Если наши какие угодно штуки удовлетворяют этим свойствам, то эти штуки можно называть векторами (это такой duck typing). А все множество этих штук-векторным или линейным пространством. Свойства выше называют аксиомами, и из них выводят все остальные свойства векторов (или линейного пространства-отсюда и название «линейная алгебра »). Например, можно вывести, что среди векторов будут существовать такие особые, базисные векторы, через которые можно выразить любой вектор по формуле (1) и то, что это разложение на координаты будет единственным для данного базиса. Очень быстро можно показать, что наши стрелочки как раз удовлетворяют этим аксиомам. Аксиоматический подход удобен, потому что если мы столкнемся с какими-то другим объектами, которые удовлетворяют аксиомам, то к ним сразу можно применить все результаты нашей теории. Кроме того, так мы избегаем определений стрелочек на пальцах в начале теории.

Можно легко показать (из тех самых аксиом), что при сложении векторов их соответствующие координаты будут складываться, а при домножении вектора на число все координаты домножаются на это же число. Теперь, чтоб сложить два вектора, как на картинке ниже, мы можем не рисовать их (и не вести линию от начала первого вектора до конца второго), а писать, например, .

Скалярное произведение

Давайте теперь введем специальную функцию от двух произвольных векторов a и b, которую будем называть скалярным произведением. Мы будем обозначать его вот так: . Эти модные скобочки по-научному называются бра- и кет- векторы . Никакой пользы от них пока нет, но выглядит здорово-кроме того, это обозначение все-таки имеет глубокий смысл, особенно если вдаваться в математические подробности или квантовую механику.

В духе нашего аксиоматического подхода мы лишь потребуем, чтоб скалярное произведение удовлетворяло нескольким аксиомам . Если вместо первого вектора взять сумму векторов типа , то мы хотим, чтоб . Здесь греческие буквы-множители, x и y-вектора. Еще мы хотим, чтоб если такую сумму подставить вместо второго вектора, то можно сделать такие же преобразования (скалярное произведение суммы векторов тоже оказывается суммой скалярных произведений, а множители также выносятся за скобки). Кроме того, мы хотим, чтоб значения всегда были неотрицательными. Наконец, мы хотим, чтоб равнялось нулю тогда и только тогда, когда сам вектор нулевой. Ах да, и еще, чтоб .

Если мы добавим к наших стрелочкам на бумаге линейку и транспортир, то этим аксиомам будет удовлетворять функция, известная со школы: , где длины векторов меряются линейкой, угол между векторами -транспортиром.

Если же линейки и транспортира у нас нет, то из скалярного произведения можно определить длину вектора--и угол между векторами : . Конечно же, угол зависит от способа определения скалярного произведения.

Давайте посмотрим, как выражается скалярное произведение через отдельные координаты векторов. Предположим, что у нас есть два вектора a и b , которые выглядят вот так: , . Тогда .

Выглядит не очень. Чтоб сделать жизнь лучше, мы будем дальше работать только с особыми системами координат. Мы выберем только те системы координат, у которых базисные векторы имеют единичную длину и перпендикулярны между собой. Другими словами,
(2a) , если
(2b) , если
Такие векторы называются ортонормированными. Выражение для скалярного произведения в ортонормированных системах координат преображается до неузнаваемости:
(3)

Все системы координат в этой статье предполагаются ортонормированными. Удивительно, но из нашего построения следует, что результат формулы (3) не зависит от того, какой именно ортонормированный базис для координат выбрать.

Внимательно посмотрев на картинку «Разложение вектора на координаты» (она приведена еще раз после этого абзаца), можно заподозрить, что координата вектора-это не что иное, как его проекция на соответствующий базисный вектор. То есть значение скалярного произведения исходного вектора с одним из базисных векторов:
(4)

Действительно, например, . Кажется, что это тавтология, потому что координаты базисных векторов в своем же базисе всегда будут (1, 0) и (0, 1). Но ведь мы можем взять другие базисные векторы, и выразить их через старый базис. Например, новый ортонормированный базис может выглядеть в старом базисе как и . И тогда мы можем определить, например, первую координату вектора в новом базисе по формуле (4) как .

