учитель математики МКОУ «СОШ № 8»

г. Ефремов Тульской области
Пономарева Светлана Владимировна

Урок по алгебре для 9 класса по теме:

«Построение графиков. Повторение. Подготовка к ОГЭ. Построение графика квадратичной функции, содержащей модуль».

Конспект урока

Цели урока:

Систематизировать знания учащихся по теме «Функции и графики», показать применение этих знаний при исследовании свойств и построении графиков функций на примерах заданий из второй части

Исследование расположения графика квадратичной функции в зависимости от модуля.

Развитие исследовательских умений и навыков самостоятельной работы.

Развитие умений анализировать и на основе экспериментальных данных делать выводы.

Применение графиков функций, содержащих модуль, к решению задач.

Задачи урока:

Повторить графики функции, формулы, задающие изученные функции и способы построения их графиков;

Рассмотреть построение графиков функций с модулем;

Применить графики функций в заданиях с параметрами.

Оборудование:

Компьютер учителя

Мультимедийный проектор

Экран

Карточки с заданиями для работы в группах

Электронные презентации для устной работы, выполненные в Microsoft Power Point.

План урока .

Устная работа с использованием электронной презентации

Практическая работа

Отчет по практической работе. Демонстрация полученных графиков функций на экране.Выводы.

Решение задач на применение графиков функций с модулем.

Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация знаний

Учитель: Фронтальная беседа с классом:

1. Вспомним формулы, задающие линейную функцию; функцию прямой пропорциональности; функцию обратной пропорциональности; квадратичную функцию.

2. Назовите для каждой формулы соответствующий график

4. Знание свойств функций, умение работать с графиками помогает решать многие задачи, в том числе экзаменационные.

5. На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

2. Практическая работа.

Учитель : Каждому ряду я даю задание. Вы можете работать парами. В ходе работы необходимо исследовать расположение графика квадратичной функции в зависимости от модуля. Результатом работы должен стать вывод о поведении графика. При анализе полученных результатов, обратите внимание на следующие моменты:

Какая часть графика не изменилась?

Что произошло с оставшейся частью графика?

Начать наше исследование мне хочется словами И.Гете:

«Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближаться к учителю».

Но прежде, чем приступить к заданию ответьте на вопрос, который должен вам помочь в дальнейшей работе: Что можно сказать о симметрии графиков?

Карточки с заданиями для групп

Ряд № 1 Построение графика функции вида

Ответьте на вопросы:

Построить график функции y =….

Часть графика ……………………………………………..оставить без изменения

Часть графика, расположенную в …………………………………
отобразить в ……………………………………………………….

Ряд №2 Построение графика функции вида

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

Ответьте на вопросы :

Какая часть графика осталась без изменений?

Что произошло с частью графика, расположенной в нижней полуплоскости?

Сформулируйте правило построения графика функции

Построить функцию………………….

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………

Ряд № 3 Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y=2x-6x+4
y=2x-6+4

Ответьте на вопросы:

Какая часть графика осталась без изменений?

Часть графика, расположенную……………………………..
оставить без изменений и отобразить в …………………………

Группа № 4(индивид) Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y=-2x+4x+1
y=-2x+4+1

Ответьте на вопросы :

Какая часть графика осталась без изменений?

Что произошло с частью графика, расположенной правее оси ОY?

Сформулируйте правило построения графика функции y=f()

Построить график функции y=…….

……………………………………………………………………

3. Отчет групп.

Учитель: Приступаем к обсуждению результатов.

Группы №1,№2 работали с функцией вида. Результаты работы посмотрим на экране.

(Группы делают вывод о поведении графика, формулируют правило построения графика функции.Примерные результаты работы групп см. в Презентации )

Учитель : Группы №3,№4 работали с функцией вида

(Группы №3,№4 аналогично анализируют итоги своей работы)

Пример результата работы одной из групп:

4. Применение графиков квадратичной функции с модулем к решению задач.

