Величина литра

1 литр по действующему в настоящее время определению равен в точности 1 кубическому дециметру : 1 л = 1 дм³ = 0,001 м³ (таким образом, 1 кубический метр (м³), официальная единица СИ для объёма, равен в точности 1000 литрам ).

Это определение было принято в 1964 году на 12-й Генеральной конференции по мерам и весам .

Происхождение названия и обозначения

Исторически название «литр» происходит от старофранцузской единицы объёма «литрон» (фр. litron ). Литрон использовался как мера сыпучих тел и составлял ¹∕₁₆ часть от боассо́ (boisseau ). Величина литрона составляла примерно 0,831018 современного литра. Название «литрон», в свою очередь, возникло как производное от греческого litra (др.-греч. λίτρα ). Литрой называли серебряную монету (и соответствующий ей вес), использовавшуюся в древнегреческих колониях , особенно на Сицилии . Как монета, литра была близка к оболу , а её вес был равен одной трети древнеримской либры (≈327,45 г) . Вероятнее всего, когда греки колонизировали Сицилию, они вступили в торговые отношения с местным населением, у которых существовала монета и соответствующая ей единица веса libra , и греки переняли это название для своих монет под видом litra . Вместе с тем существовала также мера измерения объёма масла libra , реализовывавшаяся с помощью рога с нанесёнными на нём отметками. Отметки делили рог на 12 равных частей (унций), а вместе они составляли «либру» . Так же как в случае с монетой, существовала и аналогичная мера объёма у греков, которая наряду с названием котила (др.-греч. κοτύλη ), имела также название litra («литрой» назывался сам сосуд) . Объём котилы равнялся примерно 0,284 литра (полпинты) . Римское слово libra в свою очередь восходит к основе, использовавшейся в Средиземноморье , *lithra , в значении «весы» .

Обозначение

В результате в 1979 году XVI Генеральная конференция по мерам и весам приняла решение, в соответствии с которым в виде исключения разрешается использовать два различных обозначения литра: строчную l и заглавную L . США ныне рекомендует использовать именно символ L для обозначения литра , эта практика также широко распространена в Канаде и Австралии. В этих странах символ L употребляется и с префиксами, например, mL и µL , вместо традиционных ml and µl , используемых в Европе. В Великобритании и Ирландии, как и в других странах Европы, вместе с префиксами используется строчная буква (ml и µl ), а в случае целых литров слово часто пишется целиком (1 litre ). В 1990 году Международный комитет мер и весов заявил, что пока рано выбирать один общий символ для литра. До 1979 года распространение получил символ ℓ (script small l, +2113), например, он был рекомендован Южноафриканским Бюро Стандартов и Канадой в 1970 году. Употребление этого символа до сих сохранилось в небольших масштабах в англоговорящих странах, в то время как в Японии и Южной Корее он используется повсеместно. Шрифты, поддерживающие южноазиатские символы (англ. CJK characters ), обычно содержат не только символ ℓ, но и четыре производных символа: ㎕, ㎖, ㎗ и ㎘ (U+3395 to U+3398) для микролитров, миллилитров, децилитров и килолитров, соответственно. Использование этих символов в печатных работах противоречит рекомендациям, опубликованным Международным бюро мер и весов по настоянию главных международных организаций, занимающихся стандартами (включая ISO , IAU , IUPAC , IUPAP и NPL), где говорится, что символы единиц должны «печататься прямым шрифтом независимо от типа шрифта окружающего текста» .

Исторические факты, связанные с понятием литра

Соотношения с другими единицами

Кратные и дольные единицы

Шприц со шкалой, выраженной одновременно в миллилитрах (mL) и кубических сантиметрах (cc)

В России для представления объёмов, как правило, используются сам литр и его дольные производные - миллилитр (мл, ml), микролитр (мкл, µl), нанолитр (нл, nl) и пиколитр (пл, pl), а для выражения большинства других значений объёма применяются метрические единицы, связанные с метром - кубический метр и др. Иногда (для измерения объёмов напитков) используется сантилитр (сл, cl).

Среди кратных производных литра широкое распространение имеет лишь декалитр (дал, dal; 10 л); в этих единицах часто измеряется продукция заводов пищевой промышленности, выпускающих напитки и другие жидкие пищевые продукты, ввиду удобства пересчёта, поскольку стандартный ящик с 20 полулитровыми бутылками содержит 1 декалитр жидкости. Иногда используется также гектолитр (гл, hl). Использование более крупных кратных производных литра не запрещено стандартами, но на практике они используются редко.