Дотошный читатель скажет «но ведь формулу (3) можно использовать в качестве определения скалярного произведения, и тогда нам не надо никакой ортонормированности базисных векторов». И будет прав в том, что формула (3) может работать как одно из определений скалярного произведения. Но здесь есть тонкий момент: тогда нам надо показать, что при изменении системы координат эта же формула, но с координатами векторов a и b из другого базиса, даст такое же число. А это будет только в том случае, если все базисы ортонормированны. Это можно будет показать, прочитав следующий раздел.

Поворот системы координат

Давайте выясним, как меняются координаты векторов, если мы меняем всю систему координат. Зачем нам вообще менять систему координат? Если немного подумать, то станет ясно, что поворот системы координат эквивалентен повороту камеры в 3D или 2D-моделировании (смотрите ниже чуть модифицированный рисунок с домиком). Так что научиться вращать систему координат-это как раз то, что нам надо.

Давайте обозначим i -ую координату вектора а в новой системе координат как , а новые базисные векторы как . Кроме того, обозначим j -ую координату СТАРОГО базисного вектора i в НОВОМ базисе как . Наконец, обозначим i -ую координату НОВОГО базисного вектора j в СТАРОМ базисе как . Теперь мы можем выразить исходный вектор и старые базисные векторы через новые базисные векторы. А именно
(5) и
(6)
Кроме того, можно выразить новые базисные векторы через старые:
(7)
Некоторые из этих разложений изображены на картинке ниже.

Теперь мы просто перепишем формулу (1) через векторы нового базиса:


Если сравнить это с формулой (5), и вспомнить, что координаты векторов определены однозначно, то можно заметить, что
(8) и

Удивительно, как эти формула похожи на уравнения (3)! Они выглядят как скалярное произведение вектора с определенными векторами (ниже мы покажем, что это не случайно).

Если записать уравнения (9) одной формулой, то получится
(9)

Эту формулу можно вывести по-другому, объединив (4), (1) и (7): . Если вспомнить свойства скалярного произведения, то эта формула распадается на четыре суммы. Если же теперь вспомнить о том, что наши базисные векторы ортонормированны, то получаем .

Эта формула выглядит не совсем так, как формула (9): вместо здесь стоят . Это не ошибка-просто . То есть j -ая координата СТАРОГО базисного вектора i в НОВОМ базисе всегда равна i -ой координате НОВОГО базисного вектора j в СТАРОМ базисе, . Это станет очевидно, если попытаться выразить эти координаты через формулу (4):
(10) ,
А скалярное произведение, как мы помним, не зависит от порядка произведения векторов.

Это станет еще более очевидно, если вспомнить о том, что эти скалярные произведения-это углы между разными (единичными) базисными векторами. Эти углы, разумеется, не зависят от того, откладывать ли их по или против часовой стрелки.

Матрица поворота

Если вы знакомы с матрицами, то формулу (9) (две формулы) можно переписать в матричном виде
(11)

Что это вообще все значит?! Как обычно, здесь нет никакой магии-просто мы договариваемся, что домножение этой таблички из чисел слева на вектор справа вычисляется как формула (9). То есть каждую строчку таблички мы домножаем на столбец справа (как будто бы мы совершаем скалярное произведение двух векторов), и результаты записываем друг под другом, тоже получая столбец.

Можно, кстати, распространить это правило на перемножение двух табличек: договоримся домножать каждую строчку первой таблички на каждый столбец второй, и результаты тоже записывать в табличку: перемножение первой строчки с третьим столбцом запишем в первую строчку и третий столбец. Формула (11) тогда становится частным случаем этого правила. Схематически это все изображено на рисунке ниже.

Таблички из чисел, снабженные таким правилом домножения на векторы и другие таблички, будем называть матрицами.

Правило перемножения матриц выглядит еще более естественно, если узнать, что скалярное произведение, как мы договорились его обозначать, , на самом предполагает, что вектор a -это строка, а вектор b -столбец. До этого мы договорились записывать векторы столбцами, и вектор-строка a на самом деле-это не просто перевернутый вектор a , а объект специального двойственного векторного пространства . Но в случае ортонормированных базисов координаты исходного и двойственного векторов совпадают (то есть а-строка и а-столбец одинаковы), так что эти детали не влияют на наше изложение. Все нормально. Кроме того, с другой стороны, формула (3) для скалярного произведения-это частный случай перемножения матриц.

