Экология познания. Познавательно: Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Открытая Бенуа Мандельбротом фрактальная геометрия описывает упорядоченный хаос природы и демонстрирует принцип бесконечного вложения самоподобных структур друг в друга на основе простых математических соотношений. Фрактал (от лат. fractus, «сломанный, разбитый») – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Действительно ли Вселенная бесконечна или просто очень велика? Есть ли у Вселенной центр? Есть ли у неё границы? Их нет, так же, как нет центра и границ у фрактала. Представьте себе, что всё вокруг – фрактал. И мы тоже часть этого фрактала.Бесконечное самоподобие.

Расширяющаяся вокруг нас Вселенная – не единственная, нас могут окружать миллиарды других вселенных. Возможно, наш мир представляет собой лишь часть Мультимира -гипотетического множества всех возможных параллельных вселенных. Существуют гипотезы, что вселенные Мультимира могут быть с разными законами физики и разным количеством пространственных измерений.

Большинство учёных признают, что Вселенная имеет фрактальную структуру: планетарные системы объединены в галактики, галактики в кластеры, кластеры всуперкластеры и так далее. Ранее учёные полагали, что распределение материи можно считать непрерывным, начиная с объектов размером около 200 миллионов световых лет. Данные о более чем 900 тысячах галактик и квазаров показали, что непрерывность отсутствует и при масштабе в 300 миллионов световых лет.

Полученные выводы противоречат основам теории Большого Взрыва, согласно которой в первые моменты после рождения Вселенной материя была распределена равномерно и непрерывно.

Ряд учёных полагают, что за время, прошедшее с момента Большого Взрыва, под действием гравитации фрактальные структуры вселенского масштаба не могли успеть образоваться.

Сегодня не существует одной математической модели или теории, которая могла бы описать каждый аспект Вселенной. Теория бесконечной вложенности материи - фрактальная теория – это альтернативная философская и космологическая теория, не входящая в стандартные академические области науки. В настоящее время теории фрактальной Вселенной не существует. Как считают исследователи, опираясь на теорию относительности Эйнштейна, создание такой теории возможно. Если академическая наука признает, что материя во Вселенной распределена в виде фрактала, потребуется пересмотр практически всех существующих моделей Вселенной.

Фракталы воплощают принцип повторения – копий, в изобилии присутствующих в природе. Это геометрические формы, которые выглядят одинаково при любой степени приближения. Фрактальная геометрия не есть «чистая» геометрическая теория. Это концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир.

То, что материя делится до бесконечности, утверждали ещё Аристотель, Декарт иЛейбниц. В каждой частице, какой бы малой она ни была, «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас» – утверждал греческий философ Анаксагор в своём труде о гомеомериях в V веке до нашей эры.

Основной постулат легендарной «Изумрудной Скрижали» Гермеса Трисмегиста гласит:«То, что находится внизу, аналогично тому, что находится вверху». Этот принцип принят за аксиому последователями герметической философии, которые утверждали аналогию между микро и макро мирами.

Сакральные учения всех древних цивилизаций пронизывает идея существования гармоничной Вселенной. Египетская богиня истины и порядка Маат представляла собой воплощение принципа естественного порядка вещей. Греки, учившиеся у египтян, связали с цивилизацией слово «космос», переводимое как «вышивка» и выражающее гармонию и красоту «самоподобия». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же элементы. Все они могут быть описаны в виде математических уравнений.

Принципы сакральной геометрии, в основе которой лежат фракталы, «платоновы тела», спираль Золотого сечения, числоФи, в равной мере присущи и человеку, и цветку, и звёздам. Всё, что существует в реальном мире, является фракталом: кровеносная система, кроны и листья деревьев, облака и молекула кислорода.

Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Мы не можем описать камень, участок ландшафта, поверхность моря, скалу или границы острова с помощью прямых линий, кругов и треугольников. Здесь нам приходят на помощь фракталы. С помощью фракталов эти структуры можно моделировать, создавать, что и используется в различных компьютерных программах.


Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина.

Фрактальная геометрия – геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.

Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к пониманию Вселенной.

Фрактальная структура – это генетический код Вселенной. опубликовано

Присоединяйтесь к нам в

Морозные узоры на окне, замысловатая и неповторимая форма снежинок, сверкающие молнии в ночном небе завораживают и пленяют своей необыкновенной красотой. Однако мало кто знает, что все это является сложными фрактальными структурами.

Бесконечно самоподобные фигуры, каждый фрагмент которых повторяется при уменьшении масштаба, называются фракталами . Сосудистая система человека, система альвеол животного, извилины морских берегов, облака в небе, контуры деревьев, антенны на крышах домов, клеточная мембрана и звездные галактики - все это удивительное порождение хаотического движения мира есть фракталы.

Первые образцы самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке. Термин «фракталы», который происходит от латинского слова «fractus» - дробный, ломанный, был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Таким образом, фрактал представляет собой структуру, состоящую из частей, подобных целому. Именно свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Одновременно с выходом в свет книги «Фрактальная геометрия природы» (1977 год) фракталы получили всемирную известность и популярность.

Т ермин «фрактал» не является математическим понятием и в связи с этим не имеет строгого общепринятого математического определения. Более того, термин фрактал употребляется относительно любых фигур, обладающих какими-либо из нижеперечисленных свойств:

    Нетривиальная структура на всех шкалах. Это свойство отличает фракталы таких регулярных фигур, как окружность, эллипс, график гладкой функции и т.п.

    У величени е масштаба фрактала не приводит к упрощению его структуры, то есть на всех шкалах мы видим одинаково сложную картину, в то время, как при рассмотрении регулярной фигуры в крупном масштабе, она становится подобна фрагменту прямой.

    Самоподобие или приближенное самоподобие.

    Метрическая или дробная метрическая размеренность, значительно превосходящая топологическую .

    Построение возможно лишь с помощью рекурсивной процедуры, то есть определение объекта или действия через себя.

Таким образом, фракталы можно разделить на регулярные и нерегулярные. Первые являются математической абстракции, то есть плодом воображения. К примеру, снежинка Коха или треугольник Серпинского. Вторая разновидность фракталов является результатом природных сил или деятельности человека. Н ерегулярные фракталы, в отличие от регулярных сохраняют способность к самоподобию в ограниченных пределах.

С каждым днем фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике - они как нельзя лучше описывают реальный мир. Приводить примеры фрактальных объектов можно бесконечно долго, они повсюду окружают нас. Фрактал как природный объект представляет собой яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития.

Фракталы нашли широкое применение в компьютерной графи ке для построения изображения природных объектов, например, деревьев, кустов, горных массивов, поверхностей морей и прочее. Эффективным и успешным стало использование фракталов в децентрализованных сетях. К примеру, система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Благодаря чему, каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, более того любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, активно применяется в сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации обеспечивает максимально устойчивую работу всей сети.

Весьма перспективным является использование фрактальной геометрии при проектировании «фрактальных антенн».
В настоящее время фракталы стали активно использоваться в нанотехнологиях. Особенно популярны фракталы стали у трейдеров. С их помощью экономисты производят анализ курса фондовых бирж, вальных и торговых рынков. В нефтехимии фракталы применяются для создания пористых материалов. В биологии фракталы используются для моделирования развития популяций, а также для описания систем внтренних органов. Даже в литературе фракталы нашли свою нишу. Среди художественных произведений были найдены произведения с текстуальной, структурной и семантической фрактальной природой.