Учитель: С помощью графиков можно решать уравнения и системы уравнений. Свободное владение техникой построения графиков помогает решать многие нестандартные задачи и порой являются единственным или наиболее простым средством их решения. Рассмотрим некоторые такие задания .

Задачи

Задание № 1.

Найдите значение параметра «а» , при котором прямая у=а имеет а) 3 общие точки; б) 2 общие точки; в) 4 общие точки с графиком функции

y=2x -6+4

Задание № 2

Найдите наибольшее целое значение параметра «а» при котором уравнение 2x+4+1=а имеет более двух корней (при решении используйте графики функций).

Задание №3

Используя график функции y= , найдите значение а ,чтобы прямая у= а имела с функцией 3 точки пересечения.

Задание № 4

При каком значении параметра «а» уравнение = а имеет 4 корня? Решите уравнение,используя графики функций y= и y=a.

5. Разбор заданий

(Результаты работ групп демонстрируются на экране, ученики каждой группы представляют решение своих задач.

Пример решения задачи одной из групп:

6. Итог урока

Учитель : Сегодня в ходе практической работы мы выявили способы построения графика квадратичной функции, содержащей модуль, увидели красоту этих графиков, научились анализировать и делать выводы. Мы также рассмотрели некоторые задачи на применение графиков функций.

Все группы справились с поставленной задачей.

7. Домашнее задание

Построить у=(х-6)(х-2). Построить у= , у= х 2 - 8х +12

Дробно-рациональная функция - это функция вида , где f(x) и g(x) - некоторые функции.
График дробно-рациональной функции представляет собой гиперболу.
Функция имеет две асимптоты - вертикальную и горизонтальную.
Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x - нечетная



Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x – нечетная


Пример1 . Построим график функции
, т.е. представим ее в виде
: выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

Итак,
. Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы
вверх на 2 единицы.

При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.

Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции
изображен на рисунке 3.

Любую дробь
можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 2.

Построим график функции
.

Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.

Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби
относительно малы. Поэтому

.

Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2.

Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.

Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).

Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.

Алгоритм построения графика дробно-рациональной функции, содержащей квадратный трехчлен .

    Найти область определения функции.

    Разложить на множители квадратный трехчлен.

    Сократить дробь.

    Построить график (параболу, гиперболу, кубическую параболу).

    Исключить из графика точки, не входящие в область определения («выколотые» точки).

    Найти значение функции в «выколотых» точках.

    Определить, при каких значениях b прямая y=b имеет с графиком ровно одну общую точку.

ЗАДАНИЕ

Построить график функции (D (y ), на графике – выколотые точки):

Данная статья посвящена решению примеров заданий 23 из ОГЭ по математике. В этих заданиях школьников обычно просят построить график той или иной функции, а затем указать, при каких значениях параметра этот график пересекается с неким другим графиком, касается его или же, к примеру, имеет с ним несколько точек пересечения. Ну и тому подобное. В данной статье вы найдёте разбор примеров решения заданий 23 из ОГЭ по математике от профессионального репетитора, на протяжении многих лет занимающегося подготовкой школьников к этому экзамену.

Примеры решения заданий 23 из ОГЭ по математике

Пример 1. Постройте график функции

Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.


Построение графика функции всегда нужно начинать с указания области определения этой функции. В данном случае ограничения на эту область задаются тем, что в знаменателе не должно быть нуля, потому что деление на нуль не имеет математического смысла. То есть областью определения данной функции являются все числа, за исключением 1. Записать это можно следующим образом:

После того, как мы указали область определения исходной функции, можно попробовать её упростить. Для этого вынесем минус в знаменателе за скобку и сократим. В результате получим следующее выражение:

График данной функции получается из графика функции путём её отражения относительно оси OX и параллельного переноса всех точек на 0,25 единичного отрезка вниз. При этом мы должны удалить из этого графика точку , потому что она не входит в область определения исходной функции. То есть искомый график выглядит следующим образом:

Теперь отвечаем на главный вопрос задачи. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При этом в зависимости от коэффициента эта прямая имеет разный наклон относительно оси OX . Когда это прямая имеет ровно одну общую точку с изображённым графиком? Только в двух случаях. Рассмотрим их по отдельности.