Вообще, можно показать, что домножение на матрицы соответствует определенным трансформациям векторов. Вместо «трансформации» принято говорить операторы . А домножение на матрицу является линейным оператором. Кроме того, для любого линейного оператора существует одна и только одна матрица оператора. О том, что это такое, можно почитать на википедии . Если описывать это здесь, то статья никогда не закончится.

Итак, как мы выяснили, поворот системы координат эквивалентен повороту камеры в 3D или 2D-моделировании. Поэтому матрица из формулы (11) называется матрицей поворота. Формулу (11) можно интерпретировать не как замену системы координат, а как описание оператора поворота.

Пока не совсем понятно, как вычислять эту матрицу. Это несложно, если обратиться к формулам (10) и вспомнить, что косинус угла между единичными векторами равен их скалярному произведению. Тогда, например, , где -угол вращения системы координат (камеры). Он по определению положительный, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательный при вращении по часовой стрелке (смотрите рисунок чуть ниже-он уже был, но теперь снова актуален). Если немного повозиться с геометрией или тригонометрией, то можно выяснить, что вся матрица поворота выглядит вот так:
(12a)

Можно показать, что вместо трех углов любой трехмерный поворот можно задать вектором, вокруг которого происходит поворот, и углом, на который мы вращаем камеру вдоль этого вектора (положим, против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора). Как ни странно (а точнее, разумеется), этот способ тоже требует три числа. Поскольку длина вектора нам не важна, мы можем сделать его единичной длины. Тогда, чтоб его задать, нам потребуется только два числа (например, два угла-скажем, относительно OX и OY). К этим двум числам добавляется угол, на который мы будем совершать вращение относительно вектора. Формулу для матрицы поворота с этими параметрами тоже можно найти на Добавить метки

Большинство электрических машин переменного тока предназначено для работы в трехфазных сетях, поэтому они строятся с симметричными трехфазными обмотками на статоре, причем МДС этих обмоток распределены в пространстве по закону близкому к синусоидальному, т.е. МДС, создаваемая k -й обмоткой в точке, отстоящей от оси этой обмотке на угол a k равна –Fa k =F k 0cosa k , где F k 0 – МДС, соответствующая оси k -й обмотки. Синусоидальность распределения позволяет представить МДС или пропорциональные им токи обобщенным пространственным вектором на комплексной плоскости , т.е. вектором, представляющим собой геометрическую сумму отрезков, построенных на пространственных осях фазных обмоток и соответствующих мгновенным значениям фазных МДС или токов. При этом проекции обобщенного вектора на оси фазных обмоток в любой момент времени будут соответствовать мгновенным значениям соответствующих величин.

При симметричной трехфазной системе обмоток обобщенный вектор тока можно представить в виде

где – операторы поворота, аi a , i b и i c – мгновенные значения токов соответствующих обмоток.

Оператор поворота вектора – множитель вектора, означающий поворот этого вектора на угол . Обозначение вектора строчным символом принято для указания на то, что его координаты являются функциями времени аналогично тому, как строчные символы при обозначении скалярных величин указывают на мгновенное значение.

При таком представлении фазные токи i a , i b и i c можно рассматривать как проекции вектора i на соответствующие оси фазных обмоток (рис. 1.1 а)). Если произвести построение вектора i , откладывая значения фазных токов i a , i b и i c на осях обмоток (рис. 1.1 б)), то суммарный вектор окажется в полтора раза больше того вектора, проекции которого соответствуют фазным токам. Поэтому в выражении (1.1.1) присутствует коэффициент 2/3, приводящий модуль суммарного вектора к такому значению, которое при проецировании на оси фазных обмоток даст истинные значения фазных токов.

Если статор машины имеет нулевой провод, то фазные токи могут содержать нулевую составляющую и их значения можно представить в виде i a +i o , i b +i o и i c +i o . Тогда вектор тока будет равен

Таким образом, обобщенный вектор тока статора не содержит нулевой составляющей и ее при анализе следует учитывать особо .

53.Разложение 3-х фазного не синусоидального тока на вектора прямой, обратной и нулевой последовательности.

В эксплуатации отдельные фазы трансформатора могут быть нагружены несимметрично из-за неравномерного распределения по фазам осветительной или другой однофазной нагрузки. Иногда имеются и несимметричные режимы, вызванные авариями - одно- и двухфазными короткими замыканиями в электрических сетях, питающихся от трансформаторов.