/БДЭ математика/

Множество Жюлиа (в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который вместе с Пьером Фату первым занаялся изучением фракталов. В 1970-х годах его работы популяризировал Бенуа Мандельброт )

Геометрические фракталы

История фракталов в XIX веке началось именно с изучения геометрических фракталов. Фракталы ярко отражают свойство самоподобия. Наиболее наглядными примерами геометрических фракталов являются:

Кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины. Эта кривая не имеет касательной ни в одной точке.
Множество Кантора - неплотное несчётное совершенное множество.
Губка Менгера - это аналог множества Кантора с тем лишь отличием, что построен этот фрактал в трехмерном пространстве.
Треугольник или ковер Серпинского также является аналогом множества Кантора на плоскоти.
Фракталы Вейерштрасса и Ван дер Вардена представляют собой недифференцируемую непрерывную функцию.
Траектория броуновский частицы также не дифференцируема.
Кривая Пеано - это непрерывная кривая, которая проходит через все точки квадрата.
Дерево Пифагора.

Рассмотрим триадную кривую Коха.
Для построение кривой существует простая рекурсивная процедура образования фракта кривых на плоскости. В первую очередь необходимо задать произвольную ломаную с конечным числом звеньев, так называемым генератором. Далее каждое звено заменяется образующим элементом, точнее ломаной, подобной генератору. В результате такой замены образуется новое поколение кривой Коха. В первом поколении кривая состоит из четырех прямолинейных звеньев, длина каждого из которых равна 1/3. Чтобы получить третье поколение кривой выполняют тот же алгоритм - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Таким образом, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего заменяются уменьшенным образующим элементов. Тогда, кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. В случае, когда n стремится к бесконечности кривая Коха становится фрактальным объектом.

Обратимся к другому способу построения фрактального объекта. Для его создания необходимо изменить правила построение: пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменяем единичный отрезок на образующий элемент таким образом, чтобы угол был сверху. То есть, при такой замене происходит смещение середины звена. Последующие поколения строятся по правилу: первое слева звено заменяется на образующий элемент тким образом, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения. Далее замена звеньев чередуется. Предельная фрактальная кривая, построенная по такому правилу, называется драконом Хартера-Хейтуэя.

В компьютерной графике геометрические фраткалы используются для моделирования изображений деревьев, кустов, горных массивов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы широко используются для создания объемных текстур.



Окончив университет, Мандельброт переехал в США, где окончил Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию, он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году. В 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне . Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики.

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный) - термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году. До сих пор нет строгого математического определения фрактальных множеств. О н смог обобщить и систематезировать «неприятные» множества и построить красивую и интуитивно понятную теорию. Он открыл удивительный мир фракталов, красота и глубина которых порой поражают воображение, вызывают восторг у ученых, хужожников, философов… Работа Мандельброта была стимулирована передовыми компьютерными технологиями, которые позволили генерировать, визуализировать и исследовать различные множества.

Японский физик Ясунари Ватанаба создал компьютерную программу, рисующую прекрасные фрактальные орнаменты. Календарь из 12 месяцев был представлен на международной конферении "Математика и искусство" в Суздале.

Асимметрия иерархически организованного материального мира предстает перед наблюдателем в виде трех реальностей. Поскольку мы сами принадлежим вещественному миру, основная наша реальность, полностью данная нам в ощущениях – «весомо, грубо, зримо» - это мир вещественных объектов и гравитационных сил. С ним все достаточно ясно. Но мироздание не ограничивается этим уровнем. Вся иерархия уровней, лежащая ниже вещественного мира, предстает перед нами в виде «свободного поля» - того, что вещество может излучить или поглотить, и без чего вещество не может функционировать (как система - без элементов, организм – без клеток).

Ближайший к нам снизу уровень – свободное ЭМП, еще ниже – верхний уровень вакуума (доэнергетическое состояние материи) и так далее. Основной особенностью нижних уровней для нас является ненаблюдаемость процессов, непосредственно происходящих в свободном поле, но возможность интерпретировать (вероятностно) эти процессы, зная промежуточные результаты, всегда связанные с поглощением и излучением этого поля веществом. Этим, весьма успешно, надо сказать, занимается Квантовая Механика - загадочная "наука, которую не понимает никто" (Фейнман).

Ближайший к вещественному миру уровень организации «сверху» - это мир чёрных дыр. Вещество не может ни «излучить» чёрную дыру, ни «поглотить» её. Более того, само вещество становится пассивным объектом: взаимодействуя с верхним уровнем, оно может только сколлапсировать, «упасть», бесследно исчезнув, в чёрную дыру. Мир чёрных дыр с точки зрения вещественного мира полностью невидим (не описуем).

Всё это сказано, дабы ещё раз подчеркнуть асимметрию иерархически организованного, системного мира: простые формы симметрии и любые законы сохранения в этом мире отсутствуют (выполняясь лишь на малых его участках – подуровнях, то есть, весьма условно).

Что же поддерживает порядок в этом нелинейном мире, мире без линейной симметрии, что объединяет его в одно целое?

«Равноправие» всех уровней организации материи! Но «равноправие» это – нелинейное, оно не означает механического равенства между высшим и низшим, целым и его частью. Оно означает некое подобие между ними, наличие общих фундаментальных свойств. В чём же сходство между различными уровнями?

Ниже и выше любого уровня лежит неограниченная последовательность – иерархия уровней организации материи. Все нижележащие уровни проявляют себя по отношению к данному уровню, как некое свободное поле, результат излучения материей данного уровня и потенциальный объект для поглощения ею. Все вышележащие уровни предстают как «чёрные дыры», готовые поглотить любые объекты нижележащих уровней без остатка в результате коллапса материи низшего уровня.

Такое равноправие, межуровневое подобие, фундаментальное сходство всех уровней организации иерархического мира ранее уже было названо нами фрактальной симметрией. Это не простая, а необычная, нелинейная симметрия. Эта симметрия – обратная сторона линейной асимметрии иерархического мира, ее преодоление. Так "золотое сечение" делит отрезок не пополам, симметрично арифметически, что соответствовало бы нахождению "среднего арифметического", а в единственной пропорции, когда отношение малого отрезка к большому равно отношению большого к их сумме. Суть "золотого сечения", кстати, чётко не понятая, это нелинейность той симметрии, которуя оно являет миру: больший отрезок - это среднее геометрическое между меньшим и их суммой. Если совсем коротко: "золотое сечение" - частный случай нелинейной фрактальной симметрии!

Но вернёмся к физике: в отличие от простых видов симметрии, за каждым из которых стоит свой закон сохранения, распространяющийся на свой «микроучасток», подуровень нашего мира, за ФРАКТАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ стоит уникальный Закон, охватывающий мир в целом и каждый уровень его организации по отдельности:

ЗАКОН ТРАНСФОРМАЦИИ МАТЕРИИ,

Который может быть сформулирован, как

Mн = (Vв)^2*Мв,

Где Мн и Мв – меры материи, характеризующие нижний и верхний (рядом стоящие) уровни организации материи (… доэнергия вакуума, энергия, масса, постмасса ЧД и т.д.); Мв – максимальная скорость движения на верхнем уровне.

Как Вы уже должно быть догадались, частным случаем закона трансформации материи, выражением, связывающим свободное ЭМП с веществом, является широко известная формула Эйнштейна (Е = mc^2).