Дольные единицы, более мелкие, чем миллилитр, используются обычно в биологии, медицине и фармацевтике, а также в некоторых отраслях техники (так, объём капли, формирующей точку при печати в современных струйных принтерах, составляет около 1 -5 пиколитров ). Разговорный синоним миллилитра - «кубик» .

Кратные единицы Наименование Обозначение Эквивалентный объём Дольные единицы Наименование Обозначение Эквивалентный объём
1 л литр л l, ℓ, L 1 дм 3 1 кубический дециметр
10 л декалитр дал dal, daℓ, daL 10 1 дм 3 10 кубических дециметров 10 −1 л децилитр дл dl, dℓ, dL 10 2 см 3 100 кубических сантиметров
10 2 л гектолитр гл hl, hℓ, hL 10 2 дм 3 100 кубических дециметров 10 −2 л сантилитр сл cl, cℓ, cL 10 1 см 3 10 кубических сантиметров
10 3 л килолитр кл kl, kℓ, kL 1 м 3 1 кубический метр 10 −3 л миллилитр мл ml, mℓ, mL 1 см 3 1 кубический сантиметр
10 6 л мегалитр Мл Ml, Mℓ, ML 10 3 м 3 1000 кубических метров 10 −6 л микролитр мкл µl, µℓ, µL 1 мм 3 1 кубический миллиметр
10 9 л гигалитр Гл Gl, Gℓ, GL 10 6 м 3 10 6 кубических метров 10 −9 л нанолитр нл nl, nℓ, nL 10 6 мкм 3 10 6 кубических микрометров
10 12 л тералитр Тл Tl, Tℓ, TL 1 км 3 1 кубический километр 10 −12 л пиколитр пл pl, pℓ, pL 10 3 мкм 3 1000 кубических микрометров
10 15 л петалитр Пл Pl, Pℓ, PL 10 3 км 3 1000 кубических километров 10 −15 л фемтолитр фл fl, fℓ, fL 1 мкм 3 1 кубический микрометр
10 18 л экcалитр Эл El, Eℓ, EL 10 6 км 3 10 6 кубических километров 10 −18 л аттолитр ал al, aℓ, aL 10 6 нм 3 10 6 кубических нанометров
10 21 л зетталитр Зл Zl, Zℓ, ZL 1 Мм 3 1 кубический мегаметр 10 −21 л зептолитр зл zl, zℓ, zL 10 3 нм 3 1000 кубических нанометров
10 24 л иотталитр Ил Yl, Yℓ, YL 10 3 Мм 3 10 3 кубических мегаметров 10 −24 л иоктолитр ил yl, yℓ, yL 1 нм 3 1 кубический нанометр

Соотношения с неметрическими единицами объёма

Метрическая
Приблизительное значение
 Неметрическая
 Система мер
 Неметрическая
 Метрический эквивалент
1 л ≈ 0,87987699 кварта Английская 1 кварта ≡ 1,1365225 л
1 л ≈ 1,056688 кварта амер. Американская 1 кварта амер. ≡ 0,946352946 л
1 л ≈ 1,75975326 пинта Английская 1 пинта ≡ 0,56826125 л
1 л ≈ 2,11337641 пинта амер. Американская 1 пинта амер. ≡ 0,473176473 л
1 л ≈ 0,21997 галлон Английская 1 галлон ≡ 4,54609 л
1 л ≈ 0,2642 галлон Американская 1 галлон ≡ 3,785 л
1 л ≈ 0,0353146667 кубический фут 1 кубический фут ≡ 28,316846592 л
1 л ≈ 61,0237441 кубический дюйм 1 кубический дюйм ≡ 0,01638706 л
1 л ≈ 33,8140 унция амер. Американская 1 унция амер. ≡ 29,5735295625 мл
1 л ≈ 35,1950 унция Английская 1 унция ≡ 28,4130625 мл

