонический осциллятор

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент γ носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

При малом трении (γ < ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, где - частота свободных колебаний.

Затухание γ = ω 0 называют критическим . Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

При сильном же трении γ > ω 0 решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q . По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на π .

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

Время жизни колебаний, оно же время затухания , оно же время релаксации . τ - время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

τ = 1 / γ Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

2. Вынужденные колебания

Основная статья: Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением - это когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

Литература

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие

Примечания

, Простое отношение , Простое поле , Простое предложение , Простое число .

Гармонические движения простые и составные. Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О ) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени Т . Проекция M точки N на направление прямой X 1 OX будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:

x = a sin ⁡ 2 π t T , {\displaystyle x=a\sin {\frac {2\pi t}{T}},}

x = a sin ⁡ (2 π t T − ϵ) , {\displaystyle x=a\sin \left({\frac {2\pi t}{T}}-\epsilon \right),}

где ε есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а - амплитуда и Т - период, или продолжительность, двойного качания точки М.

На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t ; так, длина АР изображает время Т, а длина Ар - время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р , откладывают ординату рК , равную соответственному расстоянию ОМ . Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.

Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а 1 , а 2 , а 3 ,… суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ε 1 , ε 2 , ε 3 ,… - их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:

α 2 + β 2 , {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2},}

а тангенс фазы этого движения равен отношению β к α, где α и β суть следующие суммы:

α = a 1 cos ⁡ ϵ 1 + a 2 cos ⁡ ϵ 2 + … {\displaystyle \alpha =a_{1}\cos \epsilon _{1}+a_{2}\cos \epsilon _{2}+\dots } β = a 1 sin ⁡ ϵ 1 + a 2 sin ⁡ ϵ 2 + … {\displaystyle \beta =a_{1}\sin \epsilon _{1}+a_{2}\sin \epsilon _{2}+\dots }

x = sin ⁡ ω t + sin ⁡ 2 ω t , {\displaystyle x=\sin \omega t+\sin 2\omega t,}

а на черт. 4 - другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin ⁡ 2 ω t + sin ⁡ (3 ω t + 3 π 8) , {\displaystyle x=\sin 2\omega t+\sin \left(3\omega t+{\frac {3\pi }{8}}\right),}

где ω = 2π:T.

При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу. Полную теорию Г. движений можно найти в «Treatise on natural philosophy by Thomson and Tait» (Vol. I. Part I, kinematics).

Гармоническое отношение (см. т. 1 стр. 722). Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге «Математический сборник» говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.

Две точки a и а 1 делят длину bc в Г. отношении, если длины ас , аа 1 и ab находятся в Г. отношении, т. е.:

a c a b = a c − a a 1 a a 1 − a b , {\displaystyle \mathrm {{\frac {ac}{ab}}={\frac {ac-aa_{1}}{aa_{1}-ab}}} ,}

a c a b = − a c − a a 1 a b − a a 1 , {\displaystyle \mathrm {{\frac {ac}{ab}}=-{\frac {ac-aa_{1}}{ab-aa_{1}}}} ,}

a b a c: a 1 b a 1 c = − 1 . {\displaystyle \mathrm {{\frac {ab}{ac}}:{\frac {a_{1}b}{a_{1}c}}=-1} .}

Гармоническому отношению между тремя длинами ас , аа 1 , ab можно придать еще следующий вид:

2 a a 1 = 1 a b + 1 a c , {\displaystyle \mathrm {{\frac {2}{aa_{1}}}={\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{ac}}} ,}

что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии; см. Chasles «Traité de géometrie supérieure».

Гармонические сферические функции. Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y, z , удовлетворяющие дифференциальному уравнению:

d 2 V d x 2 + d 2 V d y 2 + d 2 V d z 2 = 0 . {\displaystyle \mathrm {{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dz^{2}}}=0} .}

Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством - изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон, струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно

T = 2 π : k . {\displaystyle \mathrm {T=2\pi:{\sqrt {k}}} .}

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью v, то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол θ=vt/R (фиг. 21.2). Тогда dQθ/dt=ω 0 =v/R. Известно, что ускорение a=v 2 /R = ω 2 0 R и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны
x = R cos θ, y = R sin θ.

Что можно сказать об ускорении? Чему равна x-составляющая ускорения, d 2 x/dt 2 ? Найти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

Иными словами, когда частица движется по окружности, горизонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропорциональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: x=R cos ω 0 t. Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно одинаково при движении по любой окружности при одинаковой ω 0 . Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропорциональным cos ω 0 t и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за x-координатой частицы, движущейся по окружности с угловой скоростью ω 0 . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинко в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вертикально колеблющегося груза. Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений совпали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебательных движений очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для у и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифференциального уравнения. Можно сделать еще один трюк — ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.