Рецензии

Теперь можно будет вернуться к конкретному разговору с внучкой двухлетней давности:
"Таня!
Может ты мне ответишь, если папа говорит, что даже учёным точно неизвестно, что такое "чёрная дыра"? Я всё думаю, думаю - как это может быть ДЫРА В НЕБЕ? НЕБО - это же не тряпочка?"
(А. Майборода)
_____
С уважением,

Центральную роль в этой книге играют древние понятия размерности (т. е. количества пространственных измерений или степени многомерности) и симметрии. Кроме того, позже мы неоднократно столкнемся с различными симптомами расходимости.

ИДЕЯ РАЗМЕРНОСТИ

Во время кризиса 1875-1925 гг. математики осознали, что невозможно достичь истинного понимания неправильности и фрагментации (равно как правильности и связности), по-прежнему определяя размерность как число пространственных координат. Первый шаг в направлении строгого анализа был сделан Кантором в его письме к Дедекинду от 20 июня 1877 г., следующий - Пеано в 1890 г., а к середине 20-х гг. XX в. процесс благополучно завершился.

Как случается со всеми значительными интеллектуальными достижениями, результат этого процесса может иметь весьма различные интерпретации. Во всех попадавших мне на глаза математических исследованиях теории размерности подразумевается, что теория эта единственна и неповторима. Главным здесь, на мой взгляд, является то, что довольно расплывчатое понятие размерности, судя по всему, имеет много математических аспектов, которые не только принципиально различны, но еще и дают различные числовые значения этой самой размерности. То, что Уильям из Оккама говорил о сущностях, относится и к размерностям - не следует множить размерности без необходимости, однако от множественности размерностей нам никуда не деться. Евклид в свое время ограничился множествами, все существенные размерности которых совпадают - эти множества можно назвать размерностно-согласованными множествами. С другой стороны, различные размерности множеств, которым посвящена значительная часть этой книги, отказываются совпадать, т. е. эти множества размерностно-несогласованы.

Переходя от размерностей математических множеств к «эффективным» размерностям моделируемых этими множествами физических объектов, мы встречаемся с другой двусмысленностью, неизбежной и реально необходимой. И математические, и физические аспекты понятия размерности вкратце предваряются в данной главе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИНА «ФРАКТАЛЬНЫЙ»

В нижеследующем тексте используются не определенные ранее математические термины, однако многие читатели, возможно, сочтут этот отрывок полезным для себя или хотя бы просто занимательным. Остальные же вольны его пропустить.

Это и последующие отступления от основной линии настоящего эссе я буду помечать особыми скобками - < и >. Последний символ намеренно сделан более заметным, чтобы любой затерявшийся в отступлениях и желающий двигаться дальше читатель мог с легкостью его найти. Открывающая скобка не столь привлекает внимание: мне не хотелось, чтобы отступления слишком сильно выделялись в тексте. В отступлениях часто можно встретить предварительное упоминание материала, обсуждаемого в последующих главах.

< Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству в евклидовом пространстве - каким бы «патологическим» оно ни выглядело - некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Эта размерность описана в соответствующем разделе главы 41. Обозначим ее через Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в и приведено в окончательный вид Безиковичем. Ее описание можно найти в главе 39, а обозначать ее мы будем через .

< В евклидовом пространстве величины размерностей и заключены в промежутке от 0 до . Однако на этом их сходство заканчивается. Размерность всегда является целым числом, в то время как для размерности это вовсе не обязательно. Эти две размерности не обязательно должны совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна (см. , глава 4)

В случае евклидовых множеств . Однако почти для всех множеств в этой книге . Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:

< Фракталом называется множество, размерность Хаусдор- фа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.

< Любое множество с нецелым значением является фракталом. Например, исходное канторово множество представляет собой фрактал, поскольку, как мы увидим в главе 8, его размерность

Канторово множество в пространстве можно обобщить так, чтобы , a принимала бы любые желаемые значения в промежутке от 0 до (включительно).

< Фракталом является и исходная кривая Коха, поскольку, как будет показано в главе 6, ее размерность

< Фрактал может иметь и целочисленную размерность. Например, в главе 25 показано, что траектория броуновского движения представляет собой фрактал, так как ее размерность

< Тот поразительный факт, что размерность не должна непременно быть целым числом, заслуживает некоторого терминологического отступления. Если понимать термин «дробь»1 в широком смысле, т.е. как синоним термина «нецелое вещественное число», то некоторые из вышеперечисленных значений размерности являются дробными - размерность Хаусдорфа-Безиковича иногда даже называют дробной размерностью. Однако учитывая, что может принимать и целые значения (меньшие, чем , но строго большие, чем ), я предпочитаю называть величину фрактальной размерностью.

ФРАКТАЛЫ В ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

< Исследование фракталов частично затрагивает и геометрический аспект гармонического анализа, однако в настоящем труде этот факт не слишком подчеркивается. Большинству читателей гармонический анализ (иначе называемый спектральным или анализом Фурье) мало известен, а многие из тех, кто эффективно используют его на практике, мало знакомы с его фундаментальными структурами.

Кроме того, каждый из этих подходов - и фрактальный, и спектральный - имеет свои характерные особенности и свою прелесть, которые лучше постигать на своем собственном опыте. И наконец, на мой взгляд, по сравнению с гармоническим анализом фракталы просты и интуитивно понятны.

О «ПОНЯТИЯХ, КОТОРЫЕ... НОВЫ, НО ... »

В свое время Лебег немало потешался над некоторыми «понятиями, которые, безусловно, новы, но абсолютно бесполезны». К размерности эту характеристику никто не применял, однако ее использование было ограничено весьма узким кругом областей, причем все эти области относились к чистой математике. Я, пожалуй, был первым, кто успешно применил размерность к описанию Природы. Одной из важнейших целей моей работы является закрепление за размерностью центрального места в эмпирической науке и демонстрация таким образом того, что размерность эта обладает гораздо более широкой применимостью, чем кто-либо может себе представить.

В некоторых областях физики мое утверждение о важности размерности было принято с исключительной готовностью. Более того, многие ученые, работающие в этих областях, сознавая неадекватность обычной размерности, уже пытались вести поиски в этом направлении, получая в результате всевозможные дробные, аномальные, либо непрерывные размерности. К сожалению, эти поиски никак не были связаны друг с другом. К тому же в некоторых случаях различные размерности определялись одинаково, ни одна из них не могла похвастать наличием математического теоретического обоснования, и ни одна не была должным образом разработана, так как из-за отсутствия математического обоснования эти размерности невозможно было отличить друг от друга. Для тех разработок, которые будут описаны ниже, существование математической теории жизненно необходимо.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ - ЭТО НЕ ТОЛЬКО ТОПОЛОГИЯ

Если вы спросите у математика, какая четко определенная область математики имеет дело с формами, он почти наверняка упомянет топологию. Топология, безусловно, имеет к нашим целям самое непосредственное отношение - мы даже упоминали о ней в предыдущей главе, - однако в настоящем эссе выдвигается и защищается утверждение, что довольно расплывчатое понятие формы содержит не только топологические, но и другие математические аспекты.