Первый случай . Когда данная прямая касается изображённого графика. Это ситуация изображена на рисунке:

Сложность состоит в том, чтобы определить значения , при которых эта ситуация реализуется. Для решения этой задачи можно использовать несколько различных подходов. Используем наиболее типичный.

Суть в том, что в точке касания графики проходят через одну и ту же точку на координатной плоскости. Значит, в этой точке имеет место равенство:

Дискриминант последнего квадратного уравнения равен , и в зависимости от коэффициента он может быть:

  • отрицательным, тогда корней у этого уравнения не будет, как не будет и точек пересечения соответствующей прямой с изображённым графиком;
  • положительным, тогда корней будет два, а значит и точек пересечения будет две (этот случай нам также не подходит);
  • равен нулю, именно этот случай соответствует касанию прямой с графиком, поскольку записанное уравнение в этом случае будет иметь только одно решение.

То есть , то есть . Соответствующие прямые как раз и изображены на рисунке выше.

Второй случай . Не забываем, что точка с абсциссой не принадлежит нашему графику. Значит, открывается ещё одна возможность, когда прямая будет иметь с графиком ровно одну общую точку. Вот этот случай:

Для нахождения в этом случае подставляем координаты точки в уравнение прямой . В результате получаем .


Сразу отметим, что в область определения данной функции входят все числа: . Наша задача теперь, как это часто бывает при решении заданий 23 из ОГЭ по математике, состоит в том, чтобы построить график этой функции. Для тех кто не сталкивался ранее с подобными заданиями, это может показаться странным, но график данной функции можно построить из графика функции . Нужно только выделить в подмодульном выражении полный квадрат. Для этого проведём следующие преобразования:

Из последнего с помощью формулы «квадрат разности» получаем:

Построим сначала график функции . Этот график получается из графика функции путём его переноса на единичного отрезка вправо и на единичного отрезка вниз:

При этом нули функции равны 2 и -1. Что произойдёт с этой параболой, если взять модуль от всего выражения, стоящего справа? Все точки, лежащие ниже оси OX (с отрицательными ординатами), отразятся вверх относительно оси OX . В результате получится вот такой график:

Теперь, глядя на этот график, уже понятно, что максимальное число точек пересечения данного графика с линией, параллельной оси абсцисс, будет равно 4. В качестве примера можно взять прямую :

Вот так решаются задания 23 из ОГЭ по математике. Как я уже говорил, это довольно интересные задания, которые к тому же можно научиться решать по ясному и запоминающемуся алгоритму. И как только вы овладеете этим мастерством, все задачи 23 из ОГЭ по математике будут казаться вам простыми и даже очевидными. Это станет для вас ещё одним заветным ключиком, который поможет получить максимальный балл на экзамене. Так что желаю вам успехов в подготовке и удаче на экзамене!

Сергей Валерьевич

Функция – это такая вещь, которая связывает две (или более) переменных между собой. Другими словами, функция помогает найти одну переменную, если мы знаем значение второй переменной. Например, если у нас в кармане есть 100 рублей, а шоколадка стоит 50 рублей, то мы можем купить 2 шоколадки. Если у нас в кармане есть 200 рублей, то мы можем купить 4 шоколадки. В этом случае первая переменная – это сумма, которая есть в кармане, а вторая переменная – количество шоколадок, которые мы можем купить. Стоимость шоколадки составляет 50 рублей, она не зависит от того сколько у нас денег, поэтому эта величина является постоянной.

Можно составить функцию для этого случая: у = 50 х , где у – деньги в кармане, х – количество шоколадок.

Естественно функции бывают более сложными. Но для решения заданий ОГЭ по математике достаточно знать как выглядят графики основных функций.