Производные единицы

  • Для измерения расхода жидкостей и газов используются единицы: литр в секунду (л/с), литр в минуту (л/мин), литр в час (л/ч), а также соответствующие кратные и дольные единицы.
  • Для измерения плотности и содержания (массовой концентрации) веществ используются единицы: грамм на литр, килограмм на литр, миллиграмм на литр и тому подобные.
  • Для измерения молярной плотности и молярной концентрации веществ используются единицы: моль на литр (моль/л), микромоль/литр и тому подобные.
  • Для измерения объёмной концентрации частиц используется обратный литр (л −1) и производные (мл −1 , мкл −1 и тому подобные). Так, объёмная концентрация 100 мкл −1 означает, что в 1 микролитре какого-либо объёма содержится в среднем 100 частиц.
  • Для измерения энергии в некоторых приложениях используется единица литр-атмосфера, равная работе, которую поршень тепловой машины производит над газом при постоянном давлении в 1 атмосферу (103 125 Па ), сжимая газ с уменьшением объёма на 1 литр. 1 литр-атмосфера (л·атм) = 101,325 Дж .
  • Для измерения поглотительной способности сорбентов используется единица л/л (выражающая отношение объёма поглощённого газа к объёму сорбента). Эта же единица иногда используется для измерения пористости .
  • Для измерения удельной поверхности на единицу объёма пористого вещества или другой дисперсной системы используется единица м²/л.
  • Для измерения веществ (обычно воздуха) используется единица Бк/л (беккерель на литр).

Использование единиц

Во многих областях, где требуется указать внутренний объём объекта, вместо единиц объёма, производных от метра, традиционно используется литр и производные единицы. Например:

Объём, выраженный в литрах, в разговорной речи и техническом жаргоне называется «литраж».

Примечания

  1. Резолюция 6 XII Генеральной конференции по мерам и весам (1964) (англ.) . Международное бюро мер и весов . Проверено 2013-22-5. Архивировано 24 мая 2013 года.
  2. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (неопр.) (недоступная ссылка) . Проверено 5 сентября 2012. Архивировано 10 ноября 2012 года.
  3. Новости (рус.) . gost.ru. Проверено 19 ноября 2017.
  4. Bureau International des Poids et Mesures, 2006 , p. 124. («Days» and «hours» are examples of other non-SI units that SI accepts.)
  5. Isotopic composition and temperature per London South Bank University’s “List of physicochemical data concerning water” , density and uncertainty per NIST Standard Reference Database Number 69 (Retrieved: 2010-04-05)
  6. / William Smith. - 3rd American. - New York: Harper & Brothers, 1845. - P. 594.
  7. A Dictionary of Greek and Roman Antiquities / William Smith. - 2rd. - Гарвардский университет: Little, Brown, and Company, 1859. - P. 709.

Конвертер длины и расстояния Конвертер массы Конвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питания Конвертер площади Конвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептах Конвертер температуры Конвертер давления, механического напряжения, модуля Юнга Конвертер энергии и работы Конвертер мощности Конвертер силы Конвертер времени Конвертер линейной скорости Плоский угол Конвертер тепловой эффективности и топливной экономичности Конвертер чисел в различных системах счисления Конвертер единиц измерения количества информации Курсы валют Размеры женской одежды и обуви Размеры мужской одежды и обуви Конвертер угловой скорости и частоты вращения Конвертер ускорения Конвертер углового ускорения Конвертер плотности Конвертер удельного объема Конвертер момента инерции Конвертер момента силы Конвертер вращающего момента Конвертер удельной теплоты сгорания (по массе) Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему) Конвертер разности температур Конвертер коэффициента теплового расширения Конвертер термического сопротивления Конвертер удельной теплопроводности Конвертер удельной теплоёмкости Конвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излучения Конвертер плотности теплового потока Конвертер коэффициента теплоотдачи Конвертер объёмного расхода Конвертер массового расхода Конвертер молярного расхода Конвертер плотности потока массы Конвертер молярной концентрации Конвертер массовой концентрации в растворе Конвертер динамической (абсолютной) вязкости Конвертер кинематической вязкости Конвертер поверхностного натяжения Конвертер паропроницаемости Конвертер паропроницаемости и скорости переноса пара Конвертер уровня звука Конвертер чувствительности микрофонов Конвертер уровня звукового давления (SPL) Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давления Конвертер яркости Конвертер силы света Конвертер освещённости Конвертер разрешения в компьютерной графике Конвертер частоты и длины волны Оптическая сила в диоптриях и фокусное расстояние Оптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×) Конвертер электрического заряда Конвертер линейной плотности заряда Конвертер поверхностной плотности заряда Конвертер объемной плотности заряда Конвертер электрического тока Конвертер линейной плотности тока Конвертер поверхностной плотности тока Конвертер напряжённости электрического поля Конвертер электростатического потенциала и напряжения Конвертер электрического сопротивления Конвертер удельного электрического сопротивления Конвертер электрической проводимости Конвертер удельной электрической проводимости Электрическая емкость Конвертер индуктивности Конвертер Американского калибра проводов Уровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицах Конвертер магнитодвижущей силы Конвертер напряженности магнитного поля Конвертер магнитного потока Конвертер магнитной индукции Радиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излучения Радиоактивность. Конвертер радиоактивного распада Радиация. Конвертер экспозиционной дозы Радиация. Конвертер поглощённой дозы Конвертер десятичных приставок Передача данных Конвертер единиц типографики и обработки изображений Конвертер единиц измерения объема лесоматериалов Вычисление молярной массы Периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