Топология, которую раньше называли геометрией местоположений или analysis situs1 (греческое слово переводится как «место» или «положение»), полагает, что все горшки с двумя ручками имеют одинаковую форму, так как если бы они обладали неограниченной гибкостью и сжимаемостью, то можно было бы из одного горшка вылепить любой другой, причем непрерывным образом, не делая никаких новых отверстий и не закрывая старых. Топология также учит, что форма береговой линии любого острова идентична форме береговой линии любого другого острова, поскольку все такие линии топологически идентичны дружности. Топологическая размерность береговой линии равна топо- логической размерности окружности, и обе они равны 1. Если добавить острову несколько не соприкасающихся с ним «спутников», то совокупная береговая линия получившегося архипелага будет топологически идентична совокупности нескольких окружностей. Таким образом, топология не видит разницы между различными береговыми линиями.

В главе 5 показано, что различные береговые линии имеют, как правило, различные фрактальные размерности. Различия между фрактальными размерностями обусловлены различиями между нетопологическими аспектами формы, которые я предлагаю назвать фрактальными.

Большинство действительно важных и интересных задач сложным образом сочетают в себе фрактальный и топологический аспекты формы.

Заметим, что в топологии определения собственно поля и размерности развивались параллельно, а понятие фрактальной размерности появилось на полвека раньше настоящего исследования в области фрактальных форм.

Кстати, из-за того, что некий класс топологических пространств носит имя Феликса Хаусдорфа, широко используемый для обозначения размерности термин «хаусдорфова размерность» может быть воспринят как сокращение от «размерности хаусдорфова пространства», создавая тем самым впечатление, что является топологическим понятием - это абсолютно не так. Вот вам еще одна причина, почему я предпочитаю термин фрактальная размерность.

ЭФФЕКТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Помимо математических идей, лежащих в основе размерностей и , я часто прибегаю к помощи эффективной размерности - понятия, которому не следует давать точного определения. Это мощное интуитивное понятие представляет собой возврат к древнегреческой пифагорейской геометрии. Новизна заключается в том, что в настоящем эссе значение эффективной размерности может быть дробным.

Эффективная размерность выражает соотношение между математическими множествами и естественными объектами. Строго говоря, все физические объекты - такие, например, как вуаль, нить или маленький шарик - должны быть представлены трехмерными телами. Однако физики предпочитают считать, что вуаль имеет размерность 2, а размерности нити и шарика равны соответственно 1 и 0 (при условии, разумеется, что и вуаль, и нить, и шарик достаточно малы). Например, для описания нити относящиеся к множествам с размерностями 1 или 3 теории должны быть соответствующим образом скорректированы с помощью поправочных членов. После этого строится более точная геометричеcкая модель, требующая меньших поправок. Если повезет, такая модель оказывается верной даже без учета поправок. Иными словами, эффективная размерность неизбежно опирается на субъективный фундамент; она обусловлена приближением и, как следствие, степенью разрешения.

ЭФФЕКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ, СКРЫТЫЕ В СКРУЧЕННОМ ИЗ НИТИ ШАРЕ

Для подтверждения последнего заявления скрутим из толстой нити диаметром 1 мм шар диаметром 10 см и рассмотрим скрытые в таком клубке эффективные размерности.

Удаленному наблюдателю наш клубок покажется фигурой с нулевой размерностью, т. е. точкой. (Да что там клубок! - еще Блез Паскаль и средневековые философы утверждали, что в космическом масштабе весь наш мир есть не более, чем точка!) С расстояния в 10 см шар из нитей выглядит как трехмерное тело, а с расстояния в 10 мм - как беспорядочное переплетение одномерных нитей. На расстоянии в 0,1 мм каждая нить превратится в толстую колонну, а вся структура целиком опять станет трехмерным телом. На расстоянии 0, 01 мм колонны превратятся в переплетение волокон - шар снова станет одномерным. При дальнейшем приближении процесс становится периодическим - размерность наблюдаемой фигуры переключается с одного значения на другое и наоборот. Наконец, когда клубок превратится в скопление, состоящее из какого-то конечного числа точек, имеющих размеры порядка атомных, его размерность снова становится равной нулю. Похожую последовательность смены размерностей можно наблюдать при разглядывании листа бумаги.

Тот факт, что численный результат может и должен зависеть от соотношений между объектом и наблюдателем, не только вполне в духе сегодняшней физики, но и являет собой достойный подражания пример.

Большинство объектов, рассматриваемых в этой книге, похожи на наш нитяной клубок: они демонстрируют целую последовательность различных эффективных размерностей. Однако существует одно важное отличие: некоторые недостаточно определенные переходы между зонами с отчетливо выраженной размерностью интерпретируются здесь как фрактальные зоны, внутри которых .

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОДНОРОДНОСТЬ, МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И САМОПОДОБИЕ

Оставим пока размерности в покое и приготовимся к разговору о симметрии, для чего вспомним о простейших формах, с которых начинается евклидова геометрия: о линиях, плоскостях и пространствах. И о простейших физических задачах, возникающих при однородном распределении какой-либо физической величины - плотности, температуры, давления или скорости.

Однородное распределение вдоль линии, на плоскости или в пространстве обладает двумя очень привлекательными свойствами. Оно инвариантно при смещении и при изменении масштаба. При переходе к фракталам обе инвариантности неизбежно подвергаются модификации и/или/ ограничению области их действия. Следовательно, наилучшими можно считать те фракталы, которые демонстрируют максимальную инвариантность.

В случае смещения различные участки траектории броуновского движения частицы не могут быть точно совмещены друг с другом, как, например, могут быть совмещены различные участки прямой линии. Тем нe менее, можно считать, что эти участки совместимы в статистическом смысле. Почти все фракталы, представленные в этой книге, в той или иной степени инвариантны при смещении.

Более того, большинство этих фракталов инвариантны при некоторых преобразованиях масштаба. Назовем их масштабно-инвариантными фракталами. Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом преобразовании подобия, называется самоподобным.

В составном термине масштабно-инвариантные фракталы прилагательное служит для смягчения существительного. Основной термин фрактал подразумевает неупорядоченность и относится к структурам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение масштабно-инвариантный намекает на некоторый порядок. Если же под основным термином понимать масштабную инвариантность, предполагающую строгий порядок, то фрактал сыграет роль модификатора, призванного исключить всякий намек на прямые и плоскости.

Не следует превратно понимать стремление допустить однородность и масштабную инвариантность. Как и в случае обыкновенной геометрии природы, все мы прекрасно осведомлены о том, что ничто в окружающем нас мире не является ни строго однородным, ни масштабно-инвариантным. Обыкновенная геометрия рассматривает прямые как предварительные модели. Так же и в механике понятие однородного прямолинейного движения является лишь первым шагом.

Те же соображения применимы и к изучению масштабно-инвариантных фракталов, однако в этом случае первый шаг получается значительно более длинным, поскольку вместо прямых линий мы имеем огромное множество самых разнообразных возможностей, лишь самые яркие примеры которых вошли в эту книгу. Не следует удивляться тому, что масштабно-инвариантные фракталы используются здесь лишь как источники первых приближений к естественным структурам, подлежащим рассмотрению. Скорее, удивиться нужно тому, насколько поразительно верными оказываются эти первые приближения.