При несимметричных нагрузках ЭДС вторичных обмоток (а следовательно, и напряжения) могут существенно отличаться от их значений при нормальных, симметричных режимах, а это отрицательно влияет на работу потребителей электрической энергии, особенно на лампы накаливания и на асинхронные двигатели.

Общий метод анализа несимметричных режимов. При анали­зе будем считать заданными:

1) первичные линейные напряжения, векторы которых обра­зуют симметричную трехлучевую звезду (мощность питающей сети предполагается очень большой);

2) векторы вторичных токов, определяемые значением и ха­рактером нагрузки.

Общим методом анализа несимметричных режимов явля­ется метод симметричных составляющих, согласно которому трехфазная несимметричная система токов 1а , 1b и 1c (рис. 2.69, а) разлагается на системы токов прямой, обратной и нулевой последовательностей, т. е. производится замена:

Í a = Í a1 + Í a2 + Í a0

Í b = Í b1 + Í b2 + Í b0

Í c = Í c1 + Í c2 + Í c0

Векторы Í а 1 Í b 1 и Í c 1 создают систему векторов прямой последовательности (рис. 2.69,6 ), т. е. имеют то же чередование фаз, что и заданная система векторов Í а , Í b и Í c . Следовательно, Í b 1 = e j 4 π/3 Í а 1 ; Í c1 =e j2π/3 Í а 1 . Система векторов обратной последовательности

Í а2 , Í b2 и Í с2 (рис. 2.69, в) имеет обратное чередование фаз и характеризуется соотношениями Í b2 = e j2π/3 Í а2 и Í с2 = e j4π/3 Í а2 . Напомним, что умножение вектора на е jφ соответствует повороту вектора в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Система векторов нулевой последовательности показана на рис. 2.69,г . Для нее характерно соотношение I a 0 =I b 0 = I c 0 .

Подставляя значения указанных векторов в (2.105) и учитывая, что сумма 1 + e j2π/3 + e j 4 π/3 = 0, можно найти значения векторов:

Í a1 = (⅓)(Í a + e j2π/3 Í b + e j4π/3 Í c );

Í a2 = (⅓)(Í a + e j4π/3 Í b + e j2π/3 Í c );

Í a0 = (⅓)(Ía + Íb + Íc).

5. Оператор поворота относительно координатной оси

Если в предыдущих случаях для вычисления матриц операторов мы могли использовать произвольную систему координат, то для вычисления матрицы оператора поворота без декартовой системы координат обойтись очень трудно. Пусть является оператором поворота относительно оси x декартовой системы координат xyz , причем поворот осуществляется по направлению от оси y к z оси. Найдем координаты векторов базиса, подвергнутых действию этого оператора, на рис. 51 они обозначены и .


Рис. 51

, , .

И, следовательно,

Аналогично можно доказать, что

,

.

6. Оператор поворота относительно произвольной оси

Если нам необходимо выполнить преобразование поворота относительно произвольной оси, не совпадающей ни с одной из координатных осей, мы можем воспользоваться услугами вспомогательной координатной системы . Если ось вспомогательной системы координат направить вдоль оси поворота, то матрица оператора поворота в этой системе запишется уже известным образом:

.

Теперь достаточно воспользоваться известным законом преобразования координат оператора, чтобы найти матрицу его координат в старой системе: . Общее выражение для матрицы поворота не отличается ни простотой, ни красотой и мы ее здесь не приводим, но и не проводя никаких вычислений, можно сделать некоторые выводы относительно ее свойств. Умножим матрицу на .

Матрица преобразования составлена из координат векторов базиса системы в старой системе координат и, поэтому,

так как система координат является ортонормированной.

По аналогичным причинам . То, что , можно проверить непосредственно. Следовательно,, а это означает, что матрица транспонированная к , является к ней обратной: . Матрицы, обладающие таким свойством и соответствующие им операторы, называются ортогональными. Следовательно, матрица оператора поворота, является ортогональной матрицей. Этот факт имеет простое геометрическое объяснение: как бы мы ни поворачивали первоначально ортонормированные векторы базиса, они всегда останутся ортонормированными и, поэтому естественно, что. Однако, все, что мы до сих пор сказали про оператор поворота, справедливо только для ортонормированных систем.