1 кубический дециметр [дм³] = 1 литр [л]

Исходная величина

Преобразованная величина

кубический метр кубический километр кубический дециметр кубический сантиметр кубический миллиметр литр эксалитр петалитр тералитр гигалитр мегалитр килолитр гектолитр декалитр децилитр сантилитр миллилитр микролитр нанолитр пиколитр фемтолитр аттолитр куб.см капля баррель (нефтяной) баррель американский баррель британский галлон американский галлон британский кварта США кварта британская пинта США пинта британская стакан американский стакан (метрический) стакан британский унция жидкая США унция жидкая британская столовая ложка амер. столовая ложка (метр.) столовая ложка брит. десертная ложка амер. десертная ложка брит. чайная ложка амер. чайная ложка метрич. чайная ложка брит. джилл, гилл американский джилл, гилл британский миним американский миним британский кубическая миля кубический ярд кубический фут кубический дюйм регистровая тонна 100 кубических футов 100-футовый куб акр-фут акр-фут (США, геодезический) акр-дюйм декастер стер децистер корд тан хогсхед досковый фут драхма кор (библейская единица) хомер (библейская единица) бат (библейская единица) гин (библейская единица) каб (библейская единица) лог (библейская единица) стакан (испанский) объем Земли Планковский объем кубическая астрономическая единица кубический парсек кубический килопарсек кубический мегапарсек кубический гигапарсек бочка ведро штоф четверть винная бутылка водочная бутылка стакан чарка шкалик

Подробнее об объеме и единицах измерения в кулинарных рецептах

Общие сведения

Объем - это пространство, занимаемое веществом или предметом. Также объем может обозначать свободное пространство внутри емкости. Объем - трехмерная величина, в отличие от, например, длины, которая является двумерной. Поэтому объем плоских или двумерных объектов равен нулю.

Единицы объема

Кубический метр

Единица измерения объема в системе СИ - кубический метр. Стандартное определение одного кубического метра - это объем куба с ребрами длиной в один метр. Также широко используются производные единицы, например, кубические сантиметры.

Литр

Литр - одна из наиболее часто используемых единиц в метрической системе. Он равен объему куба с ребрами длиной 10 см:
1 литр = 10 см × 10 см × 10 см = 1000 кубических сантиметров

Это все равно, что 0,001 кубических метров. Масса одного литра воды при температуре 4°C примерно равна одному килограмму. Часто используются также миллилитры, равные одному кубическому сантиметру или 1/1000 литра. Миллилитр обычно обозначают как мл.

Джилл

Джиллы - единицы объема, используемые в США для измерения алкогольных напитков. Один джилл - это пять жидких унций в Британской имперской системе или четыре в американской. Один американский джилл равен четверти пинты или половине чашки. В Ирландских пабах подают горячительные напитки порциями в четверть джилла, или 35,5 миллилитра. В Шотландских порции меньше - одна пятая джилла, или 28,4 миллилитра. В Англии до недавнего времени порции были еще меньше, всего одна шестая джилла или 23,7 миллилитра. Теперь же, это 25 или 35 миллилитров в зависимости от правил заведения. Хозяева могут решать самостоятельно, какую из двух порций им подавать.

Драм

Драм, или драхма - мера объема, массы, а также монета. В прошлом эта мера использовалась в аптекарском деле и равнялась одной чайной ложке. Позже стандартный объем чайной ложки изменился, и одна ложка стала равна 1 и 1/3 драхмы.