Нелишним будет напомнить, что идея самоподобия далеко не нова.. В случае с прямыми эта идея пришла в голову еще Лейбницу примерно в 1700 г. (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ в главе 41). Ее математическому обобщению, не ограничивающемуся прямыми и плоскостями, скоро исполнится сто лет, хотя реальной его важности до настоящего эссе никто не признавал. Физики тоже давно знакомы с самоподобием - с тех пор, как в 1926 г. Льюис Ф. Ричардсон предположил, что турбулентность в широком диапазоне масштабов может быть разбита на самоподобные завихрения. Поразительные аналитические следствия этой идеи в приложении к механике были сформулированы Колмогоровым в работе . Что касается масштабной инвариантности, то ее аналитические аспекты связываются в физике с понятием ренорм-групп (см. главу 36).

И все же впервые геометрические аспекты нестандартной масштабной инвариантности в Природе были должным образом освещены лишь в первом издании настоящего эссе в 1975 г.

«СИММЕТРИИ» ЗА ПРЕДЕЛАМИ МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ

Покончив с прямыми, евклидова геометрия берется за фигуры, обладающие более богатыми в смысле инвариантности свойствами, обычно называемыми «симметриями». Мы с вами также не преминем отправиться на довольно продолжительную экскурсию в царство неинвариантных фракталов (в главах 15-20).

Самоотображающиеся, но масштабно-неинвариантные фракталы тесно связаны с некоторыми из наиболее тонких и сложных мест «строго классического» математического анализа. Опровергая распространенное мнение о сухости анализа, эти фракталы удивительно прекрасны.

СИНДРОМ РАСХОДИМОСТИ

Почти все подлежащие далее рассмотрению прецеденты демонстрируют проявления синдрома расходимости. Иными словами, некоторая величина - по всем предположениям, положительная и конечная - оказывается вдруг бесконечной либо вовсе обращается в нуль. На первый взгляд, такое недостойное поведение кажется в высшей степени странным и даже пугающим, однако тщательное исследование показывает, что оно вполне объяснимо, если... если, конечно, вы готовы начать мыслить по-новому.

Прецеденты, в которых симметрия сопровождается расходимостью, также давно известны специалистам по квантовой физике, в которой вообще большим почетом пользуются всевозможные аргументы, устраняющие расходимость. К счастью для нас, с фрактальными расходимостями справиться гораздо проще.

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался по­ стичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Термин "симметрия" в переводе с греческого означает сораз­ мерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Античные философы считали симметрию, порядок и опре­деленность сущностью прекрасного. "Краткий Оксфордский сло­варь" определяет симметрию как красоту, обусловленную про­порциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью. Однако оно не охватыва­ет всей глубины и широты данного понятия.

С симметрией мы встречаемся везде - в природе, технике, нау­ке, искусстве. Она существует не только в макромире, но и прису­ща микро- и мегамиру. Симметрия, понимаемая в самом широком смысле, противостоит хаосу, беспорядку, она наблюдается везде, где есть хоть какая-то упорядоченность. В этом смысле симмет­ричны не только объекты природы (снежинки, листья, рыбы, на­секомые, человеческое тело и т.д.), но и такие упорядоченные яв­ления, как регулярная смена дня и ночи, времен года, круговорот воды и других веществ в природе и др. Идею симметрии можно выразить и такими словами, как уравновешенность, гармония, совершенство.

Для человека симметрия обладает притягательной силой. Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе: симмет­ричные кристаллы, снежинки, цветы, которые почти симметрич­ны. Архитекторы, художники, поэты и музыканты с древнейших времен знали законы симметрии. Строго симметрично строятся геометрические орнаменты; в классической архитектуре господ­ствуют прямые линии, углы, круги, равенство колонн, окон, арок и сводов. Конечно, симметрия в искусстве не буквальная. Зако­ны симметрии художественного произведения подразумевают не однообразие форм, а глубокую согласованность элементов.

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Законы природы, управляющие беско­нечным многообразием картины явлений, также подчиняются сим-

метрии. Симметрию можно обнаружить практически всюду, если знать, где и как ее искать. Все разнообразие окружающего нас мира подчинено удивительным проявлениям симметрии. Об этом очень удачно написал Дж.Ньюмен: "Симметрия устанавливает за­бавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и творениями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: зем­ным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, есте­ственным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразовани­ями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой механикой, лепестками цветов, интер­ференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток, равновесными конфигурациями кристаллов, снежинками, музы­кой, теорией относительности..." (Цит. по кн.: Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир, 1982.)

Строгое математическое представление о симметрии сформиро­валось сравнительно недавно - в XIX в. Современный подход к симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-нибудь выполняемым над ним операциям или преобразо­ваниям. Современное определение симметрии формулируется так: симметричным называется объект (предмет), который можно как-то изменять, получая в результате объект, совпадающий с первоначальным. Согласно определению, прежде всего должен существовать объект - носитель симметрии. Для разных про­явлений симметрии он, конечно, разный. Это материальные пред­меты или свойства. У объектов должны существовать некоторые признаки - свойства, процессы, отношения, явления, которые не изменяются при операциях симметрии. Также должны про­исходить изменения этих объектов, но не какие угодно, а толь­ко такие, которые переводят его в тождественный самому себе. И, наконец, должно существовать свойство объекта, которое при этом не изменяется, т.е. остается инвариантным.

Подчеркнем, что инвариантность существует не сама по себе, не вообще, а лишь по отношению к определенным преобразовани­ям, а изменения (преобразования) представляют интерес постоль­ку, поскольку что-то при этом сохраняется. Другими словами, без изменения не имеет смысла рассматривать сохранение, равно как без сохранения исчезает интерес к изменениям. Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изме­ нениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Сим-

метрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, вы­полненным над объектом.

Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, перено­сам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.

ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ. Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 2тг/п, где п может равняться 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности. Ось симметрии называется ось осью п-го порядка.

ПЕРЕНОСНАЯ (ТРАНСЛЯЦИОННАЯ) СИММЕТРИЯ. О та­кой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние а либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а - элементарным переносом или периодом. С данным типом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими, и пространственными.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Зеркально симметричным счи­тается объект, состоящий из двух половин, которые являются зер­кальными двойниками по отношению друг к другу. Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии.

СИММЕТРИИ ПОДОБИЯ представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрии с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подоб­ных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим при­мером такой симметрии являются матрешки.

Иногда фигуры могут обладать разными типами симметрии. Например, поворотной и зеркальной симметрией обладают неко­торые буквы: Ж, Н, Ф, О, X.

Выше перечислены так называемые геометрические симметрии. Существует много других видов симметрии, имеющих абстракт­ный характер. Например, ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ, которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит; НАСЛЕДСТВЕН­НОСТЬ - это тоже определенная симметрия.

КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ связаны с изменением масштаба. Например, известно, что при подъеме тела на неко­торую высоту затраченная энергия зависит лишь от разности на­чальной и конечной высоты, но не зависит от абсолютной высоты. Говорят, что существует симметрия начала отсчета высот, ее и относят к классу калибровочных симметрии. Все фундаменталь­ные взаимодействия имеют калибровочную природу и описыва­ются калибровочными симметриями. Этот факт отражает един­ство всех фундаментальных взаимодействий. Калибровочная ин­вариантность позволяет ответить на вопрос: "Почему и зачем в природе существует такого рода взаимодействия?" Это обусловле­но тем, что требование калибровочной инвариантности порождает конкретный вид взаимодействия. Поэтому форму взаимодействия уже не постулируют, а она выводится как результат калибровоч­ной инвариантности.

