Ряд, в математике

1. Определения. Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров.

1, 2, 3, 4,..., n,...

есть Р. натуральных чисел;

1, 4, 9, 16,..., п 2 ...

Р. квадратов;

а 0 , а 1 х, а 2 а 2 ,..., а n x n ,...

Р. степенных функций или степенной Р.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел.

Р. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ...

назыв. бесконечным, если после всякого элемента u k найдется элемент u k+1 ; в противном же случае Р. назыв. конечным. Напр.

1. 2, 3,... 9, 10

есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10.

2. Число, определяемое рядом.

Особенное значение имеют бесконечные Р. вида

(1)... а 1 /10, а 2 /10 2 , ... а n /10 n ,...,

где а 1 , а 2 , а 3 , ... а n ,... целые положительные числа, a 0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а 1 , а 2 , а 3 , ... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов.

Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а .

Говорят, что а больше рационального числа p /q , если при достаточно большом n имеет место неравенство

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > p /q

Если же при всяком n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n не > p /q

но при достаточно большом n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > r /s

где r/s произвольно взятое число, меньшее p /q , то считают а равным p /q .

На этом основании Р.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1.

Если а не равно 9, а все последующие числа

a k +1 , a k +2 , a k +3 ,... равны 9, то число а , определяемое Р. (1), равно

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k + 1)/10 k .

Если же не все числа а k+1 , а k+2 , а k+3 ...равны 9, то

а = а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а k /10 k

Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а k+1 , равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением

а а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k +1)/10 k

Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.

Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным (см.).

3. Сходимость и расходимость рядов. Р. чисел

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ,...

наз. сходящимся, если существует такое число а (рациональное или иррациональное), что при возрастании n численное значение разности

а - (u 0 + u 1 + u 2 +... u n- 1)

становится и остается сколь угодно малым. Такое число a наз. суммою Р. В этом случае пишут

(3)... а = u 0 + u 1 + u 2 +...

и это равенство наз. разложением числа a в бесконечный Р. Если такого числа а не существует, то Р. (2) наз. расходящимся.

Важнейший пример сходящегося Р. представляет геометрическая прогрессия (см.).

1, q, q 2 ,...,

знаменатель которой q по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение

1/(1 - q ) = 1 + q + q 2 +...

Примером расходящегося Р. может служить

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

не имеет никакого смысла.

Если же члены гармонического Р. взять попеременно со знаками + и -, то получим сходящийся Р. Выражение

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

равно логарифму 2, взятому при основании е (см.).

Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы.

Данный Р. - сходящийся, если Р. модулей (см.) его членов сходящийся.

Р. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

в котором числа v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... положительные, сходящийся, если при возрастании n

lim v n = 0.

Р. с положительными членами

u 0 , u 1 , u 2 ,..., u n ,...

сходящийся, если

lim (u n + 1)/u n

lim (u n + 1)/u n > 1

Если для Р. с положительными членами

но, и 0 , и 1 , u 2 , .., и n ...

отношение

lim (u n + 1)/u n = 1 - r /n + θ ( n ) /n α ,

где r не зависят от n , α > 1 и θ (n ) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r > 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", p. 84).

4. Условная и абсолютная сходимость. Если Р. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... v n ,...

сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся. Напр.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

Р. наз. абсолютно сходящимся, если Р. модулей его членов сходящийся.

Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

но 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов.

Если числа а и b разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р.

а = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

абсолютно-сходящийся и, кроме того,

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab .

5. Равномерная сходимость. Предположим, что дан Р.

(5)... f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x ), ..., f n (x ), ...

члены которого суть функции от одной переменной x , которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х, при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.

Р. 1, х, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

сходящийся только при x = 0.

Р. 1, х, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

расходящийся при всяком х.

Р. 1, х/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

сход. при всяком значении х. Если степенной Р. α 0 , α 1 x, α 2 x 2 ,...

сход. при каком-нибудь значении х, не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x , модуль которого меньше некоторого числа R . Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R .

Примером может служить геометрическая прогрессия

1, x , x 2 , x 3 ,...., у которой радиус круга сходимости равен единице.

Если х принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n , большем некоторого числа т

mod [f n (x ) + f n+ 1 (x ) + f n+ 2 (x ) +...]

Вообще т зависит от х и от ε, но возможно, в особых случаях, что т зависит только от ε, если значения х принадлежат к некоторой области (S). В таком случае Р. (5) наз. равномерно-сходящимся в области (S ).

Для примера рассмотрим Р.

(6)... (1 - х ), х (1 - х ), х 2 (1 - х )....

ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.

