Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник - от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Вторая: S = ½ н а * а.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 - две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 - н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

Ответ. Площади: основания - 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы - 180 см 2 .

Призма - это одна из объемных фигур, свойства которой изучают в школе в курсе пространственной геометрии. В данной статье рассмотрим конкретную призму - шестиугольную. Что это за фигура, как найти объем правильной шестиугольной призмы и площадь ее поверхности? Ответы на эти вопросы содержатся в статье.

Фигура призма

Предположим, что мы имеем произвольный многоугольник с числом сторон n, который находится в некоторой плоскости. К каждой вершине этого многоугольника построим вектор, который не будет лежать в плоскости многоугольника. С помощью этой операции мы получим n одинаковых векторов, вершины которых образуют многоугольник, в точности равный исходному. Фигура, ограниченная двумя одинаковыми многоугольниками и параллельными линиями, соединяющими их вершины, называется призмой.

Гранями призмы являются два основания, представленные многоугольниками с n сторонами, и боковые n поверхностей-параллелограммов. Количество ребер Р фигуры связано с числом ее вершин В и граней Г формулой Эйлера:

Для многоугольника с n сторонами получаем n + 2 грани и 2 * n вершин. Тогда количество ребер будет равно:

Р = В + Г - 2 = 2 * n + n + 2 - 2 = 3 * n

Самой простой призмой является треугольная, то есть основанием у нее является треугольник.

Классификация призм достаточно разнообразна. Так, они могут быть правильными и неправильными, прямоугольными и косоугольными, выпуклыми и вогнутыми.

Шестиугольная призма

Эта статья посвящена вопросу объема правильной шестиугольной призмы. Сначала познакомимся ближе с этой фигурой.

Как следует из названия, основание шестиугольной призмы является многоугольником с шестью сторонами и шестью углами. В общем случае таких многоугольников можно составить великое множество, однако для практики и для решения геометрических задач важен один единственный случай - правильный шестиугольник. У него все стороны равны между собой, а каждый из 6 углов составляет 120 o . Построить этот многоугольник можно легко, если разделить окружность на 6 равных частей тремя диаметрами (они должны пересекаться под углами 60 o).

Правильная шестиугольная призма предполагает не только наличие правильного многоугольника в ее основании, но и тот факт, что все боковые стороны фигуры должны являться прямоугольниками. Это возможно только в случае, если боковые грани будут перпендикулярны шестиугольным основаниям.

Правильная шестиугольная призма - это достаточно совершенная фигура, которая встречается в быту и природе. Стоит только вспомнить о форме пчелиных сот или о шестигранном гаечном ключе. В области нанотехнологий также часто встречаются шестиугольные призмы. Например, кристаллические решетки ГПУ и C32, которые реализуются при определенных условиях в титане и цирконии, а также решетка графита имеют форму шестиугольных призм.

Площадь поверхности шестиугольной призмы

Перейдем теперь непосредственно к вопросу вычисления площади и объема призмы. Сначала рассчитаем площадь поверхности этой фигуры.

Площадь поверхности любой призмы вычисляется с помощью следующего равенства:

То есть искомая площадь S равна сумме площадей двух оснований S o и площади боковой поверхности S b . Для определения величины S o можно поступить двумя способами:

  • Вычислить ее самостоятельно. Для этого шестиугольник разбивается на 6 равносторонних треугольников. Зная, что площадь одного треугольника равна половине произведения высоты на основание (длину стороны шестиугольника), можно найти площадь рассматриваемого многоугольника.
  • Воспользоваться известной формулой. Она приведена ниже:

S n = n / 4 * a 2 * ctg(pi / n)

Здесь a - длина стороны правильного многоугольника, имеющего n вершин.

Очевидно, что оба способа приводят к одному результату. Для правильного шестиугольника площадь равна:

S o = S 6 = 3 * √3 * a 2 / 2

Площадь боковой поверхности найти просто, для этого следует умножить основание каждого прямоугольника a на высоту призмы h, полученное значение умножить на число таких прямоугольников, то есть на 6. В итоге:

Пользуясь формулой для полной площади поверхности, для правильной шестиугольной призмы получаем:

S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)

Как найти объем призмы?

Объем - это физическая величина, которая отражает область пространства, занимаемую объектом. Для призмы рассчитать эту величину можно по следующей формуле:

Это выражение дает ответ на вопрос о том, как найти объем призмы произвольной формы, то есть необходимо площадь основания S o умножить на высоту фигуры h (расстояние между основаниями).

Заметим, что приведенное выражение справедливо для любой призмы, включая вогнутые и косоугольные фигуры, образованные неправильными многоугольниками в основании.

Формула объема призмы шестиугольной правильной

На данный момент мы рассмотрели все необходимые теоретические выкладки, чтобы получить выражение для объема рассматриваемой призмы. Для этого достаточно площадь основания умножить на длину бокового ребра, которая является высотой фигуры. В итоге шестиугольной призмы примет вид:

V = 3 * √3 * a 2 * h / 2

Таким образом, расчет объема рассматриваемой призмы предполагает знание всего двух величин: длины стороны ее основания и высоты. Эти две величины однозначно определяют объем фигуры.