На этом принципе строится единая теория всех физических взаимодействий. Интересно заметить, что этот принцип выходит далеко за рамки физики и может стать мощным регулятивным принципом при решении проблем социального и экономическо­ го характера. Думается, такие принципы, как социальная спра­ведливость, равенство, устойчивый уровень жизни населения и другие, могут быть поставлены в соответствие с некоторой сим­метрией.

В неживой природе симметрия прежде всего возникает в таком явлении природы, как кристаллы, из которых состоят практиче­ски все твердые тела. Именно она и определяет их свойства. Са­мый очевидный пример красоты и совершенства кристаллов - это известная всем снежинка. Все снежинки, несмотря на разнообра­зие их форм, обладают зеркальной и поворотной симметрией 6-го порядка. Доказано, что все кристаллы могут обладать поворотной симметрией 2, 3, 4 и 6-го порядков. Симметрия кристалла свя­зана с наличием кристаллической решетки - пространственной решетки из атомов. Отсюда видно, что симметрия ограничивает возможности вариантов структур.

Физические законы и явления также подчиняются законам сим­метрии. Р. Фейнман писал, что "все многообразие законов физи­ки пронизано несколькими общими принципами, которые так или иначе содержатся в каждом законе. Примерами таких принципов могут служить некоторые свойства симметрии" (Фейнман, 1987).

Существует несколько симметрии физических законов:

    Физические законы неизменны, инвариантны по отношению к переносам в пространстве, что обусловлено однородностью про­ странства. Это значит, что при переносе какого-либо устройства из одной точки пространства в другую его свойства, особенности функционирования и результаты опытов не изменятся.

    Физические законы инвариантны по отношению к поворо­ там в пространстве. Это называют изотропностью простран­ ства. Например, на север ли, на восток ли повернута установка, результаты опыта будут одни и те же.

    Симметрия физических законов определяется и однородно­ стью времени, т.е. они инвариантны по отношению к ереносам во времени. Таким образом, однородность пространства и времени являются свойствами симметрии.

    Принцип относительности законов природы - это тоже симметрия по отношению к переходу из одной инерциальной си­ стемы отсчета в другую. Эта симметрия устанавливает равнознач­ ность всех инерциальных систем отсчета.

    Никакие физические явления не изменяются при переста­ новке двух идеально одинаковых частиц (например, электронов или протонов) - перестановочная симметрия.

    Еще один вид симметрии физических законов - инвариант­ ность по отношению к зеркальному отражению. Это значит, что две физические установки, одна из которых построена как зер­ кальное отображение другой, будут функционировать одинаково. Отметим, что эта симметрия при определенных взаимодействиях нарушается.

Свойства симметрии относятся к числу самых фундаменталь­ных свойств физических систем. Однако не все законы природы инвариантны к любым преобразованиям. Например, геометриче­ ский принцип подобия не применим к физическим законам. Еще Г. Галилей догадался, что законы природы несимметричны отно­сительно изменения масштаба. Р. Фейнман приводит пример с мо­делью собора, который сложен из спичек. Если ее увеличить до натуральных размеров, то строение разрушится под собственной тяжестью. С точки зрения современной физики отсутствие сим­метрии физических законов относительно преобразования подобия объясняется тем, что порядок размеров атомов имеет абсолютное, одинаковое для всей Вселенной значение. Законы классической

физики перестают работать в микромире, вместо них приходят законы квантовой механики. Это уже проявление асимметрии, т.е. несимметрии.

Между симметрией и законами сохранения существует глубо­кая связь. В начале XX в. Э. Нётер сформулировала теорему, согласно которой если свойства системы не изменяются от какого-либо преобразования над ней, то этому соответствует некоторый закон сохранения - теорема Нётер. Поскольку независимость свойств от преобразования означает наличие в системе симметрии относительно данного преобразования, постольку теорема Нётер может быть сформулирована как утверждение о том, что наличие в системе симметрии обуславливает существование для нее сохра­няющейся физической величины. Так, например, закон сохранения импульса есть следствие однородности пространства, а закон со­хранения энергии - следствие однородности времени. Законы со­хранения, действуя в самых различных областях и в различных конкретных ситуациях, выражают то общее для всех ситуаций, что в конечном счете связано с соответствующими принципами симметрии. Таким образом, симметрия связана с сохранением и выделяет в нашем изменчивом мире различные инварианты - некие своеобразные "опорные точки". Можно сказать, что сим­метрия вносит порядок в наш мир. В окружающем нас мире "все течет, все изменяется," он наполнен взаимодействиями и превра­щениями, всюду присутствует случайность и неопределенность. Но при этом законы мира обнаруживают симметрию: энергия сохраняется, за летом следует зима и т.п. Симметрия выделя­ ет общее как в объектах, так и в явлениях, подчеркивая, что несмотря на то, чтомир многообразен, но в то же время он и един, так как в разнообразных явлениях природы присутствуют чер­ ты общности.

В мире живой природы также проявляются все основные виды геометрических симметрии. Специфика строения растений и жи­вотных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любо­го дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта

же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, ряби­ны). Интересно, что в цветочном мире наиболее распростране­на поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиаль­ но невозможна в периодических структурах неживой природы. Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го поряд­ка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "стра­ховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой" (цит. по кн.: ). Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смыс­ле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.

В мире рыб, насекомых, птиц, млекопитающих характерна би­ латеральная симметрия (билатеральный в переводе с латинского - "дважды боковой") - так в биологии называют зеркальную сим­метрию. Это обусловлено тем, что в отличие от растений, которые не меняют места жительства, для животных актуально перемеще­ние в пространстве: у них нет симметрии относительно того на­правления, в котором они передвигаются, т.е. задняя и передняя части животного асимметричны. Плоскость симметрии у живот­ных, кроме вектора направления движения, определяется, как и у растений, направлением силы тяжести. Эта плоскость делит жи­вотное на две половины - правую и левую. Это же относится и к человеку.

Симметрия подобия проявляется в природе во всем, что рас­тет. Ствол дерева имеет вытянутую коническую форму. Ветви обычно располагаются вокруг ствола по линии, похожей на винто­вую, но она постепенно суживается к вершине. Это пример сим­ метрии подобия с винтовой осью симметрии. Всякий живой организм повторяет себя в подобном. Природа обнаруживает по­ добие как свою глобальную генетическую программу. Подобие правит живой природой в целом. Геометрическое подобие счи­тается общим принципом пространственной организации живых структур. Лист березы подобен другому листу березы и т.п.

Есть еще одна замечательная симметрия - самоподобие или масштабная инвариантность (скейлинг), которая имеет самое прямое отношение к природе. При построении моделей, описыва­ющих окружающий нас мир, мы привыкли использовать такие из

вестные геометрические понятия, как линия, круг, сфера, квадрат, куб и другие. Но на самом деле мир устроен по более сложным законам. Оказалось, что не всегда можно ограничиться такими простыми понятиями, т.е. мир не всегда можно изучать, используя только "линейку и циркуль". Геометрия Евклида не способна опи­сать форму ни облаков, ни гор, ни деревьев, ни берега моря. Дело в том, что облака - это не сферы, горы - не конусы и т.д. При­рода демонстрирует нам совершенно другой уровень сложности, чем мы привыкли считать. В природных структурах, как правило, число различных масштабов бесконечно.