Для того, чтобы имело место неравенство

(7)... х n (1 - x ) + x n+ 1 (1 - x ) +... x n

надо взять n > Log ε /Logx

След., в рассматриваемом случае

т = Log ε /Logx.

Как видим, т зависит от х. Как бы велико ни было m , найдутся такие значения х в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n, большем т. Если х = 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1

Предположим, что

т = Log ε /Log (1 - α) и n больше или = m

След. Р. (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 - α).

Если в области равномерной сходимости члены ряда

f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x )...

суть непрерывные функции от x , то и сумма этого Р. - непрерывная функция (см. Разрывность).

Равномерно сход. Р. можно почленно интегрировать или дифференцировать.

Степенные Р.

a 0 , а 1 х, а 2 х 2 ...

обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости.

6. Разложение функций в ряды. В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения:

(эти формулы справедливы при всяком x ).

Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса.

В форм. (11) логарифм взят при основании е . Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Р. для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая

(1 + х )/(1 - х ) = (a + z)/z

в разложении функции log(1 + x ) - log(l - x ).

Полагая а = 1, z = 1, найдем log2;

" а = 1, z = 1, " log5;

а + z = 3 4 , а = 80, " log3;

а + z = 7 4 , а = 2400, " log7;

Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на

М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.).

Форм. (12) справедлива при х = 1, если m > -1, и при x = -1, если m > 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр.

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 у 1 + 3 у 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 у 2 + 3 у 1 = 0 и т. д.

Р. коэффициентов y 0 , у 1 , y 2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением y n +3 + 2y n +2 + 5 у n +1 + 3 у n = 0.

Такого рода Р. наз. возвратными. Из написанных уравнений последовательно определяется y 0 , у 1 , y 2 ...

Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение

(14)... arc tgx = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... arc sin х = x /1 + 1/2(x 3 /3) + (1.2/2.4)(x 5 /5) +...

справедливые для значений х, удовлетворяющих условиям

Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin)

π /4 = 4arc tg(1/5) - arc tg(1/239)

дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии.


Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Ряд, в математике" в других словарях:

    РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,..., an,... числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ ... + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь

    Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

    Имеет несколько значений: Ряд совокупность однородных, похожих предметов, расположенных в одну линию. Ряд совокупность каких нибудь явлений, следующих одно за другим в определённом порядке. Ряд некоторое, немалое количество, например «ряд стран» … Википедия

    Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия

    Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия

    Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия

    Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия

    Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где функция Мёбиуса … Википедия

    I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Книги

  • Математика наблюдателей и ее приложения к квантовой механике, теории относительности и классической математике , Б. С. Хоц, Д. Б. Хоц. В этой книге представлены результаты авторов, относящиеся к Математике наблюдателей (авторское назввание Observer s Mathematics). Эта математика была впервые введена авторами, были изучены ее…

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена .

Методические указания по теме 1.4:

Числовые ряды:

Числовым рядом называется сумма вида

где числа u 1 , u 2 , u 3 , n n , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда.

. . . . . . . . .

составленные из первых членов ряда (27.1), называются частными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S 1 , S 2 , S 3 . Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S n стремится к пределу S , то ряд называется сходящимся, а число S - суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S n ряда (27.1) при неограниченном возрастании n не имеет конченого предела (в частности, стремится к + ¥ или к - ¥), то такой ряд называется расходящимся

Если ряд сходится, то значение S n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Разность r n = S - S n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. r n = 0, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Ряд вида называется геометрическим рядом.

называется гармоническим.

если N ®¥, то S n ®¥, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену:

1) полагая n = 1, n = 2, n = 3, имеем бесконечную последовательность чисел: , , , Сложив ее члены, получим ряд

2) Поступая так же, получим ряд

3) Придавая n значения 1, 2, 3, и учитывая,что 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, получим ряд

Пример 2. Найти n -й член ряда по его данным первым числам:

1) ; 2) ; 3) .

Пример 3. Найти сумму членов ряда:

2) .

1) Находим частичные суммы членов ряда:

; ;

… .

Запишем последовательность частичных сумм: …, , … .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

.

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой a 1 = , q= . Используя формулу получим Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера :

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится - это достаточный признак растворимости ряда.


Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и растворимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

который сходится при |q|

,

являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

.

Если p = 1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p < 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p > 1 имеем геометрический ряд, в котором |q | < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p £1.

Признак Даламбера . Если для ряда с положительными членами

(u n >0)

выполняется условие , то ряд сходится при l l > 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость рядов:

Числовой ряд

u 1 + u 2 + u 3 + u n

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости для знакочередующихся рядов . Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u n стремится к нулю при n ® ,то ряд сходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .
Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .
Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞ . Поэтому данный ряд расходится. Пример 6. Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.
Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствующих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходятся ли этот ряд абсолютно или условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , но

.