Объемы в кулинарии

Жидкости в кулинарных рецептах обычно измеряют по объему. Сыпучие и сухие продукты в метрической системе, наоборот, измеряют по массе.

Чайная ложка

Объем чайной ложки разный в разных системах измерения. Изначально одна чайная ложка была четвертью столовой, потом - одной третьей. Именно последний объем сейчас используется в американской системе измерения. Это примерно 4,93 миллилитра. В американской диетологии размер чайной ложки равен 5 миллилитрам. В Великобритании обычно принято использовать 5,9 миллилитра, но в некоторых диетических пособиях и кулинарных книгах - это 5 миллилитров. Объем чайной ложки используемый в кулинарии обычно стандартизирован в каждой стране, но для еды используются ложки разных размеров.

Столовая ложка

Объем столовой ложки тоже колеблется в зависимости от географического региона. Так, например, в Америке, одна столовая ложка - это три чайных, пол-унции, примерно 14,7 миллилитра, или 1/16 американской чашки. Столовые ложки в Великобритании, Канаде, Японии, Южной Африке и Новой Зеландии - тоже содержат три чайных ложки. Так, метрическая столовая ложка - 15 миллилитров. Британская столовая ложка - 17.7 миллилитра, если чайная - 5,9, и 15, - если чайная - 5 миллилитров. Австралийская столовая ложка - ⅔ унции, 4 чайных ложки, или 20 миллилитров.

Чашка

Как мера объема, чашка не определяется так строго, как ложки. Объем чашки может варьировать от 200 до 250 миллилитров. Метрическая чашка - 250 миллилитров, а американская немного меньше, примерно 236,6 миллилитра. В американской диетологии объем чашки равен 240 миллилитрам. В Японии чашки еще меньше - всего 200 миллилитров.

Кварты и галлоны

Галлоны и кварты также имеют разную величину, в зависимости от географического региона, где они используются. В имперской системе измерения один галлон равен 4,55 литра, а в американской системе мер - 3,79 литра. В основном в галлонах измеряют топливо. Кварта равна четверти галлона и, соответственно, 1,1 литра в американской системе, и примерно 1,14 литра в имперской системе.

Пинта

В пинтах измеряют пиво даже в странах, где пинту не используют для измерения других жидкостей. В Великобритании в пинтах измеряют молоко и сидр. Пинта равна одной восьмой галлона. В некоторых других странах Содружества Наций и Европы также используют пинты, но, так как они зависят от определения галлона, а галлон имеет разный объем в зависимости от страны, пинты также не везде одинаковы. Имперская пинта равна примерно 568,2 миллилитра, а американская - 473,2 миллилитра.

Жидкая унция

Имперская унция примерно равна 0,96 американской унции. Таким образом, в имперской унции содержится приблизительно 28,4 миллилитра, а в американской -29,6 миллилитра. Одна американская унция также приблизительно равна шести чайным ложкам, двум столовым, и одной восьмой чашки.

Вычисление объема

Метод вытеснения жидкости

Объем предмета можно вычислить с помощью метода вытеснения жидкости. Для этого его опускают в жидкость известного объема, геометрически вычисляют или измеряют новый объем, и разница этих двух величин и есть объем измеряемого предмета. Например, если при опускании предмета в чашку с одним литром воды, объем жидкости увеличится до двух литров, значит объем предмета - один литр. Таким способом можно вычислить только объем предметов, которые не впитывают жидкость.

Формулы для вычисления объема

Объем геометрических фигур можно вычислить при помощи следующих формул:

Призма: произведение площади основания призмы на высоту.

Прямоугольный параллелепипед: произведение длины, ширины и высоты.

Куб: длина ребра в третьей степени.

Эллипсоид: произведение полуосей и 4/3π.

Пирамида: одна треть произведения площади основания пирамиды и высоты.Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.

Определения

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве действительных чисел X .
Функция называется строго возрастающей (строго убывающей) , если для всех x′, x′′ ∈ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) < f(x′′) ( f(x′) > f(x′′) ) .
Функция называется неубывающей (невозрастающей) , если для всех x′, x′′ ∈ X таких что x′ < x′′ выполняется неравенство:
f(x′) ≤ f(x′′) ( f(x′) ≥ f(x′′) ) .

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Для исследования монотонности функции на некотором множестве X , нужно найти разность ее значений в двух произвольных точках , принадлежащих этому множеству. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.