Математики разработали математические понятия, выходящие за рамки традиционной геометрии, идеи которой, как теперь на­чинают понимать, позволяют все глубже постигать сущность при­роды. Одним из таких ярких примеров можно назвать фракталь­ ную геометрию, центральным понятием которой является поня­тие "фрактала". На русский язык это слово переводится как "из­ ломанный объект с дробной размерностью".

Существует множество различных определений фрактала. Пре­жде всего, математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, отражая иерар­хический принцип организации. Фракталы обладают свойством самоподобия: их вид существенно не изменяется при рассмот­рении через микроскоп с различным увеличением, т.е. фрактал выглядит практически одинаково, в каком бы масштабе его не на­блюдали. Другими словами, фрактал состоит из однотипных эле­ментов разных масштабов и, по сути, представляет собой повторя­ющийся при изменении масштабов узор. Малый фрагмент такого объекта подобен другому, более крупному фрагменту, или даже структуре в целом. Поэтому и говорят, что фрактал есть струк­ тура, состоящая из частей, которые подобны целому. Фрак­талы в какой-то степени отражают принцип восточной мудрости: "одно во всем, и все в одном".

Главная особенность фракталов состоит в том, что они име­ют дробную размерность, являющуюся следствием масштабной инвариантности. С математической точки зрения геометрические объекты, в том числе и фракталы, можно рассматривать как мно­жество точек, вложенных в пространство. Например, множество точек, образующих линию в евклидовом пространстве, имеют раз­мерность D = 1, а множество точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, имеют размерность D = 2. Шар имеет размерность D = 3. Их характерная особенность состоит в том, что длина линии, площадь поверхности или объем пропорциональ­ны, соответственно, линейному масштабу в первой, во второй или третьей степени, т.е. их размерность совпадает с размерностью пространства, в которое они вложены. Однако существуют объ­екты, для которых это не так. К таким объектам, в частности, относятся фракталы, размерность которых выражается дробным числом 1 < Dj < 3, где Df - фрактальная размерность. На рис. 2.1 показан один из таких типичных примеров, демонстри­рующих, что кривая может иметь размерность Df > 1, так называемая кривая Кох.

Она строится следующим образом. Исходный отрезок единич­ной длины делится на три равные части. Затем выполняются по­строения, показанные на рис. 2.1. В результате в первом поко­лении (п = 1) получаем ломаную кривую, состоящую из четы­рех звеньев длиной по 1/3. Длина всей кривой в этом поколении составляет £(1/3) = 4/3. Следующее поколение (п = 2) получа­ется путем той же самой операции над каждым прямолинейным звеном первого поколения. Здесь получается кривая, состоящая из N = 4 2 = 16 звеньев, каждое длиной 5 = З" 2 = 1/9. Вся длина равна L (l /9) = (4/3) 2 = 16/9. И так далее. На n-м ша­ге длина прямолинейного звена 6 = 3~ п . Число поколений можно представить в виде п = - 1п^/1пЗ, а длина всей ломаной L (5) = (4/3)" = ex P ln£/ln3 = 6 1 ~ D f , D f = Ш/Ш = 1,2628. Число сегментов N(6) = 4 п = 4~ 1пй / 1п3 и может быть записано как N(5) = 5~ Df , где Df - фрактальная размерность кривой Кох. Таким образом, кривая Кох есть фрактал с фрактальной размер­ностью Df = In 4/3. Подобным образом можно построить много разновидностей и других фракталов. Можно построить и такие объекты, для которых необходимо вводить не одну, а несколько размерностей. Иногда такие объекты называют математически­ ми фракталами, которые, в отличие от природных или физиче­ских фракталов, обладают идеальным самоподобием. Для физи­ческих фракталов (реально существующие объекты) самоподобие или масштабная инвариантность выполняется приближенно (или, как говорят, в среднем).

Примером фрактального объекта, часто встречающегося в при­роде, является береговая линия. На рис. 2.2 показана южная

Рис. 2.1. Построение триадной кри­вой Кох

Рис. 2.2. Побережье южной части Норвегии

часть побережья Норвегии, которое имеет вид сильно изрезан­ной линии. Можно показать, что измерить длину такой линии, используя обычные способы евклидовой геометрии, невозможно. Но для этой цели хорошо подходит фрактальная геометрия. Ока­залось, что длина береговой линии хорошо описывается формулой L (5) = a 8 l ~ Df , где 5 - используемый для измерения масштаб (на­пример, некоторый раствор циркуля), а - число единиц масштаба. Для побережья Норвегии это Dj ~ 1,52, для береговой линии Великобретании - Dj ~ 1,3. В природе фрактальные структуры встречаются часто: очертания облаков, дым, деревья, береговая линия и русла рек, трещины в материалах, бронхи легких, пори­стые губки, ветвящиеся подобно лишайникам структуры, поверх­ности порошков, артерии и реснички, покрывающие стенки ки­шечника, и многие другие, которые не имеют, на первый взгляд, закономерностей в своем строении. Но отсутствие порядка в них иллюзорно. Внешне они выглядят как изрезанные, "лохматые" или "дырявые" объекты, представляя собой нечто промежуточное меж­ду точками, линиями, поверхностями и телами.

Введение понятия фрактала и фрактальной геометрии позво­ляет выделить ранее скрытые закономерности в строении и свой­ствах природных объектов, имеющих неупорядоченную структуру, классифицировать и исследовать их свойства. Когда мы смотрим на фрактальный объект, то нам он представляется неупорядочен

ным. При увеличении или уменьшении масштаба мы опять увидим то же самое. Это и есть проявление свойства симметрии - мас­ штабной инвариантности, или скейлинга. Именно оно и обу­славливает их необычные свойства. Благодаря самоподобию фрак­талы обладают удивительно притягивающей красотой, которой нет в других объектах. Они могут описывать многие процессы, ко­торые до сих пор не удавалось описать, благодаря своей дробной размерности и самоподобию. Даже считается, что фрактальный мир гораздо ближе к реальному, так как свойства фракталов де­монстрируют многие природные объекты. Видимо, не зря говорят, что природа любит фракталы.

Столь удивительное сходство реального мира и фрактального обусловлено, прежде всего, тем, что свойства физического мира изменяются медленно с изменением масштабов. У песка на берегу много свойств, общих со свойствами гальки. Маленький ручеек во многом похож на большую реку. Такая неизменность относи­тельно масштаба - характерная черта фракталов. В живой природе внешний вид и внутреннее строение заданы в генотипе алгоритми­чески. Ветка дерева похожа на само дерево, поскольку построена по тому же алгоритму. Это относится и к кровеносной системе животных, человека, и к сложным листьям некоторых растений.

Различные фрактальные множества можно получать и с по­мощью простых (элементарных) преобразований, например, типа х п +1 = х" 2 п + с, где с - некоторое комплексное число, п = 1,2,3.... Множество чисел, полученных по этой формуле, при определен­ных значениях с также обладают свойствами фракталов. Отоб­ражая их на плоскости или в трехмерном пространстве, получа­ют удивительно красивые изображения (см., например, рис. 2.3 и рис. 2.4).

Интересно отметить, что фрактальная математика может быть использована для анализа изменений цен и заработной платы, ста­тистики ошибок на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах и т.д.

Подчеркнем, что симметрия в живой природе никогда не бывает абсолютной, всегда присутствует какая-то доля несимметрии. Хо­тя с симметрией мы встречаемся практически всюду, но при этом замечаем часто не ее, а ее нарушение. Асимметрия - другая сто­рона симметрии. Асимметрия - это несимметрия, т.е. отсутствие (нарушение) симметрии.