1. Функция вида y = kx + b (прямая линия)

В этой функции k и b это числа. Функция может быть записана в разном виде: y = x , y = 2x , y = 3x – 4, y = -9x +44, y = и т д. Главным признаком является присутствие икса (х ) в первой степени (то есть все случаи, когда мы не делим на х ).
Число k в этом случае отвечает за то, в какую сторону наклонена линия. Если k > 0 , то функция возрастает вправо. Если k < 0 , то функция возрастает влево.


Число b y . Если b >0 , то график пересекает ось y выше начала координат, если b < 0 – ниже.

2. Функция вида y = ax 2 + bx +c (парабола)

В этой функции a, b, c – числа. Функция может быть записана в разном виде: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10, y = -x 2 – 9x +1, y = – 7 и т. д. Главным признаком является наличие икса в квадрате (x 2).

Число а отвечает за то, в какую сторону (вверх или вниз) направлены ветви параболы (я еще называю веселый смайлик и грустный смайлик). Если a > 0 , то веселый смайлик, если a < 0 – грустный.

Число b отвечает за то в какую сторону (вправо или влево) смещена точка начала параболы (точка перегиба) относительно оси y . Если b > 0 , то график смещен влево, если b < 0 – вправо.

Число c – это точка пересечения графика с осью y . Если c >0 , то график пересекает ось y выше начала координат, если c < 0 – ниже.



3. Функция вида y = k/x + b (гипербола)

Эта функция по виду напоминает функцию прямой, за тем исключением, что х находится в знаменателе . Это как раз и является ее отличительной особенностью. Число k отвечает за расположение функции по четвертям, если k > 0 , то ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях, если k < 0 , то ветви располагаются во второй и четвертой четвертях.



Число а отвечает за сдвиг всей функции вниз (а < 0 ) или вверх (a > 0 ).


4. Функция вида y = a (прямая)

В этом случае функция выглядит как прямая, параллельная оси х . Например у = 2, это прямая линия, которая проходит параллельно оси х и пересекает ось у в точке 2.



5. Функция вида y = √x

Этот вид встречается в заданиях редко, однако лучше запомнить. Это практически парабола, но повернутая по часовой стрелке на 90 0 , а также в ней отсутствует ее нижняя половина. Если не понятно, то просто смотрите на рисунок:



Разбор типовых вариантов заданий №23 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Постройте график функции

Алгоритм решения:
  1. Записываем ответ.
Решение:

1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.

2. График функции заданных значениях х - часть параболы, ветви которой направлены вниз.

Вершина расположена в точке с координатами:

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (-2;-7).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график функции на координатной плоскости:

4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.

Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.

Ответ: -2,25; 12,25.

Второй вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Алгоритм решения:
  1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
  2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
  3. Изображаем график на координатной плоскости.
  4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Вершина ее находится в точке:

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (0;4).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график на координатной плоскости:

Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.

Ответ: -9; 4.

Третий вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Алгоритм решения:
  1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
  2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
  3. Изображаем график на координатной плоскости.
  4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Преобразуем формулу функции в зависимости от знака переменной

2. Определяем вид функции и находим дополнительные точки для каждого участка графика.

График при - часть парабола, ветви которой направлены вниз. Потому как коэффициент а =-1 – отрицательный.

Определим вершину параболы и .

Вершина находится в точке (-3; 9).

Парабола проходит еще через точки (0;0) и (0;6).

Если , ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину:

, (2; -4).

График проходит также через точки (0;0) и (0;4).

3. Строим искомый график:

Из построения видно, что прямая y=m имеет только 2 общие точки с графиком функции в случаях, когда m=-4 или m=9. На рисунке прямые изображены красным цветом.

Ответ: -4; 9.

Четвертый вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.

Алгоритм решения:
  1. Строим график.
  2. Записываем ответ.
Решение:

1. Если x < 0, то

Дробь, получившаяся в результате, определена . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

3. Построим график заданной функции:

4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.

На графике прямые для k=-1; 1изображены красным.

Ответ: -1; 0; 1.

Пятый вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Алгоритм решения:
  1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
  2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
  3. Строим график.
  4. Определяем искомые значения k.
  5. Записываем ответ.