Функциональные ряды:

Обычный числовой ряд состоит из чисел:

Все члены ряда - это числа.

Функциональный же ряд состоит из функций:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и т.д. непременно входит буква «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда - это функции .

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд .

Степенные ряды:

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа а 0 , а 1 , а 2 , а n называется коэффициентами ряда, а член a n x n - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений x , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при |x| ряд сходится.

Пример 8. Дан ряд

Исследовать его сходимость в точках x = 1 и х = 3, x = -2.

При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд

.

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

т.е. ряд сходится.

При х = 3 получим ряд

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

При х = -2 получим

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках x = 1 и х = -2. ряд сходится, а в точке x = 3 расходится.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена:

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида

Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:

Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Условия оптимальности

При изучении любого типа задач оптимизации важное место занимает вопрос об условиях оптимальности или, как говорят,условиях экстремума . Различают крайне важно е условие оптимальности, ᴛ.ᴇ. условия, которым должна удовлетворять точка, являющаяся решением задачи, и достаточные условия оптимальности, ᴛ.ᴇ. условия, из которых следует, что данная точка является решением задачи.

Замечания:

1. В случае если функция обладает свойством унимодальности, то локальный минимум автоматически является глобальным минимумом.

2. В случае если функция не является унимодальной, то возможно наличие нескольких локальных оптимумов, при этом глобальный минимум можно определить путём нахождения всœех локальных оптимумов и выборе наименьшего из них.

Теорема 4.1. (крайне важно е условие минимума первого порядка): Пусть функция ¦ дифференцируема в точке . В случае если – локальное решение задачи (4.1), то

(4.5)

,

где – градиент функции.

Точка х *, удовлетворяющая условию (4.5), принято называть стационарной точкой функции ¦ или задачи (4.1). Ясно, что стационарная точка не обязана быть решением, ᴛ.ᴇ. (4.5) не является достаточным условием оптимальности. Такие точки являются подозрительными на оптимальные.

Пример 4.1 . Рассмотрим, к примеру, функцию f (x ) = x 3 (рис. 4.4). Эта функция удовлетворяет крайне важно му условию оптимальности, однако, не имеет ни максимума, ни минимума при х * = 0, ᴛ.ᴇ. и точка х * – стационарная точка.

В случае если стационарная точка не соответствует локальному оптимуму (минимуму или максимуму), то она является точкой перегиба или седловой точкой. Для тогочтобы провести различия между случаями, когдастационарная точка соответствует локальному минимуму, локальному максимуму или является точкой перегиба, крайне важно построить достаточные условия оптимальности.

x* x

Рис. 4.6. График функции, имеющей точку перегиба

Теорема 4.2. (крайне важно е условие минимума второго порядка): Пусть функция ¦ дважды дифференцируема в точке . В случае если х * – локальное решение задачи (4.1), то матрица неотрицательно определœена, ᴛ.ᴇ.

h E n , (4.6)

где – гессиан функции ¦ в точке .

Достаточное условие локальной оптимальности содержит характерное усиление требований на матрицу .

Теорема 4.3. (достаточное условие минимума второго порядка): Пусть функция ¦ дважды дифференцируема в точке . Предположим, что , а матрица положительно определœена, ᴛ.ᴇ.

, h E n , h ≠ 0. (4.7)

Тогда х * – строгое локальное решение задачи (4.1). Для функции числового аргумента (n = 1) условия (4.6) и (4.7) означают, что вторая производная как скалярная величина не отрицательна и положительна соответственно.

Итак, для функции ¦ числового аргумента не является гарантией наличие оптиума при выполнении условий − минимум; − максимум.

Для того чтобы стационарная точка была точкой экстремума, крайне важно выполнение достаточных условий локального экстремума. Достаточным условием является следующая теорема.

Теорема 4.4 . Пусть в точке х * первые (n −1) производные функции обращаются в нуль, а производная n -го порядка отлична от нуля:

1) В случае если n − нечетное, то х * – точка перегиба;

2) В случае если n − четное, то х * – точка локального оптимума.

Кроме того:

а) если эта производная положительная, то х * – точка локального минимума;

б) если эта производная отрицательна, то х * – точка локального максимума.

Для того чтобы применить эту теорему 4.4 к функции f (x ) = x 3 (пример 4.1) , вычислим:

.

Так как порядок первой отличной от нуля производной равен 3 (нечётное число), точка х = 0 является точкой перегиба.

Пример 4.2. Рассмотреть функцию, определœенную на всœей действительной оси и определить особые точки:

.

Условия оптимальности - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Условия оптимальности" 2017, 2018.