Рис. 2.3. Характерное изображение фракталь­ного множества Жюлиа

Рис. 2.4. "Глаз морского конька"

Симметрия и асимметрия - две полярные противоположности объективного мира. На разных уровнях развития материи присут­ствует то симметрия - относительный порядок, то асимметрия -тенденции нарушения покоя, движения, развития.

Асимметрия присутствует уже на уровне элементарных частиц и проявляется в абсолютном преобладании в нашей Вселенной частиц над античастицами. Известный физик Ф. Дайсон писал: "Открытия последних десятилетий в области физики элементар­ных частиц заставляют нас обратить особое внимание на кон­цепцию нарушения симметрии. Развитие Вселенной с момента ее зарождения выглядит как непрерывная последовательность нару­шений симметрии. В момент своего возникновения при грандиоз­ном взрыве Вселенная была симметрична и однородна. По мере остывания в ней нарушается одна симметрия за другой, что со­здает возможности для существования все большего и большего разнообразия структур. Феномен жизни естественно вписывается в эту картину. Жизнь - это тоже нарушение симметрии" (цит. по ст.: И. Акопян // Знание - сила. 1989).

Молекулярная асимметрия открыта Л. Пастером, который пер­вым выделил "правые" и "левые" молекулы винной кислоты: пра­вые молекулы похожи на правый винт, а левые - на левый. Та­кие молекулы химики называют стереоизомерами. Молекулы-стереоизомеры имеют одинаковый атомный состав, одинаковые размеры, одинаковую структуру - в то же время они различи­мы, поскольку являются зеркально асимметричными, т.е. объект оказывается нетождественным со своим зеркальным двойником.

Поэтому здесь понятия "правый-левый" - условны. В настоящее время хорошо известно, что молекулы органических веществ, со­ ставляющие основу живой материи, имеют асимметричный характер, т.е. в состав живого вещества они входят только либо как правые, либо как левые молекулы. Таким образом, каждое вещество может входить в состав живой материи только в том случае, если оно обладает вполне определенным типом симмет­рии. Например, молекулы всех аминокислот в любом живом орга­низме могут быть только левыми, сахара - только правыми. Это свойство живого вещества и его продуктов жизнедеятельности на­зывают дисимметрией. Оно имеет совершенно фундаментальный характер. Хотя правые и левые молекулы неразличимы по хими­ческим свойствам, живая материя их не только различает, но и делает выбор. Она отбраковывает и не использует молекулы, не обладающие нужной ей структурой. Как это происходит, пока не ясно. Молекулы противоположной симметрии для нее яд. Если бы живое существо оказалось в условиях, когда вся пища была бы составлена из молекул противоположной симметрии, не отвечаю­щей дисимметрии этого организма, то оно погибло бы от голода. В неживом веществе правых и левых молекул поровну.

Дисимметрия - единственное свойство, благодаря которому мы можем отличить вещество биогенного происхождения от неживого вещества. Мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличить живое от неживого. Таким об­разом, асимметрию можно рассматривать как разграничительную линию между живой и неживой природой. Для неживой материи характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой материи уже на микроуровне преобладает асимметрия. В живой природе асимметрию можно увидеть всюду. Очень удачно это подметил в романе "Жизнь и судьба" В. Гроссман: "В боль­шом миллионе русских деревенских изб нет и не может быть двух неразличимо схожих. Все живое неповторимо. Немыслимо тожде­ство двух людей, двух кустарников шиповника... Жизнь глохнет там, где насилие стремится стереть ее своеобразие и особенности".

Симметрия и асимметрия составляют единство, они взаимосвя­заны друг с другом, как две стороны одной медали. Нельзя пред­ставить полностью симметричный мир, так же как и невозможно помыслить о мире, вообще лишенном симметрии. Симметрия ле­жит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойствен

ное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивиду­альным воплощением этого общего в конкретном объекте.

На принципе симметрии основан метод аналогий, предполага­ющий отыскание общих свойств в различных объектах. На осно­ве аналогий создаются физические модели различных объектов и явлений. Аналогии между процессами позволяют описывать их общими уравнениями. Принципы симметрии лежат в основе тео­рии относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Разра­ботан метод решения задач из соображений симметрии.

Принципы симметрии выражают наиболее общие свойства при­роды, они имеют более общий характер, чем законы движения. Поэтому проверка принципов симметрии всегда интересовала фи­зиков, а поиск новых симметрии составляет одну из задач физики вообще. Поиски новых свойств симметрии - это вместе с тем по­иски и новых законов сохранения. Наши представления о симмет­рии устанавливаются путем обобщения опытных данных. Неко­торые симметрии оказываются только приближенными. С другой стороны, обобщая опыт, мы открываем новые законы сохранения и, следовательно, новые принципы симметрии.

Существует точка зрения, согласно которой в нашем познании о мире есть три ступени: уровень явлений или событий, зако­ нов природы и принципов симметрии, поднимаясь на которые, мы глубже и дальше познаем природу, лучше ее понимаем. Уро­вень явлений самый элементарный. Это все, что происходит в ми­ре: движение тел, столкновения частиц, поглощение и излучение света и много других явлений. С первого взгляда кажется, что между ними нет ничего общего. Однако при более внимательном рассмотрении мы обнаруживаем, что между явлениями имеют­ ся определенные взаимосвязи, которые и называют законами. В принципе, если бы мы располагали полной информацией обо всех явлениях и событиях в мире, то нам законы не были бы нужны. С другой стороны, если бы мы знали все законы или один всеобъем­лющий закон природы, то свойства инвариантности этих законов не давали бы ничего нового. Но, к сожалению, нам не известно даже большинство законов природы. Поэтому познание свойств симметрии, как писал Е. Вигнер, "состоит в наделении структу­рой законов природы или установлении между ними внутренней связи, так же как законы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире явлений" (Вигнер, 1971). Поэтому говорят, что если законы управляют явлениями, то принципы симметрии - это законы физических законов. Таким образом, можно сказать, что симметрия характеризует собой эпоху синтеза, когда разроз­ненные знания сливаются в единую, целостную картину.

Выявление различных симметрии в природе, а иногда и посту­лирование их, стало одним из методов теоретического исследо­вания микро-, макро- и мегамира. Законы природы позволяют предсказывать явления, а принципы симметрии - открывать законы природы. Например, уравнения Максвелла в электродина­мике получены на основании симметрии между электрическими и магнитными явлениями. Д. Максвелл исходил из убеждения, что взаимодействия электрического и магнитного полей должны быть симметричными, и поэтому ввел в свои уравнения дополнитель­ное слагаемое, учитывающее это обстоятельство. Уверенность в симметрии законов природы привела его в выводу о существо­вании электромагнитных волн. Также можно сказать, что идея А. Эйнштейна, приведшая его к созданию теории относительно­сти, опиралась на уверенность в глубокой симметрии природы, которая должна одновременно охватывать механические, электро­магнитные и все другие явления.

О. Мороз в книге "В поисках гармонии" писал, что физики го­няются за симметрией подобно тому, как путники преследуют в пустыне ускользающий мираж. Вот возникла на горизонте пре­красная манящая картина, но как только вы попытаетесь к ней приблизиться, она исчезает, оставляя чувство горечи.