Если на некотором множестве функция положительна: , то для определения монотонности, можно исследовать частное от деления ее значений в двух произвольных точках этого множества. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.

Теорема
Пусть функция f(x) не убывает на интервале (a, b) , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный левый предел в точке b : . Если f(x) не ограничена сверху, то .
Если f(x) ограничена снизу числом m : , то существует конечный правый предел в точке a : . Если f(x) не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция f(x) не убывает на интервале (a, b) , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Следствие
Пусть функция является монотонной на интервале . Тогда в любой точке из этого интервала, существуют односторонние конечные пределы функции :
и .

Доказательство теоремы

Функция не убывает

b - конечное число
Функция ограничена сверху


1.1.1. Пусть функция ограничена сверху числом M : при .


.
;
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда
при .
Преобразуем последнее неравенство:
;
;
.
Поскольку , то . Тогда
при .


при .
«Определения односторонних пределов функции в конечной точке»).

Функция не ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .


.


при .

Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).

b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M : при .
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при . Или
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует число , так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).

Функция не ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .

Итак, для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).

Функция не возрастает

Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .

Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой . Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B существует такой аргумент , для которого
.
По условию теоремы, . Поэтому .

Поскольку функция не возрастает, то при . Поскольку , то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b .

Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки , существует такая проколотая левая окрестность точки b , что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен :

(см. универсальное определение предела функции по Коши).

Предел в точке a

Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.

Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .

Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.

Теперь осталось показать, что если существует предел функции при , то существует предел функции при , и эти пределы равны:
.

Введем обозначение:
(1) .
Выразим f через g :
.
Возьмем произвольное положительное число . Пусть есть эпсилон окрестность точки A . Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A (см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое , что
при .

Пусть a - конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a , используя неравенства:
при .
Заменим x на -x и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a . Тогда
при .

Пусть a - бесконечное число, . Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует такое , что
при .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

Обратите внимание: во всех определениях фигурирует числовое множество X, являющееся частью области определения функции: X с D(f). На практике чаще всего встречаются случаи, когда X - числовой промежуток (отрезок, интервал, луч и т.д.).

Определение 1.

Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х 1 и х 2 множества X, таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Определение 2.

Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве X с D(f), если для любых монотонность двух точек х 1 и х 2 множества X, таких, что х 1 < х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) > f(x 2).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В 7-м и 8-м классах мы использовали следующее геометрическое истолкование понятий возрастания или убывания функции: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в горку (рис. 55); двигаясь по графику убывающей функции слева направо, как бы спускаемся с горки (рис. 56).
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция » объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) - без указания числового множества X.

Пример 1.

Исследовать на монотонность функцию:

а) у = х 3 + 2; б) у = 5 - 2х.

Решение:

а) Возьмем произвольные значения аргумента х 1 и х 2 и пусть х 1 <х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:


Последнее неравенство означает, что f(х 1) < f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Итак, из х 1 < х 2 следует f(х 1) > f(х 2), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).

Определение 3.

Функцию у - f(х) называют ограниченной снизу на множестве X с D (f), если все значения функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).

Определение 4.

Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве X с D (f), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) < М).

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху во всей области определения.

Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют ограниченной.

Ограниченность функции легко прочитывается по ее графику : если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = т (рис. 57); если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М (рис. 58).


Пример 2. Исследовать на ограниченность функцию
Решение. С одной стороны, вполне очевидно неравенство (по определению квадратного корня Это означает, что функция ограничена снизу. С другой стороны, имеем а потому
Это означает, что функция ограничена сверху. А теперь посмотрите на график заданной функции (рис. 52 из предыдущего параграфа). Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику достаточно легко.

Определение 5.

Число m называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве X С D(f), если:

1) в Х существует такая точка х 0 , что f(х 0) = m;

2) для всех x из X выполняется неравенство m>f(х 0).

Определение 6.

Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х 0 , что f(x 0) = М;
2) для всех x из X выполняется неравенство
Наименьшее значение функции мы обозначали и в 7-м, и в 8-м классах символом у, а наибольшее - символом у.

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения.

Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:

1) Если у функции существует Y, то она ограничена снизу.
2) Если у функции существует Y, то она ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то Y не существует.
4) Если функция не ограничена сверху, то Y не существует.

Пример 3.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции
Решение.

Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 52), что = 0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а = 3 (этого значения функция достигает в точке х = 0.
В 7-м и 8-м классах мы упоминали еще два свойства функций. Первое назвали свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 59). непрерывность Функция выпукла вверх на промежутке X, если, функции соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 60).


Второе свойство - непрерывность функции на промежутке X - означает, что график функции на промежутке X - сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Замечание.

На самом деле в математике все обстоит, как говорится, «с точностью до наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции. Но формальное определение непрерывности функции, достаточно сложное и тонкое, нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.

А теперь проведем смотр наших знаний. Вспомнив о тех функциях, которые мы с вами изучали в 7-м и 8-м классах, уточним, как выглядят их графики, и перечислим свойства функции, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; , ; непрерывность; область значений; выпуклость.

Впоследствии появятся новые свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств.

1. Постоянная функция у = С

График функции у = С изображен на рис. 61 - прямая, параллельная оси х. Это настолько неинтересная функция, что нет смысла перечислять ее свойства.


Графиком функции у = кх + m является прямая (рис. 62, 63).


Свойства функции у = кх + m:

1)
2) возрастает, если к > 0 (рис. 62), убывает, если к < 0 (рис. 63);

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5) функция непрерывна;
6)
7) о выпуклости говорить не имеет смысла.


Графиком функции у = кх 2 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если к > О (рис. 64), и вниз, если к < 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Свойства функции у - кх 2:

Для случая к> 0 (рис. 64):

1) D(f) = (-оо,+оо);


4) = не существует;
5) непрерывна;
6) Е(f) = функция убывает, а на промежутке , убывает на луче ;
7) выпукла вверх.

График функции у = f(х) строится по точкам; чем больше точек вида (х; f(х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график надо изобразить в виде сплошной линии (в данном случае в виде параболы). А уж затем, читая график, мы делаем выводы о непрерывности функции, о ее выпуклости вниз или вверх, об области значений функции. Вы должны понимать, что из перечисленных семи свойств «законными» являются лишь свойства 1), 2), 3), 4) - «законными» в том смысле, что мы в состоянии обосновать их, ссылаясь на точные определения. Об остальных свойствах у нас имеются только наглядно-интуитивные представления. Кстати, в этом нет ничего плохого. Из истории развития математики известно, что человечество часто и долго пользовалось различными свойствами тех или иных объектов, не зная точных определений. Потом, когда такие определения удавалось сформулировать, все становилось на свои места.

Графиком функции является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы (рис. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+оо);
2) если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо) (рис. 66); если к < 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) не ограничена ни снизу, ни сверху;
4) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
5) функция непрерывна на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо);
6) Е(f) = (-оо,0) U (0,+оо);
7) если к > 0, то функция выпукла вверх при х < 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х > 0, т.е. на открытом луче (0, +оо) (рис. 66). Если к < 0, то функция выпукла вверх при х > О и выпукла вниз при х < О (рис. 67).
Графиком функции является ветвь параболы (рис. 68). Свойства функции :
1) D(f) = , возрастает на луче . На этом отрезке $16-x^2≤16$ или $\sqrt{16-x^2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.

Наибольшее и наименьшее значение

Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:

б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.

Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.

Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать y наиб. и y наим. .

Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.
г) Если функция не ограничена снизу, то наименьшего значения не существует.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=\sqrt{9-4x^2+16x}$.
Решение: $f(x)=y=\sqrt{9-4x^2+16x}=\sqrt{9-(x-4)^2+16}=\sqrt{25-(x-4)^2}≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, при всех остальных значениях функция принимает меньшие значения или не существует, то есть это наибольшее значение функции.
По определению: $9-4x^2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: y наиб. =5 и y наим. =0.

Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.

Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.

Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.



Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.

Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.
в) Ограниченность.
г) Наибольшее и наименьшее значение.
д) Непрерывность.
е) Область значений.

Найти свойства функции $y=-2x+5$.
Решение.
а) Область определения D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонность. Проверим для любых значений х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Поскольку х1 < x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограниченность. Очевидно, что функция не ограничена.
г) Наибольшее и наименьшее значение. Поскольку функция не ограничена, то наибольшего и наименьшего значений не существует.
д) Непрерывность. График нашей функции не имеет разрывов, тогда функция непрерывна.
е) Область значений. Е(у)=(-∞;+∞).

Задачи на свойства функции для самостоятельного решения

Найти свойства функции:
а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
в) $y=\frac{4}{x}$.