Сравнение объемов и цилиндра

Выше было сказано, что основание шестиугольной призмы может быть легко построено с использованием окружности. Также известно, что если увеличивать число сторон правильного многоугольника, то его форма будет приближаться к окружности. В связи с этим представляет интерес рассчитать, на сколько объем правильной шестиугольной призмы отличается от этого значения для цилиндра.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо вычислить длину стороны шестиугольника, вписанного в окружность. Можно легко показать, что она равна радиусу. Обозначим радиус окружности буквой R. Предположим, что высота цилиндра и призмы равна некоторому значению h. Тогда объем призмы равен следующему значению:

V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2

Объем цилиндра определяется по той же формуле, что и объем для произвольной призмы. Учитывая, что площадь круга равна pi * R 2 , для объема цилиндра имеем:

Найдем отношение объемов этих фигур:

V p / V с = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)

Число "пи" равно 3,1416. Подставляя его, получаем:

Таким образом, объем правильной шестиугольной призмы составляет около 83 % от объема цилиндра, в который она вписана.

Правильная шестиугольная призма - призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

  • A B C D E F A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильная шестиугольная призма
  • a - длина стороны основания призмы
  • h - длина бокового ребра призмы
  • S осн . - площадь основания призмы
  • S бок . - площадь боковой грани призмы
  • S полн . - площадь полной поверхности призмы
  • V призмы - объем призмы

Площадь оснований призмы

В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной a . По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна

Таким образ

S осн . = 3 3 √ 2 ⋅ a 2


Таким образом, получается, что S A B C D E F = S A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 = 3 3 √ 2 ⋅ a 2

Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами a и h . Следовательно, по свойствам прямоугольника

S бок . = a ⋅ h

У призмы шесть боковых граней и два основания, следовательно, площадь ее полной поверхности равна

S полн . = 6 ⋅ S бок . + 2 ⋅ S осн . = 6 ⋅ a ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ a 2

Объем призмы

Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро A A 1 . В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем

V призмы = S осн . ⋅ A A 1 = 3 3 √ 2 ⋅ a 2 ⋅ h

Правильный шестиугольник в основаниях призмы

Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы.

Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O.

По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что

A O = O D = E O = O B = C O = O F = a

Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . По свойствам равнобедренного треугольника.

A E = a ⋅ 2 (1 − cos E O A ) − − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ a

Аналогичным образом приходим к заключению, что A C = C E = 3 √ ⋅ a , F M = M O = 1 2 ⋅ a .

Находим E A 1

В треугольнике A E A 1 :

  • A A 1 = h
  • A E = 3 √ ⋅ a - как мы только что выяснили
  • ∠ E A A 1 = 90 ∘

A E A 1

E A 1 = A A 2 1 + A E 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + 3 ⋅ a 2 − − − − − − − − √

Если h = a , то тогда E A 1 = 2 ⋅ a

F B 1 = A C 1 = B D 1 = C E 1 = D F 1 = h 2 + 3 ⋅ a 2 − − − − − − − − √ .

Находим E B 1

В треугольнике B E B 1 :

  • B B 1 = h
  • B E = 2 ⋅ a - потому что E O = O B = a
  • ∠ E B B 1 = 90 ∘ - по свойствам правильной прязмы

Таким образом, получается, что треугольник B E B 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

E B 1 = B B 2 1 + B E 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + 4 ⋅ a 2 − − − − − − − − √

Если h = a , то тогда

E B 1 = 5 √ ⋅ a

После аналогичных рассуждений получаем, что F C 1 = A D 1 = B E 1 = C F 1 = D A 1 = h 2 + 4 ⋅ a 2 − − − − − − − − √ .

Находим O F 1

В треугольнике F O F 1 :

  • F F 1 = h
  • F O = a
  • ∠ O F F 1 = 90 ∘ - по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник F O F 1 прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника

O F 1 = F F 2 1 + O F 2 − − − − − − − − − − √ = h 2 + a 2 − − − − − − √

Если h = a , то тогда

Дорогие друзья! Для вас очередная статья с призмами. Имеется в составе экзамена такой тип заданий, в которых требуется определить объём многогранника. При чём он дан не в «чистом виде», а сначала его требуется построить. Я бы выразился так – его нужно «увидеть» в другом заданном теле.

Статья на с такими заданиями уже была на блоге, . В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то .

В правильной призме в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно в основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, а в основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник.

При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию . Так же будет полезно с параллелепипедами, принцип решения заданий схож. Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.

Объём призмы:

Объём пирамиды:

245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А 1 . Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:

Ответ: 2

245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 , С 1 , правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида с основанием АА 1 С 1 С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объём пирамиды ВА 1 В 1 С 1 . Запишем:

Ответ: 4

245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1 , В 1 , В, С, правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА 1 и пирамиды CА 1 В 1 С 1 . Запишем:


Ответ: 4

245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:

Ответ: 4

245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A 1 , B 1 , C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1. Вычисляем:

Ответ: 3

245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:

Ответ: 8

245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A 1 , B 1 , С 1 , D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.

Вычисляем:

Ответ: 6

245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ 1 .

*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).

Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:

Ответ: 1

245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.

Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.

Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть она уже нам дана – это корень из трёх. Вычислим площадь правильного шестиугольника лежащего в основании. Его площадь равна шести площадям равных друг другу правильных треугольников, при чём сторона такого треугольника равна ребру шестиугольника:

*Использовали формулу площади треугольника – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними.

Вычисляем объём призмы:

Ответ: 13,5

Что можно отметить особо? Внимательно стройте многогранник, не мысленно, а именно на листочке прорисуйте его. Тогда вероятность ошибки из-за невнимательности будет исключена. Запомните свойства правильного шестиугольника. Ну и формулы объёма, которые использовали важно помнить.

Решите две задачи на объём самостоятельно:

27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.

27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .

На этом всё. Удачи!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях