Если две прямые l 1 и l 2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 , надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l 1 и l 2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l 1 и l 2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию .

Если и направляющие векторы прямых и соответственно (рис.3.23,а), то величина угла между этими прямыми вычисляется по формуле:

Угол между прямыми (3.19) можно вычислить как угол между их нормалями и :

(3.22)

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. равенства нулю скалярного произведения их нормалей :

По формуле (3.22) получаем острый угол между прямыми (3.19), если (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: (рис.3.23,6). Другими словами, по формуле (3.22) находится тот угол между прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, опреляемым данными прямыми . На рис.3.23 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками плюс "+" или минус "–" соответственно.

Если две прямые l 1 и l 2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 , надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l 1 и l 2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l 1 и l 2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0


Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Параллельные прямые – основные сведения.

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Определение.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а b .

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b , а также, что прямая b параллельна прямой a .

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых . В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы . Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.


Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7 -9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Теорема.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Теорема.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.


Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к (направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых) или к (направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой). Таким образом, если и - направляющие векторы прямых a и b , а и - нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как , или , или , где t - некоторое действительное число. В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида , а прямую b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как .

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямой b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности этих прямых примет вид . Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны. И обратно: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат могут быть заданы уравнениями прямой с равными угловыми коэффициентами, то такие прямые параллельны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида и , или параметрические уравнения прямой на плоскости вида и соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности прямых a и b записывается как .

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Параллельны ли прямые и ?

Решение.

Перепишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения прямой: . Теперь видно, что - нормальный вектор прямой , а - нормальный вектор прямой . Эти векторы не коллинеарны, так как не существует такого действительного числа t , для которого верно равенство (). Следовательно, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, поэтому, заданные прямые не параллельны.

Ответ:

Нет, прямые не параллельны.

Пример.

Являются ли прямые и параллельными?

Решение.

Приведем каноническое уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом: . Очевидно, что уравнения прямых и не одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Если две прямые l 1 и l 2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 , надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l 1 и l 2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l 1 и l 2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию .



Если и направляющие векторы прямых и соответственно (рис.3.23,а), то величина угла между этими прямыми вычисляется по формуле:

Угол между прямыми (3.19) можно вычислить как угол между их нормалями и :

(3.22)

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. равенства нулю скалярного произведения их нормалей :

По формуле (3.22) получаем острый угол между прямыми (3.19), если (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: (рис.3.23,6). Другими словами, по формуле (3.22) находится тот угол между прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, опреляемым данными прямыми . На рис.3.23 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками плюс "+" или минус "–" соответственно.

Пусть теперь даны два уравнения:

Посмотрим, когда прямые d и d, определяемые этими уравнениями, параллельны в широком смысле, когда они совпадают, когда параллельны в собственном смысле (т. е. не имеют ни одной общей точки).

Ответ на первый вопрос получается сразу: прямые d и d тогда и только тогда параллельны в широком смысле, когда их направляющие векторы коллинеарны, т. е. когда имеет место пропорция , а следовательно, и пропорция

Если эта пропорция может быть продолжена до пропорции

то прямые совпадают: в этом случае все коэффициенты одного из двух уравнений (1), (Г) получаются из коэффициентов другого умножением на некоторое и, значит, уравнения (1) и эквивалентны (всякая точка удовлетворяющая одному Уравнению, удовлетворяет и другому).

Обратно, если две прямые совпадают, то имеет место пропорция (3).

Докажем это сначала в случае, когда наши прямые параллельны оси ординат. Тогда , и нам нужно доказать только равенство .

Но последнее равенство (в котором вытекает из того, что обе (совпадающие) прямые пересекают ось абсцисс в одной и той же точке с абсциссой .

Пусть теперь совпадающие примые не параллельны оси ординат. Тогда они пересекают ее в одной и той же точке Q с ординатой и мы имеем пропорцию , которая вместе с пропорцией (2) (выражающей параллельность прямых в широком смысле) и дает нам искомую пропорцию (3).

Параллельность в собственном смысле означает, что имеет место параллельность в широком смысле (т. е. выполнено условие (2)), но нет совпадения (т. е. не выполнено ). Это означает, что пропорция

имеет место, тогда как

Совокупность двух соотношений (2) и (4) обычно записывают в виде одной формулы:

Подведем итог всему доказанному.

Теорема 1. Всякая прямая d на плоскости, снабженной аффинной системой координат, определяется некоторым уравнением первой степени между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение первой степени

является уравнением некоторой (единственной) прямой d; при этом все векторы , коллинеарные этой прямой, и только они удовлетворяют однородному уравнению