Пусть теперь будет оператор поворота в произвольных косоугольных координатах. Перейдем к ортонормированному базису:

.

В ортонормированном базисе

Так как , то .

Обобщенный случай поворота вокруг произвольной оси в пространстве встречается часто, например в робототехнике, мультипликации, моделировании. Следуя логике предыдущего обсуждения, поворот вокруг произвольной оси в пространстве выполняется с помощью переноса и простых поворотов вокруг координатных осей. Так как метод поворота вокруг координатной оси известен, то основная идея заключается в том, чтобы совместить произвольную ось вращения с одной из координатных осей.

Рис. 3-6 Несколько поворотов относительно локальной системы координат.

Предположим, что произвольная ось в пространстве проходит через точку с направляющим вектором . Поворот вокруг этой оси на некоторый угол выполняется по следующему правилу:

Выполнить перенос так, чтобы точка находилась в начале системы координат;

Выполнить соответствующие повороты так, чтобы ось вращения совпала с осью ;

Выполнить поворот на угол вокруг оси ;

Выполнить преобразование, обратное тому, что позволило совместить ось вращения с осью ;

Выполнить обратный перенос.

В общем случае для того, чтобы произвольная ось, проходящая через начало координат, совпала с одной из координатных осей, необходимо сделать два последовательных поворота вокруг двух других координатных осей. Для совмещения произвольной оси вращения с осью сначала выполним поворот вокруг оси , а затем вокруг оси . Чтобы определить угол поворота вокруг оси , используемый для перевода произвольной оси в плоскость , спроецируем сначала на плоскость направляющий единичный вектор этой оси (рис. 3-7а). Компоненты и спроецированного вектора равны - и -компонентам единичного направляющего вектора оси вращения.

Из рис. 3-7а следует, что

Рис. 3-7 Повороты, необходимые для совмещения с осью единичного вектора . (а) Поворот вокруг ; (b) поворот вокруг .

После перевода в плоскость с помощью поворота вокруг оси , -компонента единичного вектора равна , а -компонента равна , т.е. -компоненте направляющего вектора, как это показано на рис. 3-7b. Длина единичного вектора равна, конечно, 1. Таким образом, угол поворота вокруг оси , необходимый для совмещения произвольной оси с осью , равен

Тогда полное преобразование можно представить в виде

где матрица переноса равна

. (3-22)

Матрица преобразования поворота вокруг оси

(3-23)

и вокруг оси

. (3-24)

И, наконец, вращение вокруг произвольной оси задается матрицей поворота вокруг оси

. (3-25)

На практике углы и не вычисляются явным образом. Элементы матриц поворотов и в (3-21) получаются из уравнений (3-18)-(3-20) за счет выполнения двух операций делениия и извлечения квадратного корня. Хотя данные результаты были разработаны для произвольной оси в первом квадранте, они применимы во всех квадрантах.

Если компоненты направляющего вектора произвольной оси неизвестны, то, зная вторую точку на оси, их можно определить, нормализовав вектор, соединяющий первую и вторую точки. Более точно вектор оси из в равен

Нормализация дает компоненты направляющего вектора:

. (3-26)

Более полно этот метод иллюстрируется в следующем примере.

Пример 3-10 Поворот вокруг произвольной оси

Рассмотрим куб с одним отсеченным углом, изображенный на рис. 3-8а. Координатные векторы вершин равны

.

Рис. 3-8 Поворот вокруг произвольной оси.

Куб необходимо повернуть на вокруг оси, проходящей через точку и противоположный угол на диагонали. Ось направлена из точки в противоположный угол и проходит через центр угловой грани.

Сначала определим компоненты направляющего единичного вектора оси вращения. Учитывая, что угол, отрезанный треугольником также лежит на оси, из (3-26) следует, что

.

С помощью уравнений (3-18)-(3-20) получаем

,

.

Так как точка лежит на оси вращения, матрица переноса равна

.

Тогда матрицы поворотов, совмещающих произвольную ось вращения с осью , имеют вид:

.

Обратные матрицы , и получаются с помощью подстановки значений , и для углов , и , соответственно, в уравнения (3-22)-(3-24)...

Координаты результата равны

,

.

На рис. 3-8с изображен преобразованный объект.